Intervalos de confianza, conceptos

1. JORGE ALEJANDRO PUENTES GARCÍA
INTERVALO DE CONFIANZA DE
LA MEDIA DE UNA POBLACIÓN
De una población con media y desviación típica se pueden tomar muestras de
elementos. Cada una de estas muestras tiene a su vez una media. Se puede
demostrar que la media de todas las medias muestrales coincide con la media
poblacional:
Pero, además, si el tamaño de las muestras es lo suficientemente grande, o la
distribución poblacional es normal, la distribución de medias muestrales es,
prácticamente, una distribución normal (o gaussiana) con media y una desviación
típica dada por la siguiente expresión:

2. JORGE ALEJANDRO PUENTES GARCÍA
INTERVALO DE CONFIANZA
PARA LA DIFERENCIA DE
MEDIAS.
En ocasiones interesa definir un intervalo de valores tal que permita establecer
cuáles son los valores mínimo y máximo aceptables para la diferencia entre las
medias de dos poblaciones. Pueden darse dos situaciones según las muestras
sean o no independientes; siendo en ambos casos condición necesaria que las
poblaciones de origen sean normales o aproximadamente normales:
• MUESTRAS INDEPENDIENTES
Si puede suponerse que las varianzas de ambas poblaciones son iguales, el
intervalo de confianza para la diferencia de medias poblacionales está centrado
en la diferencia de las medias muestrales, siendo sus límites superior e inferior:
INTERVALOS DE CONFIANZA
PARA LA PROPORCIÓN.
El intervalo de confianza para estimar una proporción, conocida como una
proporción muestral de una muestra de tamaño n, a un nivel del (1- α )100% de
confianza es:
Con los supuestos
distribucionales adecuados y utilizando una variación del Teorema
de Levy tenemos que:

3. JORGE ALEJANDRO PUENTES GARCÍA
INTERVALOS DE
CONFIANZA PARA LA
DIFERENCIA DE
PROPORCIONES.
Se consideran ahora dos muestras aleatorias simples 𝑋 y 𝑌 de tamaños 𝑛1 y 𝑛2
respectivamente. Además, supongamos que son independientes e idénticamente
distribuidas Bernoulli de parámetros 𝑝1
; 𝑝2
.
El interés se centra ahora en encontrar un intervalo de confianza para la
diferencia de las proporciones. Haciendo uso de los supuestos distribucionales y
de resultados anteriores se llega a que:

4. JORGE ALEJANDRO PUENTES GARCÍA
INTERVALOS DE
CONFIANZA PARA LA
VARIANZA.
El intervalo de confianza para la media de una variable continua con el valor de la
varianza de dicha variable conocida en toda la población es el intervalo menos
usual.
Para estimar la media poblacional μ de una población Normal de media μ
(desconocida) y de varianza σ2 (conocida), N(μ,σ2), se selecciona una muestra
aleatoria X1,X2,⋯,Xn; de tamaño n de valores de una variable aleatoria de esta
población y se calcula su media muestral, como mejor estimador puntual de μ. La
construcción del intervalo de confianza se hace tomando como base este
estimador. Para calcular un intervalo de confianza para μ partimos de la variable
aleatoria
INTERVALOS DE
CONFIANZA PARA LA
RELACIÓN DE VARIANZAS.
La principal utilidad de dicho intervalo es poder determinar si existe evidencia
estadística para rechazar la hipótesis nula de que las varianzas son iguales. Para
esto debe verificarse si el intervalo de confianza contiene el valor de 1 o no. En
caso de que sí lo contenga no hay evidencia suficiente para rechazar la hipótesis.
Por el contrario, cuando 1 no está en el intervalo se rechaza la hipótesis nula y se
afirma que existe diferencia estadísticamente significativa entre las varianzas de
las dos poblaciones.