Tài liệu trình bày các khái niệm cơ bản về định thức trong đại số tuyến tính, bao gồm định nghĩa, tính chất và cách tính định thức của ma trận vuông. Nó cũng cung cấp các ví dụ minh họa cho từng khía cạnh được đề cập, như khai triển theo hàng hoặc cột, và sử dụng các phép biến đổi sơ cấp. Cuối cùng, tài liệu nhấn mạnh mối liên hệ giữa định thức và ma trận khả nghịch.

1. Trường Đại học Bách khoa tp. Hồ Chí Minh
Bộ môn Toán Ứng dụng
---------------------------------------------------------------
Đại số tuyến tính
Chương 2: Định thức
Giảng viên Ts. Đặng Văn Vinh

2. NỘI DUNG
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
I – Định nghĩa định thức và ví dụ.
II – Tính chất của định thức

3. I. Định nghĩa và ví dụ
---------------------------------------------------------------------
Cho là ma trận vuông cấp n.
Định thức của A là một số ký hiệu bởi det
( ) n
n
ij
a
A 
=
A
a
A n
n
ij =
= 
)
(
Ký hiệu là định thức thu được từ A bằng cách bỏ đi hàng
thứ i và cột thứ j của ma trận A;
ij
M
ij
( 1)i j
ij
A M
+
= −
Bù đại số của phần tử aij là đại lượng
Định nghĩa bù đại số của phần tử aij

4. I. Định nghĩa và ví dụ
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
b) k =2:
11 12
11 22 12 21 11 11 12 12
21 22
a a
A A a a a a a A a A
a a
 
= → = − = +
 
 
a) k =1:   11
11 a
A
a
A =
→
=
c) k =3:
11 12 13
21 22 23 11 11 12 12 13 13
31 32 33
a a a
A a a a A a A a A a A
a a a
 
 
= → = + +
 
 
 
d) k =n: 11 12 1
11 11 12 12 1 1
*
n
n n
a a a
A A a A a A a A
 
= → = + + +
 
 
...............
Định nghĩa định thức bằng qui nạp

5. I. Định nghĩa và ví dụ
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
11 12 13
1 2 ( 3)
A A A A
=  +  + − 
2
3
3
2
)
1
(
)
3
(
4
3
0
2
)
1
(
2
4
2
0
3
)
1
(
1 3
1
2
1
1
1 +
+
+
−

−
+
−

+
−

=
A
11
15
16
12 =
+
−
=
A
1 1 1 1
11
1 2 3
3 0
2 3 0 ( 1) 12
2 4
3
( )
2 4
1
A + +
−
=
−
= − =
Tính det (A), với









 −
=
4
2
3
0
3
2
3
2
1
A
Ví dụ
Giải

6. 1
2
1 1 2 2
* *
j
j
j j j j nj nj
nj
a
a
A a A a A a A
a
= = + + +
II. Tính chất của định thức
---------------------------------------------------------------------
1. Có thể tính định thức bằng cách khai triển theo bất kỳ
hàng hoặc cột tùy ý nào đó
1 2 1 1 2 2
*
*
i i in i i i i in in
A a a a a A a A a A
= = + + +

7. II. Tính chất của định thức
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Tính định thức det (A), với









 −
=
0
0
4
2
2
5
3
1
3
A
Ví dụ
Khai triển theo hàng thứ 3
32
2
2
3
1
)
1
(
4
0
0
4
2
2
5
3
1
3
)
1
(
4
0
0
4
2
2
5
3
1
3
1
3
1
3
−
=
−
−

=
−
−

=
−
= +
+
A
Giải.

8. II. Tính chất của định thức
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Tính định thức det (A), với
2 3 3 2
3 0 1 4
2 0 3 2
4 0 1 5
A
−
 
 
 
=
−
 
 
−
 
Ví dụ

9. II. Tính chất của định thức
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Khai triển theo cột thứ hai
12 22 32 42 12
2 3 3 2
3 0 1 4
( 3) 0 0 0 3
2 0 3 2
4 0 1 5
A A A A A A
−
= = −  +  +  +  = −
−
−
3 1 4
3 2 3 2 87
4 1 5
A = − = =
−
Giải

10. II. Tính chất của định thức
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Định thức của ma trận tam giác bằng tích các phần tử nằm
trên đường chéo.
120
1
4
5
)
3
(
2
1
0
0
0
0
9
4
0
0
0
8
2
5
0
0
1
7
6
3
0
4
0
3
1
2
−
=



−

=
−
−
=
A
Ví dụ

11. II. Tính chất của định thức
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Sử dụng biến đổi sơ cấp đối với hàng để tính định thức
1.Nếu thì
i i
h h
A B

→
⎯⎯⎯⎯
→ | | | |
B A

=
2.Nếu thì
i i j
h h h
A B

→ +
⎯⎯⎯⎯⎯
→ | | | |
B A
=
3. Nếu thì
i j
h h
A B

⎯⎯⎯→ | | | |
B A
= −

12. II. Tính chất của định thức
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ
Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp, tính định thức














−
−
−
=
1
3
1
2
2
6
2
3
0
5
3
2
1
2
1
1
A

13. 15
0
4
1
0
1
2
1
1
|
|
−
−
−
=
A
Khai triển theo cột đầu tiên
1
7
3
0
1
0
1
0
2
1
1
0
1
2
1
1
−
−
−
II. Tính chất của định thức
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Giải
1
3
1
2
2
6
2
3
0
5
3
2
1
2
1
1
|
|
−
−
−
=
A
2 2 1
2
→ −
h h h
3 3 1
3
→ −
h h h
4 4 1
2
→ +
h h h
|
| A
1
7
3
1
0
1
2
1
1
)
1
(
1 1
1
−
−
−
 +
19
15
4
1
1
)
1
(
1 2
1
−
=
−
−
−
−

= +

14. II. Tính chất của định thức
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Bước 1. Chọn 1 hàng (hoặc một cột) tùy ý;
Bước 2. Chọn một phần tử khác không tùy ý của hàng (hay cột)
ở bước 1. Dùng biến đổi sơ cấp, khử tất cả các phần tử khác.
Bước 3. Khai triển theo hàng (hay cột) đã chọn.
Nguyên tắc tính định thức sử dụng biến đổi sơ cấp

15. II. Tính chất của định thức
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ
Sử dụng biến đổi sơ cấp, tính định thức














−
−
−
−
=
1
3
1
4
2
4
1
3
0
2
3
2
1
1
2
3
A

16. 2 3 2
| | 5 8 0
5 5 0
A
−
= −
4
1
1
2
5
3
2
3
2
)
1
(
1 4
1
−
−
−
 +
0
4
1
1
0
2
5
3
0
2
3
2
1
1
2
3
−
−
−
1
3
1
4
2
4
1
3
0
2
3
2
1
1
2
3
|
|
−
−
−
−
=
A
II. Tính chất của định thức
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Giải
3 3 1
2
→ +
h h h
4 4 1
→ −
h h h
1 3 5 8
( 2) ( 1) 30
5 5
+
= − −  − = −
Khai triển theo cột số 4
|
| A

17. II. Tính chất của định thức
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
det (AT) = det (A)
det(AB) = det(A) det(B)
Ma trận có một hàng (cột) bằng không, thì det (A) = 0
Ma trận có hai hàng (cột) tỉ lệ nhau, thì det (A) = 0
Chú ý: det(A+B) det(A) + det(B).


18. II. Tính chất của định thức
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Giả sử A là ma trận khả nghịch nxn. Khi đó tồn tại ma
trận khả nghịch A-1, sao cho AA-1 = I. Suy ra
1 1
A
A P
A
−
= , với
11 12 1
21 22 2
1 2
T
n
n
A
n n nn
A A A
A A A
P
A A A
 
 
 
=
 
 
 
Chứng minh
Ma trận vuông A khả nghịch khi và chỉ khi det(A) 0.

Định lý
Giả sử det(A) 0. Khi đó

det(AA-1) = det (I) det(A).det(A-1) = 1 det(A) 0


19. II. Tính chất của định thức
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
















=
*
*
*
1
1
1
1
1
1
j
j
j
j
j
j
a
a
a
a
a
a
B


1 1 2 2
0
| |,
,
i j i j in jn
A i j
a A a A a A
i j
=

+ + + = 


















=
*
*
*
1
1
1
1
1
1
i
i
i
j
j
j
a
a
a
a
a
a
A



20. II. Tính chất của định thức
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Tính chất của ma trận nghịch đảo
1.
1 1
det( )
det( )
A
A
−
=
2. Nếu A khả nghịch, thì
1
det( ) (det( ))n
A
P A −
=
Chứng minh.

21. II. Tính chất của định thức
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Cho A là ma trận khả nghịch. Khi đó
1 1
A
A P
A
−
= , với
11 12 1
21 22 2
1 2
T
n
n
A
n n nn
A A A
A A A
P
A A A
 
 
 
=
 
 
 
Công thức tính ma trận nghịch đảo A-1

22. II. Tính chất của định thức
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ. Tìm ma trận nghịch đảo của










=
0
4
3
1
3
2
1
1
1
A
Giải. 0
2
)
det( 
−
=
A A khả nghịch
Tính 9 bù đại số của các phần tử
1 1
11
3 1
( 1) 4;
4 0
A +
= − = − 1 2
12
2 1
( 1) 3;
3 0
A +
= − = 1 3
13
2 3
( 1) 1
3 4
A +
= − = −
21 22 23 31 32 33
4; 3; 1; 2; 1; 1
A A A A A A
= = − = − = − = =
1
4 4 2
1
3 3 1
2
1 1 1
A−
− −
 
 
= −
 
−
− −
 
 

23. Tính det(A), nếu
Ví dụ 1
2 1 1 3
3 2 1 2
4 1 0 1
3 3 2 2
A
−
 
 
−
 
=
 
 
−
 

24. Tính det(A), với
Ví dụ 2
4 1 1 0
3 2 4 1
2 1 3 1
5 1 2 3
A
 
 
−
 
=
− 
 
 

25. Tính định thức của ma trận sau
Ví dụ 4
1 0 1
0 1
1 1
i
A i
i i
+
 
 
=
 
 
− −
 

26. Cho
Ví dụ 20
3 3
[ ]; [ ];det( ) 2;det( ) 3.
A M R B M R A B
  = = −
1) Tính det (4AB)-1.
2) Tính det (PAB).