Incertezzadimisura sinal-scarti-rapillo

Gli scarti .... “tipi”… facili

( x x )2
1 2 2
f (x) = e
2

dove si narra dell’utilizzo di excel
per il calcolo della ripetibilità e
dell’incertezza delle misure
variabili
con la concentrazione

Michele Rapillo

Michele Rapillo Gli scarti... “tipi”... facili

© 2008
Proprietà letteraria riservata.

SINAL
Sistema Nazionale per l’Accreditamento di Laboratori
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Tel. 06 8440991
Fax 06 8841199
www.sinal.it

Questa pubblicazione può essere liberamente riprodotta, citando la fonte.
Ne è vietata la riproduzione a fini commerciali.

Edizione luglio 2008.

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a Teresa
per aver dimostrato che la certezza esiste.

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Ringrazio

Nicola Bottazzini
per i preziosi suggerimenti, per l’utilissimo
materiale messo a disposizione e per la
revisione generale del presente documento;

Fabrizio Francia e il gruppo Francia Latticini
per aver consentito la pubblicazione di importanti
e riservati dati aziendali;

Luis Vizcarra,
spalla impagabile,
“per essersi prestato al gioco”;

Emma Angelini Bianco
per il contributo da lettore che è passato
dall’incertezza alla certezza;

Paolo Bianco
per l’attenta revisione del testo
ed il supporto alla pubblicazione.

Michele Rapillo

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Presentazione

Nel lungo e talvolta tortuoso itinerario della valutazione dell’incertezza di misura non a tutti è
dato di procedere speditamente. Certamente ci riesce Michele Rapillo che può avvalersi di una
lunga e diversificata esperienza operativa per fare da “Guida” a tutti coloro che in Laboratorio,
alle prese con un determinato test analitico, debbono necessariamente produrre un risultato
completo.
Come in un’escursione lungo un aspro sentiero di montagna, in due si procede meglio e Rapillo
ha appunto scelto di procedere assieme ad un compagno di escursione, simpatico ma, come
spesso capita nella vita, alquanto arrugginito per quanto riguarda i ricordi universitari relativi ad
errori, scarti, gaussiane eccetera, che vengono opportunamente sintetizzati..
L’ing. Rapillo, forte anche della sua attuale posizione di autorevole membro del Comitato di
Accreditamento del SINAL che assai spesso si trova alle prese con Laboratori di Prova che della
determinazione dell’incertezza di misura farebbero volentieri a meno, con pazienza e perizia
incoraggia e spinge sulla buona strada non solo il suo interlocutore, ma anche tutti coloro che
vorranno intraprendere la lettura di questa “Guida” che si rivela preziosissima bussola per entrare
in confidenza con una componente essenziale della misura di laboratorio.
Pertanto a tutti coloro che operano in Laboratori di Prova ed in particolare a quelli che sono
impegnati nelle operazioni relative all’accreditamento, consigliamo fortemente la lettura di
queste pagine: una lettura che sarà di grande giovamento per il loro lavoro e che per di più li farà
spesso sorridere.

Antonio Paoletti
Presidente SINAL

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Introduzione

Che cosa ci può essere di facile nel concetto di scarto tipo, varianza, chi-quadro? La domanda
sorgerà spontanea nella mente di alcuni fra coloro che, nei loro laboratori, si sono trovati qualche
volta a contatto con problematiche di validazione di metodi di prova e quindi con la
determinazione di ripetibilità ed incertezza delle misure. Per quelli che hanno frequentato corsi
specifici sull’incertezza di misura, lo scarto tipo non risulterà così misterioso ed a maggior
ragione non lo sarà per gli appassionati lettori delle numerose pubblicazioni sull’argomento:
dalla GUM (o UNI ENV 13005) con le sue appendici (centinaia di pagine) in emissione, alla
guida EURACHEM (anzi adesso 3 guide), alla guida EUROLAB, e alla documentazione varia
che si può trovare in rete.
D’altronde chi solo saltuariamente ha occasione d’incontrare questa problematica ne fa spesso la
conoscenza in modo disorganico e confuso, tra approccio top-down e bottom-up, olistico ed
Horwitz, tra scarto tipo giustappunto e scarto tipo della media, oscuri contributi ottenuti con
valutazioni di tipo A e B, e finisce per considerarla piena, non già di risvolti interessanti, ma
piuttosto di noia e fastidio, come accade per gli argomenti ostici che si è costretti ad imparare più
o meno a memoria perché non sembrano avere un’essenza da cogliere. Tra l’altro le guide
sparano questi riferimenti al lettore come se questi avesse appena terminato con profitto un corso
avanzato di statistica, gettandolo nel panico alla ricerca di vecchi testi di scuola, tabelle di dati,
solo citate e mai riportate nei documenti (come se il lettore fosse seduto su una pila di testi di
statistica).
Inoltre, anche se Bertolt Brecht afferma che: “Di tutte le cose sicure la più certa è il dubbio”,
un’approfondita riflessione sul concetto di incertezza può generare inquietudine.
Questo testo molto ricorda per la sua tipicità i dialoghi di Platone, che si contrapponevano agli
scritti retorici circolanti all’epoca ad Atene, ed ha il grande pregio di presentare in forma
colloquiale ma rigorosa il calcolo dell’incertezza e della ripetibilità delle misure.
Analogamente a Sisifo, discepolo di Socrate, Luis viene guidato, dopo un esaustivo elenco di
documenti relativi all’incertezza di misura, attraverso le definizioni di scarto tipo, varianza,
distribuzione di probabilità, normal probability plot, ecc., che costituiscono le basi teoriche del
calcolo. Entrano a questo punto in scena i dati sperimentali sui quali viene effettuato il calcolo
con l’indicazione delle relative funzioni del software utilizzato (niente tabelle!).
Rispetto ai testi a disposizione degli operatori del settore, questo documento fornisce una guida
rapida che suggerisce però diversi livelli di approfondimento privilegiando comunque
l’approccio relativo a “come si fanno le cose” rispetto all’approccio “cosa bisogna fare”.
Poiché, come recita un proverbio cinese “ L'uomo che ha troppe parole, spesso non ha alcuna
certezza”, termino questa breve presentazione esprimendo la convinzione che questo documento
contribuirà a sfatare alcuni miti: che l’incertezza di misura sia impossibile da comprendere, che
si traduca in una inquietante serie di equazioni da imparare a memoria, che le persone che si
occupano di queste tematiche siano umanamente aride e fredde e prive del senso
dell’umorismo.
Mi auguro pertanto che questa promessa di sradicamento di convinzioni diffuse risulti stimolante
per tutte le persone che per ragioni di lavoro o per mera curiosità vengano a trovarsi a contatto
con le problematiche di ripetibilità ed incertezza delle misure.

Paolo Bianco
Direttore SINAL

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INDICE

IL FATTO............................................................................................................................. ............8
IL LAVORO ....................................................................................................................................10
LUIS E I DUBBI SULLA DISTRIBUZIONE DEI DATI SPERIMENTALI ....................................................18

LUIS E LA DISTRIBUZIONE NORMALE ............................................................................................20
LUIS E I DATI ANOMALI ................................................................................................................ .23
LUIS E LO SCARTO TIPO .................................................................................................................24

LUIS E LA VERIFICA DELLA MEDIA ................................................................................................25
LUIS E LA VERIFICA DELLO SCARTO TIPO......................................................................................26

LUIS E IL CALCOLO DELLO SCARTO TIPO VARIABILE CON LA CONCENTRAZIONE .........................27
L’INCERTEZZA DI LUIS .................................................................................................................36
LUIS E L’ APPROCCIO METROLOGICO .....................................................................................................................................38
LUIS E HORWITZ ....................................................................................................................................................................41
LUIS E IL CRITERIO OLISTICO .................................................................................................................................................42
L’ INCERTEZZA DI LUIS VARIABILE CON LA CONCENTRAZIONE ...........................................................................................42

LA DECISIONE FINALE DI LUIS ......................................................................................................51

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Il Fatto
Il mio amico Luis, un microbiologo sudamericano che dirige il laboratorio di una importante
azienda lattiero casearia1, dovendo affrontare il calcolo della ripetibilità e dell’incertezza di
misura mi ha chiesto di indicargli qualche riferimento bibliografico che lo aiutasse ad affrontare
tali temi in modo rigoroso, ma al tempo stesso pratico. Gli ho consigliato di consultare il sito del
SINAL2 che considero il punto di riferimento nazionale più completo sulla tematica.
Luis ha seguito il mio consiglio e si è ritrovato davanti un elenco molto ampio; dopo una rapida
analisi ha focalizzato l’attenzione su quei documenti che già nel titolo avevano il termine
chimica o microbiologia e contemporaneamente anche incertezza o ripetibilità, e quelli che,
indipendentemente dalla disciplina (chimica, meccanica, ecc.) trattassero il tema dell’incertezza,
ottenendo il sottoinsieme riportato di seguito ed evidenziato in giallo.

Sigla Titolo Rev.
DT-0002 Guida per la valutazione e la espressione dell'incertezza nelle misurazioni 1
DT-0004 Linee guida per la taratura di strumenti nel settore della compatibilità 0
elettromagnetica e dei campi elettromagnetici ambientali
DT-0002/1 Esempi applicativi di valutazione dell'incertezza nelle misurazioni elettriche 1
DT-0002/2 Esempi applicativi di valutazione dell'incertezza nelle misurazioni 0
meccaniche
DT-0002/3 Avvertenze per la valutazione dell'incertezza nel campo dell'analisi chimica 0
DT-0002/4 Esempi applicativi di valutazione dell'incertezza nelle misurazioni chimiche 0
DT-0002/5 Esempio applicativo per misurazioni su materiali strutturali 1
3
DT-0002/6 Guida al calcolo della ripetibilità di un metodo di prova ed alla sua verifica 0
nel tempo
EA-4/02 Expression of the uncertainty of measurement in calibration 00
EA-4/09 Accreditation for sensory testing laboratories 01
EA-4/10 Accreditation for Laboratories Performing Microbiological Testing 02
EA-4/15 Accreditation for Bodies Performing non-Destructive Testing 00
EA-4/16 EA guidelines on the expression of uncertainty in quantitative testing 00
EA-4/18 Guidance on the Application of EN 45001 and ISO/IEC Guide 25 to 1 Ed
Electromagnetic Compatability (EMC) Testing (Già EAL-G27)
QUAM:2000.1 EURACHEM-CITAC Guide CG4 - Quantifying Uncertainty in Analytical 2 Ed
Measurement (*)
SIT Doc-519 Introduzione ai criteri di valutazione della incertezza di misura nelle tarature 5
Presentazione SINAL e requisiti della UNI CEI EN ISO/IEC 17025 (P. Bianco)
• ISO/IEC 17025: requisiti tecnici - Incertezza di misura: approccio GUM
• ISO/IEC 17025: requisiti tecnici - Incertezza di misura: altri approcci
• ISO/IEC 17025: requisiti tecnici - Incertezza di misura: decisioni
Incertezza di misura e prove valutative (S. Pepa e M. Scognamiglio)
Sito dedicato alla guida EURACHEM-CITAC.
www.measurementuncertainty.org E' disponibile la guida in linea, con numerosi
esempi di chimica analitica.
1
Francia Latticini S.p.A.
2
Sistema Nazionale di Accreditamento dei Laboratori di Prova – www.sinal.it.
3
Documento emesso durante la revisione del presente lavoro

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MATERIALE DEI CORSI DI AGGIORNAMENTO 2006
• Incertezza di misura in chimica e qualità dei dati. P. Anichini
Materiale dei corsi sull'incertezza di misura nelle prove chimiche tenuti con la collaborazione
di UNICHIM:
• Introduzione al corso. C. Divo
• Esempio microbiologico. N. Bottazzini
• Verifiche della qualità dei risultati. C. Divo
Interventi al Convegno L'ACCREDITAMENTO DEI LABORATORI PER LA SICUREZZA
ALIMENTARE, 25-26 ottobre 2005, organizzato da ISS ORL, SINAL, SIT
· Criteri generali per la valutazione dell'incertezza di misura. F. Pennecchi, M. Mosca
· Incertezza di misura: dalla GUM alla linea guida EURACHEM-CITAC. A. Menditto , M. Plassa
· Esempi pratici per la valutazione dell'incertezza di misura in ambito chimico. P. Anichini, G.
Bonacchi
· Esempi pratici per la valutazione dell'incertezza di misura in ambito microbiologico. A. Maiello,
A. Viti
· Valutazione dell'incertezza di misura: esperienza di un laboratorio accreditato per gli OGM. S.
De Martin

A questo punto Luis, che tra l’altro esegue direttamente, e supervisiona, circa 1000 determinazioni
giornaliere, ha iniziato una prima ricognizione su tutti questi documenti, e dopo circa una settimana,
completamente demoralizzato, e in forte crisi di identità, mi ha chiamato e mi ha detto testualmente:
“i pochi concetti che credevo di avere chiari sull’incertezza e sulla statistica si sono trasformati in
una informe massa di dubbi e di perplessità, che posso fare?”
Gli ho consigliato di seguire un corso sul tema dell’incertezza allo scopo di rinfrescare i concetti
base di statistica e di acquisire un approccio sistematico per poter poi meglio utilizzare anche i
documenti proposti dal SINAL.

Un mese ed un corso dopo Luis mi ha richiamato, confessandomi che il corso era stato molto utile,
gli aveva fornito molte informazioni, gli aveva sciolto molti dubbi, ma principalmente gli aveva dato
una certezza, la certezza che l’incertezza era una cosa da iniziati, tanto che alla fine del corso uno
dei partecipanti, un chimico, aveva detto:

ma alla fine, come si calcolano la ripetibilità e l’incertezza? io questo solo volevo sapere e ancora
non lo so!

Era chiaro, anche questa volta, come nella maggior parte dei corsi era stato insegnato al più, “cosa
bisogna fare” piuttosto che “come si fanno le cose”.
Ormai ero incastrato, dovevo dare una mano a Luis.

Il mio dubbio fu se partire dai concetti base di statistica descrittiva e di inferenza statistica, oppure
dalle necessità pratiche di Luis; la mia certezza era la consapevolezza di dovergli fornire sia le
informazioni teoriche indispensabili a “capire il perché” che gli elementi pratici per “sapere come”,
miscelandoli e definendone le priorità in relazione alle necessità.
Decisi di partire dalle necessità pratiche del mio amico.

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Il lavoro

M4Qual è il tuo problema?

L5 Devo validare un metodo interno. In realtà non si tratta di un metodo ideato dal laboratorio: con
tutto quello che ho da fare ci mancherebbe che mi mettessi a sviluppare dei metodi di prova!
Il metodo, che prevede l’utilizzo di un’apparecchiatura complessa, il FOSSOMATIC MINOR, è
stato elaborato da una multinazionale del settore, la FOSS Analytical A/S e non riporta dati di
validazione. Il parametro da determinare è il numero di cellule somatiche/ml nel latte vaccino. I
limiti operativi del metodo prevedono la determinazione delle cellule somatiche nel campo di
misura 100.000 – 2.000.000 cellule/ml.
Ai fini della validazione devo determinare, tra l’altro, la ripetibilità e l’incertezza.

M Mi puoi spiegare meglio come è fatta e come funziona questa apparecchiatura?

L Il Fossomatic Minor, evidenzia il DNA cellulare con un colorante (Propidium iodide), lo
fotografa e quindi elabora l’immagine elettronicamente restituendo il valore di cellule somatiche
attraverso il collegamento ad un PC.

M Quali sono le specifiche tecniche del Fossomatic Minor? In particolare cosa riporta la FOSS in
relazione ai parametri che devi determinare?

L La FOSS nelle sue specifiche tecniche riporta la ripetibilità espressa in termini di coefficiente di
variazione CV a tre livelli e una valutazione dell’accuratezza come rapporto con un metodo di
conta diretta al microscopio, come puoi ben vedere.

Repeatability**: CV < 7 % at 100.000 cells/ml (** coefficient of variance)
CV < 5 % at 300.000 cells/ml
CV < 4 % at 500.000 cells/ml

Accuracy: < 10 % relative mean diff. from Direct Microscopic Somatic Cell Count
(DMSCC)
Carry-over: < 1.5%

*

M Bene, ecco il nostro primo problemino: esprimere il CV secondo parametri che conosciamo
meglio e che possiamo determinare: la formula del CV è la seguente
s
CV = 100
x
dove s è lo scarto tipo di ripetibilità e x la media dei risultati di un numero elevato di prove
(>30) eseguite con il metodo in esame.
4
M = Michele
5
L = Luis
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L Mi ricordi cosa è lo scarto tipo?

M Lo scarto tipo è la radice quadrata positiva della varianza, - ho risposto in modo per me chiaro,
preciso e inequivocabile -.

L Cosa è la varianza?

M La varianza è una misura della dispersione dei risultati, ed è data dalla somma dei quadrati delle
differenze rispetto alla loro media divisa per il numero dei risultati meno uno, che in termini
matematici (quando si riferisce ad un campione di dati) si esprime come riportato di seguito.

varianza( x1, x2 ,...........x n ) =

Mentre se ci riferiamo all’intera popolazione di dati, il termine n-1 viene sostituito da n.

L Quelle che mi hai dato sono definizioni, io voglio sapere che cosa è in pratica lo scarto tipo,
inoltre nei miei ricordi, non ritrovo lo scarto tipo, che se ho ben capito è probabilmente un altro
modo di chiamare la deviazione standard. Tale termine non si trova neanche nelle funzioni
statistiche di excel, allora me lo spieghi?

M Per quanto riguarda la seconda parte della tua domanda ti dico subito che sono sinonimi, anche
se, volendo, si possono trovare giustificazioni semantiche e interpretazioni interessanti del
diverso nome dato a due parametri identici. In ogni caso nel nostro lavoro, è bene chiarirlo
subito, parleremo sempre di scarto tipo.
E veniamo alla prima parte della domanda, e cioè cosa è, o meglio cosa rappresenta in pratica, lo
“scarto tipo”.
In primo luogo ti devo ricordare che molti fenomeni naturali da quelli biologici a quelli fisici si
distribuiscono generalmente secondo una curva detta “curva di Gauss”, e da tale curva
partiremo.

L Ferma la musica! Anche al corso che ho frequentato hanno iniziato da qui, ma poi sai come è
finita.

M Abbi fede e ascolta quello che ti dico!
Intanto, prima di parlare di Gauss devo darti un’altra definizione, quella di ripetibilità. La
norma UNI-CEI-ENV 130056 del 2000, dà la seguente definizione:

Ripetibilità Grado di concordanza tra i risultati di successive misurazioni dello stesso
(dei risultati di misurando effettuate nelle stesse condizioni di misura.
misurazione) Nota 1 queste condizioni sono denominate condizioni di
ripetibilità
Nota 2 Le condizioni di ripetibilità comprendono:
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• lo procedimento di misurazione,
stesso • lo stesso osservatore,

6
UNI-CEI-ENV 13005 Guida all’espressione dell’incertezza di misura

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lo stesso strumento di misura utilizzato nelle stesse
•
condizioni
• lo stesso luogo
• ripetizione entro un breve periodo di tempo
Nota 3 La ripetibilità può essere espressa quantitativamente in
termini delle caratteristiche di dispersione dei risultati

Il Manuale Unichim 179/17 distingue invece tra ripetibilità stretta e ripetibilità intermedia e
riporta:

Condizioni di Condizioni nelle quali i risultati mutuamente indipendenti vengono ottenuti
ripetibilità con lo stesso metodo su uno stesso materiale, nello stesso laboratorio, dallo
stretta: stesso operatore, utilizzando la stessa strumentazione, in un intervallo di
tempo breve (senza ritaratura).
Nota - Queste condizioni rappresentano la costanza di tutti i fattori
riguardanti la realizzazione delle prove. La variazione di una o più di
tali condizioni, tenendo però fisso il laboratorio, il materiale da
esaminare e il metodo, porta a considerare una ripetibilità
intermedia8. Se intervengono diversi laboratori con lo stesso metodo
nell’esame dello stesso campione si determinano le condizioni per
valutare la riproducibilità.

Tornando alla distribuzione normale, lo stesso manuale 179/1 dell’UNICHIM, riporta che nella
maggior parte dei casi i risultati di analisi chimico fisiche condotte in condizioni di ripetibilità
stretta si distribuiscono secondo la classica curva a campana o di Gauss.
Nel nostro caso, la variabile in gioco, il conteggio delle cellule somatiche, è una tipica variabile
discreta che per sua natura non si distribuisce secondo la curva di Gauss, ma secondo quella di
Poisson. Tuttavia ai conteggi elevati, come quelli relativi alle cellule somatiche, la distribuzione
di Gauss ed i suoi parametri rappresentano un’ottima approssimazione di quella di Poisson.

L Mi ricordi le caratteristiche e le proprietà delle gaussiana?

M Si supponga di eseguire, in condizioni di ripetibilità stretta, un gran numero di misurazioni di un
certo misurando, e di riportare in un grafico (istogramma) le frequenze relative9 dei valori
ottenuti (xi) con le prime 20, 40, ...1000 misure. All'aumentare del numero di misure, i valori
tendono ad accentrarsi attorno alla loro media e l'istogramma assume una forma a campana
sempre più regolare, che può essere approssimata con una funzione reale nota come funzione di
Gauss o funzione normale.

7
Manuale Unichim 179/1 Linee guida per la validazione di metodi analitici nei laboratori chimici - valutazione della precisione (ripetibilità
stretta) di un metodo analitico eseguito in un unico laboratorio da un solo operatore su di un unico strumento in un breve intervallo di tempo.
8
La definizione e i diversi casi sono riportati nella ISO 5725-3
9
Le frequenze relative sono date dal rapporto tra le frequenze assolute ed il numero delle osservazioni.

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La funzione di Gauss
Distribuzione di Gauss

dove:
f(x) è la densità di probabilità o frequenza con cui
il valore x può essere riscontrato
è lo scarto tipo della totalità delle misure;
μ è la media della totalità delle misure;
e base dei logaritmi naturali ( e = 2.71828...). μ

= 3.14159...

La variabilità aumenta
all’aumentare di

μ = μ1 = μ2 = 1 = 2
Al variare dello scarto tipo la curva modifica la Al variare della media aritmetica (a parità di scarto tipo)
sua forma la curva trasla sull’asse delle x

Le caratteristiche della
distribuzione normale
1. è simmetrica rispetto al valore medio
2. il valore di x = μ oltre che alla media aritmetica
coincide con la moda e la mediana
3. è asintotica all'asse delle x da entrambi i lati
4. è crescente per x<μ e decrescente per x>μ
5. possiede due punti di flesso per x = μ±
6. l’area sotto la curva è = 1 (rappresentando tale
area la probabilità che si ottenga un qualsiasi
valore di x)

L OK, mi hai ricordato una serie di cose che ho studiato durante il mio corso di studi, ma avendole
abbandonate da tempo, quasi non ricordavo più. In effetti avevo proprio bisogno di questi
richiami. Però ….. ora che ci penso, il fatto che l’area sotto la curva di Gauss sia uguale ad 1 mi
serve a poco, in quanto le mie necessità sono in genere altre; ad esempio, se io voglio conoscere
la probabilità che un dato valore sia compreso in un intervallo definito, delimitato ad esempio da
due valori x1 e x2, come devo fare?

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M Ovviamente tale probabilità è data dall’area della curva compresa tra x1 ed x2 e quindi basta
semplicemente calcolare tale area, calcolando l’integrale della funzione di Gauss tra questi due
valori.
Il vero problema è che questa funzione non è facilmente integrabile.

L E i computer a che servono?

M In effetti puoi usare le funzioni di excel, e ti dirò dopo come, ma intanto è utile che tu acquisisca
le ultime informazioni sulla curva di Gauss ed in particolare su come si opera per il calcolo del
suo integrale.

INTERVALLI DI PROBABILITÀ
riferimento 10

Per ovviare alle difficoltà di calcolo
dell’integrale della funzione di Gauss, si può
trasformare una generica funzione gaussiana
f(x) con media μ e varianza 2, in una
funzione gaussiana standard con media 0 e
varianza 1. Ponendo:
1 (z)2
x μ 1 2
Z= si ottiene f (z) = e
2
il simbolo Z viene generalmente in molti
laboratori sostituito da kp
Per la funzione standardizzata sono state
riferimento11 predisposte delle tabelle in funzione di Z.

Le tabelle se pur ancora largamente usate
stanno sempre più cedendo il campo ai PC

10
Sito SINAL Paolo Bianco ISO/IEC 17025: requisiti tecnici
11
www.biostatistica.unich.it/.../
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L Fermo! Finora abbiamo parlato di popolazioni, quindi di un numero infinito di dati, ma io ho a
che fare invece sempre con un numero limitato di dati, come la mettiamo? Come ci può aiutare
Gauss?

M Questo stesso problema se lo è posto circa un secolo fa un tuo collega (nel senso che, come te in
passato, anche lui lavorava in una fabbrica di birra) di nome W.S. Gosset, più noto sotto lo
pseudonimo di “Student”.
Proviamo a definire meglio il rapporto che lega i piccoli campioni e le popolazioni:
supponiamo di conoscere il valore medio μ di una popolazione, se operiamo con un certo numero
m di piccoli campioni (costituito ognuno da n elementi o unità statistiche), rappresentativi della
popolazione, ci possiamo aspettare che la media di ogni campione abbia una certa distribuzione
centrata intorno a μ e ci possiamo anche aspettare che la dispersione di tale distribuzione intorno
alla media della popolazione dipenda dalla dimensione del campione (più grande il campione,
migliore la stima di μ). In termini matematici si può dimostrare che lo scarto tipo delle medie che
chiameremo s è uguale a

s=
n
con n uguale al numero di elementi del campione. Questo riflette il fatto che la media tende ad
essere meno variabile, ed in effetti se ci riferiamo alle medie invece che alle osservazioni singole
l’espressione
x μ x μ
Z= diventa Z= .
/ n

Le formule precedenti presuppongono che sia nota, cosa che per quanto riguarda i metodi di
prova, non sempre è vera, come giustamente hai puntualizzato. Per ovviare a tale problema,
x μ
Student propose di sostituire alla Z della relazione precedente, Z= , il parametro
/ n
x μ
t= dove x e s rappresentano rispettivamente la media e lo scarto tipo del campione in
s/ n
esame, che sostituiti nella funzione di Gauss, restituiscono le stesse informazioni, ma su un
campione limitato della popolazione.
La distribuzione di Student è ancora simmetrica rispetto a μ ed è funzione dei gradi di libertà.

E si può affermare che la distribuzione di =1
Student ha fianchi più larghi, code più alte e 2
varianza maggiore: in altri termini, facendo un 4
paragone con le “curve femminili” è, come si
dice a Roma, un po’ più tracagnotta della
distribuzione normale.
All’aumentare dei gradi di libertà
la distribuzione di Student approssima
la gaussiana.

L Fermati, non ti lascio proseguire se non mi dici cosa sono i gradi di libertà.

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M In generale si può dire che i gradi di libertà sono dati dal numero delle variabili meno il numero
di vincoli.

L Mi sembra di parlare con un secondino, gradi di libertà, vincoli; tra poco mi parlerai di sbarre e
sole a scacchi, fammi un esempio.

M Ti faccio un esempio tratto dal Perry’s12: quattro numeri in una tabella che deve avere la somma
delle righe e delle colonne uguali a zero ha solo 1 grado di libertà (4 numeri e tre vincoli, in
quanto il quarto è ridondante). Nelle situazioni più semplici (quasi sempre nel nostro caso) i gradi
di libertà, generalmente indicati con , sono dati dal numero delle osservazioni meno uno.

L Perfetto! Ora sì.

M Tornando al discorso relativo ai
piccoli campioni, invece di calcolare =1
la media di ogni gruppo, possiamo 2
3
calcolare lo scarto tipo di ognuno di 4
essi: ci dobbiamo aspettare che tali
stime di abbiano una qualche
distribuzione caratteristica.
In particolare viene definita una
distribuzione di (s2/ 2)* con =
gradi di libertà = n-1. Tale
distribuzione è chiamata distribuzione
chi-quadro ( 2) la cui forma dipende
dalla numerosità del campione. Nel
grafico sono mostrate le varie
distribuzioni al variare di v.

L E a che serve?

M Serve a verificare la bontà dell’accordo tra dati sperimentali e dati teorici
Il 2 può servire per valutare se la varianza 2 di una popolazione, dalla quale sia stato estratto un
campione con varianza s2, sia uguale o diversa da un valore predeterminato 02 di una
popolazione.

L Ma quante distribuzioni ci sono?

M Calmati, ancora una e abbiamo finito!
Sempre proseguendo con lo stesso tema dei campioni con distribuzione normale, come
rappresentativi di una popolazione, dobbiamo fare un’ultima considerazione. Invece di
considerare la distribuzione delle singole varianze s2 dei campioni, possiamo considerare un
altro tipo di distribuzione, che ancora coinvolge la stima della varianza della popolazione 2.
Riferendoci ai nostri m campioni, possiamo calcolare di ognuno la s2i e quindi calcolare il
rapporto tra quelli consecutivi (s21/ s22, s23/ s2 4, s2 5/ s2 6… ecc.
12
Perry’s Chemical Engineers’ Handbook McGraw Hill 1997
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Ancora ci dobbiamo aspettare che questi rapporti abbiano una certa distribuzione di frequenza.
Anche questa distribuzione dipende dalle dimensioni del campione. È da notare che i campioni
possono non essere della stessa numerosità, in questo caso la forma della distribuzione dipende
dalla numerosità dei campioni n1, n2, ... Tale distribuzione è definita come distribuzione di Fischer
F( 1, 2).

(n1, n2) = (20, 2)
(20, 4)
(20, 8)
(20, 16)

Distribuzione F

Più precisamente, se due variabili sono indipendenti e distribuite come 2, allora il rapporto fra le
due variabili, ciascuna divisa per il proprio numero di gradi di libertà, è distribuito secondo una
distribuzione simile a quella in figura. Questa distribuzione è utile per determinare se due serie di
dati, provenienti da una distribuzione normale, hanno la stessa dispersione (stessa varianza).
Ovviamente anche per questa distribuzione esistono sia delle tabelle che delle funzioni di excel.

M In sintesi, se non l’hai ancora capito, testone, queste distribuzioni servono a determinare quale
differenza ci si può aspettare tra varie quantità dovuta ad effetti casuali, o in altri termini per
determinare se gruppi di dati differiscono da altri gruppi o da valori/valore ipotizzati. Ad esempio,
se fissata una certa probabilità, la varianza del campione in esame può essere assunta come una
stima dello varianza della popolazione (o se vuoi leggi scarti tipo invece di varianze).
Ti riporto il riepilogo delle distribuzioni di cui abbiamo parlato

Distribuzione Simbolo Parametri Variabile
Singole osservazioni di una x μ
Gauss z popolazione* Z=

x μ
z Medie Z=
/ n
x μ
Student t Medie con incognita* t=
s/ n
2 2
Chi -quadro Varianze* = s2 / 2

Rapporto delle varianze di due F( 1, 2) = s 2 1 /s 2 2
Fisher F campioni indipendenti*
* provenienti da una distribuzione normale
Riferimento12
M Ti ricordo che alla base di tutti questi discorsi ci sono due ipotesi: la prima è che stiamo operando
in condizioni di ripetibilità stretta (in altri termini le variazioni sono dovute unicamente al caso),
la seconda è che la distribuzione dei dati è normale.

Pag. 18 di 52


L Ferma la musica! Adesso si va a
prendere il caffé, anzi, mentre
andiamo ti voglio mostrare cosa ho
trovato su una bancarella a
Flohmarkt l’ultima volta che sono
andato a Berlino.

M Ebbene? Cosa ha di strano questa
banconota da meritare tanto
interesse? A me sembra una
normalissima banconota non
dissimile da tutte le altre, di
qualunque paese del mondo.

L E qui casca l’asino, perché se guardi
l’altra faccia (forse) puoi capire il
perché del mio interessamento!

M Grazie per il complimento e fammi guardare meglio la banconota.
…. Ah! Ora capisco è una banconota dedicata a Gauss.

Unica formula matematica
riportata su una
banconota:
i 10 marchi tedeschi emessi
nel 1991.

Luis e i dubbi sulla distribuzione dei dati sperimentali

L Ora che abbiamo preso il caffé e ci siamo ristorati, mi viene in mente una cosa che non mi hai
ancora detto. Come faccio a sapere se i dati di un campione sono distribuiti secondo una
gaussiana?

M Mi aspettavo questa domanda e la risposta è semplice: il metodo migliore per piccoli e medi
campioni è ritenuto il test di Shapiro-Wilk, che potrai trovare ben descritto nel Manuale 179/1
dell’Unichim7 . Io ti parlerò invece del “normal probability plot”, un metodo grafico e “per puro
sadismo” del test di Kolmogorov-Smirnov, applicabili praticamente a tutte le situazioni.
La logica del probability plot è molto semplice: si tratta di porre in un sistema di assi cartesiani i
quantili sperimentali normalizzati in relazione ai quantili teorici di una distribuzione gaussiana e
disegnare la curva di correlazione. Se i dati di partenza sono distribuiti normalmente, la curva

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interpolatrice si avvicinerà ad una retta. Se i dati non si posizionano approssimativamente su una
retta dobbiamo dedurre che la distribuzione non è normale.

Esempio: campioni da una distribuzione normale

13
normal probability plot

Per quanto riguarda il test di Kolmogorov-Smirnov si verifica se la differenza massima tra le
frequenze cumulate attese e sperimentali è inferiore ad un valore critico, per poter concludere
che la distribuzione è normale.

L Chiaro e semplice, ottimo, mi piace, anche se spero che mi dirai cosa sono i quantili e le
frequenze cumulate!
Ma se i dati, normali o no, presentano dei dati anomali, come me ne accorgo, come mi devo
comportare?
M Intanto chiariamo che un dato anomalo, o outlier, è un dato che giace fuori dal modello di
distribuzione, un punto che non è ben interpolato dal modello stimato, ed è indice di qualche sorta
di problema quale un risultato estremo, un errore di misura, un errore di trascrizione, ecc..
Il Normal Probability plot ci può ancora aiutare nell’individuare i dati anomali, in quanto se la
distribuzione non è ben interpolata con una retta, ma si notano alcuni punti non allineati, molto
probabilmente quei punti rappresentano dei dati anomali; sempre da tale diagramma è possibile
capire se vi sono dati anomali anche se tutti i dati sono ben allineati: è questo il caso di dati molto
lontani dalla maggior parte di dati accentrati in prossimità della media.
Per quanto riguarda il cosa fare dei dati anomali, in genere si tende ad eliminarli o a correggerli in
relazione alle cause che li hanno determinati, ma non sono rari i casi in cui si accettano tal quali:
in ogni caso ogni scelta deve essere ben argomentata e giustificata.
Vi sono sistemi specifici per l’individuazione dei dati anomali: uno si basa sull’uso di particolari
quantili, i ”quartili”, con tale metodo sono individuati come outliers i dati minori del primo
quartile meno 1,5 volte il range interquartile o i dati maggiori del terzo quartile più 1,5 volte il
range interquartile. Comunque il test più semplice ed al tempo stesso tra i più efficaci per
l’individuazione dei dati anomali (o outlier) è il test di Huber.
Come al solito su molti testi puoi trovare altri criteri sia della verifica di normalità (es. test di
Shapiro Wilk) che della presenza di dati anomali (es. test di Dixon, test di Grubbs etc.)7

M Per tua comodità e per facilitarti il lavoro ti mostrerò dopo come verificare la normalità dei dati e
come individuare i dati anomali con i criteri che ti ho appena descritto, utilizzando diversi
semplici comandi di Excel.

13
Guido Masarotto - Facoltà di scienze statistiche Università di Padova lezioni di inferenza statistica a.a. 2005-2006

Pag. 20 di 52


Luis e la distribuzione normale

L Ti ringrazio in anticipo per quanto mi metterai a disposizione, ma ora basta con le chiacchiere,
anche se molto interessanti, e fammi capire con qualche esempio pratico.

M Ti propongo di utilizzare per gli esempi dei dati reali, così contemporaneamente potremo
raggiungere il primo dei nostri obiettivi, che è il calcolo dello scarto tipo che ti interessa.

L OK, Partiamo dai dati.

M In primo luogo i dati da analizzare devono essere ottenuti in condizione di ripetibilità stretta.
Quindi facciamo così: prendiamo un latte da analizzare ed invece di una sola determinazione
chiediamo a Valentina di effettuare dieci repliche una dopo l’altra, senza modificare nessuna delle
condizioni operative.

V14E ti pareva, loro fanno gli scienziati e Valentina produce i dati, o meglio Valentina li ha già
prodotti.
Mentre voi elaboravate le vostre teorie io ho effettuato 10 analisi in condizione di ripetibilità
stretta su un latte con circa 150.000 cellule/ml: eccoli, tutti per voi, espressi in migliaia di
cellule/ml:

143 131 120 135 149 128 133 131 135 136

L Sei un tesoro, adesso questi dati me li lavoro io. Innanzi tutto voglio verificare se sono distribuiti
normalmente, usando il normal probability plot.
A proposito, ma se non mi dici cosa sono i quantili non sono in grado di disegnarlo, e quindi datti
una mossa!

M Ti riporto la definizione più semplice che ho letto:
“L'idea alla base di un quantile-p (dove p è compreso tra 0 e 1) è di cercare un numero che sia
più grande del 100 x p% dei dati osservati e più piccolo del restante 100 x (1 - p)%. Ad esempio,
un quantile 0,1 deve essere un valore che lascia a sinistra il 10% delle osservazioni ed a destra
il restante 90%.
I quantili con p uguale a 0,25 - 0,50 e 0,75 vengono chiamati rispettivamente il primo, il secondo
e il terzo quartile. Dividono la popolazione in quattro parti uguali. Si osservi che il 2° quartile
coincide con la mediana. I quantili con p = 0,01;… ; 0,99 si chiamano percentili.”15
Capirai meglio i quantili mentre costruiamo il normal probability plot:
Dato un insieme di n valori sperimentali,
1. si ordinano i dati in senso crescente
2. si numerano i dati ordinati da 1 a n
3. si calcola lo scarto tipo e la media dei valori sperimentali,
4. si calcola per ogni valore sperimentale xi il corrispondente valore standardizzato della
distribuzione normale Zi
x μ
Zi = i

14
V = Valentina
15
Masarotto Facoltà di scienze statistiche Università di Padova lezioni statistica descrittiva a.a 2001-2002
Pag. 20 di 52


5. si calcola il rango di ogni dato ordinato in senso crescente (rango: brutta traduzione
italiana dell'inglese rank, che significa posizione in graduatoria/classifica/ordine
crescente)
6. si calcolano le frequenze cumulate relative per ogni rango da 1 a n (la Frequenza
Cumulata Relativa è uguale a (Rango(i) - 0,5)/n )
7. si calcolano i valori della Z teorica relativa (quantili) ad ognuna delle frequenze cumulate
relative,
8. si riportano in un diagramma cartesiano i valori delle Zi (quantili) teoriche sull’asse delle x
9. si riportano i corrispondenti valori delle Zi sperimentali sull’asse delle y
10. si costruisce la retta che interpola i dati
11. si valuta la bontà della correlazione lineare.

Ovviamente tutto ciò può essere fatto con excel in particolare per ricavare i quantili e per
costruire la retta interpolatrice in quanto excel restituisce oltre all’equazione della retta anche il
coefficiente di correlazione r2 che è l’indice della bontà della correlazione (più r2 si avvicina a 1,
migliore è la correlazione lineare).

L Scusa: perché hai usato per il calcolo della frequenza cumulata (Rango(i) - 0,5)/n invece di
Rango(i) /n?

M Perché se avessimo usato Rango(i) /n, la frequenza cumulata massima sarebbe stata uguale ad 1 e
quindi la relativa Z sarebbe stata uguale a (riferimento)13.

L Perfetto guarda cosa è venuto fuori dalle tue elucubrazioni, considera che ho seguito passo-passo
ogni tua parola.
A B C D E F
quantili rango frequenze
quantili sperimentali

dati sperimentali cumulate quantili
ordinati z (kp) relative teorici
1 120 -1,78 1 0,05 -1,64
2 128 -0,77 2 0,15 -1,04
3 131 -0,39 3 0,25 -0,67
4 131 -0,39 3 0,25 -0,67

5 133 -0,14 5 0,45 -0,13
135 6 quantili teorici y = 0,9768x + 0,0536
6 0,11 0,55 0,13 2
R = 0,948
7 135 0,11 6 0,55 0,13
8 136 0,24 8 0,75 0,67 FORMULE EXCEL UTILIZZATE
143 9 Z= ((Bi-media(Bi))/(dev.st(Bi))
9 1,13 0,85 1,04
149 10 Freq. Cum. Rel = [Di-0,5]/(totale dati)
10 1,88 0,95 1,64 Quant. Teor = INV.NORM.ST(Ei)
Media 134,1 Rango = Rango ( )
Scarto tipo = dev.st( )
Scarto tipo 7,91

In prima istanza i dati mi sembrano abbastanza ben interpolati da una retta, per cui deduco, per
ora, che la distribuzione è normale. Tu che pensi?

M Ho verificato l’ipotesi di normalità dei dati con un software ad hoc, il software dell’UNICHIM 16
che utilizza il test di Shapiro-Wilk, ebbene, il test conferma la distribuzione normale. Ti ricordo
comunque che il test di Shapiro Wilk può essere utilizzato per un campione fino a 40 dati.
16
Software applicativo per l’elaborazione dei risultati analitici Milano 2006
Pag. 21 di 52


La stessa cosa ci dovremmo aspettare dal test di Kolmogorov Smirnov (che può essere utilizzato
per campioni che hanno anche più di 40 dati).
Per quanto riguarda tale test si opera come di seguito: si calcolano le frequenze cumulate
sperimentali dei dati da analizzare (ipotizzando una distribuzione normale), si determinano quindi
le frequenze cumulate relative teoriche per la distribuzione in questione e quindi se ne fa la
differenza (punto per punto); se il valore della differenza massima è inferiore ad un valore critico
tabulato, si conclude che la distribuzione è normale.
Eccoti i risultati serviti caldi caldi.

A B C D E F Media 134,10
frequenza frequenza
dati cumulata cumulata Varianza 62,54
indice IzI sperimentale rango teorica I I Scarto tipo 7,91
ordinati
(FCR) (FCT)
Differenza Critica 95% 0,409
1 120 1,78 0,037 1 0,1 0,063 Massima differenza Max 0,205
2 128 0,77 0,220 2 0,2 0,020
3 131 0,39 0,348 3 0,3 0,048 Essendo la differenza massima = 0,2 < della differenza
4 131 0,39 0,348 3 0,3 0,048 critica dc = 0,409 (ricavata dalla tabella) si deduce che la
5 133 0,14 0,445 5 0,5 0,055 distribuzione è normale
6 135 0,11 0,545 6 0,6 0,055
7 135 0,11 0,545 6 0,6 0,055 frequenza teorica frequenza s perimentale
1,2
8 136 0,24 0,595 8 0,8 0,205
1
9 143 1,13 0,870 9 0,9 0,030
0,8
10 149 1,88 0,970 10 1 0,030
0,6
FORMULE EXCEL UTILIZZATE
) 0,4
Z= [(Bi-media(Bi) /dev.st(Bi)
FCR= Distrib.Norm(Bi;media;dev.st;VERO) 0,2

FCT= rango/(n. dati) 0
= ass(FCT-FCR) 0 2 4 6 8 10 12

Scarto tipo = Dev.st.

L Ho la sensazione che tu manipoli i dati a tuo piacimento secondo le tue necessità: mi dai l’idea
degli analisti politici, che riescono sempre ad ottenere le proiezioni di voto utili ai loro
“mandanti”. Perché questa volta nel calcolo delle frequenze cumulate teoriche non hai sottratto il
valore 0,5 come hai fatto in precedenza?

M Mi lusinghi, paragonandomi con gli esperti statistici dei nostri litigiosi esponenti politici, ma non
ho fatto alcuna manipolazione. Non ho sottratto lo 0,5 in quanto in questo caso non era
necessario.

L Da dove hai tirato fuori il valore critico?

M non è stato semplice, ma a seguito di una lunga ricerca su Internet, mi sono imbattuto in un sito
che riportava la tabella seguente.

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Tabella valori critici di Kolmogorov Smirnov p=95%
n dc n dc n dc n dc n dc
1 0,975 21 0,287 41 0,208 61 0,171 81 0,149
2 0,842 22 0,281 42 0,205 62 0,170 82 0,148
0,450
3 0,708 23 0,275 43 0,203 63 0,168 83 0,147 0,400
4 0,624 24 0,269 44 0,201 64 0,167 84 0,146 0,350
0,300
5 0,563 25 0,264 45 0,198 65 0,166 85 0,145 0,250
0,200
6 0,519 26 0,259 46 0,196 66 0,164 86 0,144
0,150
7 0,483 27 0,254 47 0,194 67 0,163 87 0,144 0,100
0,050
8 0,454 28 0,250 48 0,192 68 0,162 88 0,143
0,000
9 0,430 29 0,246 49 0,190 69 0,161 89 0,142 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110
-0,487
y = 1,2649x
10 0,409 30 0,242 50 0,188 70 0,160 90 0,141 Serie1 Potenza (Serie1)
R2 = 1
11 0,391 31 0,238 51 0,187 71 0,159 91 0,140
12 0,375 32 0,234 52 0,185 72 0,158 92 0,140
13 0,361 33 0,231 53 0,183 73 0,156 93 0,139
14 0,349 34 0,227 54 0,181 74 0,155 94 0,138
Per i dati da 10 a 100 ho anche calcolato
15 0,338 35 0,224 55 0,180 75 0,154 95 0,137
per te la relazione che lega il numero di
16 0,327 36 0,221 56 0,178 76 0,153 96 0,137
dati al valore critico; l'equazione è
17 0,318 37 0,218 57 0,177 77 0,152 97 0,136
18 0,309 38 0,215 58 0,175 78 0,151 98 0,135
dn= 1,2649*n(-0,487)
19 0,301 39 0,213 59 0,174 79 0,151 99 0,135
20 0,294 40 0,210 60 0,172 80 0,150 100 0,134
che per n > 100 diventa:
Fonte
17 dn =1,358*n(-0,5)

Luis e i dati anomali

L Va bene, mi hai convinto. Adesso dobbiamo vedere se ci sono dei dati anomali.
Da una prima occhiata al normal probability plot credo che potrebbero essere anomali il primo e
l’ultimo dato in quanto piuttosto lontani dagli altri dati, ma dimmi come è possibile in modo più
rigoroso individuare gli outliers?

M Per individuare eventuali dati anomali possiamo utilizzare il test di Huber, che passo subito a
descriverti:

Si ordinano i dati dati ordinati 120, 128, 131, 131, 133, 135,135, 136, 143, 149
Si calcola la mediana dei dati mediana = 134
Si calcola la differenza tra ogni dato e la mediana (Di) Di = 14, 6, 3, 3, 1, 1, 1, 2, 9, 15
Si calcola la mediana delle differenze (Dm) Dm = 3
Si calcola il prodotto Dm x 4,5 Dm x 4,5 = 3x4,5 = 13,5
I valori per cui Di > Dm x 4,5 sono anomali Valori anomali 120, 149

Il procedimento può essere velocizzato ed automatizzato utilizzando semplici formule excel,
come riportato di seguito.
I dati ordinati sono ottenuti selezionando la colonna dei dati e quindi cliccando su “DATI” e
successivamente scegliendo l’opzione “ORDINA”, le mediane sono calcolate con la formula
MEDIANA(….) i residui sono calcolati con la formula = Ass (B(i)-D(i)), i dati anomali sono
evidenziati con la formula = SE(Ci-Di>0;Ci;"")

17
http://everything2.net/index.pl?node_id=1540620
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A B C D E
1 dati dati ordinati residui Test Dm x 4,5 dati anomali
2 143 120 14 13,5 120
3 131 128 6 13,5
4 120 131 3 13,5
5 135 131 3 13,5
6 149 133 1 13,5
7 128 135 1 13,5
8 133 135 1 13,5
9 131 136 2 13,5
10 135 143 9 13,5
11 136 149 15 13,5 149
12 134 3
13
mediana
Di Dm
Inoltre ho fatto una verifica con il software16 che ho utilizzato prima e ho avuto la conferma di
questi dati anomali.

L Adesso, mi è tutto chiaro e devo riconoscere che finora hai mantenuto la parola, in quanto non hai
mai fatto ricorso alle tabelle ma solo alle funzioni di excel, e quando sei stato costretto ad
utilizzare la tabella di Kolmogorov-Smirnov, sei riuscito a trasformarla in una funzione.

Luis e lo scarto tipo

Se ho ben capito quindi, a questo punto possiamo calcolare lo scarto tipo di ripetibilità con i dati
di partenza!

M E no, i dati di partenza non vanno bene, in quanto, avendo individuato alcuni dati anomali,
dobbiamo decidere se tenerli o se eliminarli. Io, considerato che i dati sono molto vicini al limite
di accettabilità li terrei, anzi, ti propongo di calcolare lo scarto tipo, sia con tutti i dati senza
quindi eliminare gli outliers, e quindi di calcolare lo scarto tipo eliminandoli.
Il calcolo dello scarto tipo utilizzando tutti i dati è banale, basta utilizzare la formula di excel
=dev.st(143;131;120;135;149;128;133;131;135;136) che dà come risultato sr=7,91

L Allora nell’altro caso basta utilizzare la stessa formula, dopo aver eliminato gli outliers!

M In genere si, ma è sempre opportuno verificare, se in assenza di tali dati la distribuzione è ancora
normale. Nel nostro caso lo è, come si può facilmente arguire dalla tabella precedente, dove,
essendo outliers i due dati estremi, i valori di Di e Dm non cambiano.
Eliminando i due dati, si ottiene una sr=4,50. Considerato che se i dati eliminati fossero stati
appena diversi es. 121 al posto di 120 e 147 al posto di 149, gli stessi dati non sarebbero risultati
anomali. Alla luce di tali considerazioni, io accetterei i dati anomali nel calcolo dello scarto tipo,
anche in virtù del fatto che i dati considerati sono delle misure affette da una incertezza ancorché
incognita.
Una conferma della accettabilità dei dati anomali è data dal fatto che la funzione della
distribuzione cumulata assume per il dato 120 il valore di 0,037 e per il dato 149 il valore 0,97; in
altri termini i due dati sono rispettivamente in zone della curva di Gauss > dell’ 1% e < 99%,
ambiti nei quali gli outliers possono essere accettati.

Pag. 24 di 52


Luis e la verifica della media

L A questo punto mi chiedo: ma la media calcolata attraverso il nostro campione di 10 prove
ripetute in condizione di ripetibilità stretta, è una stima credibile della media di una popolazione
con le stesse caratteristiche?

M La risposta la dobbiamo cercare o dandoci un riferimento opportuno, che al momento non può che
essere la specifica tecnica della FOSS, oppure ricorrendo a qualche considerazione statistica.

M Avendo appurato che i dati in nostro possesso hanno distribuzione normale, assumendo come lo
scarto tipo ricavato per interpolazione dai dati della specifica tecnica della FOSS, chiamiamo la
nostra media calcolata x , il problema che ci poniamo è con quanta precisione x può stimare μ, o
in altri termini quale è il range dei valori che include, con una specificata probabilità, il valore
vero μ. Dalla relazione + Z = x μ si ottiene con facili trasformazioni

μ=x+Z μ= x +Z x

ovvero μ= x±Z ,
n
ponendo x= n

Quindi, scegliendo un determinato livello di probabilità o di confidenza che determina il valore di
Z, si ottiene :

x Z <μ< x+Z
n n
Nel nostro caso avendo ottenuto da 10 misure il valore medio x = 134,1 e lo scarto tipo di
ripetibilità s = 7,91 , utilizzando per il valore 8,57 (valore ricavato per interpolazione dai dati
della FOSS), quale è l’intervallo nel quale ci dobbiamo aspettare di trovare la media vera μ della
popolazione con una probabilità del 95%? In altri termini, essendo la distribuzione simmetrica
rispetto a μ, qual è l’intervallo di confidenza tale per cui il solo il 2,5% dei valori è minore del
limite inferiore di tale intervallo e il 2,5% dei valori è maggiore del limite massimo di tale
intervallo? La soluzione del problema è banale, in quanto dalla formula di excel =
INV.NORM.ST(0,975) si ottiene 1,96 (analogamente INV.NORM.ST(0,025), dà come risultato -
1,96) che sostituiti nella precedente dà

1,96 8,57 1,96 8,57
134,1 < μ < 134,1 +
10 10
128,8 < μ < 139,4
In realtà è anche possibile calcolare direttamente l’intervallo di confidenza; in questo caso la
sintassi è: =CONFIDENZA(alfa;dev_standard;dimens), con alfa = nel nostro caso = 0,05 si
ottiene il valore di 5,31, che aggiunto e sottratto a 134,1, restituisce gli stessi risultati calcolati
precedentemente (128,8 e 139,4).

Pag. 25 di 52


L Il tuo esempio non mi convince del tutto, in quanto nel suo sviluppo non hai mai menzionato il
birraio (Student), pur operando su un campione di solo dieci dati e non su una popolazione
infinita.

M Non l’ho chiamato in causa in quanto non serviva, dato che abbiamo assunto come scarto tipo il
valore 8,57 derivandolo dai dati della FOSS, e assumendolo come proveniente da una
popolazione infinita, cosa che ci ha consentito di utilizzare la funzione di Gauss e le formule ad
essa relative.
Se supponiamo, invece sempre nello stesso esempio, di non conoscere in quanto non
utilizziamo i dati della FOSS, allora dobbiamo far ricorso allo scarto tipo di ripetibilità s calcolato
dal laboratorio dai risultati delle 10 ripetizioni e alla distribuzione di Student. In questo caso il
limite di confidenza sarà espresso da
s s
x t <μ< x+t
n n
La soluzione del problema è praticamente uguale alla precedente, con l’unica differenza di dover
calcolare la t e di utilizzare la formula di excel =INV.T(0,05; 9) = 2,26 (la formula si riferisce ad
una distribuzione di Student a due code) che sostituito nella precedente dà:
2,26 7,91 2,26 7,91
134,1 < μ < 134,1 +
10 10

128,4 < μ < 139,8

Da cui, come vedi, risulta un intervallo leggermente maggiore.
In excel 2003 non è disponibile la formula per il calcolo diretto dell’intervallo di confidenza.
Luis e la verifica dello scarto tipo

L Scusa, ma se invece voglio sapere se lo scarto tipo da me calcolato è una stima credibile dello
scarto tipo vero (nel caso questo sia riportato ad esempio in un metodo di prova), cosa faccio?

M È questo il caso in cui ricorriamo alla distribuzione del 2.
Supponiamo nel nostro caso di accettare come vero il valore di 8,57 della Foss.
Dalla relazione 2(p, ) = s2/ 2 = (n-1)* s2/ 2, si ricava l’intervallo in cui deve essere compreso
lo scarto tipo s
2 2
2 (n 1) s 2 2 / 2; =n 1 s2 (1 / 2); =n 1
/ 2; =n 1 2 (1 / 2); =n 1 ovvero 2
n 1 n 1
2
In questa relazione sono noti tutti i termini tranne , che possiamo calcolare da tabelle ad hoc, o
utilizzando le formule di excel. Noi utilizziamo, ovviamente, excel.
Scegliendo un livello di probabilità p = 95% e ricorrendo alla solita convenzione di indicare p =
1- , p1 = /2 e p2 =1- /2, si calcolano i due valori di 2, per p1 e p2 con le formule
INV.CHI(0,025;9) e INV.CHI(0,975;9), che danno rispettivamente per il 2 i valori 2,70 e 19,02.
Con semplici trasformazioni si ottiene che deve risultare s/ > [ 2( /2; 9)/ ] 1/2 e s/ < [ 2(1- /2;
1/2
9)/ ] .
E sostituendo i valori numerici si ha che:

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2
s 2 7,91
(n 1) 2
=9 = 7,67
8,57
2 2
Pertanto, essendo tale valore < 19,02 ( 1 / 2; =n 1 ) e > 2,70 ( / 2; =n 1 ), il valore dello scarto tipo
calcolato è compatibile con quello della FOSS.

L Vedo che hai mantenuto la tua parola, adesso però andiamo a prendere un bel caffé.

Luis e il calcolo dello scarto tipo variabile con la concentrazione

M Buono quel caffé!
Prima di andare avanti, facciamo il punto della situazione. Ti faccio notare che finora abbiamo
determinato lo scarto tipo di ripetibilità solo per un tenore di cellule uguale a 134.000 cellule/ml e
che la Foss dà tre valori diversi a 100.000, a 300.000 e a 500.000 cellule/ml. In altri termini lo
scarto tipo di ripetibilità è funzione della concentrazione di cellule.

L Va bene, ma questo significa che dovremmo calcolare lo scarto tipo a tutti i livelli e quindi
almeno da 100.000 cell/ml a 1.500.000 cell/ml.

M È esattamente quello che dobbiamo fare per poter determinare una relazione che leghi lo scarto
tipo del laboratorio alla concentrazione di cellule somatiche.
Chiediamo a Valentina di effettuare 10 determinazioni su campioni di latte che coprano il campo
da 100.000 a 1.500.000 cellule/ml.

L Glielo chiedo subito. Ma noi ci rivediamo tra una settimana, perché devo anche lavorare, tu
intanto leggiti questo sonetto e medita sulla statistica:

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LA STATISTICA

Sai ched'è la statistica? È na' cosa
che serve pe fà un conto in generale
de la gente che nasce, che sta male,
che more, che va in carcere e che spósa.

Ma pè me la statistica curiosa
è dove c'entra la percentuale,
pè via che, lì, la media è sempre eguale
puro co' la persona bisognosa.

Me spiego: da li conti che se fanno
seconno le statistiche d'adesso
risurta che te tocca un pollo all'anno:

e, se nun entra nelle spese tue,
t'entra ne la statistica lo stesso
perch'è c'è un antro che ne magna due

Trilussa

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M Ciao Luis, Valentina è riuscita a fare le analisi come avevamo concordato?

L Sì ecco i dati già in ordine crescente

serie 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
180 297 720 127 650 435 493 198 530 1022 1413
186 300 733 128 655 445 530 200 541 1025 1421
187 306 740 131 655 449 551 201 545 1031 1423
187 309 745 132 659 449 552 214 548 1034 1424
Valori

188 312 750 133 665 456 552 216 556 1047 1428
190 318 759 135 670 460 554 216 559 1051 1432
194 320 764 135 683 460 555 217 561 1055 1441
197 323 765 136 684 462 561 221 562 1056 1454
197 323 775 140 688 464 567 221 568 1067 1479
200 324 780 145 700 480 571 221 572 1070 1487

M Molto bene.
Ognuna di queste 11 serie dovrebbe essere sottoposta allo stesso procedimento che abbiamo usato
prima e cioè:

• verificare che siano normali,
• individuare i valori anomali
• decidere cosa fare dei valori anomali
• calcolare la media di ogni serie
• calcolare lo scarto tipo di ogni serie

e quindi calcolare la relazione che lega gli scarti tipo ai vari livelli.
Supponiamo per un istante di avere fatto tutto questo e chiamiamo sr il generico scarto tipo e x r
le medie corrispondenti.
Possono verificarsi due casi:

a) sr non varia sensibilmente al variare di x r
b) sr varia al variare di x r
Nel caso a) è sufficiente calcolare la media quadratica pesata s r degli scarti tipo nel seguente
modo

(n1 =1)sr1 + (n2 =1)sr22 + (n3 =1)sr23 + .......(nn =1)srn
2 2
sr =
(n1 =1) + (n2 =1) + ........(nn =1)

Nel caso b) si ricerca la relazione funzionale che lega sr a x r

Il criterio che determina la validità del caso a) o del caso b) si basa sul seguente test di Fisher

s r2(max)
F p=1 ; max, min
s r2(min)
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dove s r2(max) e s r2(min) sono rispettivamente la varianza massima e minima ed Fp; max , min è la
variabile di Fisher, il cui valore è riportato in tabelle (ma vedremo anche in excel) in funzione di
e di max = min = ni-1 essendo n il numero delle prove valide eseguite ad ogni livello. Il test
può ancora essere utilizzato se il numero ni non è lo stesso per tutte le prove ma varia rispetto al
valore medio di poco es. + 1.
Un altro test utilizzabile (meno restrittivo, ma più complesso) è il test di Bartlett7

A questo punto, se siamo nel primo caso, il problema non si pone, se siamo nel secondo caso,
excel ci consente di calcolare la relazione che lega lo scarto tipo alla media.

L Bene, quindi applicando la tua teoria adesso io determino, utilizzando il normal probability plot,
se i dati di Valentina sono tutti distribuiti normalmente e se vi sono dati anomali, mentre tu fai
quattro chiacchiere con Fabrizio che prima ti ha cercato.

M Ciao Luis, come siamo messi?

L Ho riportato tutti i dati sul normal probability plot, ho tracciato con excel le 11 rette di
correlazione ed ho determinato, sempre con excel il coefficiente di correlazione r2 di ogni retta. I
risultati sono stati i seguenti:

serie 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
r2 0,94 0,89 0,96 0,95 0,93 0,96 0,73 0,77 0,95 0,95 0,89

Ho quindi deciso di ritenere non accettabili i dati con un coefficiente di correlazione minore di
0,89 e quindi ho scartato le serie 7 e 8.

Per quanto riguarda infine i dati anomali, da una prima occhiata al probability plot, l’unica serie
che mi dato l’impressione di avere dati anomali è stata la 11, ed a questa ho applicato il test di
Huber, che ha evidenziato come dati anomali il 1479 e il 1487; prima di eliminarli però ho
calcolato la media e lo scarto tipo di ogni serie, e poiché l’eliminazione di entrambi i dati mi
avrebbe evidenziato anche il 1454 come dato anomalo, e mi avrebbe restituito uno scarto tipo di
8,86, cosa ovviamente improbabile se paragonata alle altre s, ho deciso di eliminare solo 1487,
cosa che mi ha portato alla seguente situazione.

serie 1 2 3 4 5 6 9 10 11
180 297 720 127 650 435 530 1022 1413
186 300 733 128 655 445 541 1025 1421
187 306 740 131 655 449 545 1031 1423
187 309 745 132 659 449 548 1034 1424
Valori

188 312 750 133 665 456 556 1047 1428
190 318 759 135 670 460 559 1051 1432
194 320 764 135 683 460 561 1055 1441
197 323 765 136 684 462 562 1056 1454
197 323 775 140 688 464 568 1067 1479
200 324 780 145 700 480 572 1070
media 190,6 313,2 753,1 134,2 670,9 456 554,2 1045,8 1440,2
sr 6,22 9,92 18,99 5,39 16,926 12,33 13,01 17,023 20,42

Pag. 30 di 52


A questo punto dobbiamo applicare il test di Fisher, per poter affermare con sicurezza quello che
a prima vista sembra evidente, cioè se lo scarto tipo varia sensibilmente al variare della media.
Come si fa?

2
s r (max)
M Dobbiamo ricorrere alla relazione 2
Fp=1 ; max, min
s r (min)
2
2 2 2 2 s r (max)
Nel nostro caso essendo s r (max) = (20,42) = 417 e s r (min) = (5,39) = 29,1 si ha che 2
= 14,35
s r (min)
per il calcolo di F ricorriamo ancora una volta ad excel operando come segue:
2
• fissata una probabilità del 5%, poiché il numero di dati relativi a s r (max) è 9 e il numero di dati
2
relativi a s r (min) è 10, si ha che (max) =8e (min) = 9.

• Dalla funzione excel INV.F(0,05;8;9) si ottiene F = 3,23.
2
s r (max)
Essendo 2
= 14,35 > 3,23 si deduce che le varianze, come ci aspettavamo, sono
s r (min)
significativamente diverse al variare della media del campione da cui derivano.

Questa situazione ci impone di ricercare la funzione che meglio interpola le s in funzione delle
medie, ricorrendo ancora una volta ad excel.
Dal comando “inserisci grafico” si sceglie la “dispersione xy” e si inseriscono come x i valori
delle medie e come y i valori degli scarti tipo, quindi si clicca sul comando “inserisci linea di
tendenza”.
Excel consente di disegnare diverse linee di tendenza restituendone anche l’equazione e il
coefficiente di correlazione r2, noi abbiamo considerato le seguenti:

Tipo di regressione Equazione r2
Regressione lineare che passa per lo 0 s = 0,0187x 0,3873
Regressione lineare con intercetta s = 0,016x + 6,1768 0,8134
Regressione esponenziale s = 6,6689e0,001x 0,7314
Regressione di potenza s = 0,2934x0,6023 0,9435
Regressione logaritmica s = 6,7758Ln(x) - 28,569 0,9376

La relazione da scegliere è ovviamente quella che presenta il valore di r2 più prossimo ad 1 e
quindi la regressione di potenza.

L Va bene, tu sai quanto ti stimo, ma a questo punto sarei molto più tranquillo se potessimo
effettuare una verifica indipendente dei nostri calcoli.

M Conoscendoti, ho portato con me uno strumento molto interessante, che può aiutarci allo scopo, il
prezioso software dell’UNICHIM16

L E che aspettiamo ad usarlo?

M Guarda, che finora l’ho già usato diverse volte. Lo usiamo anche adesso.
Pag. 31 di 52


Il procedimento è semplice:

• inseriamo i dati, premiamo il tasto calcoli e premiamo il tasto “test di normalità” ed ecco il
risultato dove sono evidenziati in rosso i dati anomali

La settima e l’ottava serie non hanno una distribuzione normale, per cui le dobbiamo eliminare e
rifare il calcolo.

Dal nuovo calcolo non emergono serie non normali, ma è evidenziato un dato anomalo che
eliminiamo e, rifacendo il calcolo otteniamo:

Pag. 32 di 52


M A questo punto dobbiamo decidere cosa fare dell’ulteriore dato anomalo. Se lo eliminiamo
otteniamo uno scarto tipo pari a 12,9, che è molto più basso di quello per una media di 1000
cellule.
Inoltre se eliminiamo anche questo dato anomalo ci troveremo in una condizione estremamente
favorevole, nel senso che, eliminandolo, ci dobbiamo aspettare un CV% molto basso che quindi
potrebbe non rispecchiare la variabilità vera delle risposte analitiche. D’altro canto tu mi insegni
che la conta delle cellule somatiche può dipendere anche dalle altre caratteristiche del latte
(grasso, proteine, indice crioscopico, ecc.). Fatte queste considerazioni ti propongo di non
eliminare il valore 1479.

A questo punto continuiamo con il nostro calcolo, sfruttando le ulteriori caratteristiche del
software UNICHIM16 ed effettuando quindi un confronto tra le varianze, che risultano non
omogenee tra di loro.
In particolare, leggi cosa riporta il manuale che accompagna il software:

La disomogeneità delle varianze che si evidenzia è una conseguenza diretta della situazione per
cui la variabilità delle misure aumenta col crescere della concentrazione, il cui livello è espresso
dalla media: si deve allora studiare una possibile relazione funzionale fra scarto tipo e media
delle diverse serie (colonne) di dati, che consenta di calcolare lo scarto tipo, e quindi la
ripetibilità, anche per concentrazioni diverse da quelle dei campioni sottoposti alle misure
replicate.
Viene allora effettuata un'ulteriore elaborazione, che sul foglio DATI2 mostra oltre ai dati
ordinati e alle statistiche base già rilevate in precedenza – i risultati del calcolo delle regressioni
fra scarto tipo e media secondo tre diversi modelli:
- regressione lineare che passa per lo 0 ( y = bx )
- regressione lineare con intercetta ( y = a + b x )
- regressione doppio-logaritmica ( logy = c + d logx )

La riga inferiore di ciascuna sezione contiene gli scarti tipo calcolati in base all'equazione di
regressione in funzione dei valori delle relative medie (riga 14). Secondo il criterio suggerito, è
da preferire quel modello (equazione) per cui la somma dei quadrati delle differenze fra lo

Pag. 33 di 52


scarto tipo calcolato e misurato (riga 15) risulta minimo. Questa SQ (somma dei quadrati)
minima viene evidenziata sul foglio.

I risultati di tale elaborazione sono i seguenti:

M La relazione è quindi:
y = 0,6023x - 0,5325

dove, avendo posto y = log(s) e x = log(x), si ha che lo scarto tipo di ripetibilità è espresso dalla
relazione

S = 10(c+d*log(x))
Che con i dati ottenuti
c = -0,5323 - d = 0,6023 - x = tenore di cellule
diventa
s = 10 (0,6023logx -0,5325)

ricordando alcune elementari proprietà dei logaritmi e delle potenze, con semplici manipolazioni
si ottiene
s = 0,2934x0,6023

che è esattamente uguale a quella da noi calcolata per altra via utilizzando la correlazione di
potenza in excel.
Ad un’analisi più attenta, si rileva che le altre equazioni presentano una certa differenza, ma la
cosa è praticamente irrilevante in quanto, la retta di correlazione passante per l’origine ha un r2 =
0,39 e quindi indica una mancanza di correlazione, mentre quella con intercetta ha un r2 = 0,81,
indice di una correlazione quasi accettabile, differisce da quella dell’UNICHIM in quanto dà
risultati in alcuni casi migliori in altri peggiori, come si può vedere dalla tabella seguente.

Pag. 34 di 52


media 190,60 313,20 753,10 134,20 670,90 456,00 554,20 1045,80 1435,00
scarto tipo vero 6,22 9,92 18,99 5,39 16,92 12,33 13,01 17,03 20,42
Scarto tipo calcolato UNICHIM: 6,79 8,57 14,94 5,98 13,75 10,64 12,06 19,18 24,82
Scarto tipo calcolato con excel 8,39 9,81 14,91 7,73 13,96 11,47 12,61 18,31 22,82

differenza % UNICHIM 9,17% -13,62% -21,32% 10,84% -18,75% -13,73% -7,32% 12,63% 21,52%
differenza % EXCEL 23,48% 14,49% -0,18% 29,42% 1,53% 7,80% 4,54% -4,54% -8,03%

Ti basta questa verifica?

L Si, molto bene, poi mi dici come posso fare per acquisire il software dell’UNICHIM16.

M Questo te lo dico subito: basta che tu telefoni all’UNICHIM allo 02/76004450 o ti colleghi al sito
http://www.unichim.it.

Ma continuando con i nostri calcoli; a questo punto, per completare la prima parte del nostro
lavoro dobbiamo calcolare il limite di ripetibilità e il CV% che al 95% di probabilità è espresso
come:

r = t1 0,95;n 1 S r 2

Dove t al 95% con n-1 = = 8 gradi di libertà (n = numero di dati della serie con minor numero di
dati) può essere calcolato da excel con la formula =INV.T(0,05;9) e quindi sostituendo il valore
trovato nella precedente si ha
r = 2,306 S r 2
Dove Sr si ricava dalla formula precedentemente determinata

Sr = 0,2934x0,6023

A questo punto possiamo determinare il CV.
Con semplici passaggi si ha che

CV= s/x = 0,2934 *x(-1)x0,6023 = 0,2934*x(-0,3977)

E con questo la prima parte del nostro lavoro si può considerare completata in quanto abbiamo
calcolato tutti i parametri che ci interessavano.

L E no! Come sai bene uno dei criteri per il controllo della qualità di un risultato di prova è
l’effettuazione di una prova in doppio, e con quello che abbiamo detto, la situazione è
abbastanza complicata, come possiamo fare?

M Per le prove in doppio, nel nostro caso e con un livello di confidenza del 95%, vale la relazione18

18
N. Bottazzini e L. Cavalli Guida al calcolo della ripetibilità di un metodo di prova ed alla sua verifica nel tempo Seminario SINAL, settembre 2007

Pag. 35 di 52

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