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Una fondazione ordinale per i gradi di verità
Rossella Marrano
Scuola Normale Superiore
Firenze, 16 maggio 2014
Rossella Marrano (SNS) Una fondazione ordinale per i gradi di verità 16/05/2014 1 / 29

Motivazione
Nozione graduata di verità
Gradi di verità come numeri reali
We shall assume that the truth degrees are linearly ordered, with 1
as maximum and 0 as minimum. Thus truth degrees will be coded
by (some) reals. And even if logics of finitely many truth degrees
can be developed we choose not to exclude any real number from the
set of truth degrees. We shall always take the set [0; 1] with its
natural (standard) linear order. (Petr Hájek, Metamathematics of
Fuzzy Logic, 1998)
Precisione artificiale
I arbitrarietà della scelta
come si giustifica la scelta di 0.23 e non 0.24?
I implausibilità dell’interpretazione
cosa significa che un enunciato è vero con grado 1=?

Problema più generale
Posso dire “il dente malato mi duole oggi più di ieri” ma
naturalmente sono ben lontano dall’aver dato un senso preciso a
frasi come: “la quantità di dolore legata al mio dente malato è oggi
74,189”. (Roberto Magari, 1982)
In presenza di nozioni graduate:
I interesse in un’analisi numerica (o quantitativa)
I maggiore plausibilità di giudizi comparativi (o qualitativi)
Teoria della misurazione (Euclide, Hölder)
Partire da una struttura relazionale e trovare le condizioni che questa deve
soddisfare per essere immersa in una struttura numerica.

Un esempio: il caso dell’utilità
Bisogna trovare il modo di sottoporre i gusti degli uomini al calcolo.
Perciò si ebbe l’idea di dedurli dal piacere che certe cose fanno
provare all’uomo. Se una cosa soddisfa bisogni o desideri dell’uomo
si disse che aveva un valore d’uso, un’utilità. (Pareto)
Bentham (1789) la quantità di piacere o di dolore che un bene provoca ad un
individuo è misurabile.
Pareto (1906) un individuo può al massimo dire tra due beni quale preferisce
(‘rivoluzione ordinale’).

Un esempio: il caso dell’utilità
Utilità ordinale
I preferenza o indifferenza
I confronto tra alternative
I X2
Utilità cardinale
I misura esatta della soddisfazione
I rappresentazione numerica
I U : X ! R
Teoremi di rappresentazione
Se soddisfa certi assiomi allora esiste una funzione a valori reali U (unica a
meno di trasformazioni lineari) tale che per ogni x; y 2 X
x y () U(x) U(y):
I von Neumann, J., Morgenstern, O. (1947). The Theory of Games and
Economic Behavior (2nd ed). Princeton: Princeton University Press.
I Savage, L. J. (1954). The Foundations of Statistics. Wiley.
I Debreu, G. (1954). Representation of a preference ordering by a numerical
function. Cowles Foundation Paper 97.

Tornando alla verità come nozione graduata
Qualitativa o ordinale
I “più vero di”
I confronto fra alternative
I nessuna scala d’insentità
Quantitativa o cardinale
I “gradi di verità”
I valutazione puntuale
I qualunque scala d’intensità
Problema
È possibile una fondazione ordinale per i gradi di verità?
Primo passo teorema di rappresentazione
Secondo passo giustificare gli assiomi e l’interpretazione

La logica di Łukasiewicz a valori reali
Linguaggio
I L = fp1; p2; : : : g
I ?
I :, !
I SL
Connettivi definiti
I := :?
I := : !
Logica di Łukasiewicz
(Ł1) ! ( ! )
(Ł2) ( ! ) ! (( ! ) ! ( ! ))
(Ł3) (: ! :) ! ( ! )
(Ł4) (( ! ) ! ) ! (( ! ) ! )
(MP)
I `

Preliminari
Definizione: MV-algebra (A;:;; 0) tale che per ogni x; y 2 A
I x (y z) = (x y) z
I x y = y x
I x 0 = x
I ::x = x
I x :0 = :0
I :(:x y) y = :(:y x) x
Esempio
([0; 1];:;; 0) con :x = 1 x e x y = minf1; x + yg.
Teorema
Se M è una MV-algebra non banale allora esiste almeno un omomorfismo
m: M ! ([0; 1];:;; 0):

Due modi per valutare le formule
I Valutazioni di Łukasiewicz v : SL ! [0; 1]
1. v(?) = 0.
2. v(:) = 1 v()
3. v( ! ) =

1; se v() v();
1 v() + v(); altrimenti.
4. v( ) = minf1; v() + v()g
I Valutazione ordinale (‘non più vero di’) SL SL
I ()def e :

Condizioni su
Vincoli strutturali
(A.1) è un preordine
(A.1a)
(A.1b) ; =)
Vincoli logici
(A.2) ` ! =)
(A.3) =) !
(A.4)
Vincoli sui connettivi
(A.5) 1 2; 1 2 =) 1 1 2 2
(A.6) =) : :
Non banalità
(A.7) ?

Alcune conseguenze
Proposizione
Se (A.6) è soddisfatto, allora l’assioma (A.5) è equivalente al seguente:
(A.50) 1 2; 1 2 =) 1 ! 1 2 ! 2
Proposizione
1. ` =)
2. ` $ =)
Proposizione
1. è una relazione d’equivalenza
2. 1 1; 2 2 =) 1 2 1 2
3. =) : :

Un teorema di rappresentazione
Teorema
Se SL2 soddisfa gli assiomi (A.1)–(A.7) allora esiste almeno una
valutazione di Łukasiewicz v : SL ! [0; 1] tale che per ogni ; 2 SL:
=) v() v():

Corollari
(A.1c) oppure
Corollario 1
Se SL2 soddisfa gli assiomi (A.1)–(A.7), (A.1c) allora esiste esattamente
una valutazione che lo rappresenta.
(A.A) se e ? allora 9n | {z }
n

Corollario 2
Se SL2 soddisfa gli assiomi (A.1)–(A.7), (A.1c), (A.A) allora esiste una
valutazione di Łukasiewicz v : SL ! [0; 1] tale che per ogni ; 2 SL:
() v() v():

Un’algebra su (SL;)
I ()def e
I SL== f [] j 2 SL g
I [] = f j g

? := [?] := ?
I :
I
[] := [:]
I []

[] := [ ]
I [] [] ()def 9i 2 []; i 2 [] i i
Lemma

e :sono ben definite.

Verso una rappresentazione
q m
(SL;) (SL=;
:
;

;

?;) ([0; 1];:;; 0;)
V
Lemma
(SL=;
:
;

;

?) è una MV-algebra non banale.
Lemma
I Esiste V : SL ! [0; 1].
I V è una valutazione di Łukasiewicz.
I V preserva , cioè: =) V() V():

Riepilogo
I Implausibilità dei gradi numerici di verità.
I Analogia con l’utilità: fondazione ordinale.
I Formalizzazione del concetto ‘più o meno vero’: l’ordine .
I Teorema: se l’ordine soddisfa alcuni assiomi allora esiste una valutazione
numerica compatibile con esso.
Feedback
Se le alternative si possono confrontare ‘abbastanza bene’ allora è come se
valutassimo numericamente.
I In che misura questa è una fondazione ordinale?
1. quella generata da è una semantica per la logica?
2. come s’interpreta la relazione ?
3. alla luce dell’interpretazione, gli assiomi sono desiderabili?

Adeguatezza
I j= ()def 8 SL2 che soddisfa (A.1)–(A.7)
I j= ()def 8 SL2 che soddisfa (A.1)–(A.7) se 8 2
allora :
Adeguatezza
8 2 SL j= () ` :
Adeguatezza forte
8 2 SL; 8 SL j= () ` :

Interpretazione
SL SL
Relazione tra coppie ordinate di enunciati interpretata come ‘non più vero di’.

Verità6= credenza
CONCETTUALMENTE
Verità fondata su degli stati di fatto oggettivi
Credenza attitudine di un agente verso quegli stati di fatto
FORMALMENTE
Verità valori di verità composizionali
Credenza gradi di probabilità soggettiva non composizionali

L’ordine ‘più o meno probabile’
Bruno de Finetti
(1906-1985)
A volte invece sembra preferibile partire da una
relazione puramente ordinale, ossia qualitativa,
che o sostituisce la nozione quantitativa (se la si
ritiene priva di senso, o comunque la si vuole
evitare), o si usa come primo passo per la sua
definizione. Così fra due beni (o due situazioni
economiche) A e B, si può chiedere quale dei
due è preferibile (o se sono indifferenti) prima
di definire l’utilità (o anche rifiutando la
nozione di utilità misurabile), e lo stesso dicasi
per la temperatura, per l’altezza di un suono, per
la lunghezza di segmenti, ecc. ecc.
Si potrebbe procedere allo stesso modo anche per
le probabilità. (de Finetti, 1931)

Lezioni da Shakespeare: b6= t
That handkerchief which I so loved and gave thee. Thou gavest to
Cassio.
Othello
A A Desdemona è stato rubato il fazzoletto.
B Desdemona ha perso il fazzoletto.
C Desdemona ha regalato il fazzoletto.
I Otello: A b B b C
I Shakespeare: C t A t B

Chi ordina?
I Otello: incerto
I Shakespeare: informazioni complete sulla storia
Non c’è un agente che ordina gli enunciati. Se si vuole pensare in termini di
agente si deve pensare ad un agente onnisciente.
La relazione è oggettiva:
I indipendente dal soggetto
I intersoggettiva
The opinion which is fated to be ultimately agreed to by all who
investigate, is what we mean by the truth. (Peirce)

Rilevanza filosofica: non solo vaghezza!
I ‘meno sbagliato di’ nel linguaggio quotidiano
I vicinanza alla verità (truthlikeness)
I fallibilismo scientifico
John, when people thought the Earth was flat, they were wrong.
When people thought the Earth was spherical, they were wrong.
But if you think that thinking the Earth is spherical is just as
wrong as thinking the Earth is flat, then your view is wronger
than both of them put together. (Isaac Asimov, The Relativity
of Wrong, 1989)
I modellazione matematica
All models are wrong, but some models are more wrong than
others.

Giustificare gli assiomi: vincoli strutturali
(A.1a)
I Riflessività
(A.1b) ; =)
I Transitività
(A.1c) oppure
I Totalità

Vincoli logici
In two-valued logic, the implication ! is true iff the truth-value
of is less than or equal to the truth-value of . (Hájek, 1998)
(A.2) ` ! =)
I l’implicazione si dimostra nella pura logica, quindi se
l’antecedente è vero allora anche il conseguente lo è.
(A.3) =) !
I parziale inverso del precedente. In tutte le logiche a infiniti
valori questo vale.
L’ordine di verità deve essere compatibile con l’ordine dato dall’implicazione.
(A.4)
I si fissa il massimo (e il minimo)

Vincoli sui connettivi
(A.5) 1 2; 1 2 =) 1 1 2 2
(A.5*) =)
I additività o invarianza per traslazioni
(A.6) =) : :
I la negazione è idempotente

Assioma archimedeo
I numeri reali soddisfano la
Proprietà Archimedea
se h g e h6= 0 allora 9n 2 N tale che h| + {z + h}
n volte
g
I non ci sono elementi infinitamente grandi o infinitamente
piccoli
Se vogliamo un’immersione iniettiva della struttura (SL;) nella struttura
(R;) allora deve soddisfare il seguente:
(A.A) se e ? allora 9n 2 N | {z }
n

I Non esistono enunciati infinitamente più veri di altri

Conclusione
Teorema
Se soddisfa gli assiomi (A.1)–(A.7) allora esiste almeno una valutazione di
Łukasiewicz v : SL ! [0; 1] tale che per ogni ; 2 SL:
=) v() v():
I può essere considerato una semantica alternativa (corretta e completa).
I come ‘non più vero di’:
I non è un ordine di probabilità: verità6= credenza
I non c’è un agente che ordina: verità come intersoggettività
I rilevanza per l’analisi filosofica
I Data l’interpretazione, gli assiomi su sono condizioni desiderabili.
Una fondazione ordinale per i gradi di verità (nel caso di Łukasiewicz).

Riferimenti bibliografici
Roberto L. O. Cignoli, Italia M. L. D’Ottaviano and Daniele Mundici.
Algebraic foundations of many-valued reasoning,
Trends in Logic – Studia Logica Library, Kluwer Academic Publishers, 2000.
B. de Finetti.
Sul significato soggettivo della probabilità.
Fundamenta Mathematicae, 17:289–329, 1931.
Petr Hájek.
Metamathematics of Fuzzy Logic,
Kluwer Academic Publishers, 1998.
George J. Stigler.
The Development of Utility Theory. I
The Journal of Political Economy, Vol. 58, No. 4. (Aug., 1950), pp. 307-327.
George J. Stigler.
The Development of Utility Theory. II
The Journal of Political Economy, Vol. 58, No. 5. (Oct., 1950), pp. 373-396.

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