Mia presentazione sui frattali per un esame. Ho preso spunto dai libri e dagli articoli che ho letto, nella parte finale ho fornito un esempio di crittografia frattale grazie al modulo Perl Crypt::FNA

1. I Frattali
Natale Vinto
137523

2. Premessa
“Delle grandezze, quella che ha una
dimensione è linea, quella che ne ha due
è superficie, quella che ne ha tre è corpo,
e al di fuori di queste grandezze non si
hanno altre grandezze”
Aristotele
e in mezzo??

3. Premessa
“Per l'uomo razionale solo l'irrazionale è
intollerabile”
● Armonia pitagorica
● Ordine euclideo
Per secoli è stata aberrata l'idea anche
transitoria di disturbo o caos.

4. Les Objets fractals
Benoît Mandelbrot
● Definisce
formalmente gli
oggetti frattali
neologismo dal
latino
fractus = interrotto

5. La geometria dei frattali
“A differenza della geometria euclidea, così
rigida nel rappresentare il mondo visibile, e così
lontana dal poter raffigurare le forme reali, la
geometria dei frattali è capace di rappresentare i
profili di una montagna, di una costa, le nuvole,
le strutture cristalline e molecolari, e addirittura
le galassie”
Gli oggetti frattali – Mandelbrot 1987 (rev)

6. Definizione formale
"Figura geometrica o oggetto naturale con
una parte della sua forma o struttura che
si ripete a scala differente, con forma
estremamente irregolare interrotta e
frammentata a qualsiasi scala e con
elementi distinti di molte dimensioni
differenti"

7. In medio stat virtus
“Tra il dominio del
caos incontrollato e
l'ordine eccessivo
di Euclide, si
estende ormai una
nuova zona di
ordine frattale”

8. Caratteristiche
Un frattale può essere definito come un
insieme F che gode delle seguenti
proprietà (Falconer):
● Autosimilitudine
● Struttura fine
● Irregolarità
● Dimensione frattale (D)

9. Autosimilitudine
● Due figure geometriche si dicono simili se
hanno la stessa forma indipendentemente dalle
loro misure
● Formalmente: similitudine nello spazio euclideo:
S = ToRoH
se S è similitudine, F e F' sono due figure
geometriche tali che:
F' = S(F) => F e F' sono simili.

10. Autosimilitudine
● Due figure simili hanno:
– Angoli corrispondenti uguali
– Corrispondenti misure lineari legate allo
stesso fattore di proporzionalità r

11. Autosimilitudine
● Siano S1,S2,....Sm similitudini aventi lo stesso r,
0<r<1
● Una figura geometrica F si dice frattale
autosimile quando è l'unione di M distinte figure
geometriche tra loro sovrapposte:
F=F1 U F2 U..U Fm=S1(F) U S2(F) U..U Sm(F)
● F ripete, in scala sempre più piccola, la sua
forma

12. Autosimilitudine
● Ogni parte contiene il tutto, cioè se
ingrandiamo un dettaglio otteniamo
esattamente l’immagine di partenza
(autosimilitudine stretta) oppure dopo
successivi ingrandimenti (es: isola di
Koch)
● In caso di dettagli sempre diversi ma simili
si parla di autoaffinità

13. Autosimilitudine nel set di
Mandelbrot

14. Autosimilitudine nella curva di
Koch

15. Struttura “fine”
● qualunque sia la
scala di
osservazione il
dettaglio
dell'immagine
rimane inalterato
● Immagini da Set di
Mandelbrot con il
programma XaoS

16. Considerazioni
● Le curve frattali sono continue ma non
ammettono un'unica tangente in un punto.
● Esse sono continue ovunque e mai
derivabili.
● La distanza fra due punti della curva è
sempre infinita, per quanto essi possano
essere vicini.
● (le “nuove anfrattuosità” di Perrin
nell'esempio dei fiocchi bianchi)

17. Irregolarità
● Un frattale è il risultato di una funzione
ricorsiva.
“Many other sets may be constructed
using such recursive procedures”
Fractal Geometry - Falconer
● L'insieme dei frattali F è troppo irregolare perché sia
descritto con gli strumenti della geometria classica,
sia globalmente sia localmente. La sue costruzioni
sono dominate dal..caso!

18. Dimensione frattale
● La dimensione frattale è un numero non
negativo che consente il confronto tra
insiemi frattali ed esprime il grado di
irregolarità di un oggetto frattale
● D non è intera
– frazione semplice es: (½)
– numero irrazionale es: log(4)/log(3)

19. Dimensione frattale
● D = log(k)/log(m)
k = numero di copie per ricoprire la figura
originale
m = fattore di scala

20. Dimensione frattale
Divido il lato del quadrato a metà
● m=2k=4
● D = log(4)/log(2) = 2
● Df = Dt !
Curva di Koch
● m=3k=4
● D = log(4)/log(3) = 1,2619...

21. Alcuni oggetti frattali
● Frattali geometrici ● Frattali matematici
Generati attraverso Generati tramite equazioni
procedimento geometrico matematiche, trovano la
iterativo: loro rappresentazione
grafica nel campo
complesso:
● Curva di Koch ● Insieme di Mandelbrot
● Insieme di Cantor ● Insieme di Julia
● Triangolo di Sierpinski

22. Curva di Koch
Algortimo di
creazione:
● Si prende un segmento e lo
si divide in 3;
● Si elimina il segmento
mediano;
● Si congiungono i due punti
mediani con un altro in
modo da avere un triangolo
equilatero;
● Si itera il procedimento su
ogni segmento.

23. Isola (o fiocco di neve) di Koch
● L'interno della curva di Koch è
detto fiocco di neve.
● Sebbene l'area di un oggetto
frattale sia finita, il suo
perimetro è infinito!
● Lunghezza tot = (4/3)^(n-1)L
(vedi misure delle coste della
Gran Bretagna da parte di
Richardson)

24. Insieme di Cantor
Algoritmo:
● Si parte da un segmento di
lunghezza unitaria
● Lo si divide in tre parti
uguali
● Si rimuove la parte centale
● Si ripete il procedimento
all'infinito su ogni segmento
rimasto
Polvere di Cantor: 0<Df<1

25. Triangolo di Sierpinski
● Si parte da un triangolo
equilatero pieno
● Si rimuove il triangolo
centrale che hai I vertici
nei punti medi dei lati
Si ripete il procedimento
per ogni triangolo
ottenuto

26. Triangolo di Sierpinski
● m=3k=2
D=log(3)/log(2)=
1.58

27. Insieme di Mandelbrot
● Curiosità: ispirato da
stampante che stampa a
caso dei punti su un
foglio!
●
polinomi complessi
quadratici
● L'insieme è costituito da
tutti i valori di c per i quali
la successione non
diverge all'infinito

28. Insieme di Julia
● E' definito come il contorno
di una serie di punti che
fuggono all'infinito
● Comportamento caotico
● c = c1 + j*c2
● Ad ogni punto del piano
corrisponde un diverso
insieme di Julia e tale
insieme è connesso se il
punto appartiene all'insieme
di Mandelbrot

29. Insieme di Julia
c = -j*1,25

30. Insieme di Julia
c = 0,27334 + j*0,00742

31. Insieme di Julia
c=j

32. Il ruolo del caso
● Secondo Mandelbrot il caso viene
“sottovalutato”
● L'omotetia interna fa sì che il caso abbia
importanza a qualsiasi scala
● Sostituire delle forme inaspettate del caso
con altre forme familiari

33. De rerum natura vol. 2
“Le nuvole non sono sfere, le montagne
non sono coni, le coste non sono cerchi e
la corteccia non è piana, né un fulmine
viaggia su una linea retta.”

34. Autosimilitudine statistica
In natura esistono elementi
con “struttura frattale”
● Es: Foglia di felce, nuvole
montagne, ecc.
● Sebbene non si può parlare
di autosimilitudine
matematica ma statistica

35. Alberi aurei
● Un fusto lungo l (f >1) si biforca
in due rami l=1/f inclinati di
120° rispetto al tronco
● Autosimilitudine dell'albero per
f=2
● Per un certo f<2 le porzioni
dell'albero inizieranno a
sovrapporsi
● Il limite oltre il quale vi è
sovrapposizione è 1,6180..=φ

36. Classificazione curve piane
● Secondo Mandelbrot nello studio delle
curve piane appare una gerarchia di
complessità crescenti

37. Classificazione curve piane
● 1° livello: curve regolari come la retta e la
circonferenza, che localmente si confonde
con la retta. A tale livello appartengono
pure le curve classiche elementari.

38. Classificazione curve piane
● 2° livello: curve frattali “classiche”, esse
possono diventare più o meno complicate,
ma c’è una invarianza della forma rispetto
alla distanza. Abbiamo allora che 0<D<1

39. Classificazione curve piane
● 3° livello: ingrandendo sempre di più la
figura, si riconosce in alcuni particolari ciò
che si osserva globalmente. Tuttavia vi è
un costante aumento della complessità “e
del caos”,sebbene esso abbia una
struttura ordinata, perché descrivibile
matematicamente.

40. Classificazione curve piane
● 4° livello: ingrandendo non si scorge più
nei dettagli ciò che si vedeva globalmente,
ma si osservano delle cose nuove e
impreviste, “mostrosuamente” caotico.

41. Crittografia frattale
● Implementazione di un algoritmo di
crittografia che utilizzi curve dell'insieme F
– Un algoritmo per la costruzione
dell'insieme delle curve frattali
– Un algoritmo per la crittografia basata su
tali curve

42. Crypt::FNA
● Implementazione nel linguaggio Perl
dell'algoritmo e creazione di un modulo
apposito
● Chiave simmetrica ma lunghezza in bit
della chiave “illimitata”
● Funzioni:
– Crypting e decrypting file di testo e
stringhe
– Generazione immagini della curve create

43. Costruzione curve {F}
● Sfrutta l'autosimilitudine
Esempio su curva di
Koch
● Ro= parametri della base
● r=ordine della curva
● An = numeri angoli della curva
n
● An = Ro^r

44. Costruzione curve {F}
0
0, 60, -60, 0
0, 60, -60, 0, 60, 120, 0, 60, -60, 0, -120, -60, 0, 60, -60, 0
riga per r=0 -> 0 + 0 = 0
riga per r=1 -> 0 + 0 = 0; 0 + 60 = 60; 0 - 60 = -60; 0 + 0 = 0
riga per r=2 ->
a. 0 + 0 = 0; 0 + 60 = 60; 0 - 60 = -60; 0+0=0
b. 60 + 0 = 60; 60 + 60 = 120; 60 - 60 = 0; 60 + 0 = 60
c. -60 + 0 = -60; -60 + 60 = 0; -60 - 60 = -120; -60 + 0 = -60
d. 0 + 0 = 0; 0 + 60 = 60; 0 - 60 = -60; 0+0=0

45. Costruzione curve {F}
l gruppo cui appartiene l'angolo k-esimo possiamo indicarlo così nel formalismo del Perl:
G(k) = int(k/Ro)
La posizione dell'angolo k-esimo nel gruppo è invece:
P(k) = k-int(k/Ro) = k-G(k)
In definitiva, il valore della direzione k-esima sarà:
a(k)=a(G(k)) + a(P(k))
while ($k<$Ro**$r) {
$a[$k]=$a[int($k/$Ro)]+$a[$k-int($k/$Ro)];
$k++
}

46. Cripting
● Ogni byte viene crittografato mediante le
coordinate del vertice della curva frattale,
ottenuto partendo dal successivo a quello
precedentemente valutato, saltando di un
numero ulteriore di vertici uguale al magic
number più il valore del byte da
crittografare.

47. Decrypting
● Si segue la curva frattale verificando, di
vertice in vertice, che le coordinate
corrispondano a quelle del crittogramma.
Il valore del byte originale viene ricostruito
avendo contato quanti vertici si sono
succeduti per arrivare all'uguaglianza dei
due valori, dall'ultima uguaglianza
incontrata. Il numero di vertici, ridotto del
magic number sommato all'unità,
rappresenta il valore del byte n-esimo.

48. Esempio
● Compressione con curva di Koch del file
test.txt con testo :
“Logica e Matematica Discreta”

49. Esempio
my $krypto = Crypt::FNA->new(
{
r=> 7,
angle => [0,60,-60,0] ,
square => 4096,
background => [255,255,255],
foreground => [0,0,0],
magic => 3
}
);
$krypto3->make_fract("fractal_koch",1);
$krypto3->encrypt_file("test.txt","test.fna");
$krypto3->decrypt_file("test.fna","test_rebuild.txt");

50. Esempio
● Curva generata convertita in PNG con
GD::Simple nel file fractal_koch.png

51. Esempio file test.fna
-622.22884968
-53.61976878
-1209.88851212
133.33333349
-1989.43688111
-261.34550263
-2073.38849833
-7710.12444523
-2006.24189587
-10996.22155747
-2068.55953372
…
...

52. File test_rebuild.txt
● Logica e Matematica Discreta
● :-)

53. Considerazioni
● Pro
– Robusto: algoritmo polialfabetico con un
numero di alfabeti cifranti virtualmente
illimitato
– chiave lunga come il dato da cifrare ed un
numero di alfabeti pari al numero di
elementi costituenti il dato in chiaro.

54. Considerazioni
● Contro?
– Sperimentale
– Sovrapposizione dei vertici

55. Bibliografia
● Gli oggetti frattali – Mandelbrot 1987
● La sezione aurea – Livio 2008
● Architetture della complessità: la geometria frattale tra arte,
architettura e territorio – Sala, Cappellato – 2004
● Fractal Geometry: Mathematical Foundations and
Applications – Falconer 2004
● Fractal Numerical Algorithm for a new cryptography
technology -
http://www.perl.it/documenti/articoli/2010/04/anakryptfna.html