Fark Eşitlikleri

FARK EŞ TL KLER N N L NEERL Ğ Recep ÖZCAN

BÖLÜM 3

FARK EŞ TL KLER N N L NEERL Ğ

Recep ÖZCAN
U.Ü.T.Y.L.M.F.Ö.B.G.
recepozcan06@gmail.com

3.0 G R Ş

Bu bölümde “fark eşitliklerinin lineerliği” konusu ele alınırken, 2.Bölüm’de tartışılarak
ortaya konan bir takım sonuçlar, matriks ifadeler olarak kullanılacaktır. 3.1’den 3.4’e kadar
olan kısımda; sabitlerin değişimi metodu ve yüksek mertebeden denklemleri içeren “Temel
Teori”ye yer verilecek, “Poincore’nin Klasik Teorisi”nden bahsedilecektir. 3.6’da ise sürekli
çözüm durumları, 3.7’de de sınır değer problemleri verilecektir. Son olarak; 3.8’de konu ile
ilgili bazı örnek problemler verilerek bölüm sonuçlandırılacaktır. Burada da bahsi geçen;
“Matriks Teorisi” ile ilgili bilgilere Ek A’ dan da ulaşılabilirsiniz.

3.1 TEMEL TEOR

kümesinde tanımlı olan A(n) ve ( veya ) ifadelerinden; A(n) fonksiyonu
kompleks ve reel fonksiyonel matriks elemanlarından oluşan bir s x s matriks ile ifade
edilebilir. için lineer bir eşitlik olan;

eşitliği; “homojen olmayan fark eşitliği” olarak adlandırılır. “homojen fark eşitliği” de;

” başlangıç vektörü olarak seçildiğinde (3.1) ve (3.2) denklemlerinin
şeklindedir. “
kümesinde çözümlü oldukları kolaylıkla görülebilir. Örneğin; (3.2) denklemi için başlangıç
vektörü alınırsa;



denklemi elde edilir. Bu denklemden de; ifadesinin tüm “n” değerleri için
ifadesine bağlı tekil olmayan çözümlerine ulaşılır. A(i) matriks elemanlarının çözüm
içerisindeki sıralanış şekli önemlidir. En düşük indisli matriks daima en sağda olacak şekilde
çözüm; A ( n – 1 ) A( n - 2) …A ( n0 ) şeklinde okunmalıdır.
Bazen karışıklıktan kurtulmak amacı ile (3.1) veya (3.2) denklemlerinin çözümlerini
olarak göstermemiz gerekebilir. Şimdi (3.2)
“ ” başlangıç vektörü olacak şekilde
denkleminin çözümlerinden oluşan s-uzayını ele alalım. (3.2) denkleminin iki farklı
çözümünün olmadığı durumlarda bu s-uzayı lineer bir uzaydır. Bu denklemin farklı
çözümlerinin lineer kombinasyonunun, aynı eşitliğin bir çözümü olduğu kolaylıkla
gösterilebilir; “ ” vektörleri üzerinde birer birim vektör olmak üzere ve
“ “ için; “s” çözümleri “E1” başlangıç vektörüne bağlı olarak ifade
edilmiş olur.

Kabul 3.1.1 s-uzayındaki herhangi bir çözüm ifadesi için “ ”
yazılabilir.

spat: “ için (3.2)’ nin bir çözümü olsun. Bu durumda;
” ifadesi
S’nin lineerliğinden ve “ ” ifadesinden yola çıkarak;

ifadesi elde edilebilir. Bu ifade; c başlangıç değeri olacak şekilde ve ’nin
ile birebir örtük olması durumunda (3.2)’nin tam bir çözümüdür.

Tanım 3.1.1 “ i = 1, 2, …, s” değerleri için ’ da tanımlı olan “ fi(n)” fonksiyonlarındaki
“ai, i = 1, 2, 3, … , s” katsayılarının sıfır olmadığı durumlarda bu fonksiyonlar “lineer”dir.
Yani; lineerlik her için; olmamasına bağlıdır.

Tanım 3.1.2 “fi (n), i = 1, 2, …. , s” ifadeleri arasında lineer bir ilişki söz konusu değilse bu
ifadeler lineer bağımsızdır.



olacak şekilde artan indisli fi(n) fonksiyonlarından oluşan
sütunlara sahip bir K(n) matriksi tanımlayalım. Benzer şekilde “a” için de;
olsun.

Teorem 3.1.1 Eğer var ise; fi(n), i = 1, 2, …. , s
olacak şekilde bir
fonksiyonları lineer bağımsızdır.

spat: için

olsun. “a=0” değerleri için olduğunda “f(n)” ifadeleri lineer bağımsız
olur. Bu durumda (3.2)’nin çözümleri olmak üzere;

olur.

Teorem 3.1.2 fonksiyonları (3.2)’nin çözümleri olmak üzere için
0 ve ise ve tüm değerleri için olur.

spat: için ;

olur. Buradan da;

olur.

Sonuç 3.1.1 oluyor ise (3.2)’nin
için çözümü
lineer bağımsızdır.



spat: ’ın determinantı birim matrikse eşit olduğu durumda olduğu
durumdan ve Teorem 3.1.1’den ispat tamamlanmış olur.

Sonuç 3.1.2 ise K(n) matriksinin sütunları lineer bağımsız çözümleri verir. Bu
durumda tüm değerleri için olur.

spat: (3.5) ifadesinden yola çıktığımızda; şartını sağlayan “n” değerleri
var ise; K(n) matriksinin sütunları, (3.2)’nin çözümleridir.

Bu çözüm ifadelerini içeren matrikse “Cosarati Matriks” ya da “Temel Matriks” adı verilir.
Bu bölümde diğer matriks ifadelerden biraz daha farklı olan K(n) matriksine de
Cosarati Matriksi olarak yer verilecektir. Yine burada bu matrikslerin determinantı için;
“Wronskian” isimlendirmesinde de olduğu gibi “Cosaratian” ifadesi kullanılacaktır.

Teorem 3.1.3 (3.2) ‘nin çözümlerinden oluşan s-uzayı, s-boyutlu ve lineer bir uzaydır.

Kabul 3.1.1 ve Sonuç 3.1.1’den kolaylıkla gerçekleştirilmiştir.

Tanım 3.1.3 (3.2)’nin lineer bağımsız s-çözümleri ve keyfi belirlenmiş değerleri için;
ifadesi (3.2)’nin genel çözümü olarak adlandırılır.

olarak alındığında ve Tanım 3.1.3.’den
Başlangıç değeri olur;

veya için daha genel bir ifade olarak;

yazılabilir. Matriks ifadesi de,

şeklini alır. K(n) için kullanılan eşitlikte de olduğu gibi;

yazabiliriz.



Yine tüm değerleri için olduğu durumda -matriksi de “temel
matriks” olacaktır. (3.7)’yi tekrar yazacak olursak; olduğu görülür.
Buradaki - matriksinin özellikleri;

(i)
(ii) Eğer var ise

olur.
(3.10) bağıntısından s<n için tanımlanabilir. Şimdi homojen olmayan (3.1) eşitliğini ele
alacak olursak;

Kabul 3.1.2 (3.1) ve (3.2)’nin çözümleri olan arasındaki farklılık (3.2)’nin bir
ve
çözümüdür.

spat:

ifadeleri yazılabilir. Bu ifadelerden de yazılabilir ki; bu
eşitlik ile Kabul 3.1.2.’nin ispatını tamamlamış oluruz.

Teorem 3.1.4 (3.1)’in her çözümü için; yazılabilir. Burada ifadeleri
(3.1)’in çözümleri ve da homojen eşitlik olan (3.2)’nin temel matriksidir.

spat: Kabul 3.1.2’den ve s-uzayının yine bir elemanı olarak
yazılabilir. Eğer A-matriksi “n”den bağımsız ise temel matriks ifadesi sadeleşir çünkü;
olur.



3.2 SAB TLER N VARYASYONU METODU

(3.2)’nin genel çözümünden (3.1)’in çözümü elde edilebilir. (3.2) ‘nin genel çözümü;
şeklinde idi. Burada “c” ifadesinin ‘in bir elemanı olması,
çözümlerini, (3.1)’e de genelleme imkanı sağlar. Buradan hareketle;

ifadesini elde edebiliriz. Bu ifadeden tüm değerleri için olduğunu kabul
ettiğimizde;

olur.
Üstteki ifadenin çözümü de;

şeklindedir.
Şimdi (3.1)’in çözümü için;

yazabiliriz. için;

olur.
(3.4) ve (3.9)’ dan için (3.11) ifadesi;
ve

yazılabilir. A-matriksi sabit olduğunda; ve tabii ki
için (3.12) ifadesi yeniden düzenlenirse;

şeklini alır.



Şimdi A(n) ve ifadelerinin üzerinde tanımlı oldukları durumları dikkate alacak
olursak;

Teorem 3.2.1

Olduğunu kabul edersek ve olduğunda;

Şeklindeki ifade (3.1)’in bir çözümüdür.

spat: için olduğu durum dikkate alındığında

elde edilir. Bu ifade sırası ile olur. Bu dizi
ve değerleri

olacak şekilde seçilirse; Cauchy dizisi olur. Buradan da;

yazılabilir. Bu dizi için yakınsaktır. Dolayısı ile ifadesi için;

yazılabilir. Bu ifade de yine (3.1)’in bir çözümü olup için;

şeklinde gösterilebilir.
Sabit katsayı değerleri için çözümü tekrar düzenlediğimizde A’nın öz değerlerinin
birim çember içinde kaldığı durumlar için ifadesi;

şeklini alır.



Bu kısmı, formal seriler şeklindeki çözüm ifadelerini vererek kapatacak olursak;

yazılabilir. Bu ifade ile çarpılıp sıfır ile sonsuz arasında toplam şeklinde
yazılabilir ve böylelikle ifademiz;

şeklini alır.

fadeleri de yerine konulduğunda;

elde edilmiş olur. Buradan da;

ve

ifadelerine ulaşılır.
Bu formal seriler yakınsak olduğu durumda, (3.17) eşitliği Y(z)’nin çözümlerini verir.
matrikside A’nın çözümleyicisi olarak adlandırılır. Bu matriksin
özellikleri sayesinde, “ ” çözümünün özellikleri hakkında fikir sahibi olabiliriz.

3.3 BAĞIMSIZ (ÖZERK) S STEMLER

eşitliğindeki reel n x n matriksinden oluşan “A” ifadesinden, uygulamadaki önemi dolayısıyla
özellikle bahsetmek gerekmektedir. Doğal olarak “A” matriksinin özellikleri ile çözümlerin
özellikleri arasında bir bağ söz konusudur. Bu ilişkinin bir kısmı “sabitlik” ile alakalı olmakla
birlikte, bir sonraki bölümde bu konu tartışılacaktır. Ayrık Morkov zincirlerinde olduğu gibi
uygulama anlamında önemli olan diğer özelliklerden de söz etmemiz gerekmektedir. Burada
dikkate alacağımız iki durum söz konusudur;



(1) A matriksinin içerisinde olarak adlandırılan ve diğerlerinden daha geniş bir moda
sahip olan bir tepe öz değeri vardır.
(2) A matriksinde bulunan tepe öz değerlerinin modları aynıdır.

lk durumda n’nin büyük değerleri için “ ” çözümü “ ” öz vektörü ile paralellik gösterme
eğilimindedir. Çözüm için başlangıç değeri “ ” olarak alacak olursak kabulü de ispatlamış
oluruz. Bu durumda çözümü için;

yazılabiliriz.
EkA’da verilmiş olan hesaplamalardan da faydalanarak “ ” çözümü;

olarak gösterilebilir. Bu ifadeden de anlaşılabileceği üzere; “ ” değeri modüler anlamda
birden küçüktür ve “ ” ifadesi öz vektör ile ilişkilendirdiğimiz “ ” doğrultusundadır. Bu
sonuç önemlidir çünkü; pek çok matriks benzer özelliği sergilemektedir. Peron-Frobenius
teoreminde adı geçen pozitif matriksler için de benzer özellikten bahsedilmektedir. (Bakınız
EkA).
kinci durumda ise her biri eşlenik ve kompleks olan ortak öz değerlerden, giderek artış
gösteren periyodik çözümler türetilebilir. Bu durumla ilgili benzer bir örnek Bölüm 8’deki
“Leslic Model” konusunda da verilecektir.

3.4 YÜKSEK MERTEBEL EŞ TL KLERDEK DURUM

K. ıncı dereceden bir lineer fark eşitliği olan ;

için ’deki birinci sıklık ifadesi için;

yazılabilir ve benzer şekilde matriks ifadesi;



şeklini alır.
” başlangıç değeri olarak belirlendiğinde (3.18) ifadesi için;
Bu ifadelerden hareketle ve “

yazılabilir. Buradaki A(n) ifadesi “eş matriks” ya da “Frobenius Matriks’i olarak adlandırılır.
(3.21)’de verilen çözüm ilgi çekici özelliklere sahiptir ve bu özellikler sıralanacak olursa;

(i) “ ”nın determinantı olan ifadesindeki
A’nın değerlerine karşılık gelen “n.inci” dereceden fark eşitliğinin özelliğini ortaya
koyan bir ifadedir.
(ii) (3.18) ifadesi k, reel bir sayı olmak üzere k.ıncı dereceden bir eşitlik ise;
olur ve buradaki A(n) ifadesi tekil değildir.
(iii) A(n)’in basit olmayan hiçbir öz değeri, yarı basit değere sahip değildir (Bkz. EkA).
Bu durumda; A’ya karşılık gelen öz değerlerin cebirsel ve geometrik çarpımları
çakışıktır. Bu özellik çözümlerin niteliksel özelliklerinin ortaya konması anlamında
önemlidir.
(iv) A’nın n’den bağımsız ve basit öz değerlerini alması durumunda, “A”
daha basit bir ifade olan; ile gösterilebilir. Burada V: Vandermonde
Matriksi olup; ve şeklindedir.

(3.21)’in çözümü (3.11) ile birlikte düşünüldüğünde “ ” ifadesi;

şeklini alır. Temel Matriks olan “ ” ifadesi de;

olur.
Şimdi de Casorati Matriks’i olan K(n)’in homojen (3.21) eşitliği için k’ya bağlı
çözümleri olan “ ”için K(n) ifadesi;



olur.

Örnek 4: Chebyshed Polinomları olarak da tanımlanan ikincil yapıdaki eşitlikleri dikkate
aldığımızda; (Bkz. EkC’den benzer polinomların özellikleri);

yazılabilir. Bu ifadeyi matriks olarak yazdığımızda;

şeklini alır. Burada problemin temel matriksi olarak

seçilirse çözüm de;

şeklini alır.
ifadesini doğrudan hesaplamak mümkün değildir.

ifadesi dikkate alındığında “ ” değeri daha kolay elde edilebilir. Bu ifade Casorati Matriksi
yapısına sahiptir. (Bkz. EkC) ve bu ifade K(0) için;

olur. “ ” eşitliği ve Chebyshev polinomlarının özelliklerinden faydalanarak;

eşitliğini yazabiliriz. Bu sonuçlardan faydalanarak fark eşitliklerinin çözümlerinin özellikleri
ile ilgili genel çıkarımlara gitmek mümkündür. Buradaki “z” değerleri için ve N>0 olduğu
” olduğunu da göstermiş oluruz (Bkz. Problem 3.5).
durumda “



Örnek 5: “ ” olduğunu biliyoruz (Bkz. Bölüm 2) olarak kabul
ettiğimizde bir önceki örnekteki eşitlik; ’nin değişik değerleri için olarak
alınabilir ve bu durumda ifade 1. dereceden bir polinom olarak karşımıza çıkar;

ve

Matriks ifadesi olan;

kullanıldığında;

yazılabilir. Uzay boyutu çiftlendiğinde; kincil yapıdaki eşitlik birincil yapıdaki;

: n-boyutlu özdeşlik matriksidir. Bu örnekte Problem
eşitliğine dönüştürülebilir. Burada
3.6’daki “ ” olduğu gösterilmiştir (Bkz. Problem 3.6).

3.4.1 Tek Taraflı Green Fonksiyonları

(3.21)’in de çözümleri olan “ ” ifadeleri (3.18)’in çözümü ile ilgili pek çok bilgiyi
bize sunmaktadır. Örneğin; (3.18)’in çözümü için. “ ” ifadesinin şartını sağlayan
” olarak kabul edildiğinde (3.11)’den;
herhangi bir bileşenini ele almak yeterlidir. “

elde edilmiş olur. (3.19’dan da; olur. (3.18)’in çözümü olan
’i elde etmek için ’in son değeri dikkate alındığında ise;



olduğu görülür. Burada ’dir. Dolayısı ile H ifadesi;

şeklindedir. Buradan; (3.23)’ün çözümü için;

yazılabilir.
Buradaki fonksiyonu “Tek Taraflı Green Fonksiyonu” olarak adlandırılır ve
değişik özelliklere sahiptir.
Burada (3.24)’den faydalanarak “H” için;

yazılabilir. Ek özellikleri de dikkate aldığımızda;

öz değerini yazabiliriz. Buradaki “ ” ler ’da birim vektör ve I: Özdeşlik matriksidir.
(3.24)’den bir diğer gösterim olarak “H” ifadesi; K(n+1) dizi elemanları ve son
sütün elemanlarının toplamı olarak yazılabilir.;

’in son sütunu dikkate alındığında bunun “K(j+1)” matriksinin son dizi
elemanlarının kofaktörü olduğu görülür. Buradan da;

olarak yazılabilir. Sonuç olarak;



ve

elde edilir.

Teorem 3.4.1 H(n,j) fonksiyonu, farklı “j” değerleri için (3.18) ile ilişkilendirildiğinde;

olur.

spat: (3.25)’in çözümü için, (3.29)’dan ve determinant özelliklerinden faydalanarak;
ise için;

yazılabilir.

çözümünden başlangıç koşullarının keyfi olarak belirlendiği durum ve (3.18)’den
benzer şekilde bir takım ifadelere ulaşılabilir. k.ıncı değer için elimizdeki ifade;

şeklini alır.

Sabit katsayılar içinse H(n,j) daha basit şekilde ifade edilebilir. ’ye bağlı karakteristik
polinomların tamamının farklı olduğunu kabul ettiğimizde (3.28) için;



yazabiliriz.
Burada “ ”, son dizinin i.nci elemanı ve : ’ye bağlı karakteristik
polinomun türevidir.
Burada olduğu da kolaylıkla görebiliriz. için
yazıldığında çözüm ifadesi için;

olur. Öyle ki; için de;

olur.
Sonuç olarak; (3.29), (3.30) ve (3.31)’in özelliklerinden faydalandığımızda sırası ile;
ve şeklini alır.

3.5 Poincare Teoremi

” için (3.18)’in çözümleri ile ilgili iki temel teorem üzerinde
Bu kısımda “
durulacaktır.

Teorem 3.5.1 (Poincare): Eğer ise

, (3.36)’nın bir çözümü olmak üzere, her bir
oluğu durumda çözümü için;

olur.
spat: ve
ifadesinde için A(n) matriksi
şeklinde ayrı yazılabilir. Burada;



şeklindedir. Dolayısı ile (3.21)
ve ;
denklemi; şeklini alır. Şimdi de A ifadesini olarak
aldığımızda, buradaki V ifadesi, A’nın öz değerlerinden oluşan Vandermonde
Matriksi olup şeklindedir. Yine burada olduğunu
kabul edersek, farklı değişkenler için de; ve yazılabilir.
Bu gösterimlerden yola çıkarak; ifadesine ulaşmış oluruz. ’nin

bileşenleri ’in lineer kombinasyonları şeklindedir. Bu da bizi “ “ için “ ”
olduğu sonucuna götürür. de “n” değerine bağlı “s” indeksleri için,
Şimdi
olduğunu varsayalım. Bu durumda; olacak şekilde bir “ ”
değeri seçilecek olursa; S(n) fonksiyonu azalan bir fonksiyon olmamaktadır.

Biliyoruz ki; için olacak şekilde ve koşulunu
sağlayacak kadar küçük bir “ ” değeri seçecek olursak; ve “s(n+1)=s” için;

ve

yazılabilir. Sonrasında; eğer “s(n+1) = j” ifadesi s(n) fonksiyonundan daha küçük olduğu
durum için;

olduğunu gösterebiliriz. Böylelikle de j’ye bağlı bir ifade seti elde etmiş oluruz. Burada n>N
seçimi, tüm değerleri karşılayan ya da “k” değerine denk gelen uygun bir seçim olur. Değişik
rotasyon değerleri;

şeklinde sıfıra yaklaşan bir şekilde gösterir ve işlemleri bunun üzerinden ilerletecek olursak;

önceki ifadelerden de bildiğimiz şekli ile “ ” ifadesini ilk hareket
noktamız olarak alalım bu durumda; (3.37) için “ ” , daha yüksek limit değerine sahip
olmaktadır.



Sonrasında (3.37)’nin “ ” ya bağlı artış gösteren değerleri ve için ilk
olarak j>s kabulünü yaptığımızda;

olur. Buradan;

yazılabilir.
Bu da bizi keyfi belirlenmiş küçük “ ” değerleri için;

sonucuna götürür. Bu ilişki “ ” için “ ” koşulu ile sağlanabilmektedir. “j<s” olduğu
durum için de “ ” için benzer sonuçlara ulaşabiliriz;

Şimdi orijinal “ ” çözümünü dikkate alalım. Ayrı iki dizi olan “ ” ve “ ”
ifadelerinden; için;

ve

sonuçlarına ulaşabiliriz ve bu sonuçlardan da;

olduğunu kolaylıkla gösterebilir.



Şimdi ispatlamalara gidilmeksizin bir sonraki teorem olan Perron’dan bahsedilecektir.
Teorem 3.5.2 (Peron) Teorem 3.5.1’in doğru olduğunu ve için olduğunu
kabul ettiğimizde. “k” çözümleri olan için;

olarak yazılabilir.

3.6 Periyodik Çözümler

“N”nin birden büyük pozitif tam sayı olması durumunda. ise birinci
dereceden fark eşitliğinin çözümü olan “” ifadesi periyodiktir ve bu çözümünlerin
periyodu “N” dir.

Örnek 6: Örnek 5’de tanımlanan sistem ele alındığında. oluncaya kadar herhangi bir
sistemin periyot 10’a sahip olduğu görülür ve aynı periyoda sahip fark eşitlikleri içinde;

yazılabilir. eşitliği dikkate değer bir sonuçtur ve burada “ ” değeri için;
olarak alınabilir. Bu ifade de bizi eski bir basit geometrik hesaplamanın
sonucu olan altın orana, oradan da düzgün dekagona götürür (Bkz. Problem 3.20).
Bu örnekte de olduğu gibi tek bir periyodik çözüm söz konusudur. Fakat diğer
durumlarda; bir sonraki örnekte de görüleceği üzere; pek çok periyodik çözüm bulunabilir.

Örnek 7: Örnek 5’de; olması durumunda ve olmalıdır.
Buradan N’in farklı değerlerine karşılık gelen, Z’nin “N” periyodundaki periyodik çözümleri
için;

olur.



Burada tekil olmayan birinci dereceden sistemler için durum şu şekildedir; A(n), tekil
olmayan reel s x s matrikslerden oluşur ve vektörleri ’in elemanlarıdır. A(n) ve ’in
periyodik olduğunu varsaydığımızda da; A(n+N)=A(n) ve olmaktadır.
Homojen (3.2) eşitliğinin basit periyodik çözümlerinden birisi “ ” şeklindedir.
Homojen olmayan (3.1) denklemi içinse; tüm “n” değerleri için eşitliğini
sağlayan bir “ ” değeri var ise bu “ ” ifadesi basit periyodiktir.

Bu kısımda da basit olmayan periyodik çözümler araştırılacaktır.

Teorem 3.6.1 Eğer A(n) periyodik ve periyodu N ise temel matriks olan ifadesi;

olur.

spat: Bu ifadenin ispatına ’nin tanımından ve A(n)’nin periyodikliği ile ilgili
hipotezlerden kolaylıkla ulaşılabilir.

Teorem 3.6.2 Eğer homojen (3.2)’nin periyodik çözümü sadece “ ” ise homojen
olmayan (3.1) eşitliğinin N periyodu için tek bir periyodik çözüm vardır ve bu ifadenin terside
doğrudur.

spat: (3.1) ve (3.2)’nin periyodik çözümleri sırası ile olmak üzere
başlangıç değeri “ ” için bu çözümler;

şeklindedir ve aynı “ ” değeri için;

olur. Burada ‘dır.



(3.39) ve (3.40) eşitliklerinin çözümleri başlangıç değeri için, (3.2) ve (3.1)’in
periyodik çözümlerini verecektir. spatlandığı üzere; eğer (3.39)’un “ =0” şeklinde tek bir
olur ve bu durumda da (3.40)’ın basit olmayan tek bir çözümü
çözümü var ise
vardır. Yine bu durumun tersinin geçerliliği de ispatlanmıştır.
ve N(B) (B’nin boş uzayı) k-boyutlu ise (3.39)’un k-tane çözümü
Şimdi
vardır ve benzer şekilde (3.2)’nin de k-tane periyodik çözümü olacaktır. Eğer (3.40)’daki
problem durumu için;

yazılacak olursa ve bu ifade ile dik ise çözümlerin varlığından söz edilebilir.
ifadeleri ’nin esas değerleri olmak üzere;

olur. Buradan da;

yazabiliriz. Diklik şartı için de;

yazılabilir.Benzer şekilde;

olur. Sonuç olarak da;

ifadesine ulaşırız. Bu sonuçtan faydalanarak Teorem 3.6.3 ortaya konulabilir.

Teorem 3.6.3 Eğer homojen (3.2) eşitliğinin N periyoduna sahip periyodik çözümü var ise
(3.45)’den homojen olmayan (3.1) eşitliğinin de N periyotlu periyodik çözümleri vardır.

(3.44) ile verilen fonksiyonları dikkate aldığımızda olacak şekilde;

yazılabilir. “ ” değerlerinin N periyotlu olması durumunda;



olup bu ifade (3.1)’in “Katkılı Eşitliği” olarak adlandırılır. Bu eşitliğin temel matriksi
olmak üzere bu temel matriks için;

yazılabilir. (3.46) kullanılarak Teorem 3.6.3, Teorem 3.6.4’de olduğu gibi farklı bir şekilde
ifade edilebilir.

Teorem 3.6.4 Homojen (3.2) eşitliğinin N periyotlu k-tane periyodik çözümü var ise ve
” ile verilen vektör ifadesi “katkılı eşitliğe (3.46)” ait çözümlere dik
“
ise homojen olmayan (3.1) eşitliğinin N periyotlu periyodik çözümleri vardır.

Teorem 3.6.5 A(n) ve ’nin N periyotlu periyodik ifadeler olduğunu kabul edelim. Eğer
homojen olmayan (3.1) eşitliğinin N periyotlu periyodik çözümleri yok ise bu eşitlik sınırlı
sayıdaki çözümlere sahip olamaz.

spat: (3.1)’in hiçbir periyodik çözümünün olmadığı durumda, Teorem 3.6.2.’den
hareketle; (3.1)’in (3.45)’deki koşullarını sağlayamadığı sınırsız sayıda çözümü vardır.
Bu durumda; ; bir çözümdür. Buradan;

olur. (3.1)’in tüm “ ” çözümler için de ;

’nin periyodikliği ve (3.38)’den faydalanarak. Benzer
genel ifadesi yazılabilir.
şekilde;



yazabiliriz. k>0 için daha da genel bir ifade ile;

şeklini alır. Bu ifadede görüldüğü gibi “ ” ifadesi sınırlandırılamamaktadır.

Periyodik çözümlerin sabitliği konusu incelendiğinde; “ ” matriksinin
sabitlik ile ilişkilendirilmesi anlamında önemli bir yere sahip olduğu görülmektedir.

ve (3.38)’den;

olur. k>0 için aynı ifade;

şeklini alır. U’nun öz değerlerinden birisi “ ” olduğunda ve v’nin öz vektör ile ilişkili olması
durumunda;

ve için yazılabilir. Buradan da;

ifadesine ulaşabiliriz. Bu ifaden de anlaşılabileceği üzere; homojen eşitliğin çözümü “ ”
başlangıç değerini almakta ve tek periyot sonrasında da “ ” ile çarpılmaktadır. Dolayısı ile
U’nun öz değerleri “çarpanlar” olarak adlandırılmaktadır. Bu durumun tersi de doğrudur. Eğer
“ ” tüm “n” değerleri için çözüm ise ve tüm “n” değerleri için oluyorsa
“ ” eşitliği yazılabilir ve bu eşitlikte bizi “ ” sonucuna götürür ki buradaki
“ ” ifadesi, U’nun birim vektörüdür.

Örnek 4’de de görüldüğü üzere; A(n) matriksi sabit olduğu durumda periyodik
sonuçlar artış gösterebilmektedir.



3.7 Sınır Değer Problemleri

Sturn-Liouville problemi;

eşitliklerinde de olduğu gibi farklı bir şekilde ele alınabilir. Bu eşitlik koşulları ise;
ve şeklindedir. Buradaki tüm dizi elemanları reel
sayılardan oluşmaktadır. Bu problem durumunun ileriki aşamalarda bazı ergümanların da
kullanılmasıyla çok sade bir şekilde ifade edilebileceği görülecektir. fadeler vektör formuna
sokularak, lineer cebir problemi şeklini alacaktır. lk iş olarak (3.51) ifadesinden yola çıkacak
olursak, bu ifade;

olacak şekilde aşağıdaki gibi yeniden yazılabilir;

ve

için de;



olur. Elde edilen son eşitlik, görülebileceği üzere (3.51)-(3.52) eşitliklerinin eş değeri
şeklindedir. Bu (3.54) eşitliği, A matriksinin bir genelleştirilmiş öz değer denklemidir. Bu
problem durumunun çözümlerinin olması durumunda;

olur ki bu da bir polinom eşitliğidir.

Teorem 3.7.1 (3.54)’ün genelleştirilmiş öz değerleri reeldir.

spat: olsun, bu durumda (3.55)’in kökleri;

olmak üzere; (3.56)’nın da kökleridir. SAS matriksi simetrik ise reel öz değerlere
sahiptir ve her bir “ ” öz değerine karşılık (3.54)’ün çözümü olan bir “ ” öz vektörü
vardır. Bu durum, standart ergümanlardan da kolaylıkla ispatlanabilir; eğer ve iki
farklı öz değere karşılık gelen öz vektörler ise;

olur.

Tanım 3.7.1 ’de olduğu gibi “ ” ve “ ” iki farklı vektör olmak üzere bu
ifadeler R-Ortogonal olarak adlandırılırlar.

Sturn Liouville problemi olan (3.51)-(3.52), (3.54)’ün eşiti olduğunda;

Teorem 3.7.2 Sturn-Liouville probleminin iki ayrı çözümü için iki farklı öz değer vardır ve
bunlar R-Ortogonaldır.

ve A(n), s x s matriks olmak üzere daha genel problem durumu olan;
Şimdi

eşitliğini dikkate alarak sınırlandırılmış durum için;



olduğunu varsayalım. Burada “n” ve “w”; ve koşullarını
sağlayan birer vektördür. ifadesi de s x s matriks olarak verilmiştir. , homojen
problem olan;

için (3.58)’in çözümleri;
için temel matriks olarak seçildiğinde,

şeklini alır. Burada “ ” belirsiz başlangıç koşuludur ve (3.59)’un sınırlılığı için;

yazılabilir. Bu sonuç;

için “I” ya eşit ve
şeklinde yeniden düzenlenebilir. Burada basamak matriksi olan T(j,n),

için de “0” a eşit olarak tanımlanmıştır. olarak alındığında ise bir
önceki ifade;

olmaktadır.

Teorem 3.7.3 Eğer “Q” matriksi tekil olmaması ve (3.58) probleminin sınırlı olduğu durum
için (3.59)’un;

şeklinde tek bir çözümü vardır. Buradaki G (n,j) matriksi de;

şeklinde tanımlıdır.

spat: Q matriksinin tekil olmadığı durumda, (3.36)’dan da görüleceği üzere başlangıç
koşulları için;



yazılırsa; (3.61) ifadesi problem durumunun çözümüdür. “ ” (3.61)’de yerine
konulduğunda;

olur. (3.64)’de verilen G(n,j)’nin tanımını ve Green matriksi ile ilgili bilgileri
hatırlayacak olursak; G(n,j), Green matriksi olarak isimlendirilmekteydi ve bu Green
matriksi aşağıdaki gibi dikkat çeken özelliklere sahip idi;

(1) Farklı “j” değerleri için G(n,j) sınırlı olan

olarak yazılabilir.

(2) Farklı “j” değerleri ve için G(n,j) fonksiyonu için homojen olan;

yazılabilir.

(3) “n=j” için; olur.

Yukarıdaki ifadeler ile ilgili ispatlar Problem 3.26 ve 3.27’de olduğu gibi yapılmıştır.
Eğer Q matriksi tekil ise (3.65)’in sonsuz sayıda çözümü olabileceği gibi hiçbir çözümü de
olmayabilir. (3.63)’ün daha basit gösterimi amacı ile eşitliğin sağ tarafı için “b” yazdığımızda
ifade;



şeklini alır. R(Q) ve N(Q)’nun sırası ile yüksek değerleri ve “Q” boş uzayı için eğer
ise (3.67) çözümlü olacaktır. Bu durumda; “c”, N(Q)’da herhangi bir vektör ve (3.67)’in
herhangi bir çözümü olan “ ” için de çözüm; “ ” olmaktadır. Diğer yandan
olduğu durumlar için de problem çözümsüzdür.

Birinci durum için yani; olduğunda; problemin çözümü, Q’nun tersinin
genelleştirilmiş halinden elde edilebilir ve “r=rankQ” şeklinde tanımlanabilir. Q’nun tersinin
genelleştirilmiş hali olan “ ” ile ilgili olarak aşağıdakiler yazılabilir;

Burada P ve ; R(Q) ve üzerindeki hesaplamalardır ( : Q’nun eşlenik
transpozudur.) yi bilinmelidir ki; eğer “F” s x s matrik ise ve sütun değerleri R(Q) ise “p”
için;

ifadesini kullanarak (3.67)’nin çözümü olan “ ”
yazılabilir. olduğu durumda
için;

yazılabilir.
ifadesinin elimizde olmasına karşın, sınırlı değer probleminin
bir çözümü olan “ ” ifadesi (3.64) ve (3.65) de “ ” yerine “ ” yazılması ile daha
basitleştirilmiş olur. Bu çözüm az önce de gördüğümüz üzere tekil bir çözüm değildir. Aslında
olduğunda ifadesi;



olduğunda ise (3.71)
olduğu sürece sınır değer koşullarında bir çözüm almaktadır.
bağıntısı için en küçük kare çözümüne sahiptir çünkü; “ ” değeri niceliğini
minimum yapmaktadır ve “ ” dizisi yaklaşık bir çözüm olabileceği tanımı yapılabilir.

BÖLÜM 4

SAB TL K TEOR S

4.0 Giriş

Bu bölümde; 4.1’de, çeşitli sabitlik gösterimleri ve birkaç basit örnek durum verilerek,
4.2’den 4.4’e kadar olan kısımda lineer fark eşitliklerinin sabitliği teorisi üzerinde durulacaktır.
4.5 kısmında da ölçüt normların ve karşılaştırma prensiplerinin kullanımı ile elde edilen genel
sonuçlardan bahsedilerek, sabit formüllerinin lineer olmayan varyanslarına 4.6’da yer
verilecektir. 4.7 kısmında ise ilk tahmini değer ile sabitlik konusuna değinilecektir. 4.8 ve
4.9’da Liapunov Fonksiyonları, karşılaştırma prensibi ve birkaç teorem ile sabitlik teorisi
incelenecek olup, 4.10 kısmında da zıt durumlar ile ilgili gerekli tartışmalar yapılacaktır.
4.11’de nümerik analizde olduğu kadar tüm uygulamalarda önemli yeri olan, “uygulamalı
sabitlik” ile ilgili genel kavramlara değinilerek, 4.7’deki konu ile ilgili tamamlayıcı birkaç
problem durumu ile bölüm sonuçlandırılacaktır.



4.1 Sabitlik Gösterimleri

“y” merkezli ve “ ” yarı çaplı “B” açık yuvarı; “B(y, )” şeklinde gösterilecektir.
“y=0” içinde daha kısa bir gösterim olan; “ ” kullanılacaktır. ve
olduğunda; yuvarlarında da olduğu gibi; orijin noktası tartışılırken, bu
noktaların daima D’ de olduğu varsayılacaktır.

fark eşitliğini ele alalım.

Tanım 4.1.1

buradaki “ y” noktaları şeklinde tanımlı ve tüm “n” değerleri de (4.1)’in sabit
noktalarıdır. Bu noktalar, “kritik noktalar” veya “denge noktaları” olarak adlandırılır.
fadelerin basitleştirilmesi için sabit noktaların orjinde olduğu kabulü yapılacaktır. Sabit
noktalar orjinde olmadığında; şeklinde bir koordinat değişimi yapıldığında sabit
noktaların merkezde olduğu;

durumuna kolaylıkla geçiş yapılabilmektedir.

Tanım 4.1.2 (4.1)’in “y=0” çözümü için aşağıdaki tanımlamalar yapılabilir;

(i) Eğer her ve her için olacak şekilde bir değeri
varsa; (4.1)’in “y=0” çözümü “sabit”tir.
(ii) “y=0” çözümü sabit ve “ ”, “ ” dan bağımsız seçilmişse; (4.1)’in “y=0” çözümü
“tek tip sabit”tir.
(iii) oluyorsa; (4.1)’in “y=0”
Eğer olduğunda için
çözümü “çekici”dir.
(iv) ”dan bağımsız seçilebiliyorsa; (4.1)’in
Eğer çözüm, çekici ve “ ” değeri “
“y=0” çözümü “tek tip çekicidir”.
(v) Eğer çözüm sabit ve çekiciyse; (4.1)’in “y=0” çözümü “asimptotik sabit”tir.



(vi) Eğer çözüm tek tip sabit ve tek tip çekiciyse; (4.1)’in “y=0” çözümü “asimptotik tek
tip sabit”tir.
(vii) değerleri için çekiciyse; (4.1)’in “y=0” çözümü “geniş
Eğer çözüm tüm
çaplı çekici”dir.
(viii) değerleri için asimptotik sabitse; (4.1)’in “y=0” çözümü
Eğer çözüm tüm
“geniş çaplı asimptotik sabit”tir.
(ix) Eğer “ >0”, “a>0” koşulunu sağlayan “ ” ve “a” değerleri var ise ve

yazılabiliyorsa; (4.1)’in “y=0” çözümü “tek tip
için;
ekspronansiyel sabit”tir.

(x) Eğer çözüm sabit ise ve bazı “p>0” değerleri için;
oluyorsa; (4.1)’in “y=0” çözümü “ -sabit” tir.
(xi) Eğer bir önceki madde “ ” ile ilgili olarak tek tip bir noktada birleşiyorsa (4.1)’in
“y=0” çözümü “ tek tip - sabit”tir.

Örnek 8:

fark eşitliğini ele alalım. Buradaki “ ” değerleri reel sayılardan oluşmak üzere (4.2)’nin
çözümü için;

yazılabilir. Bu çözümle ilgili olarak şunlar söylenebilir;

(a) Çözümün sabit olması durumunda;

ise

olur ve sabitlik için ifadesi;



değerlerini alır.
(b) Çözümün tek tip sabit olması durumunda

ve olmalıdır. Bu tek tip sabitlik durumu, olması koşuluna da bağlıdır.
(c) “y=0” çözümünün asimptotik sabit olduğu durumda; eğer “a” nın tekil ifadesi;

ise

yazılabilir. Bu durum “ ” olduğunda geçerli değildir. Bu da göstermektedir ki; “tek
tip sabitlik” ve “asimptotik sabitlik” iki farklı yapılanmaya işaret eder.
(d)

” ise; “x=0” çözümü “ekspronansiyel sabittir”.
ve buradaki “ ” ve “
Burada bahsi geçen farklı çeşitlilikteki sabitlikler için hiyerarşik bir yapı söz konusudur.
Örneğin; sabitliğin “tek tip asimptotik” olması; sabitliğin “asimptotik” olduğu anlamına gelir.
Benzer şekilde; çözümün “tek tip sabit” olduğu durumda aynı çözümün “sabit” olduğu
yargısına varılabilir. Buradan bir genellemeye gidilecek olursa; çözümün “asimptotik sabit”
olması; çözümün “sabit” olduğu anlamına gelir. “f” in “n” e bağlı olmadığı durumlarda (4.1)
eşitliği “özerk eşitlik” olarak adlandırılır. “özerk eşitlikler” tek tip sabittirler ve bu durum;
“özerk olarak adlandırıldığında bu özerkliği
durum”
“ ” eşitliğinden görülebilmekteyiz. için de aynı
eşitlik ifadesini yazızlabiliriz. ki çözümünde “ ” için aynı değere sahip olduğunu
varsaydığımızda da; bu çözümler “ ” için birbiri ile uyumludurular. Bu da demek oluyor
ki; özerk eşitliklerin sabit nokta değerleri için her zaman “ ” alınabilir. Eğer “ ” için
sabit çözüm durumu söz konusu ise ve tüm “ ” değerleri içinde aynı durum geçerliyse;



çözümün “tek tip” olduğu söylenebilir. “Çekicilik” kavramı “sabitlik” kavramından daha farklı
bir yapılanmaya sahiptir ve bir sonraki örnekte de bu durum ortaya konulmuştur.

Örnek 9: Aşağıdaki eşitlikleri ele aldığımızda;

şeklindedir ve (4.4)’ün orjinin sabit olmaması durumunda bu ifade;
Burada
“geniş çaplı çekici” dir. Elbetteki çözüm için “ -sabitliği” söz konusu ise sistemin asimptotik
sabit olduğu da söylenebilir. Çünkü; serisinin, ortak ifadesi sıfıra
yaklaşır. Ekspronansiyel sabitliğin, -sabitlik ile olan ilişkisi de aşağıda gösterildiği gibidir.

Teorem 4.1.1 Eğer “y=0” çözümü, “ekspronansiyel sabit” ise bu çözüm aynı zamanda “ -
sabit”tir.

spat: Tanımdan faydalanarak, ve olması durumunda;

yazılabilir. Buradan da;

şeklinde ispat tamamlanmış olur.

4.2 Lineer Durum

Şimdi “tek tip sabit”lik ve “asimptotik sabitlik” karakteristik yapıları ile ilgili sonuçlar,
temel matriks ifadesi ile birlikte ele alınacaktır. lk olarak A(n)’in s x s bir matriks olduğu;

eşitliğini ele alalım;

Teorem 4.2.1 , (4.5)’in temel matriksi olmak üzere;



için M>0 şeklinde bir “M” var ise “y=0” çözümü “tek tip sabit” olur.
eşitliğinde

spat: olduğunda; olması için gerek
ve yeter şart ve olmasıdır. Eğer burada tek tip sabitlik söz
konusuysa; için olmak zorundadır ve olarak
alındığında da;

şeklinde sınırlandırılmış ifade elde edilir. Dikkat edilmelidir ki; (4.7), ’ın sadece
tanımıdır (Bkz. EkA).

Teorem 4.2.2 Eğer olacak şekilde “ ” ve “ ” gibi iki pozitif sayı var ise (4.5)’in “y=0”
çözümü; ifadesinden de görüleceği üzere; “tek tip asimptotik sabit”tir.

spat: Bu koşullu durumun ispatı daha önce de olduğu gibi basittir. Çözümün “tek tip
asimptotik sabit”liği durumunda, “ ” olacak şekilde sabit bir noktadır.
koşullarını sağlayan “ “ ve “ ” değerleri mevcuttur. için
de olur. Daha önce de olduğu gibi bu ifadeden için
olduğu kolaylıkla görülebilir. için “ ” ifadesi keyfi
olarak ufak seçilirse; çözüm “tek tip asimptotik sabit” olur. Daha önceden bahsedilen
Hiyerarşik yapılanmadan da bu ifadenin aynı zamanda “tek tip sabit” olduğunu
söyleyebiliriz. Bu tek tip sabitlik durumundan hareketle de; sonucu tüm
değerleri için pozitif değeri ile sınırlandırılmış olur.

Dahası; için;

yazılabilir. Burada ve alındığında teoremin ispatı tamamlanmış
olur.



Bu teoremden; lineer yapılanmalar için “tek tip asimptotik sabit”liğin “ekpronansiyel
sabitlik” ile eşdeğer olduğunu görebiliriz.

4.3 Özerk Lineer Sistemler

Bu kısımda uygulamalardaki önemi dolayısıyla “lineer özerk eşitlikler” incelenilecektir.
Hali hazırda Teorem 4.2.1 ve 4.2.2 ile ilgili sonuçlar elimizdeyken burada da olduğu gibi, daha
açık ve anlaşılır sonuçlara ulaşılabilir. Homojen özerk eşitlik olan;

için çözüm;

olmaktadır.
Matriks teorisinden de biliyoruz ki (Bkz Ek A);

idi. (4.10)’daki A’nın öz değerleri birim değerler olarak alındığında; olur.
Bu sonuç, sonraki sonuçlara ulaşmak için hareket noktası özelliği taşımaktadır.

Teorem 4.3.1 Eğer A matriksinin öz değerleri, birim disk içerisinde kalıyor ise (4.8)’in “y=0”
çözümü “asimptotik sabit”tir.
Eğer 0 ise “ ” öz değerini “yarı basit” olarak adlandırmıştık.

Teorem 4.3.2 Eğer A matriksi, birden az veya bire eşit yarı basit moda sahip ise (4.8)’in
“y=0” çözümü “sabit”tir.

spat: (4.10)’dan kolaylıkla görüleceği üzere; yarı basit öz değerler için “q” ifadesi
için olacak şekilde işlem devam ettirilebilir. Aynı zamanda burada
olmamalıdır. A matriksinin “eş matriks” olması durumunda ise basit olmayan hiçbir
yarı basit öz değerden bahsedemeyiz (Bkz. EkA). Bu durumda Teorem 4.3.2, sözü
edilen şekli alır.



Teorem 4.3.3 A, eş matriks olsun. A’nın öz değerleri birden küçük ya da bire eşit mod
değerlerine sahip ve bu modlardan birisi basit ise “y=0” çözümü “sabit” olur.

Örnek 10:

eşitliği basit çözümlü bir denklemdir. Burada “I” matriksi s x s şeklidedir ve öz değerlerinin
çarpımı bir olan, birim matrikse örnek teşkil etmektedir. (4.11) ifadesi ise yarı basittir ve “y=0”
çözümü sabittir. Şimdi homojen olmayan;

denklemini ele alalım. Buradaki A, s x s matriks ve b’de negatif olamayan bir vektördür. Kritik
nokta olan “ ” için çözüm olarak;

yazabiliriz.
Burada, fark eşitliklerinde de olduğu gibi (4.13)’ün negatif olmayan çözümleri ile
sabitlik özellikleri arasında bir ilişki vardır.

Aşağıdaki iki teorem içinde kullanılan gösterimler için EkA kısmına bakınız.

Teorem 4.3.4 ise ve A’nın spektral yarıçapı olan “
Eğer ” değeri birden
küçük ise (4.13) denklemi negatif olmayan çözümlere sahiptir.

spat: var ise ifadesi için = yazılabilir. Buradan
da negatif olmayan çözüm; şeklinde gösterilir. ile ilgili kabulden;
“y” nin “asimptotik sabit” olduğunu görüyoruz.

Teorem 4.3.5 ve “b” pozitif sayı olsun. Eğer (4.13)’ün pozitif çözümü var ise;
olmak zorundadır.

spat: Perra-Frobenius teoreminden, “ ” denkleminde olduğu gibi “ ”
değeri negatif olmayan öz vektör olmak üzere, “ ” ifadesi “ “ile gösterilen reel
öz değerlere sahiptir. (4.13) denkleminden; transpoz çarpımlarını ve “ ” için de;



yazabiliriz. Burada eğer ” ve “ nin ikisi birden pozitif ise
<1 olmaktadır.

Yukarıdaki sonuçlar, lineer eşitliklerde kullanılan metodlardaki uygulamaları dolayısı
ile önemlidir.

4.4 Periyodik Katsayılı Lineer Eşitlikler

Önceki kısımlarda ortaya konan sonuçlar, aşağıda verilen “özerk olmayan eşitlikler”
için genellenememektedir. Bu kısım için;

denklemini dikkate aldığımızda buradaki A(n);

şeklini almaktadır. Buradaki tüm “n” değerleri içinde A(n)’in öz değerleri “ ” olmakla
birlikte bu öz değerlerin tamamı “birim disk” içerisindedir. Fakat bu durum sıfır çözümün
sabitliği konusunda emin olmamamız için yeterli bir sonuç değildir. Emin olabilmek için
için

temel matriks olarak alındığında eğer “n” değeri sonsuz bir ifade ise eşitliğimiz;

şeklini alır. Bu durumda çözüm, ekpronansiyel olarak orjinden uzaklaşır. Dolayısıyla; A(n)’in
başlangıç koşulları için sabitliğinden söz edebiliriz. Her ne kadar konu başlığı, “periyodik A(n)
matriksleri için lineer denklemler” olsa da burada bir “ara durum” söz konusudur. (3.49)
eşitliği de bize göstermektedir ki; esas eleman olan “U”, olmakla birlikte
için;



olarak yazılabilir. Elde etmiş olduğumuz bu çözümün özellikleri, “ ” ifadesinin özellikleri
ile doğrudan ilişkilidir. Bu ifade sonraki çözümlemelere emsal teşkil etmesinin yanı sıra
Teorem 4.3.1’in basit ve karşılaştırılabilir şeklidir.

Teorem 4.4.1 “N” periyotlu “A(n)” için; “U” matriksinin öz değerlerinin “birim disk”
içerisinde kalması durumunda eşitliğinin sıfır çözümü “asimptotik sabit” tir.

Burada ortaya konan, özerk ve periyodik eşitliklerin basit çözümlemeleri arasında sıkı
bir ilişki vardır. Bu ilişki durumundan, bir sonraki teoremde de bahsedilecektir.

Teorem 4.4.2 Tüm “i” değerleri için tekil olmayan ve periyodik bir A(i) ifadesi var ise bu
periyodik A(i) yapılanması özerk yapılanmaya dönüştürülebilir.

spat: “U” matriksinin tekil olmadığı durum için;

teoreminden hareketle C matriksini;

şeklinde yazmak mümkündür (Bkz EkA). Eğer oluyor ise
yazılabilir ve bu ifade de;

koşulunu sağladığında periyodiktir.

Yeni varyasyonların gösterimi için bir matriks olan;

kullanılarak. olduğunda;
olarak alınabilir. Buradan da ;

sonucuna ulaşırız. Bu da teoremin ispatı niteliğindedir.



Çözüm ifadesi, C’nin (ya da U’nun) öz değerleri başlangıç değeri olarak seçildiğinde;
olur. Burada : Öz vektör ve ifadesi de öz vektöre bağlı bir değişkendir. Fakat
değeri “U”nun öz değeri olduğunda; olur ki bu da aşağıda olduğu gibi orijinal eşitlik
ile ilişkilendirildiğinde bizi;

ifadesine götürür buna benzer bir durumu Bölüm 3’ten de hatırlayabiliriz. (4.23) çözümleri,
“Floquet Çözümleri” olarak adlandırılır. Bu isimlendirme ve sonuçlar, sonraki uygulamalarda
da kullanılacaktır.

4.5 Karşılaştırma Prensibinin Kullanımı

Burada, kısmın (1.8)’de de değindiğimiz karşılaştırma teorileri aracılığı ile fark
eşitliklerinin çözümlerinin önemli özelliklerini ortaya koyabiliriz. Bu karşılaştırma teorileri,
diferansiyel denklemlerin ilişkilenimi teorisi ile paralellik gösterir.

Teorem 4.5.1 g(n,u) ifadesi, u’nun azalmayan değerleri için genel olmayan bir fonksiyon
olduğunda;

(1)
(2) ve
(3)

kabullerini yapabiliriz. Dolayısıyla;

denkleminin sıfır çözümü ile (4.1)’in sıfır çözümünün sabitlik özellikleri örtüşür.

spat: (4.1)’den;

yazılabilir. Bu ifade (4.24) ile karşılaştırıldığında ve Teorem 1.6.1 (
olduğunda) kullanıldığında için olduğu sonucuna ulaşırız. Şimdi



(4.24)’ün sıfır çözümünün sabit olduğunu kabul edecek olursak; için
’dan söz edebiliriz. Bu da (4.1)’in sıfır çözümünün sabit olduğu
olacak şekilde bir
anlamına gelir.

Bu durumda (3)’de kabul edilen ifadenin yerini;

(4) alır. Burada “u” nun azalmayan değerleri için ifademiz
“g(n,u)=u+w(n,u)” şekline dönüşür. (4) ‘deki “w” değeri bazı durumlarda pozitif
olarak alınması bize fayda sağlayabilmektedir. Burada (4) ile yapmış olduğumuz
kabul, “Liapunov Fonksiyonları” nın kullanıldığı durum ile benzerlik göstermektedir.
Aynı zamanda Teorem 4.5.1’in versiyonu son derece kullanışlıdır.

Şimdi 4.5.1. ve teoremlerinden, bir takım önemli varyasyonlar gösterilecektir.

Teorem 4.5.2
(i) lineer eşitlikler için temel matriks olmak üzere;

olsun.

(ii)
ve

olsun.
(iii) “ ”’nin çözümleri olan;

için sınırlı olsun. Bu durumda (4.25) lineer eşitliğinin sabitlik özelliği;
ifadesi

ifadenin sıfır çözümlerinin özellikleri ile benzerdir.

spat: için lineer dönüşüm sonrası (4.28) ifadesi;



şeklini alır. Buradan da;

yazılabilir. Eğer oluyor ise yazabiliriz ve
ifadesi “ ”nin çözümü olmak üzere;

sonucuna ulaşırız.

Eğer lineer yapılanmanın çözümü örnek olarak “tek tip asimptotik” seçilirse; Teorem
4.2.2’den olması gerektiği görülebilir. ve koşulları için
aynı ifade daha uygun bir biçimde;

olarak yeniden yazılabilir. Bu sonuca göre “x=0” çözümünün “tek tip asimptotik sabit” olduğu
söylenebilir. Çünkü; bu ifade “ ” ile sınırlandırılmıştır. Benzer şekilde diğer durumlar da
basitçe ispatlanabilir.

Şimdi “nümerik analiz”de geniş anlamda kullanılmakta olan Teorem varyantı
konusuna değinilecektir.

Teorem 4.5.3 h: pozitif bir sabit olmak üzere fark eşitliği;

şeklinde verilmiş olsun. Burada;
(1) için ve
(2) ve olarak alındığında;

denkleminin sıfır çözümlerinin sabitlik özellikleri, (4.30) ifadesinin sıfır çözümünün sabitlik
özellikleri ile örtüşür.

Yukarıda bahsi geçen teoremlerdeki ifade, diferansiyel denklemlerde kullanılan
nümerik metotların neden olduğu hatalar dolayısı ile kullanılmaktadır. Şimdi (4.31) den farklı
olarak genellikle kullanılmakta olan “karşılaştırma denklemi”ni ele aldığımızda;



olması dolayısı ile burada kullanılamayabilir. Buradaki (4.31)
için
denklemini bizi daha ilginç sonuçlara götüreceği ortadadır. Çünkü; A’nın öz değerlerinin tüm
negatif reel sayıları alması durumunda; ifadesi birden küçük olabilmektedir. Bu
duruma örnek vermek gerekirse;

yazılabilir ve bu ifade sıfırdan küçüktür. Tanımdan da faydalanarak;

şeklini alır. Bu da bize;

kabulü imkanı sağlar ki buradan da karşılaştırma eşitliği olan;

ifadesine ulaşabiliriz.

Bir sonraki teorem f’nin çeşitli varyanslarından herhangi biri için koşul gerekliliklerini
ortaya koymakla birlikte kritik noktanın varlığı ile ilgili basit ve öznel bilgilere ulaşmamızı
sağlar. Bunun için ilk olarak genel bir ifade olarak;

yazalım.

Teorem 4.5.4 Aşağıdaki kabulleri yaptığımızda;

(i) “ ”, ’de sürekli bir fonsiyon, “g” ise pozitif bir fonksiyon olmak üzere; her
iki fonksiyonda ’de tanımlıdır. Burada “ ” ifadeleri ’nin alt kümesidir ve
orjin noktasını kapsamaktadırlar.
(ii) ” dizisi D’de süreklidir.
için “
(iii) dizisi için;

ilişkisi söz konusudur.
(iv) Karşılaştırma eşitliği olan;



için orjinde sabit bir noktada ekspronansiyel sabitlik söz konusudur.

spat: Eğer ise;

yazılabilir ve “g” nin azalmayan değerleri için ifade;

şeklini alır.

Teorem 1.6.5’den “ ” (4.36)’nın çözümü olmak üzere; olmalıdır.
olur. Eğer orjin noktası, (4.36) için ekspronansiyel sabit ise “ ”
Buradan da;
için “ ” dizisi sıfıra yaklaşır ve benzer durum içinde geçerlidir.
Benzer şekilde “P” değerleri için, eğer oluyorsa;

yazabiliriz. Bu sonuçtan (4.36)’nın ekspronansiyel sabit orjin ifadesinden ve Teorem
4.1.1’den “ sabitlik” özelliğine ulaşılmış olur. “ ” serisi tek bir noktada
birleşmektedir. Eğer n, değerleri keyfi olarak seçilirse; “ ” ile gösterilen
ifade “Cauchy dizisi” ne dönüşmüş olur.

4.6 Sabitlerin Varyasyonu

Bu kısımda A(n), Tekil olmayan s x s matriks ve “f” fonksiyonunun,
şeklinde tanımlı olduğu;

eşitliğini ilk olarak ele aldığımızda.

Teorem 4.6.1 (4.37)’nin çözümü olan için;



eşitliği yazılabilir. Burada ifadesi de;

şeklinde ayrıca yazılabilir.

spat:

olsun. Bu ifade, (4.37)’de yerine konduğundaki şekliyle;

olur. Buradan da;

ve

olduğu görülür. (4.40) eşitliğinden de ifademiz;

şeklini alır. Şimdi de“f” fonksiyonunun, şeklinde tanımlı olduğu;

eşitliğini dikkate alalım.

Kabul 4.6.1 f, şeklinde tanımlı ve kısmi türevleri ’de olsun.
için (4.42)’nin çözümü; ve

olur. Bu durumda; için de;

yazılabilir. Bu ifade;



eşitliğinin çözümü olup;

olarak da gösterilebilir. Bu eşitlik; “varyasyonel eşitlik” olarak adlandırılmaktadır.

spat: (4.42)’nin “ ” için diferansiyel ifadesi;

olmaktadır. Şimdi “ ” nin tanımından ve (4.45)’den Teorem 4.6.1;

eşitliğine genellenebilir.

Teorem 4.6.2 ve ifadesinin ’de tanımlı ve sürekli
olması durumunda eğer;

ise (4.47)’nin her bir çözümü için ayrıca;
eşitliğinin çözümü;

yazılabilir. Burada;

olmakla birlikte “ ” ifadesi, (4.50)’de de verilen kapalı eşitlik ile ilişkilidir.

spat: ve ifadelerini kullanarak;

yazabiliriz. Buradan;



ifadesine ulaşırız.

“Esas Değer Teoremi”nden;

olmaktadır. Bu ifade (4.44)’den;

şeklini alır. Bu son ifade de;

ile denk olup işlem buradan devam ettirildiğinde;

ve

şeklinde işlem sonuçlandırılmış olur.

Sonuç 4.6.1 Teorem 4.6.2’den çözümü için;

yazılabilir.

spat: “Esas Değer Teoremi”ni (4.49) için bir kez daha uygulayınız.

Sonuç 4.6.2 Eğer oluyor ise (4.52) eşitliği (4.38)’e indirgenmiş olur.

spat: Eğer ise;

olur. Daha önceden de;

ve



olduğunu biliyoruz ki; buradan da işlem yukarıdaki gibi sonuçlandırılabilir..

4.7 lk Yaklaşık Değer le Sabitlik

“y” değeri şeklide tanımlı, A(n) ise s x s şeklinde bir matriks olsun. Ayrıca “f”
fonksiyonu şeklide tanımlı ve f(n,0)=0 olmak üzere;

şeklinde bir ifade yazabiliriz. Şimdi bu eşitliği inceleyecek olursak; “f” değeri yeteri kadar
küçük seçildiğinde (4.53);

olarak ifade edilebilir. Burada aklımıza gelen sorulardan birisi (4.54)’ün sabitlik özellikleri ile
(4.53)’ün sabitlik özellikleri arasında nasıl bir ilişkiden söz edilebileceğidir. Bu sorunun cevabı
da bir sonraki teoremde verilmiştir.

Teorem 4.7.1

ise (4.54)’ün sıfır çözümü “tek tip
olsun. Burada eğer“ ” değerleri pozitif ve
sabit (ya da tek tip asimptotik)” olur. Aynı bu durum (4.53) içinde geçerlidir. Yani; (4.53)’ün
sıfır çözümünün de “tek tip sabit ( ya da tek tip asimptotik sabit)” olduğunu söyleriz.

spat: (4.38)den;

olur. Benzer şekilde Teorem 42.1 ve (4.55)’den;

ifadesine ulaşabiliriz. Sonuç 1.6.2’den de ;



olmak üzere değerini yeteri kadar küçük seçtiğimizde işlemi;

şeklinde devam ettirebiliriz. “Tek tip asimptotik sabitlik” durumundaysa ,
ve her için;

yazılabilir. Burada da olmalıdır.

Sonuç 4.7.1 (4.54)’ün çözümlerinin sınırlandırıldığı ve A(n)’in sabit olduğu durumdaki çözüm
için;

yazılabilir. Burada;

koşulu sağlanmalıdır.

Teorem 4.7.2

olması koşulu ile L>0 olacak şekilde ufak bir değer olarak alındığında; (4.54)’ün “ ”
çözümü “tek tip asimptotik sabit” olur. Benzer şekilde; (4.53)’ün “ ” çözümü de
“ekspronansiyel tek tip asimptotik sabit” olur.

spat: Teorem 4.2.2’den; H>0, için;

yazılabilir buradan hareketle (4.58) de kullanılarak;

ifadesine ulaşabiliriz. Yeni varyasyonel değerlerin; olması durumunda;

olduğunu görüyoruz. Burada Sonuç 1.6.2’yi tekrar kullandığımızda;



sonucuna ulaşırız. Bu ifade bize;

olduğunu gösterir. Buradan da sonuç olarak; için yazabiliriz.

Aşağıda bahsi geçen özel durum, uygulamalarda daha sık kullanılmaktadır.

Sonuç 4.7.2 (Perron)

denklemini dikkate aldığımızda. A’nın tüm öz değerlerinin birim disk içerisinde olması
durumunda, dahası;

olduğunda “n”e bağlı tek tip olarak (4.60)’in sıfır çözümleri “ekspronansiyel asimptotik
sabit” olur. Bu sonucu kolaylıkla ispatlayabiliriz.

Teorem 4.7.3 A, s x s matriks olmak üzere “ ” eşitliğinin sıfır çözümü eğer;

koşulunu sağlıyor ise“asimptotik sabit”tir. Dolayısıyla (4.56)’nın sıfır çözümü de “asimptotik
sabit” olur.

4.8 Liapunov Fonksiyonları

Kritik noktaların sabitlik özellikleri çalışılırken kullanılacak en etkili yöntem;
“Liapunov’un ikincil metodu”dur. Bu metotta, mekanik sistemlerdeki enerjinin rolünü
genelleyen bir yardımcı fonksiyon kullanılır. Diferansiyel sistemlerde 1982 yılından bu yana
kullanılmasına karşın, “fark eşitlikleri”nde kullanımı çok daha yeni bir hadisedir. “yardımcı
fonksiyon” ifadesini vermeden önce bu fonksiyonla birlikte bir takım özel fonksiyonları da
vermek faydalı olacaktır.



Tanım 4.8.1 “ ” fonksiyonu, eğer “ ” aralığında sürekli ise “k-tipi fonksiyon” olarak
adlandırılır. Bu fonksiyon artan bir fonksiyondur ve “ ” dır.

Herhangi iki fonksiyonun ikisinin de “k-tipi” olup olmadığını kontrol etmek son derece
kolaydır;
Tanım 4.8.2 Bu fonksiyonu, eğer olacak şekilde tüm
için; ( veya ) şartını sağlayan bir fonksiyon ise “pozitif
tanımlı” ( veya negatif tanımlıdır).

Tanım 4.8.3 Tüm olacak şekilde için; şartını
sağlayan fonksiyonu “artan”dır.

şeklinde tanımlı olduğu, ve ’in “x” için
f’in
sürekli olduğu;

, (4.62)’nin çözümü olmak üzere başlangıç koşullarında
eşitliğini ele alalım.
değerlerini alır. “V” fonksiyonunun varyasyonlarını (4.62)’nin
için
çözümlerinde kullanacak olursak;

olduğunu görürüz. Burada eğer tanımlı ve
şeklinde
koşulunu sağlayan bir “w” fonksiyonu var ise;

ifadesi “karşılaştırma eşitliği” ile ilişkilendirerek;

yazabiliriz. Burada yardımcı fonksiyon olan V(n,x), “Liapunov Fonksiyon”u olarak
adlandırılır. Bu fonksiyon ile ilgili ikincil ergüman olarak; bu fonksiyonların daima sürekli
oldukları kabul edilecektir.



Teorem 4.8.1 “V”, “g”, ve şeklinde aşağıdaki koşulları sağlayan iki fonksiyon
olsun;
(1) ve “ ” için fonksiyonu azalmayandır.
(2) için “ ” fonksiyonu pozitif tanımlı ve süreklidir.
(3) “V” fonksiyonu (4.64) ile ilişkilidir.
Bu koşullarda;
(a) (4.65)’in “ ” çözümünün sabitliği “ ” çözümünün sabitliği ile aynıdır.
(b) “ ” çözümü “asimptotik sabit” ise “ ” çözümü de “asimptotik sabit”tir.
spat: Teorem 1.6.1’den de biliyoruz ki; için idi. Buradan
olduğu da görülebilir. “Pozitif Kapalılık” hipotezinden de için;

olduğunu gösterebiliriz. Eğer karşılaştırma eşitliği sabit ise; olmak
zorundadır. Dolayısı ile şeklini alır. ifadesinden
de;

sonucuna ulaşırız.
“V” nin sürekliliği ile ilgili hipotezden de biliyoriz ki; olacak
şekilde bir “ ” bulabiliriz. Bu durumda yazarak asimptotik
sabitliliğin bir sonucu olan;

ifadesinden olduğu sonucuna ulaşırız. Benzer şekilde;
olur.

Sonuç 4.8.1 Eğer ’da tanımlı ve “x” için sürekli bir “pozitif tanımlı V(n,x)
yazılabilir. Bu durumda da (4.62)’nin sıfır çözümü “sabit”
fonksiyonu” var ise
olur.

spat: “w(n,u)=0” olduğu durumda karşılaştırma eşitliği; sabit sıfır çözümüne sahip;
“ ” şeklini alır.

Teorem 4.8.2 V(n,x) ve g(n,u) fonksiyonları (1), (2) ve (3) koşullarını sağlayan iki fonksiyon
olsun. V’nin de artan olduğu durumda şunlar söylenebilir;



“ ” çözümünün “tek tip sabit “olması “ ” çözümünün de “tek tip sabit”
•
olduğu anlamına gelir.
“ ” çözümü “tek tip asimptotik sabit” ise “ ” çözümü de “tek tip
•
asimptotik sabit” olur.

spat: spatımıza, bir önceki durumda kabul ettiğimiz ifadesinin “ ” dan
bağımsız olarak seçilebilir olduğunu göstererek devam edebiliriz. Bunu da;
olacak şekilde bir “ ” değeri var ise V(n,x) fonksiyonunun
sürekli olduğu hipotezinden faydalanarak gösterebiliriz. Daha önce de yazdığımız gibi;

idi. Buradan; olmak üzere yazabiliriz. Eğer
şartını sağlayacak şekilde alacak
olursak; “ ” ifadesi her için olur.

Sonuç 4.8.2 Eğer olacak şekilde; “pozitif tanımlı” ve “artan” bir “V
fonksiyonu” var ise “ ” çözümü “tek tip sabit” olur.

Sonuç 4.8.3 Eğer olmak üzere;

ve

olacak şekilde bir “v” fonksiyonu var ise “ ” çözümü “tek tip asimptotik sabit” olur.

spat: “ ” ve “ ” olarak alındığında olur. Dolayısı ile
olmak zorundadır. Açıkça görülmektedir ki; “ ” “tek tip
sabit”tir. “tek tip asimptotik sabitlik” için; olarak verilmiş ve olsun.
Bu durumda tek tip sabitlik özelliklerinden;

şeklinde bir sayı değerine ulaşırız. Bu durumda ifade için tam sayı seçtiğimizde;
ve olacak şekilde bir olduğunu göstermemiz yeterli



olacaktır. Aksi halde tüm için olacaktır. Buradan da;

olarak gösterilebilir. Bu da ’nin tanımı dolayısı ile bir çelişki durumu ortaya
çıkarır. Sonuç olarak; olacak şekilde bir “ ” vardır ve bu da “ ”
için olduğu anlamına gelir. Başka bir ifade ile için
yazılarak ispat sonuçlandırılmış olur.
Benzer şekilde “ ” seçimi için olduğu görülebilir.
Eğer “V” fonksiyonunu Teorem 4.8.2 ile ele alacak olursak, V’nin artan özelliği
ortadan kalkar ve sıfır çözümü “asimptotik sabit” şeklini alır.
Teorem 4.8.3 V fonksiyonu;

, V pozitif tanımlı ve sürekli
(1)
(2)

olduğunda orjin noktası (4.62) için “asimptotik sabit” olur.

spat: Teorem 4.8.1’den de biliyoruz ki; orjin noktası sabittir. Bu noktanın asimptotik
sabit olmadığını kabul ettiğimizde için olacak şekilde bir
çözümün ve olduğunu söyleyebiliriz.

olduğunda ise olur. Burada “n” değeri
isteğe bağlı olarak “ ” içerisinden geniş olmakla birlikte tüm “ ” değerleri için
limit değerine baktığımızda;

olduğu görülür. Bu da V’nin pozitif tanımlı olduğu hipoteziyle ters düşen bir durumdur.

Teorem 4.8.4 V fonksiyonu;

(1) olmak üzere; “pozitif tanımlı” ve “sürekli”,
(2) ; (p ve c pozitif sabitlerdir.) koşullarını sağlıyor olsun. Bu
durumda “ ” çözümü “ -sabit” olur.



spat: Teorem 4.8.3’den biliyoruz ki; “ ” çözümü “asimptotik sabit” olduğunda;
için koşulunu sağlayan bir “ ” vardır. Şimdi;
G(n) fonksiyonu için;

olsun. Buradan;

ve için ;

ve

yazılabilir. Bu ifadelerde ;

ve

şekline dönüşür.

Bir sonraki teorem bir öncekinin genelleştirilmiş halidir. Bu aynı zamanda LaSalle’nin
inveryans prensibinin de uygun bir gösterimidir.

yukarıdaki denkleminin çözümü olan ifadesinin başlangıç vektörü “ ” sürekli
olsun.

Teorem 4.8.5 olsun;
(1) V(n,y)’in sınırlandırılmış formu olan için;

olacak şekilde iki tane reel değerli V(n,y), w(y)>0 fonksiyonu vardır.
(2) için olup çözümü sınırlı değildir ya da;



kümesinde yakınsaktır.

spat: için kabulünden ’in artan olduğunu söyleyebiliriz.
Çünkü; “V” sınırlıdır. için V fonksiyonu yakınsaktır ve ifadesi de sıfıra
yaklaşmaktadır. Bu durumda “limitE” içerisinde sonlu bir ifade olmakta veya sonsuz
kalmaktadır.

Sonuç 4.8.4 “u(x)” ve “v(x)” fonksiyonlarının için;

olacak şekilde “sürekli reel değişkenli” fonksiyonlar olduğunu kabul edelim. ’nin sabit
alınması durumunda; kümesi şeklini alır.
Teorem 4.8.5’deki hipotezden ve için; tüm çözüm ifadeleri, ile başlar ve
” için de E’ye yaklaşır.
’a kadar olan değerleri alır. Bunun yanı sıra “

spat: olsun.

olduğunda için; olur.

Örnek 11: M, s x s matriks olmak üzere;

eşitliğini dikkate aldığımızda. ifadesi;

şeklinde gösterilebilir. Buradan;

yazabiliriz. olduğunda da olur. Benzer
şekilde tüm için ve olduğunda;
olduğunu gösterebiliriz. Burada görmekteyiz ki; için oluyorsa “w(y)” ifadesi
pozitiftir.
E-kümesi, orjin ve sınırları dahilinde olabilir çünkü; V, için artan
durumundadır. Bu artan durum içinde, son olasılık durumu söz konusu olamaz. Çözümün



ile başlayan şekli, bu kümenin dışında olamaz ve orjin noktasına yakınsar. ise orjinin
asimptotik sabit olduğu, özel sınırlarını belirler. “ ” in farklı değerleri için de farklı asimptotik
sabitlik bölgeleri olur. Ayrıca bu farklı bölgelerin her birisinin kendi içerisinde asimptotik sabit
olduğu ortadadır. Eğer “M” değeri, spektral yarıçapı birden ufak olan “n” değerlerinden
” in sürekli olduğu durum için “
bağımsız ise “ ” seçimi yapabiliriz. Buradaki
sonuçlara göre söyleyebiliriz ki; “asimptotik sabitlik” için farklı bölgeler tanımlanabilir.

Tanım 4.8.4 şeklindeki limit kümesi için “ ” dizisinin tüm limit
değerlerinden oluşan bir kümedir. ve için olacak şekilde bir sınırsız
kümesi var ise olur.

Tanım 4.8.5 olduğu durumda kümesi “inveryant” olarak adlandırılır ve
için yazılabilir.

Fark eşitliğinin özerk olması durumunda f sürekli bir fonksiyon olmak üzere “f(0)=0” olur.

Şimdi Teorem 4.8.5 kullanıldığında;

Teorem 4.8.6 için;

(1) “y” de sürekli iki reel değişkenli ve “V” ile sınırlandırılmış iki fonksiyon olarak V(y),
w(y) var ise; olur.
(2) için olur.

koşullarının sağlandığını düşünelim. bu durumda “ ” sınırlandırılmış olur veya “ ” ifadesi
E’de sürekli olmak üzere, maksimum inveryant kümesi olan M’e benzerdir.

spat: Daha önce de olduğu gibi “özerk eşitliğin” herhangi pozitif limit değerler
kümesi, boş bir küme değildir. Bu küme inveryant ve aynı zamanda da küçük bir
kümedir (Bkz. Problem 4.14).

Sonuç 4.8.4 aşağıdaki gibi tekrardan yazılabilir.



Sonuç 4.8.5 Teorem 4.8’dan D kümesindeki bazı “ “ değerleri için;

için M kümesine benzerdir.
yazacak olursak; tüm çözümler, ’de olur ve bu ifade

Teorem 4.8.7 şeklinde tanımlı ve için; şeklinde sürekli bir
fonksiyon olmak üzere; herhangi bir için çözümünü sınırlandırılmış oluruz
veya “ ” için “ ” ifadesi sıfıra yaklaşır. Daha genel bir ifade ile eğer
ise “ ” için sıfır değerine yaklaşır.

spat: olarak alındığında;

olur ve eğer olacak şekilde bir değeri var ise “n>k” için
alır. Diğer taraftan tüm “n” değerleri içinde
şeklini
yazabiliriz. Her iki durumda da “V” fonksiyonu “monoton”dur. “V”
azalmayan bir fonksiyon ve “ ” ifadesi de ’in pozitif limit kümesi olmak
üzere; ’in boş küme olmaması durumunda, ifadesi sınırsız olup
teoremin ispatı tamamlanmış olur. Dolayısı ile monoton bir fonksiyonun limiti tekil
olacağından “ ” için ifadesi de sabit olur. Fakat bu ikinci durum imkansızdır.
çünkü; olmadığı sürece olmak zorundadır. Böylelikle alternatif
durumlar da basitçe ispatlanmış olur.

4.9 Asimptotik Sabitlik Bölgesi

Bu kısma kadar bulunan sonuçlar bizi; başlangıç değerinin yeteri kadar küçük olması
durumunda orjin için çeşitli sabitlik durumlarının oluğunu sonucuna götürmektedir.
Uygulamalarda ise esas ilgilenilen husus; hangi başlangıç durumları için “asimptotik sabitlik”
bölgesi oluştuğudur. Diğer bir ifade ile ’deki bir sürekli sabitlik bölgesinin hangi başlangıç
değerleri için çözümlerin sabit noktaya yaklaştığını bilmemiz gerekmektedir. Bu problem



durumu; çözümü zor olan bir problem olup bir sonraki bölümde cevapları tartışılmıştır. Bunun
yanında özerk fark eşitlikleri olan;

ile ilgili bir takım sonuçlar daha sonra verilecektir. Burada f, şeklinde tanımlı ve
“0” için değerini almaktadır.

Teorem 4.9.1 ve için “V” fonksiyonu şeklinde tanımlıdır ve
bu fonksiyon için olsun. Bu durumda orjin “asimptotik sabit”tir. Dahası eğer
ve için ise orjin “küresel asimptotik sabit “olur.

spat: Teorem 4.8.1 ve Sonuç 4.8.1’de de kullanıldığı gibi V’nin sürekliliği ergümanı
ispat için kullanılacak olursa; Asimptotik sabitliğin ispatı için olmak üzere
için ’in hızlı azalan ve sıfıra yaklaşan bir ifade olduğunu göstermemiz
gerekmektedir.
Yine V’nin sürekliliği ifadesinden “” dizisinin sıfıra yaklaşması
gerekmektedir. Şimdi son hipotezin doğruluğunu varsayalım. Bu durumda;
şeklini alır ve böylelikle de ispat tamamlanmış olur. Örneğin; (4.74) eşitliğini ele
aldığımız da f’nin lineer olması durumunda;

olursa ve buradan da “B” ifadesi “pozitif simetrik belirli matriks” olmak üzere;

yazılabilir. 0 olması durumunda da;

ifadesi için;

olmalıdır. Buradaki herhangi bir “C” pozitif belirli matriksi için aşağıdaki sonuçlara
ulaşılabilir.

Sonuç 4.9.1 (4.77)’nin ispatından da olduğu gibi eğer bir “belirli pozitif simetrik B matriksi”
var ise orjin “küresel asimptotik sabit”tir. Bu sonucun terside doğrudur.



Teorem 4.9.2 (4.75) için orjinin “asimptotik sabit” olduğunu kabul ettiğimizde (4.47)’de
olduğu gibi “belirli pozitif B ve C matriksleri”nin varlığı ispatlanmış olur.

(4.77) ifadesinin sürekli durumu için;

olur. Burada “G” ve “ ” , “belirli pozitif simetrik matriksler”dir ve “S” ifadesi de negatif reel
öz değerleri alan bir ifadedir. Buradaki (4.78) eşitliği “Liapunov Matriks Eşitliği” olarak
adlandırılır. Elbette buradaki (4.77) ve (4.78) ifadeleri arasında bir ilişki söz konusudur.

olarak alındığında (4.78) ifadesi (4.77) şekline dönüşür.

içinde aynın durum geçerlidir. “B” matriksini bulmak istediğimizde (4.77) matriks eşitliğini
çözmemiz gerekmektedir, bunun içinde “A” çin uygun “C”ler seçilmelidir. (4.77)’nin çözüm
metodu ile ilgili çalışmaların büyük bir bölümü geçtiğimiz yıllarda tamamlanmıştır. Aşağıdaki
teoremde (4.74)’ün sıfır çözümü için orjinin “asimptotik sabitliği” tartışılmış olup Zubov’un
teoreminin bir versiyonu şeklinde düşünülebilir.

Teorem 4.9.3 (4.74) eşitliğini ele aldığımızda ve “V” ve “ ” fonksiyonlarının aşağıdaki
koşulları sağladığını varsayarsak;

(1) için
(2) için
(3)

kümesi “asimptotik sabitlik” için gerekli koşul bölgesini oluşturur

spat: (3) koşulundan;

yazılabilir. Burada bilinmesi gereken



olduğudur. Şimdi “ ”ın asimptotik sabitlik bölgesi boyunca uzandığını varsayalım.
Bu durumda eşitliğin sol tarafı bir değere yaklaşır, benzer şekilde eşitliğin sağ tarafının
da;

olduğu durumda “ ” ifadesine yaklaşır. Buradan da için
için (4.79)’dan da
olur. Bu durumun aksi olan
görülebileceği üzere “ ” değeri D’nin dışında kalır ve “V” fonksiyonu asla sıfır
olmaz. Bu da “ ” nin sıfıra yaklaşmadığı anlamı taşır. Eğer bu teoremi kullanacak
olursak, ilk olarak (4.74)’ün “ ” çözümü bilinmeli, diğer taraftan da (4.79)
kullanılarak “D” kümesini tanımlayan sadece birkaç durum için
gerekleştirilebilmektedir.

Teorem 4.8.5, 4.8.7 ve bunların sonuçları bize “E” kümesi için “ ” terimlerini
içeren “asimptotik sabitlik bölgeleri” vermektedir. Teorem 4.8.7 ifadesi kritik noktalar için
“asimptotik sabitlik bölgeleri” verir. Benzer şekilde Teorem 4.8.7. “asimptotik sabitlik
bölgelerinin” gösteriminde kullanılabilir. Orjini içeren bir açık “H” alanı için
olduğunu düşündüğümüzde, için;

ve

olur. Burada şeklindedir.

Teorem 4.9.4 Eğer “ ” bölgeleri sınırlı ve boş değil ise (4.74)’ün “asimptotik sabitliği” için
özel tanımlı alanlar vardır.

spat: Eğer “ ” boş değilse ve ise olduğu sürece “ ” değeri
“ ” nin hiçbir yörünge değeri için artan değildir. Buradan hareketle de;

ve



yazılabilir.

olur. Buradan da görmekteyiz ki; “y(n,x)” ifadesi
Burada tüm “k” değerleri için
sınırlıdır. Teorem 4.8.7 ve için daha açık sonuçlar elde edilebilir. “H” deki “V”
değerleri için koşulunu sağlayan bölgeler için;

H sınırı

yazılabilir. Örnek olarak “biomatematikte” her geçen gün kullanımı artan bir sonraki
yapılanmayı dikkate alacak olursak;

Örnek 12:

için;

ifadesini dikkate alırsak;

kümesi orjini kapsar. için ve “ ” için;

yazılabilir.

4.10 Zıt Teoremler

Bu kısımda, kesin sabitlik durumlarında “Liapunov Fonksiyonları”nın nasıl yapılandığı
konusuna yer verilmiştir. Bu yapılanmalardan ve problemlerin çözümlerinin kullanımından da
anlaşılacağı üzere “Liapunov Fonksiyonları” pratikte çok ufak bir kullanım alanına sahiptir.
Uygulamalarda çok önemli bir yere sahip olan “toplam sabitlik” ile ilgili sonuçların ortaya



konmasından önce “zıtlık teoremlerinin” gerçek önemi ortaya konacaktır. Bundan dolayı bir
takım sonuçlar burada ortaya konacak ve daha sonra da bu sonuçlar gerektiğinde
kullanılacaktır.

Teorem 4.10.1 (4.62)’nin sıfır “tek tip” olduğunu kabul edelim. Bu durumda tüm çözümler
için olarak şekilde pozitif belirli ve artan bir “V” fonksiyonu vardır.

spat:

fonksiyonunu ele alalım. Her zaman olduğu gibi buradaki “ ” ifadesi
şeklidedir. (4.80)’in bir sonucu olarak; olur ve bu koşulda “V” nin
belirli pozitif olduğunu gösterir. Tek tip sabitlik tanımından da biliyoruz ki; eğer
ise oluyordu. Genel ifadelerden uzaklaşmaksızın
Bkz Problem 4.8ve4.9) olduğu kabul edilecektir. “ ” olsun bu durumda;
yazılabilir. Bu ifade bize göstermektedir ki; “V” fonksiyonu
artandır. Diğer taraftan tüm çözümler için;

ve

yazılabilir. Böylelikle ispat tamamlanmış olur.

Teorem 4.10.2 f(n,x), ifadesinin orjin çevresinde “bölgesel Lipschitz” olduğu durumda
(4.62)’nin sıfır çözümünün “tek tip asimptotik” olduğunu kabul edelim. Bu durumda; tüm
çözümler için olacak şekilde bir belirli pozitif ve artan bir “V”
fonksiyonu vardır. Buradaki “V” fonksiyonu “Bölgesel Lipschitzean”dır.

spat: r>0, G(0)=0, 0, olacak şekilde bir G(r) fonksiyonu
tanımlanmış olsun. olduğu sürece;



ve

olur. “u=w/x” olarak alınırsa;

olur. Tanım olarak ta;

yazılabilir. Burada “k=0” için;

olur.

Orjin için “tek tip sabitlik” durumu söz konusu ise;

olacak şekilde bir ifadesi vardır. Buradan da;

yazılabilir (Bkz. Bir önceki teorem).

ise

olur. Asimptotik sabitlik durumunda ve için olmak üzere;

için;

ve

olur. Bu da bizi;



sonucuna götürür. Bu ifade göstermektedir ki; olacak şekilde
“ ” ifadesi için;

yazılabilir. “ ”in istenen farklı değerleri için;

olur. Buradan da;

sonuçlarına ulaşılır. : Lipschitz sabitleri olmak üzere;

olur. En son ifadeden; yazılabilir. “ ” fonksiyonu tüm
“K” değerlerini alır çünkü; için hızlı artan bir fonksiyondur ve G(0)=0’dır.
spatı tamamlamak için; “V” de olduğu gibi G’nin Lipschitz fonksiyon olduğu bir “G”
fonksiyonu seçebileceğimizi göstermemiz gerekmektedir.
Tek tip asimptotik sabitliğin tanımından; için ve
r>0
olacak şekilde bir “ ” vardır. Çünkü; “f” bir “Libschitz
Fonksiyon”dur. Dolayısı ile

olur. Daha önce de tanımlanmış olan N(r) fonksiyonu için;



ve

olsun. “G(r)” için de benzer durumlar söz konusudur. Çünkü; N(r) fonksiyonu artandır
ve olur. Daha önce de görmüştük ki;

olduğunda;

olmaktadır. Daha açık bir gösterim için “ ” olarak kabul ettiğimizde “ ” için;
ve “ ” içinde; yazdığımızda;

olur. Fakat “ ” için de;

olur. Gerekli ifadeler yerine konulduğunda;

ifadesine ulaşırız. (4.87) ve (4.83)’den ve (4.87)’nin “ ” ile
çarpımından;

olur. Buradan da,

olmak koşulu ile; olarak gösterilebilir. ve kendi
içindeki değişimlerinden daha basit bir ifade olarak;

yazılabilir. Bu da bize göstermektedir ki;

ifadesi teoremi ispatlamaktadır.

Bir sonraki teorem “ -sabitlik” durumunun “zıtlığı” ile ilgilidir.


Fark Eşitlikleri

Recommended

Recommended

More Related Content

Featured

Featured (20)

Fark Eşitlikleri