Solución de ecuaciones cuadráticas

1. SSoolluucciióónn ddee llaa
eexxpprreeSSiióónn
ccuuaaddrrááttiiccaa
ppoorr
ffaaccttoorriizzaacciióónn

2. ¿Qué eess uunnaa eeccuuaacciióónn ccuuaaddrrááttiiccaa??
 UUnnaa eeccuuaacciióónn ddee sseegguunnddoo ggrraaddoo oo eeccuuaacciióónn
ccuuaaddrrááttiiccaa eess uunnaa eeccuuaacciióónn ppoolliinnóómmiiccaa ddoonnddee
eell mmaayyoorr eexxppoonneennttee eess iigguuaall aa ddooss..
NNoorrmmaallmmeennttee,, llaa eexxpprreessiióónn ssee rreeffiieerree aall ccaassoo
eenn qquuee ssóólloo aappaarreeccee uunnaa iinnccóóggnniittaa..

3. LLaa eeccuuaacciióónn ccuuaaddrrááttiiccaa ssee
eexxpprreessaa ddee llaa mmaanneerraa
ssiigguuiieennttee::
ddoonnddee aa eess eell ccooeeffiicciieennttee ccuuaaddrrááttiiccoo oo
ddee sseegguunnddoo ggrraaddoo yy eess ssiieemmpprree
ddiissttiinnttoo ddee 00,, bb eell ccooeeffiicciieennttee lliinneeaall oo
ddee pprriimmeerr ggrraaddoo yy cc eess eell ttéérrmmiinnoo
iinnddeeppeennddiieennttee..

4. HHiissttoorriiaa
 LLaa eeccuuaacciióónn ddee sseegguunnddoo ggrraaddoo yy ssuu ssoolluucciióónn ttiieennee
oorriiggeenn aannttiigguuoo.. SSee ccoonnoocciieerroonn aallggoorriittmmooss ppaarraa
rreessoollvveerrllaa eenn BBaabbiilloonniiaa yy EEggiippttoo..
 EEnn GGrreecciiaa ffuuee ddeessaarrrroollllaaddaa ppoorr eell mmaatteemmááttiiccoo
DDiiooffaannttoo ddee AAlleejjaannddrrííaa..
 LLaa ssoolluucciióónn ddee llaass eeccuuaacciioonneess ddee sseegguunnddoo ggrraaddoo
ffuuee iinnttrroodduucciiddaa eenn EEuurrooppaa ppoorr eell mmaatteemmááttiiccoo
jjuuddeeooeessppaaññooll AAbbrraahhaamm bbaarr HHiiyyyyaa,, eenn ssuu LLiibbeerr
eemmbbaaddoorruumm..

5. CCllaassiiffiiccaacciióónn::
LLaa eeccuuaacciióónn ddee sseegguunnddoo ggrraaddoo ssee ccllaassiiffiiccaa ddee llaa
ssiigguuiieennttee mmaanneerraa::
 IInnccoommpplleettaa ppuurraa
 IInnccoommpplleettaa mmiixxttaa
 CCoommpplleettaa

6. IInnccoommpplleettaa PPuurraa
PPaarraa rreessoollvveerr uunnaa eeccuuaacciióónn ccuuaaddrrááttiiccaa ppuurraa,, bbaassttaa
ccoonn ddeessppeejjaarr llaa vvaarriiaabbllee yy ssuuss rraaíícceess sseerráánn iigguuaalleess
yy ddee ssiiggnnoo ccoonnttrraarriioo..
aaxx² ++ cc == 00 ddeessppeejjaannddoo tteenneemmooss aaxx² == --cc
PPoorr lloo ttaannttoo :: xx² == -- cc
aa
xx == √√ --cc
aa

7. EEjjeemmpplloo eeccuuaacciióónn
ccuuaaddrrááttiiccaa PPuurraa
FFoorrmmaa:: aaxx² ++ cc == 00 SSuussttiittuucciióónn
CCoonn vvaalloorreess:: 33xx² -- 99 == 00 33xx² -- 99 == 00
DDeessppeejjaannddoo ::33xx² == 99 33((11..773322……)) ² --99== 00
xx² == 99/33 33((33)) --99 == 00
xx² == 33 99 –– 99 == 00
xx == ±± √√ 33 00 ==
00
RReessuullttaaddoo:: xx11 == ++ 11..7733220055……
xx22 == -- 11..7733220055 ……

8. IInnccoommpplleettaa MMiixxttaa
LLaass eeccuuaacciioonneess ccuuaaddrrááttiiccaass mmiixxttaass ssee rreessuueellvveenn
ppoorr ffaaccttoorriizzaacciioonn ssiimmppllee.. UUnnaa ddee ssuuss rraaíícceess eess
iigguuaall aa cceerroo yy llaa oottrraa tteennddrráá uunn vvaalloorr rreeaall..
aaxx² ++ bbxx == 00 ffaaccttoorriizzaammooss:: xx ((aaxx ++ bb)) == 00
LLaa pprriimmeerraa rraaíízz eess:: xx11== 00
DDeell ppaarréénntteessiiss :: aaxx ++ bb == 00
DDeessppeejjaannddoo:: aaxx == -- bb
LLuueeggoo llaa sseegguunnddaa rraaíízz eess :: xx22 == --bb
aa

9. EEjjeemmpplloo eeccuuaacciióónn
ccuuaaddrrááttiiccaa mmiixxttaa
FFoorrmmaa:: aaxx² ++ bbxx == 00
CCoonn vvaalloorreess:: 22xx² -- 66xx == 00
FFaaccttoorriizzaannddoo:: 22xx(( xx –– 33)) == 00
LLaa pprriimmeerraa rraaiizz eess:: 22xx == 00
PPoorr lloo ttaannttoo:: xx11 == 00
IIgguuaallaannddoo aa cceerroo:: xx –– 33== 00
LLaa sseegguunnddaa rraaiizz eess:: xx22== 33

10. EEccuuaacciióónn ccuuaaddrrááttiiccaa
mmiixxttaa
SSuussttiittuuyyeennddoo :: 22xx² -- 66xx == 00
xx11 == 00 xx22== 33
22((00)) ² --66((00))== 00 22((33)) ² -- 66((33)) == 00
22((00)) –– 66 ((00)) == 00 22((99)) –– 1188 ==00
00 –– 00 == 00 1188 –– 1188 == 00
00 == 00 00 == 00

11. EEccuuaacciióónn ccuuaaddrrááttiiccaa
ccoommpplleettaa
LLaass eeccuuaacciioonneess ccuuaaddrrááttiiccaass ddee llaa ffoorrmmaa ccoommpplleettaa
ppuueeddeenn rreessoollvveerrssee ppoorr ddiissttiinnttooss mmééttooddooss ccoommoo
ssoonn ppoorr ffaaccttoorriizzaacciioonn,, ppoorr ffoorrmmuullaa ggeenneerraall oo
ccoommpplleettaannddoo eell ttrriinnoommiioo ddeell ccuuaaddrraaddoo ppeerrffeeccttoo..
SSuu ffoorrmmaa eess::

12. SSoolluucciióónn ppoorr ffaaccttoorriizzaacciioonn
 EEssttee mmeettooddoo ccoonnssiissttee eenn::
 FFaaccttoorriizzaarr eell ttrriinnoommiioo eenn eell pprroodduuccttoo ddee ddooss
bbiinnoommiiooss
 PPaarraa qquuee eessttee pprroodduuccttoo ssee aannuullee eess nneecceessaarriioo
qquuee ssee aannuullee uunnoo ddee llooss ffaaccttoorreess,, eess ddeecciirr,, ssee
iigguuaallaa aa cceerroo eell pprroodduuccttoo
 SSee ddeessppeejjaa llaa vvaarriiaabbllee ((ppoorr lloo ggeenneerraall ““xx””))

13. EEjjeemmpplloo ppoorr ffaaccttoorriizzaacciioonn
FFoorrmmaa :: AAxx² ++ BBxx ++ CC == 00
CCoonn vvaalloorreess:: xx² ++ 55xx ++ 66 == 00
FFaaccttoorriizzaammooss eell ttrriinnoommiioo:: ((xx ++ 22)) ((xx ++ 33)) == 00
IIgguuaallaammooss aa cceerroo ccaaddaa ffaaccttoorr:: ssii xx ++ 22 ==00
SSee oobbttiieennee:: xx == --22
ssii xx ++ 33== 00
SSee oobbttiieennee:: xx == --33
LLaass rraaíícceess ddee llaa eeccuuaacciióónn ssoonn:: xx11== --22 xx22== --33

14. EEccuuaacciióónn ccuuaaddrrááttiiccaa
ccoommpplleettaa
SSuussttiittuuyyeennddoo xx² ++ 55xx ++ 66 == 00
xx11== --22 xx22==--33
((--22)) ² ++ 55 ((--22)) ++ 66 == 00 ((--33)) ² ++ 55 ((--33)) ++ 66 ==00
44 ++ --1100 ++ 66 == 00 99 --1155 ++ 66 == 00
1100 –– 1100 == 00 1155 –– 1155 == 00
00 == 00 00 == 00

15. SSoolluucciióónn ppoorr ffoorrmmuullaa ggeenneerraall
 LLaa ffoorrmmuullaa ggeenneerraall ssee aapplliiccaa eemmpplleeaannddoo llooss
ccooeeffiicciieenntteess ddee llaa eeccuuaacciióónn ccuuaaddrrááttiiccaa
ccoommpplleettaa::
 aaxx² ++ bbxx ++ cc == 00
 LLaa ffoorrmmuullaa ggeenneerraall eess:: xx== --bb ±± √√ bb² -- 44 aacc
 22aa

16. EEjjeemmpplloo ppoorr ffoorrmmuullaa
ggeenneerraall
LLooss ccooeeffiicciieenntteess ssoonn :: aa == 33,, bb == 44,, cc == --44
LLaa eeccuuaacciióónn:: 33xx² ++ 44 xx –– 44 == 00
LLooss ssuussttiittuuiimmooss:: xx == --44 ±± √√ ((44)) ² -- 44 ((33)) ((--44))
22((33))
MMuullttiipplliiccaannddoo ddeennttrroo ddeell xx == --44 ±± √√ 1166 ++ 4488
RRaaddiiccaall.. 66
SSuummaannddoo:: --44 ±± √√ 6644
66
LLaa pprriimmeerraa ssoolluucciióónn eess:: xx11 == --44 ++ 88 == 44 == 22
66 66 33
LLaa sseegguunnddaa ssoolluucciióónn eess:: xx22 == --44 –– 88 == --1122 == --22
66 66

17. EEccuuaacciióónn ccuuaaddrrááttiiccaa
ccoommpplleettaa
33xx² ++ 44 xx –– 44 == 00
xx11== 22//33 xx22== --22
33((22//33)) ² ++ 44((22//33)) –– 44 == 00 33((--22)) ² ++ 44((--22)) –– 44 == 00
33((44//99)) ++ 44((22//33)) –– 44 == 00 33((44)) ++ 44 ((--22)) –– 44 == 00
44//33 ++ 88//33 –– 44== 00 1122 --88 --44 == 00
1122//33 --44 == 00 1122 --1122 ==00
44 --44 == 00 00 == 00