The document discusses statistical concepts related to probability distributions, including various functions and their graphical representations. It provides insights into cumulative probability, expected values, and examples of functions for discrete and continuous variables. Additionally, it includes calculations and graphical illustrations relevant to these statistical distributions.

1.  

 

2. 






3.  
Tabla 2 - Función de distribución
 
p( ) P(X )
x x

4. 1
1
( )
k
i
i
p x




1
1
( )
k
i
i
p x



 
( ) ( )
F a P X a

 
( ) ( )
i
i
x a
F a p x

𝑃(𝑎 < 𝑥 ≤ 𝑏) = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎) = ∑ 𝑝(𝑥𝑖)
𝑎<𝑥≤𝑏

F(x ) =1
k
1 0
( )
F x 
 0 y entero.
h
 

5. 1
0

 

si el cliente compra una notebook
si el cliente compra una computadora de escritorio
Y


 
  

0,80 si x=0
( ) 0,20 si x= 1
0 si x 0 o x 1
p x
0 04 0 1 2 3 4 5
0
 

 


, con , , , ,
( )
otro valor de x
K x x y
p x
( )
p x
1
1
( )
k
i
i
p x



0 1 2 3 4 5 1
0 04 0 08 0 12 0 16 0 20 1
6 0 60 1
1 0 60
6
0 06667
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )
,
,
,
p p p p p p
K K K K K K
K
K
K
     
          
 




6. 
2 4
2 4 2 3 4
2 4 0 147 0 187 0 227 0 56
 
     
     

( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) , , , ,
i
i
x
P X p x p p p
P X
2 4 4 1
2 4 0 735 0 174
2 4 0 56
   
   
  
( ) ( ) ( )
( ) , ,
( ) ,
P X F F
P X
P X

3 4 4 5 0 227 0 267 0 49
4 1 3 1 0 508
4 0 49
       
    
 
( ) ( ) ( ) ( ) , , ,
( ) ( ) ,
( ) ,
P X P X p p
P X F
P X

7. 𝑝(𝑥) =
{
0,30 𝑠𝑖 𝑥 = 2
0,10 𝑠𝑖 𝑥 = 4
0,05 𝑠𝑖 𝑥 = 6
0,15 𝑠𝑖 𝑥 = 8
0,15 𝑠𝑖 𝑥 = 10
0,25 𝑠𝑖 𝑥 = 12
0 ∀ 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑥
6 2 4 0 30 0 10 0 40
6 4 0 40
    
 
( < ) ( ) ( ) , , ,
( < ) ( ) ,
P X p p
P X F

8. a- Comprobar que es una función de cuantía.
b- Graficar p(x).
c- Graficar F(x).
d- Calcular P( X  2).
e- Calcular P(X  5).
f- Calcular P( 3  X  9).
𝑝(𝑥) = {𝑘𝑥2
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 = 1,2 3,4,5
0 ∀ 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑥
 
 
𝑝(𝑥) = {
𝑥 + 2
15
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 = −1,0,1,2 3
0 ∀ 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑥

9. Variable Clase LI LS MC FA FR
Gastos 1 272,00 522,75 397,38 7 0,02
Gastos 2 522,75 773,50 648,13 30 0,08
Gastos 3 773,50 1024,25 898,88 51 0,13
Gastos 4 1024,25 1275,00 1149,63 102 0,26
Gastos 5 1275,00 1525,75 1400,38 105 0,26
Gastos 6 1525,75 1776,50 1651,13 65 0,16
Gastos 7 1776,50 2027,25 1901,88 36 0,09
Gastos 8 2027,25 2278,00 2152,63 4 0,01

10. 146,63 597,98 1049,33 1500,68 1952,03 2403,38
Gastos
0,00
0,07
0,14
0,21
0,28
frecuencia
relativa
( )
f x
0
( )
f x para todo x

1
( )
f x dx


 
( , )
 
205,13
740,07
1275,00
1809,93
2344,87
Gastos
0,00
0,04
0,08
0,13
0,17
frecuencia
relativa
104,83
494,89
884,94
1275,00
1665,06
2055,11
2445,17
Gastos
0,00
0,05
0,10
0,15
0,20
frecuencia
relativa

11. ( ) ( )
b
a
P a X b f x dx
   
P(a X b) P(a X b) P(a X b) P(a X b)
          
500
250
250 500
( ) ( )
P X f x dx
   
La función de distribución es la que proporciona la probabilidad acu-
mulada para los diferentes valores de la variable. Para las variables continuas,
será el área bajo la curva de la función de densidad a la izquierda de un valor
particular x, o sea acumulada desde el menor valor hasta un valor determina-
do de la variable. Simbólicamente:
'
' '
( ) ( ) ( )
x
F x P X x f x dx

   

12. ( )
( ) '( )
dF x
f x F x
dx
 
( )
F x ( )
f x
( )
F  1
( )
f x dx





1
lim ( )
x
F x


0
lim ( )
x
F x


 0
h
 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
b a
P a X b F b F a
P a X b f x dx f x dx
 
   
   
 

13. 250 500 500 250
( ) ( ) ( )
P X F F
   
𝑓(𝑦) = {
1
18
𝑦 𝑝𝑎𝑟𝑎 0 < 𝑦 < 6
0 ∀ 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑦
( )
f y
0
( )
f y 
6
0
1
( )
f y dy 

6
6
2
0
0
2
1 1
18 36
1
6
36
1
ydy y




( )
f y
2
0
1 1
18 36
( )
u
F u ydy u
 

146,63 710,81 1275,00 1839,19 2403,38
Gastos
0,00
0,25
0,50
0,75
1,00
frec.
rel.
acumulada

14. 𝑃(𝑦 ≥ 5) = ∫
1
18
𝑦 𝑑𝑦
6
5
=
1
36
(62
− 52)
= 0,3056
2
5 1 5
1
1 5
36
0 3056
( ) ( )
( )
,
P y F
  
 

𝑃(3 ≤ 𝑦 ≤ 4,5) = ∫
1
18
𝑦 𝑑𝑦
4,5
3
=
1
36
(4,52
− 32)
= 0,3125
2 2
3 4 5 4 5 3
1 1
4 5 3
36 36
0 3125
( , ) ( , ) ( )
= ( , ) ( )
= ,
P y F F
   

y
6
5
4
3
2
1
0
0.4
0.3
0.2
0.1
0
y
6
5
4
3
2
1
0
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
y
P(y) F(y)
y
Figura 7
(a) (b)

15. En la Figura que sigue se muestra la zona sombreada correspondiente a
la probabilidad calculada anteriormente.
𝑓(𝑥) = {𝑘(1 − 𝑥2 ) 𝑝𝑎𝑟𝑎 0 ≤ 𝑥 ≤ 1
0 ∀ 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑥
1
0
1
( )
f x dx 

1
2
0
1 1
( )
k x dx
 

1 1
2 2
0 0
1
3
0
3
1 1
3
1
1
3
( ) ( )
= ( )
= ( )
k x dx k x dx
x
k x
k
  


 
3
1
1 1
3
2
1
3
3
2
( )
( )
k
k
k
 


f(Y))
f(Y)
Y
Y
Y

16. 𝑓(𝑥) = {
3
2
(1 − 𝑥2 ) 𝑝𝑎𝑟𝑎 0 ≤ 𝑥 ≤ 1
0 ∀ 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑥
0 0
0 1
1 1
4
( ) x
x
F x x
x



  

 

3
4
'( )
F x x

𝑓(𝑥) = { 4𝑥3
𝑝𝑎𝑟𝑎 0 ≤ 𝑥 ≤ 1
0 ∀ 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑥
4
0 40 1 0 40
1 0 40
0 974
( , ) ( , )
( , )
,
P x F
  
 

0
4
0
4
0
0
0 50
0 50
0 50
0 841
( ) ,
,
,
,
F x
x
x
x




𝑓(𝑦) = {
3
8
𝑦 𝑝𝑎𝑟𝑎 0 ≤ 𝑦 ≤ 2
0 ∀ 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑦

17. 0
( )
f y 
2
0
1
( )
f y dy 

2 2
0 0
2
2
0
3
8
3
8 2
6
8
( )
f y dy ydy
y

 
  
 

 
8 3
6 8
1
2
( ) .
f y y
y


𝑓(𝑦) = {
1
2
𝑦 𝑝𝑎𝑟𝑎 0 ≤ 𝑦 ≤ 2
0 ∀ 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑦
𝑓(𝑥) = {
1
2
𝑝𝑎𝑟𝑎 1 ≤ 𝑥 ≤ 3
0 ∀ 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑥







1
0
)
( 2
kx
x
F
x  0
0  x  3
x  3

18. 1


𝑓(𝑦) = {
𝑦5
8
𝑦 𝑝𝑎𝑟𝑎 0 ≤ 𝑦 ≤ 1
0 ∀ 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑦


19. 1


  
[ ] ( )
k
i i
i
E X x p x
  

20. 𝐸(𝑥) = 𝜇 = 0(0,067) + 1(0,107) + 2(0,147) + 3(0,187) + 4(0,227) + 5(0,267)
= 3,205

21. 


  
[ ] ( )
E X x f x dx
𝑓(𝑦) = {
1
18
𝑦 𝑝𝑎𝑟𝑎 0 < 𝑦 < 6
0 ∀ 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑦
6
0
6
2
0
6
3
0
3
1
18
1
18
1
18 3
1 6
18 3
4
E Y y y dy
y dy
y

 
 
 






𝑓(𝑦) = {
3𝑥2
125
𝑝𝑎𝑟𝑎 0 ≤ 𝑥 < 5
0 ∀ 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑥
5 2
0
5
0
4
5
0
3
125
3
125
3
125 4
3 75
( )
,
x
E x
x

 
 





3
x dx
x dx

22. 𝑓(𝑥) = {
3
2
(1 − 𝑥2
) 𝑝𝑎𝑟𝑎 0 ≤ 𝑥 ≤ 1
0 ∀ 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑥
 
1
2
0
1
0
2 4
1 1
0 0
3
1
2
3
2
3
2 2 4
0 375
( )
( ) ( )
,
E x x
x x
 
 
 
 
  
 
 
 
 
 



3
x dx
x - x dx
X f(X)
2 0,30
4 0,10
6 0,05
8 0,15
10 0,15
12 0,25

23. Si consideramos que la probabilidad de que el proyecto sea aproba-
do es de 0,30 ¿Cuál sería la utilidad neta esperada?
P X c 1
E c c
E c X c E X

24. E c.X c.E X
E X 0

25. 𝑓(𝑥) = {
𝑥
16
𝑝𝑎𝑟𝑎 2 ≤ 𝑥 ≤ 6
0 ∀ 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑥
6
6 3
2 2
4 333
16 48
,
x x
E X x dx
  
 
  
0 20
0 20
0 20 4 333 0 8667
( , )
, ( )
, , ,
E Y E x
E x

 
 

  

26. 1 1 10
1 1 10
1 4 7667 5 7667
( , )
, ( )
, ,
E W E x
E x
 
 
 
 
  
2
2
( ) X
V X E X
 
  
 
 

27. 2
1


 
 
 

( ) ( )
k
i i
i
V X x p x
2



 
 
 

( ) ( )
V X x f x dx
μ
2
2
 
   
 
 
( )
V X E X E X
( ) ( ) X
DE X V X 
 
X
P(X)

28. 2
2
2
3 1 5
0 75
( )
( , )
,
V X E x E x
 
   
 
 
 

𝑓(𝑦) = {
1
18
𝑦 𝑝𝑎𝑟𝑎 0 < 𝑦 < 6
0 ∀ 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑦
6
2 2
0
6
2 2
0
6
3 2 2
0
1
18
1
2
18
1 1 1
18 9 18
( )
( )
( )
y ydy
y y ydy
y y y dy
 
 
 
 
  
  



6 6 6
4 3 2
2
0 0 0
4 3 2
2
1 1 1
18 4 9 3 18 2
1 6 1 6 1 6
4 4
18 4 9 3 18 2
18 32 16
2
y y y
 
  
  
  

2
 
 
E Y
6
2 2
0
6
3
0
6
4
0
4
1
18
1
18
1
18 4
1 6
18 4
18

 
 






E Y y ydy
y dy
y

29. 2
2 2
18 16
2
( )   
    
 
 
 

y
V Y E Y E Y
2
1 4142
( )
,

 

y
DS Y
( )
( )
x
CV X
E X



30. V X 0
2
V c E c c
= 0
2
V c.X c .V X
V c X V X

31. 6
6 4
2 2
2 2
2
2
20
16 64
20 4 33
1 22
1 22 1 1054
( )
( ) ,
( ) , %
( ) , , %
x x
E X x dx
V X
V X
DS X
  
 

 

1 1054
0 2551
4 333
( ) ,
( ) ,
( ) ,
  
DS X
CV X
E X
2
2
0 20
0 20
0 04 1 22 0 0488
0 0488 0 2211
0 2211
0 2551
0 8667
( ) ( , )
( ) ( , ) ( )
( ) , , , %
( ) , , %
( ) ,
( ) ,
( ) ,
V y V x
V y V x
V y
DS Y
DS Y
CV Y
E Y


  
 
  
2
1 1 10
1 10
1 21 1 22 1 4762
1 4762 1 215
1 215
0 2107
5 7667
( ) ( , )
( ) ( , ) ( )
( ) , , ,
( ) , ,
( ) ,
( ) ,
( ) ,
 

  
 
  
V W V x
V W V x
V W
DS W
DS W
CV W
E W

32. 𝐸(𝑍) =
1
𝜎
[𝐸(𝑥) − 𝜇] =
1
𝜎
(𝜇 − 𝜇) = 0
𝑉(𝑍) =
1
𝜎2
[𝑉(𝑥) − 0] =
1
𝜎2
(𝜎2
− 0) = 1




x
X
Z . X 10
 
2
 
X
, Z.

33. Dada una variable aleatoria X, cualquiera sea su distribución de probabi-
lidad, con Esperanza ( )
E x y Varianza ( )
V x , puede afirmarse que la proba-
bilidad de que se presenten valores de la variable que se alejen de su Espe-
ranza en más de una distancia d , no supera a
𝑉(𝑥)
𝑑2 .
  2
  
( )
Pr ( )
V x
X E x d
d
(1)
De otra manera, también se puede decir que la probabilidad que se presen-
ten valores de la variable que se alejen de su Esperanza en menos de una
distancia d , es mayor a 1 −
𝑉(𝑥)
𝑑2
  2
1
   
( )
Pr ( )
V x
X E x d
d
(2)
   
, ,
E X d E X d
   
    
   
   
,
E X d E X d
 
 
 
E(X)-d E(X) E(X)+d
d
d

34. 1 2
2
2 2
( ) ( )
( ) ( ) ( )
R R
V X x f x dx
V X x f x dx x f x dx

 


 
 
 
   
   
   

 
1
2
( ) > ( )
R
V X x f x dx


 
 

x 

 
 
   
1
1
2
2
2
2
( ) > ( )
( ) > ( )
( )
( ) > Pr - > Pr - > <
R
R
V X d f x dx
V X d f x dx
V X
V X d X d X d
d
 



 
 
 
2
49
100 10 0 49
100
( )
Pr
Pr ,
V x
X d
d
X

  
   
 

 
 
2
1
49
100 20 1 0 88
400

   
    
( )
Pr
Pr ,
V x
X d
d
X
d

35. sólo se requiere conocer
d
d k

 
 
2
2 2
2
2
2 2
2
1
1
1
1

 


 

  

   
 
Pr
Pr
X k
k
k
X k
k
k
4 03
1 35
,
,




   

36.  
  1
𝑓(𝑦) = {
1
18
𝑦 𝑝𝑎𝑟𝑎 0 < 𝑦 < 6
0 ∀ 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑦
𝜇 = 4 𝑦 𝜎 = 1,41
   
 
 
 

37. 𝑓(𝑥) = {20𝑥3
(1 − 𝑥) 𝑝𝑎𝑟𝑎 0 ≤ 𝑥 ≤ 1
0 ∀ 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑥
y=4x+50

38. 2
2
2
2
2
Pr d X d 1
d
Pr X d 1
d
1
Pr X k 1
k
2
2
2
Pr X d
d
1
Pr X k
k

40. Ω= ( C; C) , ( S; C ) , ( C; S ) . ( S; S )

41. 0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0,35
0,4
1 2 3 4 5 6 7

42. ≤
≥
≤ ≤ ≤
   
   
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8
F(x)

43. 0,00
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
0,35
0,40
0,45
0,50
1 2 3 4 5
0,00
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
0,60
0,70
0,80
0,90
1,00
0 1 2 3 4 5 6
F(x)

44. xi p( xi)
-1 0,07
0 0,13
1 0,20
2 0,27
3 0,33
Total 1,00
0,00
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
0,35
1 2 3 4 5

45. ∫
1
2
3
1
𝑑𝑥 =
1
2
(3 − 1) = 1
≤ ≤
∫
1
2
𝑢
1
𝑑𝑥 =
1
2
(𝑢 − 1)
 
∫ 1/2𝑑𝑥
2
1
∫ 1/2𝑑𝑥
2
1,5
a) Donde f(x) = F´(x)
= 2kx
3
0
2 1
kxdx 

 


46. ≥ ∫ 2/9𝑥 𝑑𝑥
3
1
≤
≤
1 5
0
1
2
y
dy 

≠
≤ ≤

≤
∫ 6 𝑦5
𝑑𝑦 = 6
𝑦6
6
| =
0
𝑢
𝑢
0
𝑦6

47. ∫ 6 𝑦5
𝑑𝑦
1
0,8

49. Actividad Esperanza E(X2
) Varianza
3 4,03 18,07 1,83
4 4,091 17,8 1,06
5 1,667 4,333 1,56
6 73 10550 5221
7 2 4,333 0,33
8 2 4.5 0.5
9 0,857 0,75 0,02

51.  
 
2
2 2
2
2
2 2
2
1
1
1
1
Pr
Pr
X k
k
k
X k
k
k

 


 

  

   
 
≤ ≤ ≤ μ ≤ ≤ μ ≤  μ  ≤
 μ 
 μ 
 μ ≤
≤ |𝑋 − 𝜇|≤ ≤ |𝑥 − 𝜇|≤