Elektrik Alan

1. Elektrik Alan
Alan nedir????
Bazı fiziksel olağanüstü durumlar tarafından
etkilenen uzaydaki bölge; örneğin, sıcaklık,
yerçekimi, elektrik, manyetik davranışlar

2. Elektrik Alan
• Bir yükün başka bir yük yada yük dağılımı
tarafından etkilenebildiği uzay bölgesi
• Elektrik alanın birimi Newton/Coulomb (N/C)
• Elektrik Alan vektörel bir niceliktir.
• Elektrik alan daima pozitif yükten dışarı doğru
negatif yükte ise içeri doğru yönelir
r
r F
E = lim
q 0 →0 q 0

3. Elektrik alan etkisinin uzaklıkla değişimi

4. Elektrik alan çizgileri
Michael Faraday 19th Century
Tüm uzayın elektrik alan
“KUVVET” çizgileriyle dolu
olduğunu ve elektrik yüklerinin
bu çizgiler boyunca
ivmelenebileceğini savundu

5. Elektrik Alan
• Elektrik alan vektörleri elektrik alan
çizgilerine teğettir.
• Birim yüzeyden dik olarak geçen
elektrik alan çizgi sayısı, Elektrik alan
şiddeti ile doğru orantılıdır.
• Kısaca, Elektrik alan çizgileri nerede
daha yoğun ise orada elektrik alan daha
şiddetlidir.

6. Elektrik alan çizgileri
Aynı zamanda kuvvet çizgisi olarak ta bilinir
•
Birim yüzeyden geçen çizgi sayısı elektrik alan
•
şiddeti ile doğru orantılıdır.
• Alan çizgileri + dan – ye doğru olarak kabul edilir.

7. Elektrik alan çizgileri ve elektrik
alan vektörü farklıdır!!!

8. • Elektrik alan çizgileri daima pozitif
yükten uzaklaşacak şekilde
yönelirler ve negatif yükün
bulunduğu yere doğru yönelirler.

9. Noktasal yükün elektrik alanı
r
r F
E ≡ lim
q0 → 0 q
0
qq 0
1
ˆ
r
4 πε
r 2
r
E = lim 0
q0 → 0 q0
r q
1
E = lim ˆ
r
q0 → 0 4πε r 2
0
r 1 q
E= ˆ
r
4πε 0 r 2

10. Birden fazla noktasal yükün varlığında
Genel uygulama üst üste binme ilkesini uygulamaktır
yani vektörel toplama yapmaktır
r Nr
E = ∑ Ei
i =1
r N 1 qi
E=∑ ˆ
ri
i =1 4πε 0 ri
2

11. Örnek problem
• P noktasındaki elektrik alanı bulun
• Her bir yük için istenen noktadaki elektrik alan vektörlerini bul
ve bileşke vektörü vektörel toplama ile bul: Simetri var dikkat☺ !
r net 6.93Q ˆ
E (p) = k i
2
d

12. Örnek: Elektrik Dipol
Elektrik Dipol: aralarında 2a mesafesi olan iki eşit ve
zıt yüklü noktasal parçacık
Elektrik alan daima ortadaki ayırıcı düzleme
dikmidir?
r ve q ların aynı olması
P(0,y) sebebiyle yükler aynı elektrik
alan şiddetine sahiptir.
-q θ +q
Alanların y bileşenleri eşit ve
(+a,0)
(-a,0)
ters yönlü olduklarından
toplam y bileşke sıfırdır.

13. Dipole devam
1
q
E+ =
θ
P(0,y)
4πε 0 r+2
-q θ +q 1 q
E+ =
(+a,0)
4πε 0 a + y
(-a,0) 2 2
r =a +y
2 2 2
X bileşkesinin hesabı
1 q
Pozitif yükün x ekseni
cos θ
=
E+ x
doğrultusundaki bileşkesinin
4πε 0 a + y
2 2
hesabı
(− iˆ )
r 1 q a
E+ x =
4πε 0 a 2 + y 2 a +y
2 2

14. Dipole devam
Aynı işlemi negatif yük
içinde yaparsak
P(0,y)
− q (− a )
r 1
E− x = − ˆ
-q i
((− a ) )
θ +q
4πε 0 3
+ y2
2 2
(+a,0)
(-a,0)
Pozitif ve negatif yüklerin
elektrik alanlarının vektörel
(− iˆ )
r toplamı
1 q a
E+ x =
4πε 0 a 2 + y 2 a2 + y2
r − 2 qa
1
E= ˆ
r i
( )
qa
1
4πε 0 a 2 + y 2
E+ x = −
3
ˆ
i 2
( )
4πε 0 a 2 + y 2 3
2

15. Dipole devam
r Dipol [p=2qa] olarak tanımlanır
E
P(0,y) r
r −p
1
E=
-q
( )
θ +q
4πε 0 a + y 3
2 2 2
p (+a,0)
(-a,0)
Eğer y>>a ise yaklaşım?
Eğer y>>a ise a2 , y2 nin
yanında ihmal edilebilir ve
r − 2 qa
1 işlemde ihmal edilebilir.
E= ˆ
i
( )
Böylece sonuç;
4πε 0 a 2 + y 2 r
3
r 1 −p
2
E=
4πε 0 y 3

16. Sürekli yük dağılımı karşısında
elektrik alan
Noktasal yüklerin çok sıkı ve çok miktarda
paketlenmesi sonucu meydana gelen yapı
sürekli bir yük dağılımı olduğunu gösterir.
r 1 dq
E=∫ ˆ
r
4πε 0 r 2
r r
E = ∫ dE

17. Yük Yoğunluğu
Farklı yük dağılımlarının yük yoğunlukları
• çizgisel - λ (C/m) - sembol “lambda” λ
• yüzeysel - σ (C/m2) - sembol “sigma” σ
• hacimsel - ρ (C/m3) - sembol “rho” ρ

18. Örnek: Sürekli yük dağılımı
İnce, düzgün, iletken ve L boyundaki yüklü bir
çubuğun elektrik alanını bulalım .
L boyunda Q yüklü iletken düzgün bir çubuk ise λ=Q/L
dE θ NOT: Her bir dE (x < 0)
P için, bunun simetriği olan
r
bir dE (x > 0) vardır.
Böylece dE lerin x
θ (L/2,0)
(-L/2,0)
bileşenleri toplamı sıfır
olur.
dx x

19. Örnek – Sürekli yük dağılımı devamı
dE θ dq ve r değerleri yerine yazılırsa
P
λ dx
r 1
sin θ
dE y =
4πε 0 x + y 2 2
θ (L/2,0)
(-L/2,0)
sin θ hesabı
dx x
y
sin θ =
Elektrik alanın y bileşeni.
x +y2 2
dE y = dE sin θ
λ dx
1 y
1
dq dE y =
dE = 4πε 0 x 2 + y 2 x2 + y2
4πε 0 r 2

20. Örnek – Sürekli yük dağılımı devamı
L
dE θ
λy 2
dx
∫
E=
P
(x )
4πε 0 3
r
+y
2 2 2
L
−
2
θ (L/2,0)
(-L/2,0)
İntegral alınırsa
dx x
λ ydx L
1
dE y = ⎡1 ⎤
λy
2
( ) x
4πε 0 x 2 + y 2 3
E= ⎢2 ⎥
2
4πε 0 ⎢y x2 + y2 ⎥−L
⎣ ⎦
2
λ, y ve 1/4πε0 sabitler

21. Örnek – Sürekli yük dağılımı devamı
dE θ ⎤
⎡
⎥
⎢
P
λ L ⎥
⎢
r E=
⎥
4 πε 0 y ⎢ L2 + 4 y 2
⎥
⎢
θ (L/2,0)
(-L/2,0) ⎥
⎢ 4 ⎦
⎣
dx x
⎡ ⎤
λ 2L
⎢ ⎥
E=
4 πε 0 y ⎢ L2 + 4 y 2 ⎥
⎡ L ⎛ L⎞ ⎤ ⎣ ⎦
⎢ − ⎜− ⎟ ⎥
⎢ 2 ⎝ 2⎠ ⎥
λ
E= ⎛ ⎞
4 πε 0 y ⎢ L2 ⎥ r λ⎜ L ⎟$
E=
⎢ + y2 ⎥ j
2πε 0 y ⎜ L2 + 4 y 2 ⎟
⎢4 ⎥
⎣ ⎦ ⎝ ⎠

22. Örnek – Sürekli yük dağılımı devamı
İletken telimizin sonsuz uzunlukta olduğunu
varsayarsak
• L >> 4y
• 4y2 , L2 nin yanında ihmal edilir, fakat y
hala sonlu bir büyüklük
• Silindirik simetri esasından, y yi r ile
değiştirirsek
r λ
λ ⎛L⎞
r
E=
E= r
$
⎜ ⎟r ˆ
2πε 0 r ⎝ L ⎠
2πε 0 r

23. Örnek: Elektrik alan çizimleri

24. Örnek: Elektrik alan çizimleri

25. Sonlu bir test yükünün
iletken üzerindeki etkisi

26. Örnek: yüklü bir parçacığın
elektrik alandaki hareketi
+X ekseni boyunca yönelmiş 300 N/C luk bir
elektrik alanda serbest bırakılan bir
elektronun 0.5 ms sonraki hızını ve kinetik
enerjisini hesaplayın.
r
( )i
E
F = − 4.80 × 10 −17 N ˆ
-e
F r
r F − (4 .80 × 10 −17 N )i
r r ˆ
a= =
F = qE = − eEi
ˆ
9.11 × 10 − 31 kg
m
r
( )⎛ N ⎞ˆ
−19
F = − 1.60 × 10 C ⎜ 300 ⎟i ⎛ +13 m ⎞ ˆ
r
a = − ⎜ 5 .3 × 10
⎝ C⎠ 2⎟
i
⎝ s⎠

27. Örnek: yüklü bir parçacığın
elektrik alandaki hareketi
E 1
K = mv 2
-e 2
F
2
( )
⎛ +7 m ⎞
1
⎛ +13 m ⎞ ˆ
r − 31
K = 9 .11 × 10 kg ⎜ − 2 .6 × 10 ⎟
a = − ⎜ 5 .3 × 10 2⎟
i ⎝ s⎠
2
⎝ s⎠
− 16
K = 3 . 16 × 10
rr r J
v = vo + a t
( )
ˆ ⎞ 0 .5 × 10 − 6 s
⎛
r +13 m
v = 0 − ⎜ 5 .3 × 10 i⎟
⎠
⎝ s2
r +7 m ˆ
v = − 2 .6 × 10 i
s

28. Su molekülü dipolü

29. Elektrik alan içine koyulan bir dipol dönmek ister fakat
dipolün merkezi hareket etmez.

30. Düzgün bir elektrik alanda elektrik dipol
Tork Potansiyel Enerji
rr
r
τ = r×F θ
ΔU = − W = − ∫ τdθ
F = qE θo
θ
ΔU = − ∫ pE sin θdθ
τ = d F sinθ θo
θ
τ = dqE sin θ ∫ sin θdθ
Δ U = pE
θo
τ = pE sin θ θo = 90o da Uo = 0 ise
( )
U = pE cos θ − cos 90 0
rrr
τ = p× E rr
U = pE cos θ U = p ⋅ E