纵经沧海依然故我 (eadem mutata resurgo)
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谈谈神奇的对数螺线曲线 等角螺线是由笛卡儿在1638年发现的。雅各布·伯努利后来重新研究之。他发现了等角螺线的许多特性，如等角螺线经过各种适当的变换之后仍是等角螺线。他十分惊叹和欣赏这曲线的特性，故要求死后将之刻在自己的墓碑上，并附词「纵使改变，依然故我」(eadem mutata resurgo)。 对数螺线曲线的各种神奇性质 尺度变换，一个关于分形的梦 旋转变换，一个关于虚数的梦 自然界中的对数螺线，从贝壳到银河系 分形几何中的无穷无尽的螺旋中的螺旋，梦中的梦 此讲座送给计算士老兄，纪念这三年关于分形和虚数的这一场梦
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纵经沧海依然故我 (eadem mutata resurgo)
- 1. 纵经沧海，依然故我 此讲座送给计算士老兄，纪念这三年关于分形和虚数的这一场梦 Xiong WANG 王雄 Centre for Chaos and Complex Networks City University of Hong Kong
- 2. 目录 对数螺线曲线的各种神奇性质 标度变换，一个关于分形的梦 旋转变换，一个关于虚数的梦 自然界中的对数螺线，从贝壳到银河系 分形几何中的无穷无尽的螺旋中的螺旋， 梦中的梦 2
- 3. 第一节 对数螺线曲线的各种神奇性质 3
- 4. 对数螺线 等角螺线、对数螺线或生长螺线是在自然界 常见的螺线，在极坐标系(r, θ) 中，这个曲线 可以写为 bθ r =ae 1 r θ = ln b a 4
- 5. 等角性 设 L 为穿过原点的任意直线，则 L 与等角螺 线的相交的角永远相等（故其名），而此值为 cot-1 b 。 设 C 为以原点为圆心的任意圆，则 C 与等 角螺线的相交的角永远相等，而此值为 tan- 1 b ，名为“倾斜度” 5
- 6. 自相似性 等角螺线是自我相似的；这即是说，等角螺线 经放大后可与原图完全相同。 等角螺线的渐屈线和垂足线都是等角螺线。 从原点到等角螺线的任意点上的长度有限，但 由那点出发沿等角螺线走到原点却需绕原点转 无限次。这是由 Torricelli 发现的。 ln λ r → λr θ →θ+ b 6
- 7. 等角螺旋与黄金矩形 7
- 8. 雅各布 · 伯努利的墓碑 等角螺线是由笛卡儿在 1638年 发现的。雅各布·伯努利后来重 新研究之。他发现了等角螺线 的许多特性，如等角螺线经过 各种适当的变换之后仍是等角 螺线。 他十分惊叹和欣赏这曲线的特 性，故要求死后将之刻在自己 的墓碑上，并附词“纵使改变， 依然故我” (eadem mutata resurgo) 。可惜雕刻师误将 阿基米德螺线刻了上去。 8
- 9. 第二节 标度变换，一个关于分形的梦 9
- 10. 标度变换 10
- 11. 对于可微函数，满足严格标度 变换不变性的，只有幂函数了 11
- 12. 突破可微性才有的玩， 比如布朗运动 The Wiener process Wt is characterized by three properties:[1] 1.W0 = 0 2.The function t → Wt is almost surely continuous 3.Wt has independent increments with (for 0 ≤ s < t). N(μ, σ2) denotes the normal distribution with expected value μ and variance σ2. 如果 Wt 是布朗运动，那么 也是一个布朗运动 12
- 13. 随机过程的世界 13
- 15. 分形，自相似 自相似是更宽松的定义，并不要求对任意的尺度变换都严格不变 雪花曲线，对应的 但只对 这些值成立 15
- 16. 共形变换 O(3) 三维欧式空间中的保尺度（度规）的变换 SO(1,3) 闵氏空间中的保尺度（度规）的变换 Poincaré 群 Lorentz 群和时空平移群 : 共形群， Poincaré 群再加上尺度变换群 16
- 17. 17
- 18. 第三节 旋转变换，一个关于虚数的梦 18
- 19. 神奇的相位因子 “ 二十世纪的物理学里 头有些什么主旋律呢？ 那是量子化、对称跟相 位因 子，这三个观念 的改变、演进、纠缠在 一起，造成了二十世纪 理论物理的主体发展。 ” http://blog.sciencenet.cn/blog- 439941-616598.html 19
- 20. 规范理论其实应该叫相位理论 规范变换的概念是由德国 学者 H. 外尔在 1918 年 提出来的。“规范”的德文 Eich 原意是尺度， 外尔试图通过物理规律不 因在时空每一点上量度时 空的尺度的随意选择而有 所改变的原理来导出电磁 理论。 20
- 21. 规范理论其实应该叫相位理论 这种在时空每一点上量度时空的尺度的改变称 为定域规范变换，外尔所试图应用的原理又称 作定域规范变换不变性原理。 外尔的尝试并没有成功，原因在于他所用的尺 度的变换只涉及时空自由度的改变，而电磁势 的改变则涉及物质的内部自由度（电荷），这 两种自由度是不同的。 21
- 22. 复数进入量子力学 年量子力学建立后，规范变换有了新的 1925 含义。量子力学中有一种新的不变性：波函数 的整体的相位的选择有着任意性，相因子的改 变 Ψ(x,t)→eiαΨ(x,t) 对力学量的观测值毫无影 响。量子力学中，每一种变换下的不变性导致 一种物理守恒量，与上述不变性相联系的守恒 量就是电荷。 22
- 23. 局域规范变换 如果波函数在时空的每一点上相位作正比于电 荷的改变 要求量子力学在这变换下不变，则必须有一矢 量场 Aμ(x,t) 存在，它在变换 (2) 下作相应的变 换，由它定义的场强正好为麦克斯韦方程组所 描述，它与波函数 Ψ(x,t) 所描述的带电粒子的 相互作用，正好是熟知的电磁相互作用，因此 它就是电磁场的矢量势。 23
- 24. 由尺度到相位因子 这样就完成了由外尔开头尝试的从定域规范变 换不变性导出电磁理论的工作， 只是规范变换已经从原来的定义换成相位的变 换。 相位的变换与时空无关，称为整体规范变换； 相位的变换与时空有关，称为定域规范变换。 24
- 25. 第四节 自然界中的对数螺线， 从贝壳到银河系 25
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- 30. 分形几何中的无穷无尽的螺旋 中的螺旋，梦中的梦 请欣赏… 30
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- 46. 螺旋之中的螺旋 一沙一世界，一花一天堂 46
- 47. 王雄 Wang Xiong http://www.duobei.com/1044106160 Centre for Chaos and Complex Networks City University of Hong Kong Email: wangxiong8686@gmail.com 47