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对称性与数学 群在化学 , 物理 , 数据通讯中的应用
对称性结构图一 雪花
对称性结构图二
对称性结构图三 金刚石
对称性结构图四 DNA
对称性结构图五 石墨 干冰
建筑对称图六
建筑对称图六
建筑对称图七
风景对称图八
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植物对称图十
[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object]
旋转对称性的图案
旋转对称和反射对称的图案
问题 ,[object Object],[object Object],[object Object]
平面等距变换 ,[object Object]
三种基本的平面等距变换 ,[object Object]
平面平移 :   将平面内所有的点在同一方向上移动同样的距离 .
反射 : 指一个映射 F, 它使得直线 L 上的每一个点不动 , 把每一个不在 L 上的点 q 变成点 F(q), 使得 L 是连接 q 和 F(q) 的线段的垂直平分线 .
等距变换的合成 : 连续实施两个等距变换 T 和 F, 称为 T 和 F 的 合成 , 记为 F ◦ T. 等距变换的合成还是一个等距变换 . 例如 , 如果 T 是一个平移 , F 是一个反射 , 那么 合成变换 (F◦T)(q)=F(T(q)) 还是一个等距变 换 , 称之为移动反射 .
一个旋转和一个平移的合成是一个旋转
关于两条相交直线的两个反射的合成是一个中心在 C 的旋转
关于两条平行直线的两个反射的合成是一个平移
什么是图形的对称 ,[object Object],[object Object],[object Object]
群论的创立者 --- 伽罗华 ,[object Object]
[object Object]
[object Object]
[object Object],[object Object]
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[object Object],[object Object]
[object Object]
有限对称群的例子 ,[object Object],表示这个群 .  称为 4 阶循环群 .
[object Object],[object Object]
[object Object]
无限对称群的例子 ,[object Object]
注意: 上述图案仅仅是局部 ,  我们可以将它们分成 7 类带形图案和 17 类壁纸形图案 .
[object Object],用 t 表示右移一个单位的平移,则图案 1 的对称群为 带形图案的对称群 ---- 带群
[object Object],图案 2 的对称群为 表示一个移动反射, 其中 是一个平移。
[object Object],以 t 表示一个平移, v 表示关于一条固定垂线的反射,则图案 3 的对称群为
[object Object],图案 4 的对称群是 其中 r 表示以点 p 为中心的 180 度的旋转。
图案 5 的对称群为 ,[object Object]
[object Object],该图案的对称群为 其中 b 表示水平反射。
[object Object],该图案的对称群为 其中 v 表示垂直反射。
壁纸形图案的对称群 --- 晶体群 带形图案的对称群的特征 ,  所有的平移沿着水平或垂直方向 .  壁纸形图案的平移可以是任意一个方向 .  19 世纪研究晶体的化学家最先开始研究 , 并发现有 17 种平面晶体群 .
 
M.C.Escher 的生平 The Dutch artist Maurits C. Escher (1898-1973) was a draftsman, book illustrator, tapestry designer, and muralist, but his primary work was as a printmaker. Born in Leeuwarden, Holland, the son of a civil engineer, Escher spent most of his childhood in Arnhem. Aspiring to be an architect, Escher enrolled in the School for Architecture and Decorative Arts in Haarlem. While studying there from 1919 to 1922, his emphasis shifted from architecture to drawing and printmaking upon the encouragement of his teacher Samuel Jessurun de Mesquita. In 1924 Escher married Jetta Umiker, and the couple settled in Rome to raise a family. They resided in Italy until 1935, when growing political turmoil forced them to move first to Switzerland, then to Belgium. In 1941, with World War II under way and German troops occupying Brussels, Escher returned to Holland and settled in Baarn, where he lived and worked until shortly before his death.
M.C.Escher 的画与对称性
 
 
[object Object],[object Object]
空间物体的对称群 ,[object Object]
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[object Object],[object Object]
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二 . 代数系统与群的定义 ,[object Object],[object Object],[object Object],[object Object]
二元运算 ,[object Object],[object Object]
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代数系统 ,[object Object],[object Object],[object Object]
抽象群的定义 ,[object Object],[object Object],[object Object],[object Object]
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[object Object],1 2 3 0 3 2 0 2 0 2 3 2 1 0 1 0 0 0 0 0 3 2 1 0 乘
Fermat 大定理 ,[object Object]
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数据安全通讯的一个应用 ,[object Object],[object Object],[object Object],[object Object]
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密码学中的一个应用 — RSA 公钥加密方案 ,[object Object]
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