งาน

1. งาน และ พลัง งาน
คำาจำากัดความของงาน
รูปที่ 6.1
จากรูปที่ 6.1 แสดงแรงที่กระทำากับวัตถุซึ่งมีทิศเดียวกับการ
เคลื่อนที่ ( F|| ) ทำาให้วัตถุมีความเร่ง ขณะที่แรงกระทำากับวัตถุมีทิศตั้ง
ฉาก ( F ) กับการเคลื่อนที่ไม่มีผลต่อความเร่งของวัตถุ งานที่ได้จะเกิด
⊥
จากแรงที่มีทิศเดียวกับการเคลื่อนที่เท่านั้น หรือกล่าวได้ว่าแรงกับการก
ระจัดจะต้องมีทิศทางแนวเดียวกัน
งานเนื่อ งจากแรงคงที่
งานที่เกิดจากแรงคงที่ คือผลคูณระหว่างแรงกับการกระจัดซึ่งมี
ทิศเดียวกัน
∆W = || F∆ s
 
หรือ W = F ⋅s = Fs (cos θ)
หน่วยของงาน [∆W ] = [ F ] ⋅ [ s] = N ⋅m
หน่วยที่ใช้เรียกงานโดยเฉพาะคือ จูล โดยที่ 1N ⋅ m = 1Joule = 1J .
เป็นปริมาณสเกลาร์
ตัว อย่า งที่ 6.1 ออกแรง 50 N กระทำาต่อกระเป๋าเดินทางขนาด 20kg
โดยทำามุม 30 0 กับแนวระดับดังรูปที่ 6.2 ทำาให้กระเป๋าเดินทางเคลื่อนที่
ด้วยความเร็วคงที่บนผิวขรุขระได้ระยะทาง 4m จงคำานวณหางานที่เกิด
จากแรงต่าง ๆ ที่กระทำาต่อกระเป๋าเดินทาง

2. รูปที่ 6.2
วิธ ีท ำา คำานวณหาขนาดของแรงต่าง ๆ ที่กระทำาต่อกระเป๋าเดิน
ทาง จากกฎข้อที่สองของนิวตัน พิจารณาแนวแรงตามรูปที่ 6.3
รูป 
ที่ 6.3

∑x
F = ma x
FP cos θ − f k = 0
fk = FP cosθ
 
∑y
F = ma y
FN − mg + F p sin θ
= 0
F N = mg − F sin θ p
ดังนั้นแรงต่าง ๆ ที่กระทำาต่อกระเป๋าเดินทางคือ
mg = ( 20kg ) 9.8 m 
 2 
 s 
= 196 N
f = k
F cos θ p
= ( 50N ) cos 30 0
= 43.3 N
F = N
mg − F sin θ p
= (196 N ) − ( 50 N ) sin 300
= 196 N − 25 N
= 171N
จากคำา จำา กัด ความของงาน
∆W = F∆ s ||
W = p ( Fp cos θ )( ∆s )
= ( 50 N ) (cos 30 0 )( 4m )
= 173.21J
เป็นงานที่เกิดจากแรงซึ่งมีทิศเดียวกับการกระจัดซึ่งมีเพียงแรง
เดียวเท่านั้น

3. = ∆W F∆ s ||
Wf = ( f k cos180 0 )( ∆s )
k
= −f ∆ s k
= ( − 43.30 N )( 4m )
= −173.2 J
เป็นงานที่เกิดจากแรงเสียดทานซึ่งมีทิศตรงกันข้ามกับการกระจัด
ดังนั้นเมื่อแตกแรง f เข้าการกระจัดคือ ( f k cos180 0 ) จึงมีค่าเป็นลบ
k
= ∆WF∆ s ||
WF = ( FN cos 90 0 )( ∆s )
N
= 0J
W = ( mg cos 90 0 )( ∆s )
mg
= 0J
ไม่เกิดงานเนื่องจากแรงทั้งสอง เนื่องจากแรงทั้งสองไม่ทำาให้เกิด
การกระจัดในทิศเดียวกับแรงทั้งสอง
งานสุทธิที่กระทำาต่อกระเป๋าเดินทางคืองานรวมทั้งหมดซึ่งมีค่า
เท่ากับศูนย์เนื่องจากกระเป๋าไม่มีความเร่งนั่นคือ
∑ W t = W p + W f + W F + Wmg
N
= 173.2 J − 173.2 J + 0 J + 0 J
= 0J
พิจารณากรณีกระเป๋าเดินทางมีความเร่งดังตัวอย่างต่อไปนี้
ตัว อย่า งที่ 6.2 จากตัวอย่างที่ 6.1 ถ้าพื้นมีสัมประสิทธ์ความเสียดทาน
จลน์ 0.2
วิธ ีท ำา ตัวอย่างที่ 6.1 และ 6.2 แตกต่างกันเพียงเล็กน้อยเท่านั้นโดยที่
ในตัวอย่างที่ 6.2 พื้นจะมีสัมประสิทธ์ความเสียดทานจลน์เข้ามา
เกี่ยวข้องอาศัยรูปที่ 6.2 และ 6.3 และข้อมูลจากตัวอย่างที่ 6.1
fk
จาก µk = FN
= µF
fk k N
= ( 0.2 )(171N )
= 34.2 N
งานที่กระทำาโดยแรงเสียดทานคือ
∆W = F∆ s ||
Wf = ( f k cos180 0 )( ∆s )
k
= −f ∆ s k

4. = ( − 34.2 N )( 4m )
= − 136.8 J
ส่วนงานที่เกิดจากแรงต่างๆ จะมีค่าเท่ากับงานที่เกิดจากแรงในตัวอย่าง
ที่ 6.1 นั่นคือ
∆W = F|| ∆s
W p =173.21J ; WFN = 0 J ; Wmg = 0 J
ดังนั้นงานสุทธ์ที่กระทำาต่อกระเป๋าเดินทางคือ
∑ W t = W p + W f + WF + Wmg N
= 173.2 J − 136.8 J + 0 J + 0 J
= 36.4 J
เป็นงานสุทธิซึ่งเกิดจากแรงต่าง ๆ ที่กระทำาต่อกระเป๋าเดินทาง
ทำาให้กระเป๋าเดินทางเคลื่อนที่ด้วยความเร่ง
จากคำาจำากัดความของงานเมื่อเขียนอยู่ในรูปสมการ ∆W = F ∆s ||
ดังรูปที่ 6.4 ทำาให้ยุ่งยากและไม่สะดวกในการคำานวณ เพื่อให้ง่ายใน
การแก้สมการสามารถเขียนได้ใหม่โดยใช้ผลคูณแบบดอต (dot
product)
รูปที่
6.4
 
=∆W F ⋅∆s
เมื่อนำามาเปรียบเทียบกับสมการอันเดิมจะเหมือนกันคือ
 
∆W = F ⋅∆s
= F cos θ∆s = F ∆ s ||
งานเนื่อ งจากแรงไม่ค งที่

เมื่อแรง F แปรตามระยะทาง s
ทำาให้วัตถุเคลื่อนที่ดังกราฟรูปที่ 6.5
การคำานวณหางานที่เกิดขึ้น สามารถ

5. ทำำได้เช่นเดียวกับงำนที่เกิดจำกแรงคงที่ โดยกำรแบ่งระยะทำงระหว่ำง
s ถึง s เป็นส่วนเล็ก ๆ คือ ∆ ซึ่งแต่ละส่วนเล็ก ๆ มีค่ำเกือบคงที่ และ
0 s
ส่วนเล็ก ๆ นี้จะทำำให้เกิดงำนย่อย ๆ ดังนั้นงำนที่เกิดขึ้นทั้งหมดคือ
ผลรวมของงำนย่อย ๆ ที่เกิดขึ้น
W = ∆W1 + ∆W2 +... + ∆Wn
= F ( s0 ) ∆s + F ( s0 + ∆s ) ∆s + ... + F ( s ) ∆s
เมื่อระยะทำงมีขนำดเล็กมำก ๆ อย่ำงต่อเนื่อง ดังนั้นงำนทั้งหมด
คือพื้นที่ใต้กรำฟซึ่งหำได้โดยกำรอินทิเกรต ds( ∆s → 0) จำก s ถึง s 0
เนื่องจำก ∆s มีค่ำน้อยมำก ๆ ดังนั้นสำมำรถเขียนแทนได้เป็น ds
 
∆W = F ⋅∆ s
 
dW = F ⋅ ds
W S  
∫dW
0
= ∫
S0
F ⋅ ds
S  
W = ∫ F ⋅ ds
S0
ดังนั้นงำนที่เกิดจำกแรงไม่คงที่คือ
 
W = ∫F ⋅ds
เช่นงำนที่ใช้ในกำรดึงหรือกดสปริง
ตัว อย่ำ งที่ 6.3 ออกแรงดึงสปริงในแนวรำบทำำให้สปริงยืดออกเป็น
ระยะทำง x ดังรูปที่ 6.6 จงหำงำนที่กระทำำโดยสปริง

วิธ ีท ำำ เมื่อออกแรง F ดึงสปริง

p
สปริงจะออกแรงดึงกลับ F ซึ่งมีขนำด s
เท่ำกันแต่ทิศทำงตรงกันข้ำม โดยแรงดึง
กลับจะเป็นปฏิภำคโดยตรงกับ x เมื่อ x
คือระยะยืดหรือหดจำกจุดสมดุล
รูปที่ 6.6 F α x s
 
F = −kx s
เมื่อ k คือค่ำคงตัวของสปริง (spring constant) เรียกว่ำค่ำนิจ
สปริง
ถ้ำออกแรงดึงที่ปลำยสปริงให้ยืดออกเป็นระยะทำง x จำกกฎข้อ
สองของนิวตันจะได้ว่ำ  
∑ F = ma

6. F p −Fs = 0
Fp = Fs = kx
งำนที่ใช้ในกำรดึงสปริงคือ  
W = ∫F ⋅ds
 
WP = ∫F ⋅dx p
x
WP = ∫kx( dx )
0
1
= 2
kx 2
6.2 ทฤษฎีง ำน - พลัง งำน
จำกหัวข้อที่แล้วพิจำรณำงำนสุทธิที่กระทำำต่อวัตถุ แล้วทำำให้วัตถุ
มีควำมเร่ง พิจำรณำจำกคำำจำำกัดควำมของงำนและอำศัยกฎข้อที่สอง
ของนิวตันจะได้ว่ำ  
W = ∫F ⋅ds 
W =net ∫∑ ⋅ds
F
 
= ∫ma ⋅ds
 
= m ∫a ⋅ds
จำกคำำจำำกัดควำมของควำมเร่งและควำมเร็ว

dv 
Wnet = m∫ ⋅ ds
dt
 ds
= m ∫ dv ⋅
dt
 
= m ∫dv ⋅v
= m ∫vdv
สมมุติให้วัตถุมีควำมเร็วต้น v0 และควำมเร็วปลำย v
v
Wnet = m ∫vdv
v0
v
1 
= m v 2 
 2 v 0
1 1 2
= 2
mv 2 − v0
2
นั่นคืองำนสุทธิที่กระทำำต่อวัตถุ จะทำำให้วัตถุมีกำรเปลี่ยนแปลง
1
ปริมำณปริมำณหนึ่ง เมื่อ 2 mv เรียกว่ำพลังงำนจลน์
2

7. พลัง งานจลน์
1
K = 2
mv 2
ดังนั้นงานสุทธิที่กระทำาต่อวัตถุสามารถเขียนใหม่ได้เป็น
Wnet = K −K0 สมการนี้เรียกว่าทฤษฎีของงาน – พลังงาน
ทฤษฎีง าน - พลัง งาน
W = net ∆K
สรุป ได้ว่างานสุทธิที่กระทำาต่อวัตถุจะทำาให้วัตถุเกิดการเปลี่ยนแปลง
พลังงานจลน์
ตัว อย่า งที่ 6.4 ปล่อยทรงกลมจากความสูง 1m ดังรูปที่ 6.7 จง
คำานวณหาความเร็วขณะกระทบพื้น
วิธ ีท ำา เนื่องจากเป็นการเคลื่อนที่แบบดิ่งอิสระ
สามารถคำานวณโดยใช้สมการการเคลื่อนที่จาก
บทที่แล้วก็ได้
ทดสอบโดยการแปลงค่าจากทฤษฎีงาน -
พลังงาน เมื่องานสุทธิที่ได้เกิดจากแรงโน้มถ่วง
จากคำาจำากัดความของงาน
 
W = ∫F ⋅ds
Wnet = ∫mgdy
h
= mg ∫ dy
0
= mgh
รูปที่ 6.7

8. จากทฤษฎีงาน - พลังงาน เมื่อมีการกระทำาต่อวัตถุจะทำาให้
พลังงานจลน์ของวัตถุเปลี่ยนแปลง
W = netK −K 0
1 1
mgh = mv − mv 2 2
0
2 2
2 gh = v − v0
2 2
v 2
= v 0 + 2 gh
2
แต่ h = y ดังนั้น v 2 = v02 + 2 gy (เปรียบเทียบสมการนี้กับสมการ
ที่ได้จากตัวอย่างที่ 6.7 )
จะได้ v = v + 2 gy 2
0
 m
= 0 + 2 9.8 2 (1m )
 s 
m
= 4.43
s
หมายเหตุ ปัญหาที่เกิดจากการชนไม่สามารถแก้โดยใช้
พลังงานจลน์ได้
ตัว อย่า งที่ 6.5 นำามวล m = 50 ×10 kg อัดสปริงซึ่งมีค่านิจสปริงเท่ากับ
−3
800 N / m ทำาให้สปริงหดเข้าไปเป็นระยะทาง 5cm ดังรูปแล้วปล่อย จงหา
ก. งานที่สปริงกระทำากับมวล m
ข. พลั ง งานจลน์ แ ละความเร็ ว ของมวล m ขณะที่ออกจาก
สปริง
 
วิธ ีท ำา ก. W = ∫F ⋅ds
Ws = ∫F dx
s
x
= ∫kx(dx)
0
1 2
= 2
kx
=
1
2
N
(
−2
8,000  5 ×10 m
m
) 2
= 10 J
ข. Wnet = ∆K