1. GIẢI TÍCH 12 GV: Vũ Thị Hồng Hạnh LHP
17
§3. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
1. Định nghĩa
Cho hàm số xác định trên D
Số M được gọi là giá trị lớn nhất (GTLN) của hàm số ( )
y f x trên D nếu
( ) ;
,
: ( )
o o
f x M x D
x D f x M
ta kí hiệu max ( )
x D
M f x
Chú ý: Nếu ( ) ;
f x M x D thì ta chưa thể suy ra max ( )
x D
M f x
Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số (x)
y f trên D nếu
( ) ;
,
: ( )
o o
f x M x D
x D f x M
ta kí hiệu min ( )
x D
M f x
Chú ý: Nếu ( ) ;
f x M x D thì ta chưa thể suy ra min ( )
x D
M f x
2. Các phương pháp tìm GTLN, GTNN của hàm số
Phương pháp chung:
Để tìm GTLN, GTNN của hàm số ( )
y f x trên D, ta tính y’, tìm các điểm mà tại đó đạo hàm triệt tiêu
hoặc không tồn tại và lập bảng biến thiên. Từ bảng biến thiên ta suy ta GTLN, GTNN của hàm số.
Chú ý:
Nếu hàm số ( )
y f x luôn tăng hoặc giảm trên [a;b].
Thì ta có
[ ; ]
max ( ) ( ); ( )
a b
f x f a f b và
[ ; ]
min ( ) ( ); ( )
a b
f x f a f b
Nếu hàm số ( )
y f x liên tục trên [a;b] thì luôn có GTLN, GTNN trên đoạn đó và để tìm GTLN,
GTNN ta làm như sau:
- Tính y’ và tìm các điểm 1 2
, ,..., n
x x x mà tại đó y’ triệt tiêu hoặc không tồn tại.
- Tính các giá trị 1 2 3
( ), ( ), ( ),..., ( ).
n
f x f x f x f x Khi đó
+) 1 2
[ ; ]
max ( ) ( ); ( );.... ( ); ( ); ( )
n
a b
f x f x f x f x f a f b
+) 1 2
[ ; ]
min ( ) ( ); ( );.... ( ); ( ); ( )
n
a b
f x f x f x f x f a f b
Nếu hàm số ( )
y f x tuần hoàn trên chu kỳ T để tìm GTLN, GTNN của nó trên D ta chỉ cần tìm
GTLN, GTNN trên một đoạn thuộc D có độ dài bằng T.
Cho hàm số ( )
y f x xác định trên D. Khi đặt ẩn phụ ( ),
t u x ta tìm được t E với x D, ta có
( )
y g t thì Max, Min của hàm f trên D chính là Max, Min của hàm g trên E.
Khi bài toán yêu cầu tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất mà không nói trên tập nào thì ta hiểu là tìm
GTLN, GTNN trên tập xác định của hàm số.
Ngoài phương pháp khảo sát để tìm Max, Min ta có thể dùng phương pháp miền giá trị hoặc bất đẳng
thức để tìm Max, Min
Tìm GTLN, GTNN bằng máy tính Casio
Sử dụng chức năng MODE 7 với thiết lập Start a End b và Step
19
b a
với ;
D a b
2. GIẢI TÍCH 12 GV: Vũ Thị Hồng Hạnh LHP
18
Quan sát bảng giá trị ( )
F x để tìm GTLN, GTNN xuất hiện trên màn hình máy tính.
Ta cần phân biệt hai khái niệm cơ bản
- Giá trị lớn nhất của hàm số ( )
y f x trên D với cực đại của hàm số.
- Giá trị nhỏ nhất của hàm số ( )
y f x trên D với cực tiểu của hàm số.
3. Tìm tập giá trị của hàm số
Phương pháp chung:
Việc tìm tập giá trị của hàm số chính là việc đi tìm giá trị nhỏ nhất, kí hiệu là m và giá trị lớn nhất, kí hiệu
là M. Khi đó, tập giá trị của hàm số là [ ; ].
T m M
4. Phương pháp tìm GTLN, GTNN của hàm số hai biến (bài toán cực trị)
Các bài toán hai biến (yêu cầu: tìm GTLN, GTNN hoặc tìm tập giá trị).
Sử dụng phương pháp thế ( )
y h x từ giả thiết vào biểu thức P cần tìm cực trị, khi đó ( )
P f x với
[ ; ]
x a b đưa về tìm GTLN, GTNN của bài toán một biến.
Sử dụng các bất đẳng thức cơ bản (có thể dùng để giải quyết các bài toán một biến)
Bất đẳng thức AM – GM cho hai số thực không âm
2 2
2 4 ( ) ( ) 0
a b ab ab a b a b
Bất đẳng thức Bunhiacopxki cho các số thực a, b, c, d
2 2 2 2 2
.
ax by a b x y Dấu “=” xảy ra khi
a b
x y
Một số bổ đề cơ bản dùng trong các bài toán hai biến
2 2 2
4 2
x y
x y
xy và 2 2 2
3
( )
4
x xy y x y
2 2 3
3 3 ( )
( )
2 4
x y x y x y
x y xy x y
Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz dạng phân số
1 1 4
x y x y
Ví dụ 1:
Tìm GTLN và GTNN của hàm số
1
( )
1
f x x
x
trên khoảng (1; + )
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ví dụ 2: Tìm GTLN và GTNN của các hàm số:
a) f(x) = x3
– 3x + 3 trên đoạn [0; 2]. b) f(x) = 2 4 .
x x
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
y' = A +
¥52 D: RIH}
=
ñ-Y%;_=Y;¥ Choy:O
[
" °
n= 2
f-(2) =3 minfcn) = ?
Hi-
ios)
catch live
"
BBT
Dc -230 u -
u 30
n 72 43k
y'= 3kt-3 = 3in-
1) Cnet) 2<-1114
a
:b
'
-
-
2¥ -2¥;
y'=0 [2--1 BBT
RE [2i4]
u= -1
2:
y
>
=O -4 n= ?
£2) = I maxfcu) = 2
%ѧ°Fy tW=r "in
minfcx) = I
1-131=2 Kim
k :L : min flu) = 1
qq.gg
-61=5
[Oi2
]
![GIẢI TÍCH 12 GV: Vũ Thị Hồng Hạnh LHP
17
§3. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
1. Định nghĩa
Cho hàm số xác định trên D
Số M được gọi là giá trị lớn nhất (GTLN) của hàm số ( )
y f x trên D nếu
( ) ;
,
: ( )
o o
f x M x D
x D f x M
ta kí hiệu max ( )
x D
M f x
Chú ý: Nếu ( ) ;
f x M x D thì ta chưa thể suy ra max ( )
x D
M f x
Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số (x)
y f trên D nếu
( ) ;
,
: ( )
o o
f x M x D
x D f x M
ta kí hiệu min ( )
x D
M f x
Chú ý: Nếu ( ) ;
f x M x D thì ta chưa thể suy ra min ( )
x D
M f x
2. Các phương pháp tìm GTLN, GTNN của hàm số
Phương pháp chung:
Để tìm GTLN, GTNN của hàm số ( )
y f x trên D, ta tính y’, tìm các điểm mà tại đó đạo hàm triệt tiêu
hoặc không tồn tại và lập bảng biến thiên. Từ bảng biến thiên ta suy ta GTLN, GTNN của hàm số.
Chú ý:
Nếu hàm số ( )
y f x luôn tăng hoặc giảm trên [a;b].
Thì ta có
[ ; ]
max ( ) ( ); ( )
a b
f x f a f b và
[ ; ]
min ( ) ( ); ( )
a b
f x f a f b
Nếu hàm số ( )
y f x liên tục trên [a;b] thì luôn có GTLN, GTNN trên đoạn đó và để tìm GTLN,
GTNN ta làm như sau:
- Tính y’ và tìm các điểm 1 2
, ,..., n
x x x mà tại đó y’ triệt tiêu hoặc không tồn tại.
- Tính các giá trị 1 2 3
( ), ( ), ( ),..., ( ).
n
f x f x f x f x Khi đó
+) 1 2
[ ; ]
max ( ) ( ); ( );.... ( ); ( ); ( )
n
a b
f x f x f x f x f a f b
+) 1 2
[ ; ]
min ( ) ( ); ( );.... ( ); ( ); ( )
n
a b
f x f x f x f x f a f b
Nếu hàm số ( )
y f x tuần hoàn trên chu kỳ T để tìm GTLN, GTNN của nó trên D ta chỉ cần tìm
GTLN, GTNN trên một đoạn thuộc D có độ dài bằng T.
Cho hàm số ( )
y f x xác định trên D. Khi đặt ẩn phụ ( ),
t u x ta tìm được t E với x D, ta có
( )
y g t thì Max, Min của hàm f trên D chính là Max, Min của hàm g trên E.
Khi bài toán yêu cầu tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất mà không nói trên tập nào thì ta hiểu là tìm
GTLN, GTNN trên tập xác định của hàm số.
Ngoài phương pháp khảo sát để tìm Max, Min ta có thể dùng phương pháp miền giá trị hoặc bất đẳng
thức để tìm Max, Min
Tìm GTLN, GTNN bằng máy tính Casio
Sử dụng chức năng MODE 7 với thiết lập Start a End b và Step
19
b a
với ;
D a b](https://image.slidesharecdn.com/chuong1gtp32021-230316095227-57d7d393/85/Chuong1GT_P3-2021-pdf-1-320.jpg)
![GIẢI TÍCH 12 GV: Vũ Thị Hồng Hạnh LHP
18
Quan sát bảng giá trị ( )
F x để tìm GTLN, GTNN xuất hiện trên màn hình máy tính.
Ta cần phân biệt hai khái niệm cơ bản
- Giá trị lớn nhất của hàm số ( )
y f x trên D với cực đại của hàm số.
- Giá trị nhỏ nhất của hàm số ( )
y f x trên D với cực tiểu của hàm số.
3. Tìm tập giá trị của hàm số
Phương pháp chung:
Việc tìm tập giá trị của hàm số chính là việc đi tìm giá trị nhỏ nhất, kí hiệu là m và giá trị lớn nhất, kí hiệu
là M. Khi đó, tập giá trị của hàm số là [ ; ].
T m M
4. Phương pháp tìm GTLN, GTNN của hàm số hai biến (bài toán cực trị)
Các bài toán hai biến (yêu cầu: tìm GTLN, GTNN hoặc tìm tập giá trị).
Sử dụng phương pháp thế ( )
y h x từ giả thiết vào biểu thức P cần tìm cực trị, khi đó ( )
P f x với
[ ; ]
x a b đưa về tìm GTLN, GTNN của bài toán một biến.
Sử dụng các bất đẳng thức cơ bản (có thể dùng để giải quyết các bài toán một biến)
Bất đẳng thức AM – GM cho hai số thực không âm
2 2
2 4 ( ) ( ) 0
a b ab ab a b a b
Bất đẳng thức Bunhiacopxki cho các số thực a, b, c, d
2 2 2 2 2
.
ax by a b x y Dấu “=” xảy ra khi
a b
x y
Một số bổ đề cơ bản dùng trong các bài toán hai biến
2 2 2
4 2
x y
x y
xy và 2 2 2
3
( )
4
x xy y x y
2 2 3
3 3 ( )
( )
2 4
x y x y x y
x y xy x y
Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz dạng phân số
1 1 4
x y x y
Ví dụ 1:
Tìm GTLN và GTNN của hàm số
1
( )
1
f x x
x
trên khoảng (1; + )
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ví dụ 2: Tìm GTLN và GTNN của các hàm số:
a) f(x) = x3
– 3x + 3 trên đoạn [0; 2]. b) f(x) = 2 4 .
x x
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
y' = A +
¥52 D: RIH}
=
ñ-Y%;_=Y;¥ Choy:O
[
" °
n= 2
f-(2) =3 minfcn) = ?
Hi-
ios)
catch live
"
BBT
Dc -230 u -
u 30
n 72 43k
y'= 3kt-3 = 3in-
1) Cnet) 2<-1114
a
:b
'
-
-
2¥ -2¥;
y'=0 [2--1 BBT
RE [2i4]
u= -1
2:
y
>
=O -4 n= ?
£2) = I maxfcu) = 2
%ѧ°Fy tW=r "in
minfcx) = I
1-131=2 Kim
k :L : min flu) = 1
qq.gg
-61=5
[Oi2
]](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)