Chap logic

1. Giảng viên: ThS. Trần Quang Khải
TOÁN RỜI RẠC
Chương 01
Logic

2. Toán rời rạc
Nội dung
1. Propositional Logic.
2. Predicate Logic.
2
Chương 1: Logic

3. Toán rời rạc
What is LOGIC?
Chương 1: Logic 3
Logic is the study of arguments.

4. Toán rời rạc
What is LOGIC?
Chương 1: Logic 4
Logic is the study of arguments.
In philosophy
Logic (from the Greek) is the formal systematic
study (sự nghiên cứu có tính hệ thống) of the
principles (quy tắc) of valid inference and
correct reasoning (lập luận có căn cứ và suy luận
đúng).

5. Toán rời rạc
What is LOGIC?
Chương 1: Logic 5
Trong toán học:
các quy luật Logic giúp xác định ý nghĩa
chính xác của các phát biểu toán học.
 Logic toán học là một nhánh của toán học có quan
hệ chặt chẽ với khoa học máy tính và logic triết học.
 Phân biệt các suy luận đúng (valid) và không đúng
(invalid)

6. Toán rời rạc
Giảng viên: ThS. Trần Quang Khải
PROPOSITIONAL LOGIC
(Logic mệnh đề)
Chương 1: Logic 6
TOPIC 1

7. Toán rời rạc
Propositions
Chương 1: Logic 7
Mệnh đề (Proposition)
là 1 câu (hoặc 1 phát biểu) tường thuật chỉ
có giá trị “đúng” hoặc “sai”
 Mệnh đề không thể vừa đúng vừa sai
 Giá trị đúng hoặc sai của mệnh đề: chân trị.
TRUTH
VALUE

8. Toán rời rạc
Propositions - Examples
1. “Pigs can fly.”
2. “1 + 1 = 2.“
3. “2 + 2 = 3.”
4. “Your teacher is Superman.”
5. “Hanoi is the capital of Vietnam.”
6. “Paris is the capital of London.”
Chương 1: Logic 8

9. Toán rời rạc
Sentences not to be propositions
1. What time is it?
2. Do your homework.
3. x + 1 = 3.
4. x + y = z.
5. What a pretty girl!
Chương 1: Logic 9

10. Toán rời rạc
Biểu diễn mệnh đề
Biểu diễn 1 mệnh đề bằng 1 kí tự (letter).
 VD: p, q, r, s, t, …
 Gọi là biến mệnh đề (propositional variables or statement
variables).
 Phủ định một mệnh đề: ký hiệu ¬p
Quy ước:
 TRUE: T or 1.
 FALSE: F or 0.
Chương 1: Logic 10
p ¬p
1
0
0
1
Truth table
p ¬p
T
F
F
T

11. Toán rời rạc
Xác định chân trị
Chương 1: Logic 11
Xác định 1 mệnh đề là true/false:
không phải là nhiệm vụ của Logic
Ex: Today is Friday.
true or false depends on what is today.

12. Toán rời rạc
Negation (phủ định)
Phủ định của một mệnh đề:
“Today is Friday.”
 “It is not the case that today is Friday.”
 “Today is not Friday.”
 “It is not Friday today.”
Chương 1: Logic 12

13. Toán rời rạc
Compound propositions
Chương 1: Logic 13
Mệnh đề kết hợp
(Mệnh đề phức hợp)
 Các phát biểu thường gồm 1 hay nhiều mệnh đề.
 Các mệnh đề kết hợp bằng toán tử logic (logical
operators).

14. Toán rời rạc
Compound propositions
George Boole (1854) – English mathematician
 “The Mathematical Analysis of Logic” (1848).
 “The Law of Thought” (1854)  Boolean Algebra.
Chương 1: Logic 14

15. Toán rời rạc
Toán tử Logic
Gọi p, q là các mệnh đề:
 ¬p: negation (phủ định).
 p  q: conjunction (hội).
 p  q: disjunction (tuyển).
 p  q: exclusive-OR (tuyển loại – phép XOR).
 p  q: implication (kéo theo).
Kết quả của việc kết hợp các mệnh đề bằng các toán
tử cũng là một mệnh đề.
Chương 1: Logic 15

16. Toán rời rạc
Toán tử Logic – Bảng chân trị
p q ¬p p  q p  q p  q p  q p  q
T
T
F
F
T
F
T
F
F
T
T
F
F
F
T
T
T
F
F
T
T
F
T
F
T
T
T
F
F
T
Chương 1: Logic 16

17. Toán rời rạc
Phép hội: p  q
Mệnh đề “p và q” là:
 TRUE khi cả p và q đều TRUE.
 FALSE trong các trường hợp còn lại.
Trong lập trình:
Kết hợp các điều kiện AND.
if (a > 1 AND a < 4) then …
Chương 1: Logic 17
p q p  q
T
T
F
T
T
F
T
F
T
F
F
F

18. Toán rời rạc
Phép tuyển: p  q
Mệnh đề “p hoặc q” là:
 FALSE khi cả p và q đều FALSE.
 TRUE trong các trường hợp còn lại.
Trong lập trình:
Kết hợp các điều kiện OR.
if (a > 1 OR a < 4) then …
Chương 1: Logic 18
p q p  q
T
T
F
F
T
F
T
F
T
T
T
F

19. Toán rời rạc
Phép tuyển loại: p  q
Mệnh đề “p  q” là:
 FALSE khi p và q đều là TRUE hoặc FALSE.
 Nhận xét: p và q giống nhau.
 TRUE trong các trường hợp còn lại.
 Nhận xét: p và q khác nhau.
Trong lập trình:
Phép XOR.
Chương 1: Logic 19
p q p  q
T
T
F
F
T
F
T
F
F
T
T
F

20. Toán rời rạc
Toán tử “kéo theo”: p  q
Chương 1: Logic 20
Toán tử p → q có vai trò đặc biệt quan trọng
trong toán học:
 p: giả thiết (hypothesis).
 q: kết luận (conclusion).
 “Nếu p, thì q”
 “p chỉ nếu q”
 “p suy ra q”
 “p là đủ cho q”
 “Điều kiện cần cho p là q”

21. Toán rời rạc
Toán tử “kéo theo”: p  q
Toán tử p → q là:
 FALSE khi p = TRUE và q = FALSE.
 TRUE trong các trường hợp còn lại.
Chương 1: Logic 21
p q p  q
T
T
F
F
T
F
T
F
T
F
T
F

22. Toán rời rạc
Toán tử “kéo theo”: p  q
Ví dụ:
1. “Messi đá hay thì đội Việt Nam bị loại” (đúng  đúng)
2. “Con lợn biết bay thì iPhone 5 có giá rẻ” (sai  sai)
3. “If today is Friday, then 2 + 3 = 5” (true/false  true)
4. “If today is Friday, then 2 + 3 = 6” (true/false  false)
5. “If you study discrete maths well, you will earn much
money”
Chương 1: Logic 22

23. Toán rời rạc
Vì sao TRUE → FALSE là sai?
Chỉ sai khi giả thiết (hypothesis) p là đúng nhưng
kết luận (conclusion) q là sai
sai vì không tuân theo luật.
Chương 1: Logic 23

24. Toán rời rạc
Quan hệ “nguyên nhân – hệ quả”
Cause (hypothesis, antecedent, premise) – effect
(conclusion, consequence):
 Ex: “Nếu bạn chém gió quá nhiều người yêu của bạn sẽ
không còn tin bạn”
Phép kéo theo trong logic:
 Ex: “Nếu môn toán rời rạc dở, thì Bill Gates là siêu cầu
thủ”
Phép kéo theo trong logic tổng quát hơn quan hệ
“nhân-quả” trong ngôn ngữ tự nhiên.
Chương 1: Logic 24

25. Toán rời rạc
Toán tử “kéo theo”: p  q
q  p: mệnh đề đảo (converse).
¬q  ¬p: mệnh đề phản đảo (contrapositive)
¬p  ¬q: mệnh đề nghịch đảo (inverse)
Chương 1: Logic 25

26. Toán rời rạc
Toán tử “kéo theo”: p  q
Ví dụ: Xây dựng bảng chân trị cho mệnh đề
(p  ¬q) → (p  q)
Chương 1: Logic 26
p q ¬q p  ¬q p  q (p  ¬q) → (p  q)
T
T
F
F
T
F
T
F
F
T
F
T
T
T
F
T
T
F
F
F
T
F
T
F

27. Toán rời rạc
Toán tử “tương đương”: p  q
Toán tử p  q là:
 TRUE khi p và q có cùng chân trị.
 FALSE trong các trường hợp còn lại.
Chỉ đúng khi cả p  q và q  p đều đúng.
Nhận xét: ngược lại toán tử XOR.
Thực chất:
 Không thực sự gọi là “tương đương”.
 Phát biểu “điều kiện đôi” (biconditional statements).
 Phép “kéo theo hai chiều” (bi-implications).
Chương 1: Logic 27

28. Toán rời rạc
Toán tử “tương đương”: p  q
Diễn giải:
 “p nếu và chỉ nếu q”.
 “p là cần và đủ để/đối-với q”.
 “nếu p thì q và ngược lại”.
Ví dụ:
 “Con bò biết lập trình nếu và chỉ nếu hạt mưa rơi”.
 “Cái nồi nhảy hip-hop là cần và đủ để con trai yêu con
gái”.
Chương 1: Logic 28

29. Toán rời rạc
Mệnh đề tương đương
Chương 1: Logic 29
Logical Equivalence
Hai mệnh đề kết hợp được gọi là “tương đương
logic” nếu chúng có bảng chân trị giống nhau.
Hai mệnh đề kết hợp p, q là tương đương nếu p  q
là đúng trong mọi trường hợp (tautology)
Ký hiệu: p  q
 Có thể chứng minh 2 mệnh đề tương đương bằng cách so
sánh bảng chân trị của chúng

30. Toán rời rạc
Mệnh đề tương đương
Chương 1: Logic 30
 Tautology (hằng đúng): mệnh đề luôn luôn đúng.
 Contradiction (mâu thuẫn): mệnh đề luôn luôn sai.
 Ví dụ:
p ¬p p  ¬p p  ¬p
T
F
F
T
F
F
T
T
Mâu
thuẫn
Hằng
đúng

31. Toán rời rạc
Mệnh đề tương đương
Ví dụ 1: Chứng minh ¬(pq)  ¬p¬q
Chương 1: Logic 31
p q ¬p ¬q ¬(p  q) ¬p¬q
T
T
F
F
T
F
T
F
F
F
T
T
F
T
F
T
F
F
F
T
F
F
F
T

32. Toán rời rạc
Mệnh đề tương đương
Ví dụ 2: Chứng minh ¬(p  q)  ¬p  ¬q
Chương 1: Logic 32
p q ¬p ¬q ¬(p  q) ¬p¬q

33. Toán rời rạc
Mệnh đề tương đương
Ví dụ 3: Chứng minh ¬p  q  p → q
Chương 1: Logic 33
p q ¬p ¬q ¬p  q p → q

34. Toán rời rạc
Một số luật quan trọng (1)
Chương 1: Logic 34

35. Toán rời rạc
Một số luật quan trọng (2)
Chương 1: Logic 35

36. Toán rời rạc
Chứng minh mệnh đề tương đương
Chương 1: Logic 36

37. Toán rời rạc
Bài tập
1. Viết 10 câu mệnh đề và cho biết chân trị của chúng.
2. Lập bảng chân trị cho các mệnh đề:
a) (p  ¬q)  q
b) (p  q)  (p  q)
c) (p  q)  (q  p)
d) p  ¬q
e) (p  q) (p  ¬q)
3. Chứng minh: (p  q)  (¬q  ¬p).
4. Chứng minh (p  q)  (p  q) là hằng đúng.
Chương 1: Logic 37

38. Toán rời rạc
Bài tập
5. Chuyển các câu sau sang dạng mệnh đề:
a) Nếu người đi bộ băng qua đường thì hoặc là đèn
điều khiển đang xanh hoặc là sức khỏe người đi bộ
không tốt.
b) Người đi xe máy không thể vượt đèn đỏ nếu anh ta
thấy công an trừ khi anh ta quá liều.
Chương 1: Logic 38

39. Toán rời rạc
Giảng viên: ThS. Trần Quang Khải
PREDICATE LOGIC
(Logic vị từ)
Chương 1: Logic 39
TOPIC 2

40. Toán rời rạc
Điểm yếu của Logic mệnh đề
Không thể biểu diễn các phát biểu có chứa biến
(variables).
Ex:
 x = y + 4.
 x > 3
Các biến KHÔNG có giá trị cụ thể.
Xuất hiện nhiều trong thực tế.
Chương 1: Logic 40

41. Toán rời rạc
Điểm yếu của Logic mệnh đề
Một số phát biểu tương đương:
“Not all birds fly.” AND “Some bird don’t fly.”
“Không phải tất cả bánh đều ăn được.”
“Chỉ một số bánh ăn được.”
“Không phải mọi số nguyên đều là số lẻ.” AND “Một số
số nguyên là số lẻ.”
Cách duy nhất để suy luận là liệt kê tất cả các mệnh
đề một cách phân biệt.
Chương 1: Logic 41

42. Toán rời rạc
Điểm yếu của Logic mệnh đề
Giả sử ta biết:
“Mọi sinh viên IT phải học toán rời rạc.”
Không có luật nào của Logic mệnh đề cho phép kết
luận chân trị của phát biểu:
“Ronaldo phải học toán rời rạc.”
Trong đó Ronaldo là một sinh viên IT.
Không có luật để tìm chân trị của phát biểu:
“Có một sinh viên IT không học toán rời rạc.”
Chương 1: Logic 42

43. Toán rời rạc
Vị từ (Vị ngữ)
Ví dụ: “x > 3” (x lớn hơn 3)
“x”: chủ ngữ
“lớn hơn 3”: vị ngữ
P(x): x > 3 (P kí hiệu vĩ ngữ “lớn hơn 3”)
Xét P(x): x > 3
 Mệnh đề P(4) có chân trị là TRUE (4 > 3).
 Mệnh đề P(2) có chân trị là FALSE (2 > 3).
P(x) là giá trị hàm mệnh đề P tại x.
Chương 1: Logic 43

44. Toán rời rạc
Vị từ (Vị ngữ)
Thực tế: câu thường có nhiều biến hơn.
Ví dụ: xét câu “x = y + 3”.
 Q(x,y): x = y +3
Xét chân trị của các mệnh đề Q(1,2) và Q(3,0)?
Chương 1: Logic 44

45. Toán rời rạc
Predicate
Chương 1: Logic 45
Vị từ
Predicate (vị từ) là một hàm mệnh đề mô tả
thuộc tính của các đối tượng và mối quan hệ
giữa chúng.
Ký hiệu
Một phát biểu có n biến x1, x2, …, xn, biểu diễn là
P(x1, x2, …, xn), được gọi là hàm mệnh đề.
Ví dụ: P(x,y,z): x + y = z.

46. Toán rời rạc
Predicate IS NOT Proposition
Statement “x > 1” is not a proposition.
How to make it to be a proposition?
 Cách 1: gán 1 giá trị cho biến x (Ex: 0 > 1).
 Cách 2: biến đổi câu trên thành
hoặc
Nhận xét: liên quan đến “số lượng”
Chương 1: Logic 46
Có một số tự nhiên x sao cho x > 1
Với mọi số tự nhiên x thì x > 1

47. Toán rời rạc
Lượng từ (quantifier)
Để biến vị từ thành mệnh đề  “Sự lượng hóa”
: for-all (với mọi)
∀xP(x) = “P(x) is T for all x”
“với mọi x, P(x)”
: exists (tồn tại)
∃xP(x) = “There exists x such that P(x) is T”
“tồn tại x sao cho P(x)”
Các khái niệm “few, many,…” có thể được diễn đạt
với , .
Chương 1: Logic 47

48. Toán rời rạc
Miền giá trị của biến
Trong phát biểu toán học:
 Một tính chất có thể đúng với mọi giá trị của biến trong
một miền đặc biệt nào đó (Miền xác định – Toán phổ
thông).
 Domain (universe) of discourse:
hoặc
Chương 1: Logic 48
Miền không gian
Vũ trụ biện luận

49. Toán rời rạc
Ví dụ - Lượng từ 
Chương 1: Logic 49
Ví dụ 1: “All IT students must study discrete maths”
P(x) = “x must study discrete maths”
Proposition: xP(x)
Lưu ý: x ngụ ý là một sinh viên IT (domain).
Ví dụ 1: Diễn giải một cách cụ thể hơn
 S(x) = “x is an IT student”
 P(x) = “x must study discrete maths”
 Proposition: x(S(x)  P(x))

50. Toán rời rạc
Ví dụ - Lượng từ 
Chương 1: Logic 50
Ví dụ 1: Diễn giải một cách cụ thể hơn
 S(x) = “x is an IT student”
 P(x) = “x must study discrete maths”
 Proposition: x(S(x)  P(x))
Today’s Big question:
Why not x(S(x)  P(x))?

51. Toán rời rạc
Ví dụ - Lượng từ 
Chương 1: Logic 51
Ví dụ 2: P(x) = “x > 3”
 Domain: x  
 Proposition:  xP(x)  TRUE or FALSE?
Ví dụ 3: Q(x) = “x=x+ 1”
 Domain: x  
 Proposition: ∃xQ(x)  TRUE or FALSE?

52. Toán rời rạc
Làm sao để xác định chân trị?
 ∀xP(x) =P(x1) ∧ P(x2) ∧ . . . ∧ P(xn)
 ∃xP(x) =P(x1) ∨ P(x2) ∨ . . . ∨ P(xn)
Trong đó x1, x2 … xn là mọi giá trị có thể có của x.
Kiểm tra mọi xi đối với  để xác định TRUE.
Tìm một giá trị xi đối với  để xác định TRUE.
Chương 1: Logic 52

53. Toán rời rạc
Thứ tự ưu tiên của lượng từ
Thứ tự giữa các ký hiệu lượng từ là quan trọng.
Trừ các trường hợp sau:
 Mọi ký hiệu lượng từ là “for-all”.
 Mọi ký hiệu lượng từ là “exists”.
Thứ tự:
 từ trái sang phải,
 từ trong ra ngoài
Chương 1: Logic 53

54. Toán rời rạc
Thứ tự ưu tiên của lượng từ
Chương 1: Logic 54
Ví dụ 1:
∀x∀y (x + y = y + x)
∀y∀x (x + y = y + x)
TRUE for all x, y ∈ 
Ví dụ 2:
∀x∃y (x + y = 0) is T,
when
∃y∀x (x + y = 0) is F

55. Toán rời rạc
Dịch sang ngôn ngữ tự nhiên
Translate the following proposition:
∀x(C(x)∨ ∃y(C(y)∧F(x, y))))
In which:
•C(x): “x có máy tính”
•F(x, y): “x, y là bạn”
•x, y ∈ all students in the university

Chương 1: Logic 55
Với mọi sinh viên x trong trường, hoặc x có máy
tính, hoặc tồn tại sinh viên y có máy tính và sinh
viên x, y là bạn.

56. Toán rời rạc
Dịch sang ngôn ngữ tự nhiên
Ví dụ 1: xét mệnh đề sau
∀x(C(x)∨ ∃y(C(y)∧F(x, y))))
Trong đó:
•C(x): “x có máy tính”
•F(x, y): “x, y là bạn”
•x, y ∈ all students in the university

Chương 1: Logic 56
Với mọi sinh viên x trong trường, hoặc x có máy
tính, hoặc tồn tại sinh viên y có máy tính và sinh
viên x, y là bạn.

57. Toán rời rạc
Dịch sang ngôn ngữ tự nhiên
Ví dụ 2: xét mệnh đề sau
∃x∀y∀z(((F(x, y)∧F(x, z)∧(yz)) → ¬F(y, z)))
Trong đó:
•F(x, y): “x, y là bạn”
•x, y ∈ all students in the university

Chương 1: Logic 57
There exists a student x, such that for all student y,
for all student z different from y, if x is friend of y and
x is friend of z then y, z are not friend to each other.
(Có một sinh viên có 2 người bạn mà 2 người đó không biết nhau)

58. Toán rời rạc
Công thức hóa ngôn ngữ tự nhiên
(1) “There are some students in our class who have visited Hanoi.”
(2) “All students in our class have visited Nha Trang or Vung Tau.”

Chương 1: Logic 58
If we have following predicates:
C(x): “x has visited Hà Nội”
D(x): “x has visited Nha Trang”
E(x): “x has visited Vũng Tàu”
Then:
(1): ∃xC(x)
(2): ∀x(D(x)∨E(x))

59. Toán rời rạc
Công thức hóa ngôn ngữ tự nhiên
“All people have at least one best friend.”
(“Mọi người đều có ít nhất một người bạn tốt nhất.”)

Chương 1: Logic 59
If we have following predicates:
B(x, y): “y is best friend of x”
Then:
∀x∃y∀z(B(x, y)∧((yz)→ ¬B(x, z)))

60. Toán rời rạc
Công thức hóa ngôn ngữ tự nhiên
“If one is woman and parental, then she is the
mother of some one.”
(“Nếu một người là phụ nữ và là cha mẹ, thì người đó là
mẹ của một người nào đó.”)

Chương 1: Logic 60
If we have following predicates:
C(x): “x là phụ nữ”
D(x): “x là cha mẹ”
E(x, y): “x là mẹ của y”
Then:
∀x((C(x)∧D(x)) → ∃yE(x, y))

61. Toán rời rạc
Tóm tắt
Chương 1: Logic 61

62. Toán rời rạc
Phủ định của lượng từ
“Tất cả sinh viên IT phải học Toán Rời Rạc”
∀x P(x)
Phủ định (negation) của câu trên:
“Không phải tất cả SV IT phải học TRR”
∃x ¬P(x)
Chương 1: Logic 62
Phủ định Tương đương với
¬ (∃xP(x))
¬ (∀xP(x))
∀x ¬P(x)
∃x ¬P(x)

63. Toán rời rạc
Đọc thêm textbook
Sự tương đương của các vị từ được lượng hóa:
page 39-41.
Chương 1: Logic 63

64. Toán rời rạc
Bài tập
Biểu diễn các câu sau ở dạng vị từ:
a) “Tất cả sư tử đều hung dữ.”
b) “Một số sư tử không uống cà phê.”
c) “Có một phụ nữ đã bay tất cả các tuyến bay trên thế
giới.” (Mỗi tuyến bay có nhiều chuyến bay)
Chương 1: Logic 64

65. Toán rời rạc
Bài tập
Cho các mệnh đề sau:
R(x) = “x là một con lợn”
H(x) = “x thik uống bia Ken”
Trong đó x xét trên tập tất cả các con vật.
Dịch sang ngôn ngữ tự nhiên các mệnh đề sau:
1. ∀x (R(x)  H(x))
2. ∀x (R(x) ∧ H(x))
3. ∃x (R(x)  H(x))
4. ∃x (R(x) ∧ H(x))
Chương 1: Logic 65