1. π r ∫ ∫ r dr d ө 0 0 π r ∫ r | d ө 0 2 0 2 π ∫ r - 0 d ө 0 2 2 2 2 π ∫ r d ө 0 2 2 π r ө | 2 0 2 r ( π – 0) 2 π r 2 2 2

2. 2r 2r/5 ∫ ∫ dy d x 0 0 2r 2r/5 ∫ y | d x 0 0 2r ∫ 2r – 0 d x 0 5 2r 2r x | 5 0 2r (2r – 0) 5 4r 5 2

3. 2 π /3 ∫ ( 2r ) – 0 d ө 0 2 2 2 π /3 2r ∫ ∫ r dr d ө 0 0 2 π /3 2r ∫ r | d ө 0 2 0 2 2 2 2 π /3 4r ө | 2 0 2 4r 2 π - 0 2 3 2 4 π r 3 2

4. 4 π r 3 2 8 π r 3 2 2 .

5. r r √ 3 ∫ ∫ dy d x 0 0 r r √3 ∫ y | d x 0 0 r ∫ r √3 – 0 d x 0 r r √3 x | 0 r √3 (r – 0) r √3 2 r √3 2

6. r √3 2 2 . 2 r √3 2

7. 2r 4r/5 ∫ ∫ dy d x 0 0 2r 4r/5 ∫ y | d x 0 0 2r ∫ 4r – 0 d x 0 5 2r 4r x | 5 0 4r (2r – 0) 5 8r 5 2

8. 32r/5 3r/5 ∫ ∫ dy d x 0 0 32r/5 3r/5 ∫ y | d x 0 0 32r/5 ∫ 3r – 0 d x 0 5 32r/5 3r x | 5 0 3r ( 32r – 0) 5 5 96r 25 2

9. 54r/5 16r/5 ∫ ∫ dy d x 0 0 54r/5 8r/5 ∫ y | d x 0 0 54r/5 ∫ 16r – 0 d x 0 5 54r/5 16 r x | 5 0 16 r ( 54r – 0) 5 5 864r 25 2

10. π 8r/5 ∫ ∫ r dr d ө 0 0 π 8r/5 ∫ r | d ө 0 2 0 π ∫ 8r – 0 d ө 0 5 π 64r ө | 25 0 64r ( π – 0) 25 64 π r 25 2 2 2 2 2 2

11. 64 π r 25 2 128 π r 25 2 2 .

12. 36r/5 18r x | 10 0 36r/5 18r/10 ∫ ∫ dy dx 0 0 36r/5 18r/10 ∫ y | d x 0 0 36r/5 ∫ 18r – 0 d x 0 10 18r 36r – 0 10 5 324r 25 2

13. 22r/5 r ∫ ∫ dy dx 0 0 22r/5 r ∫ y | d x 0 0 22r/5 ∫ r – 0 d x 0 22r/5 r x | 0 r 22r – 0 5 22r 5 2

14. 26r/5 2r/2 ∫ ∫ dy d x 0 0 26r/5 2r/2 ∫ y | d x 0 0 26r/5 ∫ 2r – 0 d x 0 2 26r/5 2r x | 2 0 2r ( 26r – 0) 2 5 26r 5 2

15. π ∫ r - 0 d ө 0 2 2 π r ∫ ∫ r dr d ө 0 0 π r ∫ r | d ө 0 2 0 2 2 2 π ∫ r d ө 0 2 2 π r ө | 2 0 2 r ( π – 0) 2 π r 2 2 2

16. π ∫ - 0 d ө 0 2 2 π 18r/5 ∫ ∫ r dr d ө 0 0 π 18r/5 ∫ r | d ө 0 2 0 2 π ∫ d ө 0 2 2 π 324r ө | 50 0 2 324r ( π – 0) 50 324 π r 50 2 2 18r 5 2 2 324r 25

17. π r 2 2 4r 5 2 8 π r 3 2 2 r √3 2 8r 5 2 96r 25 2 64 π r 25 2 324r 25 2 22r 5 2 26r 5 2 π r 2 2 324 π r 50 2 + + + + + + + + + + + = 75 π r +120r +400 π r +300r √3 +240r +576 r + 2592 r + 384 π r + 1944r + 660r + 780r+75 π r + 972 π r 150 2 2 2 2 2 2 2 ∑ A 2 2 2 2 2 = 1906 π r +300 r √3 +6912r 150 2 2 2 ∑ A = 864r 25 2 + 2

18. Ponto em "X"

19. π r ∫ ∫ r cos ө dr d ө 0 -r π r ∫ r cos ө | d ө 0 3 -r π ∫ r + r cos ө d ө 0 3 3 π 2r sen ө | 3 0 3 3 3 2 2r ( sen π – sen 0 ) 3 3 0 3

20. Ponto em "Y"

21. π r ∫ ∫ r sen ө dr d ө 0 0 π r ∫ r sen ө | d ө 0 3 0 π ∫ r – 0 sen ө d ө 0 3 π - r cos ө | 3 0 3 3 3 2 r ( cos π – cos 0 ) 3 3 2 r 3 3

22. 2 r 3 3 π r 2 2 Área . 2 π r 2 2r 3 π

23. 2r 2r/5 ∫ ∫ y dy d x 0 0 2r 2r/5 ∫ y | dx 0 2 0 2r ∫ 4r – 0 dx 0 50 2 2r 4r x | 50 0 2 2 2 4r . 2r 50 4 r 25 3 2 2

24. 4 r 25 3 Área 4r 5 2 . 5 4r 2 r 5

25. 2 π /3 2r ∫ ∫ r sen ө dr d ө 0 0 2 π /3 2r ∫ r sen ө | d ө 0 3 0 2 π /3 ∫ 2r – 0 sen ө d ө 0 3 2 π /3 - 8 r cos ө | 3 0 3 3 3 2 r ( cos 2 π – cos 0 ) 3 3 3 21 r 3 3 4 r 3

26. 4 r 3 Área 4 π r 3 2 . 3 4 π r 3r π 2

27. P(0 , r √3 ) a.0 + b = r √3 P(r , 0) a .r + b = 0 a.r + r √3 = 0 a = - r√3 r a = -√3 a.x + b = -√3x + r√3 b = r√3 a.x + b = y a.r + b = 0

28. r -x√3 + r √3 ∫ ∫ y dy d x 0 0 r -x√3 + r √3 ∫ y | dx 0 2 0 r ∫ (-x√3 + r√3 ) - ( 0 ) dx 0 2 2 r ∫ 3x + 2( -x √3 )( r √3 ) +3r dx 0 2 2 2 2 2 2 r ∫ 3x – 6xr + 3r dx 0 2 2 2 2 r 3x – 6xr + 3r x dx | 3 2 0 2 3 2 2 = r – 3r + 3r 2 3 3 3 r 2 3 =

29. Área r 2 3 . 1 r √3 2 r √3 2 r 2 √3

30. 2r 4r/5 ∫ ∫ y dy d x 0 0 2r 4r/5 ∫ y | dx 0 2 0 2r ∫ ( 4r ) - ( 0 ) dx 0 2 2 2 r 8r . X | 2 0 2 2 2 8r . (2r – 0) 2 2 2 16r 25 2

31. 16r 25 2 Área 864r 25 2 . 25 864r 2 2r 5

32. P(0 , 0) a.0 + b = 0 P( 22r , 3r ) a . 22r + b = 3r 5 5 5 5 a = 3r . 5 5 22r a = 3 22 a.x + b = 3x 22 b = 0 a.x + b = y a. 22r + b = 3r 5 5

33. 22r/5 3x/22 ∫ ∫ y dy d x 0 0 22r/5 3x/22 ∫ y | dx 0 2 0 22r/5 ∫ 3x - 0 dx 0 22 22 2 22r/5 9 . X | 968 3 0 2 2 2 3 . ( 22r – 0) 5 . 968 3 3 3993r 15125 3

34. 3993r 15125 3 Área 33r 25 2 . 25 33r 2 1331r 6655

35. 54r/5 16r/5 ∫ ∫ y dy d x 0 0 54r/5 16r/5 ∫ y | dx 0 2 0 54r/5 ∫ 256r dx 0 50 54r/5 256r . X | 50 0 2 2 256r . ( 54r – 0) 50 5 2 2 13824r 250 3

36. P(0 , 18r/10) a.0 + b = 18r/10 P(18r/5 , 0 ) a .18r/5 + b = 0 a = - 18r/10 18r/5 a = - 1 2 a.x + b = - x + 9r 2 5 b = 18r 10 a.x + b = y a. 18r + 18r = 0 5 10

37. 18r/5 -x/2 + 9r/5 ∫ ∫ y dy d x 0 0 18r/5 -x/2 + 9r/5 ∫ y | dx 0 2 0 18r/5 ∫ 1 - x + 9r - 0 dx 0 2 2 5 2 2 18r/5 ∫ 1 x + 2 - x 9r + 81r dx 0 2 4 2 5 25 2 18r/5 ∫ x - 18rx + 81r dx 0 8 20 50 2 2 18r/5 1 . x - 9r . x + 81r . x | 8 3 10 2 50 0 2 3 2 972 r 500 3 =

38. Área 81r 25 2 972 r 500 3 . 25 81r 2 2430r 405

39. P(0 , 0) a.0 + b = 0 P(4r/5 , r) a . 4r + b = r 5 a = r 4r/5 a = 5 4 a.x + b = 5x 4 b = 0 a.x + b = y a. 4r + b = r 5

40. 4r/5 5x/4 ∫ ∫ y dy d x 0 0 4r/5 5x/4 ∫ y | dx 0 2 0 18r/5 ∫ 1 5x - 0 dx 0 2 4 2 2 18r/5 ∫ 1 25x dx 0 2 16 2 18r/5 25 x | 3 0 32 3 2 1458r 120 3

41. 1458r 120 3 Área 2r 5 2 . 5 2r 2 7290r 240

42. π r ∫ ∫ r sen ө dr d ө 0 0 π r ∫ r sen ө | d ө 0 3 0 π ∫ r – 0 sen ө d ө 0 3 π - r cos ө | 3 0 3 3 3 2 r ( cos π – cos 0 ) 3 3 2 r 3 3

43. 2 r 3 3 π r 2 2 Área . 2 π r 2 2r 3 π

44. π 18r/5 ∫ ∫ r sen ө dr d ө 0 0 π 18r/5 ∫ r sen ө | d ө 0 3 0 π ∫ 1 18r – 0 sen ө d ө 0 3 5 π - 5832r cos ө | 375 0 3 3 3 2 - 5832r ( cos π – cos 0 ) 375 3 11664 r 375 3 3

46. Centro de Massa: 114,526229587

47. ∑ Yg = 7,2 . 245.437 + 15 . 125 + 39,15 . 1850,263 + 65,800 . 250 + 75,800 . 600 + 16.678,637 98,300 . 6656,637 + 125,800 . 2025 + 149,14 . 687,5 + 160,495 . 1057,937 = 16.678,637 ∑ yg = 114,526229587

48. Deficiência no corte do objeto. Dilatação do objeto. Medidas imprecisos. Irregularidade do material do objeto. Arredondamentos nos resultados Possíveis erros no Projeto Tentativa para minimizar os possíveis erros Substituir os valores só no final dos cálculos. Guardar o objeto em local seco, para evitar a dilatação do objeto. Elaborar projeto a partir de desenhos com medidas precisos.

49. Professor: Valdemir Antunes Alunos: Keny Shindi Shiraishi Rafael Milani de Abreu Wagner Fedrigo Camargo Yuri Silvestre Barbosa Centro de Massa UNOPAR Universidade Norte do Paraná