CƠ SỞ TỰ ĐỘNG 4

Moân hoïc
Moân hoïc
CÔ SÔÛ TÖÏ ÑOÄNG
CÔ SÔÛ TÖÏ ÑOÄNG
Biên soạn: TS. Huỳnh Thái Hoàng
ề ể
Bộ môn điều khiển tự động
Khoa Điện – Điện Tử
Đại học Bách Khoa TPHCM
Email: hthoang@hcmut.edu.vn
Homepage: www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/
Giảng viên: HTHoàng, NVHảo, NĐHoàng, BTHuyền, HHPhương, HMTrí
9 September 2011 © H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM 1

Chöông 4
Chöông 4
KHAÛO SAÙT
KHAÛO SAÙT
TÍNH OÅN ÑÒNH CUÛA HEÄ THOÁNG
TÍNH OÅN ÑÒNH CUÛA HEÄ THOÁNG

 Khaùi nieäm oån ñònh
Noäi dung chöông 4
Noäi dung chöông 4
 Khai nieäm on ñònh
 Tieâu chuaån oån ñònh ñaïi soá
 Ñieàu kieän caàn
Ti â h å R h
 Tieâu chuaån Routh
 Tieâu chuaån Hurwitz
 Phöông phaùp quyõ ñaïo nghieäm soá (QÑNS)
 Khaùi nieäm veà QÑNS
 Phöông phaùp veõ QÑNS
 Xeùt oån ñònh duøng QÑNS
 Xet on ñònh dung QÑNS
 Tieâu chuaån oån ñònh taàn soá
 Tieâu chuaån oån ñònh Bode
 Ti â h å å ñò h N i t
 Tieâu chuaån oån ñònh Nyquist

åå
Khaùi nieäm oån ñònh
9 September 2011 © H. T. Hoàng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 4

Ñònh nghóa oån ñònh BIBO
Ñònh nghóa oån ñònh BIBO
Ñònh nghóa on ñònh BIBO
Ñònh nghóa on ñònh BIBO
 Heä thoáng ñöôïc goïi laø oån ñònh BIBO (Bounded Input Bounded
Output) neáu ñaùp öùng cuûa heä bò chaën khi tín hieäu vaøo bò chaën
Heä thoáng
u(t) y(t)
Output) neu ñap öng cua heä bò chaën khi tín hieäu vao bò chaën.
y(t) y(t) y(t)

Cöc vaø zero
Cöc vaø zero
Cöïc va zero
Cöïc va zero
m
m
b
b
b
b
Y 1
)
(
 Cho heä thoáng töï ñoäng coù haøm truyeàn laø:
n
n
A 1
)
(
Ñ ë ã á h ø à
n
n
n
n
m
m
m
m
a
s
a
s
a
s
a
b
s
b
s
b
s
b
s
U
s
Y
s
G














1
1
1
0
1
1
1
0
)
(
)
(
)
(


n
n
n
n
a
s
a
s
a
s
a
s
A 



 1
1
1
0
)
( 
m
m
m
m
b
s
b
s
b
s
b
s
B 



 

1
1
1
0
)
( 
 Ñaët: maãu soá haøm truyeàn
töû soá haøm truyeàn
 Zero: laø nghieäm cuûa töû soá haøm truyeàn, töùc laø nghieäm cuûa phöông
trình B(s) = 0. Do B(s) baäc m neân heä thoáng coù m zero kyù hieäu laø zi,
i =1 2 m
 Cöïc: (Pole) laø nghieäm cuûa maãu soá haøm truyeàn, töùc laø nghieäm cuûa
phöông trình A(s) = 0. Do A(s) baäc n neân heä thoáng coù n cöïc kyù
i =1,2,…m.
hieäu laø pi , i =1,2,…m.

Giaûn ñoà cöc
Giaûn ñoà cöc zero
zero
 Giaûn ñoà cöïc – zero laø ñoà thò bieåu dieãn vò trí caùc cöïc vaø caùc zero
á ú
Gian ño cöïc
Gian ño cöïc -
- zero
zero
cuûa heä thoáng trong maët phaúng phöùc.

Ñieàu kieän oån ñònh
Ñieàu kieän oån ñònh
 Tính oån ñònh cuûa heä thoáng phuï thuoäc vaøo vò trí caùc cöïc.
 H ä th á ù t át û ù ö ù h à thö â ( ù t át û ù ö
Ñieu kieän on ñònh
Ñieu kieän on ñònh
 Heä thoáng coù taát caû caùc cöïc coù phaàn thöïc aâm (coù taát caû caùc cöïc
ñeàu naèm beân traùi maët phaúng phöùc): heä thoáng oån ñònh.
 Heä thoáng coù cöc coù phaàn thöc baèng 0 (naèm treân truc aûo), caùc cöc
ä g ï p ï g ( ï ), ï
coøn laïi coù phaàn thöïc baèng aâm: heä thoáng ôû bieân giôùi oån ñònh.
 Heä thoáng coù ít nhaát moät cöïc coù phaàn thöïc döông (coù ít nhaát moät
è b â h ûi ë h ú h ù ) h ä h á kh â å ñò h
cöïc naèm beân phaûi maët phaúng phöùc): heä thoáng khoâng oån ñònh.

Phöông trình ñaëc tröng (PTÑT)
 Phöông trình ñaëc tröng: phöông trình A(s) = 0
 Ñ thöù ñ ë t ö ñ thöù A( )
 Ña thöùc ñaëc tröng: ña thöùc A(s)
 Chuù yù:
Heä thoáng moâ taû baèng PTTT
 )
(
)
(
)
( t
t
t B
A

Heä thoáng hoài tieáp
Y(s)
R(s)






)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
t
t
y
t
u
t
t
Cx
B
Ax
x
Yht(s)
0
)
(
)
(
1 G
Phöông trình ñaëc tröng Phöông trình ñaëc tröng
 
0
)
(
)
(
1 
 s
H
s
G   0
det 
 A
I
s

å å á
å å á
Tieâu chuaån oån ñònh ñaïi soá

Ñieàu kieän caàn
Ñieàu kieän caàn
 Ñieàu kieän caàn ñeå heä thoáng oån ñònh laø taát caû caùc heä soá cuûa phöông
t ì h ñ ë t ö h ûi kh ù 0 ø ø d á
Ñieu kieän can
Ñieu kieän can
trình ñaëc tröng phai khac 0 va cung dau.
 Thí duï: Heä thoáng coù phöông trình ñaëc tröng:
2
3 å
0
1
2
3 2
3



 s
s
s
0
3
5
2 2
4



 s
s
s
0
1
2
5
4 2
3
4
Khoâng oån ñònh
Khoâng oån ñònh
Ch k á l ä ñ
0
1
2
5
4 2
3
4




 s
s
s
s Chöa keát luaän ñöôïc

Tieâu chuaån oån ñònh ñaïi soá: Tieâu chuaån Routh
Qui taéc thaønh laäp baûng Routh
Qui taéc thaønh laäp baûng Routh
 Cho heä thoáng coù phöông trình ñaëc tröng:
Qui tac thanh laäp bang Routh
Qui tac thanh laäp bang Routh
0
1
1
1
0 



 
n
n
a
s
a
s
a
s
a 0
1
1
0 



  n
n a
s
a
s
a
s
a 
 Muoán xeùt tính oån ñònh cuûa heä thoáng theo tieâu chuaån Routh, tröôùc
tieân ta thaønh laäp baûng Routh theo qui taéc:
äp g q
 Baûng Routh coù n+1 haøng.
 Haøng 1 cuûa baûng Routh goàm caùc heä soá coù chæ soá chaún.
 Haøng 2 cuûa baûng Routh goàm caùc heä soá coù chæ soá leû.
 Phaàn töû ôû haøng i coät j cuûa baûng Routh (i  3) ñöôïc tính theo
â thöù
coâng thöùc:
1
,
1
1
,
2 . 


 
 j
i
i
j
i
ij c
c
c 
1
,
2

 i
c

ôùi
1
,
1


i
i
c

vôùi

Dang baûng Routh
Dang baûng Routh
Daïng bang Routh
Daïng bang Routh
1
,
1
1
,
2 . 


 
 j
i
i
j
i
ij c
c
c 
1
,
2

 i
c

1
,
1


i
i
c


Phaùt bieåu tieâu chuaån
 Ñieàu kieän caàn vaø ñuû ñeå heä thoáng oån ñònh laø taát caû caùc phaàn töû
naèm ôû coät 1 cuûa baûng Routh ñeàu döông. Soá laàn ñoåi daáu cuûa caùc
Phat bieu tieu chuan
Phat bieu tieu chuan
ä g g
phaàn töû ôû coät 1 cuûa baûng Routh baèng soá nghieäm cuûa phöông trình
ñaëc tröng naèm beân phaûi maët phaúng phöùc.

Thí du 1
Thí du 1
 Xeùt tính oån ñònh cuûa heä thoáng coù phöông trình ñaëc tröng laø:
Thí duï 1
Thí duï 1
0
1
2
5
4 2
3
4




 s
s
s
s
 Giaûi: Baûng Routh
 Keát luaän: Heä thoáng oån ñònh do taát caû caùc phaàn töû ôû coät 1 baûng
 Ket luaän: Heä thong on ñònh do tat ca cac phan tö ô coät 1 bang
Routh ñeàu döông.

Thí du 2
Thí du 2
 Xeùt tính oån ñònh cuûa heä thoáng coù sô ñoà khoái:
Thí duï 2
Thí duï 2
50
)
(
G
Y(s)
R(s)
)
5
)(
3
(
)
( 2




s
s
s
s
s
G
1
)
( 
s
H
( )
( )
 Giaûi: Phöông trình ñaëc tröng cuûa heä thoáng:
2
)
(

s
s
H
g ë g ä g
0
)
(
).
(
1 
 s
H
s
G
0
1
50
1 

 0
)
2
(
.
)
5
)(
3
(
1 2






s
s
s
s
s

0
50
)
2
)(
5
)(
3
( 2





 s
s
s
s
s

0
50
30
31
16
6 2
3
4
5





 s
s
s
s
s


Thí du 2 (tt)
Thí du 2 (tt)
Thí duï 2 (tt)
Thí duï 2 (tt)
 Baûng Routh
 Keát luaän: Heä thoáng khoâng oån ñònh do taát caû caùc phaàn töû ôû coät 1
ä ä g g ò p ä
baûng Routh ñoåi daáu 2 laàn.

Thí du 3
Thí du 3
 Tìm ñieàu kieän cuûa K ñeå heä thoáng oån ñònh:
Thí duï 3
Thí duï 3
R(s) Y(s)
)
2
)(
1
(
)
( 2




s
s
s
s
K
s
G
R(s) Y(s)
 Giaûi: Phöông trình ñaëc tröng cuûa heä thoáng laø:
g ë g ä g
0
)
(
1 
 s
G
0
1
K


0
)
2
)(
1
(
1 2





s
s
s
s
0
2
3
3 2
3
4




 K
s
s
s
s
 0
2
3
3 


 K
s
s
s
s

Thí du 3 (tt)
Thí du 3 (tt)
Thí duï 3 (tt)
Thí duï 3 (tt)
 Baûng Routh
 Ñieàu kieän ñeå heä thoáng oån ñònh:




 0
7
9
2 K 14
0 
 K




 0
7
K 9
0 
 K


Tröôøng hôp ñaëc bieät 1
Tröông hôïp ñaëc bieät 1
 Neáu baûng Routh coù heä soá ôû coät 1 cuûa haøng naøo ñoù baèng 0, caùc heä
soá coøn laïi cuûa haøng ñoù khaùc 0 thì ta thay heä soá baèng 0 ôû coät 1 bôûi
ï g y ä g ä
soá  döông nhoû tuøy yù, sau ñoù quaù trình tính toaùn ñöôïc tieáp tuïc.

Thí du 4
Thí du 4
Thí duï 4
Thí duï 4
0
3
8
4
2 2
3
4




 s
s
s
s
 Giaûi:
Baûng Routh
 Keát luaän: Vì caùc heä soá ôû coät 1 baûng Routh ñoåi daáu 2 laàn neân
phöông trình ñaëc tröng cuûa heä thoáng coù hai nghieäm naèm beân phaûi
phöông trình ñaëc tröng cua heä thong co hai nghieäm nam ben phai
maët phaúng phöùc, do ñoù heä thoáng khoâng oån ñònh .

 Neáu baûng Routh coù taát caû caùc heä soá cuûa haøng naøo ñoù baèng 0:
 Thaønh laäp ña thöùc phu töø caùc heä soá cuûa haøng tröôùc haøng coù taát
Thanh laäp ña thöc phuï tö cac heä so cua hang tröôc hang co tat
caû caùc heä soá baèng 0, goïi ña thöùc ñoù laø A0(s).
 Thay haøng coù taát caû caùc heä soá baèng 0 bôûi moät haøng khaùc coù
á á
caùc heä soá chính laø caùc heä soá cuûa ña thöùc dA0(s)/ds, sau ñoù quaù
trình tính toaùn tieáp tuïc.
 Chuù yù: Nghieäm cuûa ña thöùc phuï A0(s) cuõng chính laø nghieäm cuûa
phöông trình ñaëc tröng.

Thí du 5
Thí du 5
Thí duï 5
Thí duï 5
0
4
7
8
8
4 2
3
4
5





 s
s
s
s
s
 Giaûi: Baûng Routh

Thí du 5 (tt)
Thí du 5 (tt)
 Ña thöùc phuï:
Thí duï 5 (tt)
Thí duï 5 (tt)
4
4
)
( 2
0 
 s
s
A 0
8
)
(
0

 s
d
s
dA

 Nghieäm cuûa ña thöùc phuï (cuõng chính laø nghieäm cuûa phöông trình
ñaëc tröng):
ds
ñaëc tröng):
 Keát luaän:
0
4
4
)
( 2
0 

 s
s
A j
s 


 Ket luaän:
 Caùc heä soá coät 1 baûng Routh khoâng ñoåi daáu neân phöông trình ñaëc
tröng khoâng coù nghieäm naèm beân phaûi maët phaúng phöùc.
 Phöông trình ñaëc tính coù 2 nghieäm naèm treân truïc aûo.
 Soá nghieäm naèm beân traùi maët phaúng phöùc laø 5 – 2 = 3.
Heä thoáng ôû bieân giôùi oån ñònh

Tieâu chuaån oån ñònh ñaïi soá: Tieâu chuaån Hurwitz
Qui taéc thaønh laäp ma traän Hurwitz
Qui taéc thaønh laäp ma traän Hurwitz
 Cho heä thoáng coù phöông trình ñaëc tröng:
Qui tac thanh laäp ma traän Hurwitz
Qui tac thanh laäp ma traän Hurwitz
0
1
1
1
0 



 
n
n
a
s
a
s
a
s
a 0
1
1
0 



  n
n a
s
a
s
a
s
a 
 Muoán xeùt tính oån ñònh cuûa heä thoáng theo tieâu chuaån Hurwitz,
tröôùc tieân ta thaønh laäp ma traän Hurwitz theo qui taéc:
äp ä z q
 Ma traän Hurwitz laø ma traän vuoâng caáp nn.
 Ñöôøng cheùo cuûa ma traän Hurwitz laø caùc heä soá töø a1 ñeán an .
 Haøng leû cuûa ma traän Hurwitz goàm caùc heä soá coù chæ soá leû theo
thöù töï taêng daàn neáu ôû beân phaûi ñöôøng cheùo vaø giaûm daàn neáu ôû
beân traùi ñöôøng cheùo
ben trai ñöông cheo.
 Haøng chaún cuûa ma traän Hurwitz goàm caùc heä soá coù chæ soá chaún
theo thöù töï taêng daàn neáu ôû beân phaûi ñöôøng cheùo vaø giaûm daàn
neáu ôû beân traùi ñöôøng cheùo.

Dang ma traän Hurwitz
Dang ma traän Hurwitz
Daïng ma traän Hurwitz
Daïng ma traän Hurwitz



 a
a
a
a  0
7
5
3
1








a
a
a
a
a
a
a


0
0
0
5
3
1
6
4
2
0






a
a
a





 0
0 4
2
0
5
3
1





 n
a









0
 Ñieàu kieän caàn vaø ñuû ñeå heä thoáng oån ñònh laø taát caû caùc ñònh thöùc
ä ä g ò ò
con chöùa ñöôøng cheùo cuûa ma traän Hurwitz ñeàu döông

Thí du 1
Thí du 1
Thí duï 1
Thí duï 1
0
2
3
4 2
3



 s
s
s





















2
4
0
0
3
1
0
2
4
0
0
0
2
0
3
1
a
a
a
a
 Giaûi:
Ma traän Hurwitz







 2
4
0
0 3
1 a
a
4
1
1 

 a
Caùc ñònh thöùc:
10
2
1
3
4
3
1
2
4
2
0
3
1
2 







a
a
a
a
0
a
a
20
10
2
3
1
2
4
2
0
0
0
2
0
3
1
3
3
1
2
0
3
1
3 







a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
3
1
 Keát luaän: Heä thoáng oån ñònh do caùc ñònh thöùc ñeàu döông

Caùc heä quaû cuûa tieâu chuaån Hurwitz
Caùc heä quaû cuûa tieâu chuaån Hurwitz
Cac heä qua cua tieu chuan Hurwitz
Cac heä qua cua tieu chuan Hurwitz
 Heä baäc 2 oån ñònh neáu phöông trình ñaëc tröng thoûa maõn ñieàu kieän:
2
0
0
 i
a 2
,
0
,
0 
 i
ai







0
3
,
0
,
0
3
0
2
1 a
a
a
a
i
ai
 3
0
2
1









0
4
,
0
,
0
2
2
3
0
2
1 a
a
a
a
i
ai

 

 0
4
2
1
2
3
0
3
2
1 a
a
a
a
a
a
a

áá
Phöông phaùp quyõ ñaïo nghieäm soá
Phöông phaùp quyõ ñaïo nghieäm soá

Phöông phaùp quyõ ñaïo nghieäm soá (QÑNS)
Ñònh nghóa
Ñònh nghóa
Ñònh nghóa
Ñònh nghóa
 Quyõ ñaïo nghieäm soá laø taäp hôïp taát caû caùc nghieäm cuûa phöông
trình ñaëc tröng cuûa heä thoáng khi coù moät thoâng soá naøo ñoù trong heä
trình ñaëc tröng cua heä thong khi co moät thong so nao ño trong heä
thay ñoåi töø 0  .
 Thí duï: QÑNS cuûa heä thoáng coù PTÑT 0
4
2


 K
s
s

Qui taéc veõ QÑNS
Qui tac ve QÑNS
Qui tac ve QÑNS
 Muoán aùp duïng caùc qui taéc veõ quyõ ñaïo nghieäm soá, tröôùc tieân ta
phaûi bieán ñoåi töông ñöông phöông trình ñaëc tröng veà dang:
phai bien ñoi töông ñöông phöông trình ñaëc tröng ve daïng:
0
)
(
)
(
1 

s
D
s
N
K (1)
)
(
)
(
)
(
)
(
0
s
D
s
N
K
s
G 
Ñaët:
)
(
0
)
(
1 s
G
Goïi n laø soá cöïc cuûa G0(s) , m laø soá zero cuûa G0(s)
(1) 

  ñoä
bieân
kieän
Ñieàu
1
)
(
0 s
G
0
)
(
1 0 
 s
G
(1) 





 pha
kieän
Ñieàu
)
1
2
(
)
(
0 
l
s
G


Qui tac ve QÑNS
Qui tac ve QÑNS
 Qui taéc 1: Soá nhaùnh cuûa quyõ ñaïo nghieäm soá = baäc cuûa phöông
trình ñaëc tính = soá cöïc cuûa G0(s) = n.
 Qui taéc 2:
 Khi K = 0: caùc nhaùnh cuûa quyõ ñaïo nghieäm soá xuaát phaùt töø caùc
q y ï g ä p
cöïc cuûa G0(s).
 Khi K tieán ñeán + : m nhaùnh cuûa quyõ ñaïo nghieäm soá tieán ñeán
û G ( ) h ù h ø l i ti á ñ á th ù ti ä
m zero cua G0(s), nm nhanh con laïi tien ñen  theo cac tieäm
caän xaùc ñònh bôûi qui taéc 5 vaø qui taéc 6.
 Qui taéc 3: Quyõ ñao nghieäm soá ñoái xöùng qua truc thöc
 Qui tac 3: Quy ñaïo nghieäm so ñoi xöng qua truïc thöïc.
 Qui taéc 4: Moät ñieåm treân truïc thöïc thuoäc veà quyõ ñaïo nghieäm soá
á å á á
neáu toång soá cöïc vaø zero cuûa G0(s) beân phaûi noù laø moät soá leû.

Qui taéc veõ QÑNS (tt)
Qui tac ve QÑNS (tt)
 Qui taéc 5: : Goùc taïo bôûi caùc ñöôøng tieäm caän cuûa quyõ ñaïo nghieäm
soá vôùi truïc thöïc xaùc ñònh bôûi :
 Qui taéc 6: : Giao ñieåm giöõa caùc tieäm caän vôùi truc thöc laø ñieåm A
m
n
l





)
1
2
(
)
,
2
,
1
,
0
( 



l
 Qui tac 6: : Giao ñiem giöa cac tieäm caän vôi truïc thöïc la ñiem A
coù toïa ñoä xaùc ñònh bôûi:
z
p
m
n

 (pi vaø zi laø caùc cöc
Q i é 7 Ñi å ù h h ä ( á ù) û õ ñ hi ä á è
m
n
z
p
m
n
OA i
i
i
i









 
 1
1
zero
cöïc
(pi va zi la cac cöïc
vaø caùc zero cuûa G0(s) )
 Qui taéc 7: : Ñieåm taùch nhaäp (neáu coù) cuûa quyõ ñaïo nghieäm soá naèm
treân truïc thöïc vaø laø nghieäm cuûa phöông trình:
0
dK
0

ds

 Qui taéc 8: : Giao ñieåm cuûa quyõ ñaïo nghieäm soá vôùi truïc aûo coù theå
xaùc ñònh baèng caùch aùp duïng tieâu chuaån Routh–Hurwitz hoaëc thay
ò g p ï g ë y
s=j vaøo phöông trình ñaëc tröng.
Q i t é 9 G ù á h ù û õ ñ hi ä á i h ù
 Qui taéc 9: Goùc xuaát phaùt cuûa quyõ ñaïo nghieäm soá taïi cöïc phöùc pj
ñöôïc xaùc ñònh bôûi:



n
m
0
)
(
)
(
180
 









j
i
i
i
j
i
i
j
j p
p
z
p
1
1
0
)
arg(
)
arg(
180

Dang hình hoc cuûa coâng thöùc treân laø:
Daïng hình hoïc cua cong thöc tren la:
j = 1800 + (goùc töø caùc zero ñeán cöïc p j )
 (goùc töø caùc cöc coøn lai ñeán cöc p j )
(goc tö cac cöïc con laïi ñen cöïc p j )

Thí du 1
Thí du 1
Thí duï 1
Thí duï 1
 Veõ QÑNS cuûa heä thoáng sau ñaây khi K=0+.
)
3
)(
2
(
)
(



s
s
s
K
s
G
R(s) Y(s)
 Giaûi:
)
)(
(
 Phöông trình ñaëc tröng cuûa heä thoáng:
0
)
(
1 
 s
G 0
1 

K
 (1)
0
)
(
1 
 s
G
 Caùc cöïc: 0
1 
p 2
2 

p 3
3 

p
0
)
3
)(
2
(
1 



s
s
s
 (1)
 Caùc zero: khoâng coù

Thí du 1 (tt)
Thí du 1 (tt)
Thí duï 1 (tt)
Thí duï 1 (tt)
 Tieäm caän: 0)
(
3
1 
 l


1)
(
)
1
(
3
0
3
)
1
2
(
)
1
2
(
3
2












l
-
l
l
m
n
l







3
5
0
3
0
)]
3
(
)
2
(
0
[
zero














m
n
OA
cöïc
1)
(
3 l


3
0
3
m
n
 Ñieåm taùch nhaäp:
(1)  )
6
5
(
)
3
)(
2
( 2
3
s
s
s
s
s
s
K 







d
)
6
10
3
( 2



 s
s
ds
dK

0
dK
D ñ ù 
 
 )
(
549
.
2
1
s loaïi
0

ds
Do ñoù




 785
.
0
)
(
2
1
s
ï


Thí du 1 (tt)
Thí du 1 (tt)
Thí duï 1 (tt)
Thí duï 1 (tt)
 Giao ñieåm cuûa QÑNS vôùi truïc aûo:
Caùch 1: Duøng tieâu chuaån Hurwitz
Ñieàu kieän oån ñònh:
Cach 1: Dung tieu chuan Hurwitz
(1)  0
6
5 2
3



 K
s
s
s (2)






0
0
3
0
2
1 a
a
a
a
K









0
1
6
5
0
K
K
30
0 
 K
  30

gh
K
Thay giaù trò Kgh = 30 vaøo phöông trình (2), giaûi phöông trình ta
ñöôïc giao ñieåm cuûa QÑNS vôùi truïc aûo

0
30
6
5 2
3



 s
s
s







6
5
2
1
j
s
s


 
 6
3 j
s

Thí du 1 (tt)
Thí du 1 (tt)
Thí duï 1 (tt)
Thí duï 1 (tt)
Caùch 2:
Cach 2:
(1)  0
6
5 2
3



 K
s
s
s (2)
Thay s=j vaøo phöông trình (2):
      0
6
5
2
3



 K
j
j
j 

  0
6
5 2
3




 K
j
j 


  0


 

 0
6
2
3
j
j 







0
0
K

  6





 0
5 2
K







30
6
K


Thí du 1 (tt)
Thí du 1 (tt)
Im s
Thí duï 1 (tt)
Thí duï 1 (tt)
6
j
Re s
0
3 2 0
3 2
6
j


Thí du 2
Thí du 2
Thí duï 2
Thí duï 2
)
20
8
(
)
( 2



s
s
s
K
s
G
R(s) Y(s)
 Giaûi:
0
)
(
1 
 s
G  (1)
0
1 

K
0
)
(
1 
 s
G  (1)
0
)
20
8
(
1 2




s
s
s
 Caùc cöïc: 0
1 
p 2
4
3
,
2 j
p 


 Caùc zero: khoâng coù

Thí du 2 (tt)
Thí du 2 (tt)
Thí duï 2 (tt)
Thí duï 2 (tt)
(
3
1 
 l


1)
(
)
1
(
3
0
3
)
1
2
(
)
1
2
(
3
2












l
-
l
l
m
n
l







1)
(
3 l


3
8
0
3
)
0
(
)]
2
4
(
)
2
4
(
0
[
zero















 j
j
m
n
OA
cöïc
3
0
3 
 m
n
(1)  )
20
8
( 2
3
s
s
s
K 



0
1 

K
 )
20
16
3
( 2



 s
s
ds
dK
0
dK
D ñ ù 
 
 33
.
3
1
s
h i ñi å h h
0
)
20
8
(
1 2




s
s
s
0

ds
Do ñoù 



 00
.
2
2
1
s
(hai ñieåm taùch nhaäp)

Thí du 2 (tt)
Thí du 2 (tt)
Thí duï 2 (tt)
Thí duï 2 (tt)
(1)  0
20
8 2
3


 K
s
s
s (2)
(1)  0
20
8 


 K
s
s
s (2)
2
3
0
)
(
20
)
(
8
)
( 2
3



 K
j
j
j 


 0
20
8 2
3




 K
j
j 



 

 0
8 2
 K
 




0
0
K





 0
20
3









160
20
K


0
1 

K
 160
K 0
)
20
8
(
1 2




s
s
s

Thí du 2 (tt)
Thí du 2 (tt)
Thí duï 2 (tt)
Thí duï 2 (tt)
 Goùc xuaát phaùt cuûa QÑNS taïi cöïc phöùc p2:
)]
(
)
[ (
1800
 )]
arg(
)
[arg(
180 3
2
1
2
0
2 p
p
p
p 





 
)]
2
4
(
)
2
4
arg[(
]
0
)
2
4
arg[(
1800
j
j
j 

























 
90
4
2
180 1
0
tg

 

 
90
5
.
153
1800



0
5
63


 




n
i
j
m
i
j
j p
p
z
p
0
)
arg(
)
arg(
180

2 5
.
63






j
i
i
i 1
1

Thí du 2 (tt)
Thí du 2 (tt)
Thí duï 2 (tt)
Thí duï 2 (tt)
Im s
20
j
63 50
+j2
63.5
0
Re s
4 2
j2
20
j


Thí du 3
Thí du 3
Thí duï 3
Thí duï 3
)
20
8
)(
3
(
)
1
(
)
( 2





s
s
s
s
s
K
s
G
R(s) Y(s)
 Giaûi:
)
)(
(
0
)
(
1 
 s
G  (1)
0
)
1
(
1 


s
K
0
)
(
1 
 s
G  (1)
0
)
20
8
)(
3
(
1 2





s
s
s
s
 Caùc cöïc: 3
2 

p 2
4
4
,
3 j
p 


0
1 
p
 Caùc zero: 1
1 

z

Thí du 3 (tt)
Thí du 3 (tt)
Thí duï 3 (tt)
Thí duï 3 (tt)
(
3
)
1
2
(
)
1
2
(
1 



l
l
l


1)
(
)
1
(
3
1
4
)
1
2
(
)
1
2
(
3
2












l
-
l
l
m
n
l







3
10
1
4
)
1
(
)]
2
4
(
)
2
4
(
)
3
(
0
[
zero
















 
 j
j
m
n
OA
cöïc
(1) 
)
1
(
)
20
8
)(
3
( 2





s
s
s
s
K  2
2
3
4
)
1
(
60
88
77
26
3 





s
s
s
s
d
dK
0
)
1
(
1 


s
K
)
1
( 
s 2
)
1
( 
s
ds
0

d
dK
Do ñoù
(khoâng coù
ñi å ù h h ä )






97
0
66
0
05
,
1
67
,
3
2
,
1
j
j
s

0
)
20
8
)(
3
(
1 2





s
s
s
s
ds ñieåm taùch nhaäp)




 97
.
0
66
,
0
4
,
3 j
s

Thí du 3 (tt)
Thí du 3 (tt)
Thí duï 3 (tt)
Thí duï 3 (tt)
(1)  (2)
0
)
60
(
44
11 2
3
4





 K
s
K
s
s
s
(1)  (2)
0
)
60
(
44
11 




 K
s
K
s
s
s
0
)
60
(
44
11 2
3
4





 K
j
K
j 


 0
)
60
(
44
11 

 K
j
K
j 








0
0
K












0
)
60
(
11
0
44
3
2
4




K
K








322
893
,
5
K

0
)
1
(
1 


s
K
 







7
,
61
314
,
1
K
j

(loaïi)
0
)
20
8
)(
3
(
1 2





s
s
s
s

Vaäy giao ñieåm caàn tìm laø: HSKÑ giôùi haïn laø:
893
,
5
j
s 
 322

gh
K

Thí du 3 (tt)
Thí du 3 (tt)
Thí duï 3 (tt)
Thí duï 3 (tt)
)
(
180 4
3
2
1
3 



 




)
90
6
,
116
4
,
153
(
3
,
146
180 




0
3 7
.
33




Thí du 3 (tt)
Thí du 3 (tt) Im s
Thí duï 3 (tt)
Thí duï 3 (tt)
+j5,893
33.70
+j2
1 2
3
33.7
0
Re s
3 1
4
4
j2
j5,893

Thí du 4
Thí du 4
Thí duï 4
Thí duï 4
 Cho heä thoáng ñieàu khieån coù sô ñoà khoái nhö sau:
)
3
9
(
10
)
( 2



s
s
s
G
R(s) Y(s)
s
K
K
s
G I
P
C 

)
(
s
 Cho KI = 2.7, haõy veõ QÑNS cuûa heä thoáng sau ñaây khi KP =0+,
bieát raèng dK / ds=0 coù 3 nghieäm laø 3  3 1 5
biet rang dKP / ds=0 co 3 nghieäm la 3, 3, 1.5.
 Khi KP =270, KI = 2.7 heä thoáng coù oån ñònh hay khoâng?
P , I ä g ò y g

Thí du 4 (tt)
Thí du 4 (tt)
Thí duï 4 (tt)
Thí duï 4 (tt)
 Giaûi:
 Phöông trình ñaëc tröng cua heä thong:
0
)
(
)
(
1 
 s
G
s
GC




0
3
9
10
7
.
2
1 2

















s
s
s
KP

(1)
0
)
3
)(
9
(
10
1 2




s
s
s
KP

 Caùc zero: 0
z
 Caùc cöïc: 9
1 

p 3
2 j
p 
 3
3 j
p 

 Cac zero: 0
1 
z

Thí du 4 (tt)
Thí du 4 (tt)
Thí duï 4 (tt)
Thí duï 4 (tt)
 Tieäm caän:
0)
(l
2
/
)
1
2
(
)
1
2
( 

 

 l
l
1)
(l
2
/
0)
(l
2
/
1
3
)
1
2
(
)
1
2
(
















l
m
n
l
9
)
0
(
)]
3
(
)
3
(
9
[

 j
j
2
9
1
3
)
0
(
)]
3
(
)
3
(
9
[
zero











 
 j
j
m
n
OA
cöïc
0

dKP 






3
3
2
1
s
s

0
ds
(loaïi)



 5
.
1
3
3
2
s
s
QÑNS coù hai ñieåm taùch nhaäp truøng nhau tai 3
QÑNS co hai ñiem tach nhaäp trung nhau taïi 3

Thí du 4 (tt)
Thí du 4 (tt)
Thí duï 4 (tt)
Thí duï 4 (tt)
)]
(
)
[ (
)
(
1800
 )]
arg(
)
[arg(
)
arg(
180 3
2
1
2
1
2
0
2 p
p
p
p
z
p 







))]
3
(
3
arg(
))
9
(
3
[arg(
)
0
3
arg(
1800
j
j
j
j 


























 
90
9
3
90
180 1
0
tg

 
 9
0
2 169




Thí d 4 (tt)
Thí d 4 (tt)
Thí duï 4 (tt)
Thí duï 4 (tt)
 Khi KI =2.7, QÑNS cuûa
heä thoáng naèm hoaøn
toaøn beân traùi maët phaúng
toan ben trai maët phang
phöùc khi KP =0+,
do ñoù heä thoáng oån ñònh
khi KI =2.7, KP =270.

å å à á
å å à á
Tieâu chuaån oån ñònh taàn soá

Nhaéc laïi: Caùc thoâng soá quan troïng cuûa ñaëc tính taàn soá
Nhaéc laïi: Caùc thoâng soá quan troïng cuûa ñaëc tính taàn soá
 T à á ét bi â ( ) l ø t à á ø t i ñ ù bi â ñ ä û ñ ë tí h t à
 Taàn soá caét bieân (c): laø taàn soá maø taïi ñoù bieân ñoä cuûa ñaëc tính taàn
soá baèng 1 (hay baèng 0 dB).
1
)
( 
M  0
)
( 
L 

1
)
( 
c
M  0
)
( c
L 

 Taàn soá caét pha (): laø taàn soá maø taïi ñoù pha cuûa ñaëc tính taàn soá
baèng 1800 (hay baèng  radian).
bang 180 (hay bang  radian).
0
180
)
( 



 rad
)
( 

  



 Ñoä döï tröõ bieân (GM – Gain Margin):
)
(
1

M
GM  )
( 


 L
GM [dB]
)
( 

M
)
( 
 Ñoä döï tröõ pha ( M – Phase Margin):
)
(
1800
c
M 





Bieåu ñoà Bode Bieåu ñoà Nyquist
Bieåu ñoà Bode Bieåu ñoà Nyquist
Bieu ño Bode Bieu ño Nyquist
Bieu ño Bode Bieu ño Nyquist

Tieâu chuaån oån ñònh Nyquist
 Cho heä thoáng hoài tieáp aâm ñôn vò, bieát ñaëc tính taàn soá cuûa heä hôû
G(s), baøi toaùn ñaët ra laø xeùt tính oån ñònh cuûa heä thoáng kín Gk(s).
R(s) Y(s)
å á å á
 Tieâu chuaån Nyquist: Heä thoáng kín Gk(s) oån ñònh neáu ñöôøng cong
Nyquist cuûa heä hôû G(s) bao ñieåm (1, j0) l/2 voøng theo chieàu
döông (ngöôïc chieàu kim ñoàng hoà) khi  thay ñoåi töø 0 ñeán +,
g ( g ï g ) y ,
trong ñoù l laø soá cöïc naèm beân phaûi maët phaúng phöùc cuûa heä hôû G(s)
.

Tieâu chuaån oån ñònh Nyquist –
– Thí duï 1
Thí duï 1
 Cho heä thoáng hoài tieáp aâm ñôn vò trong ñoù heä hôû G(s) coù ñöôøng
 Cho heä thong hoi tiep am ñôn vò, trong ño heä hô G(s) co ñöông
cong Nyquist nhö hình veõ. Bieát raèng G(s) oån ñònh. Xeùt tính oån
ñònh cuûa heä thoáng kín.

– Thí duï 1 (tt)
Thí duï 1 (tt)
 Giaûi:
 Giai:
Vì G(s) oån ñònh neân G(s) khoâng coù cöïc naèm beân phaûi maët phaúng
phöùc, do ñoù theo tieâu chuaån Nyquist heä kín oån ñònh neáu ñöôøng
p yq ä ò g
cong Nyquist G(j) cuûa heä hôû khoâng bao ñieåm (1, j0)
 Tröôøng hôïp : G(j) khoâng bao ñieåm (1, j0)  heä kín oån ñònh.
 å û å
 Tröôøng hôïp : G(j) qua ñieåm (1, j0)  heä kín ôû bieân giôùi oån
ñònh;
 Tröôøng hôp : G(j) bao ñieåm (1 j0)  heä kín khoâng oån ñònh
 Tröông hôïp : G(j) bao ñiem ( 1, j0)  heä kín khong on ñònh.

– Thí duï 2
Thí duï 2
 H õ ñ ù h i ù tí h å ñò h û h ä th á h ài ti á â ñô ò bi át
 Haõy ñaùnh giaù tính oån ñònh cuûa heä thoáng hoài tieáp aâm ñôn vò, bieát
raèng haøm truyeàn heä hôû G(s) laø:
)
1
)(
1
)(
1
(
)
(
3
2
1 



s
T
s
T
s
T
s
K
s
G
)
1
)(
1
)(
1
( 3
2
1 

 s
T
s
T
s
T
s
 Giaûi:
 Giai:
 Bieåu ñoà Nyquist:

Thí duï 2 (tt)
Vì G(s) khoâng coù cöïc naèm beân phaûi maët phaúng phöùc, do ñoù theo
tieâu chuaån Nyquist heä kín oån ñònh neáu ñöôøng cong Nyquist
tieu chuan Nyquist heä kín on ñònh neu ñöông cong Nyquist
G(j) cuûa heä hôû khoâng bao ñieåm (1, j0)
 Tröôøng hôïp : G(j) khoâng bao ñieåm (1, j0)  heä kín oån ñònh.
 Tröôøng hôïp : G(j) qua ñieåm (1, j0)  heä kín ôû bieân giôùi oån
ñònh;
 Tröôøng hôp : G(j) bao ñieåm ( 1 j0)  heä kín khoâng oån ñònh
 Tröông hôïp : G(j) bao ñiem (1, j0)  heä kín khong on ñònh.

– Thí duï 3
Thí duï 3
Cho heä thoáng hôû khoâng oån ñònh coù ñaëc tính taàn soá nhö caùc hình
veõ döôùi ñaây. Hoûi tröôøng hôïp naøo heä kín oån ñònh.
OÅn ñònh Khoâng oån ñònh

Thí duï 3 (tt)
Khoâng oån ñònh

Thí duï 3 (tt)
OÅn ñònh Khoâng oån ñònh

– Thí duï 4
Thí duï 4
h h h á h û ù h ø à ñ l ø
 Cho heä thoáng hôû coù haøm truyeàn ñaït laø:
(K>0, T>0, n>2)
n
T
K
s
G
)
(
)
(
1

 n
Ts )
( 1

Tìm ñieàu kieän cuûa K vaø T ñeå heä thoáng kín (hoài tieáp aâm ñôn vò) oån
ñònh
ñònh.
 Giaûi:
 Ñaëc tính taàn soá cuûa heä thoáng laø: n
Tj
K
j
G
)
1
(
)
(




K
 Bieân ñoä:
 n
T
K
M
1
)
(
2
2




 Pha: )
(
)
( 

 T
ntg 1




Thí duï 4 (tt)
å à
 Bieåu ñoà Nyquist:
 Ñieàu kieän oån ñònh: ñöôøng cong Nyquist khoâng bao ñieåm (1 j0)
 Ñieu kieän on ñònh: ñöông cong Nyquist khong bao ñiem ( 1,j0).
Theo bieåu ñoà Nyquist, ñieàu naøy xaûy ra khi:
1
)
( 


M
)
( 

Thí duï 4 (tt)
1
 Ta coù: 


 
 


 

 )
(
)
( 1
T
ntg
T
tg

  


)
(
1
 






 tg
T

  )
(

n 
 n






 tg


1
 




n
tg
T
 
K
 Do ñoù: 1
)
( 


M  1
1
1
2
2














n
tg
T
K

1














 n
tg
T
T

n
tg
K 












 1
2 
n
g 








Tieâu chuaån oån ñònh Bode
Tieâu chuaån oån ñònh Bode
 Cho heä thoáng hoài tieáp aâm ñôn vò, bieát ñaëc tính taàn soá cuûa heä hôû
G(s), baøi toaùn ñaët ra laø xeùt tính oån ñònh cuûa heä thoáng kín Gk(s).
R(s) Y(s)
 Ti â h å B d H ä th á kí G ( ) å ñò h á h ä th á hôû
 Tieâu chuaån Bode: Heä thoáng kín Gk(s) oån ñònh neáu heä thoáng hôû
G(s) coù ñoä döï tröõ bieân vaø ñoä döï tröõ pha döông:
0
 
GM
ñònh
oån
thoáng
Heä
0
0







M
GM

Tieâu chuaån oån ñònh Bode: Thí duï
Tieâu chuaån oån ñònh Bode: Thí duï
 Cho heä thoáng hoài tieáp aâm ñôn vò bieát raèng heä hôû coù bieåu ñoà Bode
 Cho heä thong hoi tiep am ñôn vò, biet rang heä hô co bieu ño Bode
nhö hình veõ. Xaùc ñònh ñoä döï tröõ bieân, ñoä döï tröõ pha cuûa heä thoáng
hôû. Hoûi heä kín coù oån ñònh khoâng?
5

c

Theo bieåu ñoà Bode:
GM
L( )
2



dB
L 35

 )
( 

0
270
)
(
dB
GM 35


0
270


)
( c


0
0
0
90
270
180
 )
(
M
M

(C)
180

0
0
0
90
270
180 




 )
(
M
Do GM<0 vaø M<0
neân heä thoáng kín khoâng
 C
g g
oån ñònh.

Chuù yù
Chuù yù
Chu y
Chu y
 Tröôøng hôïp heä thoáng hoài tieáp aâm nhö hình veõ, vaãn coù theå aùp duïng
tieâu chuaån oån ñònh Nyquist hoaëc Bode, trong tröôøng hôïp naøy haøm
à
truyeàn hôû laø G(s)H(s) .
R(s) Y(s)
Yht(s)

CƠ SỞ TỰ ĐỘNG 4

Recommended

Recommended

More Related Content

Similar to CƠ SỞ TỰ ĐỘNG 4

Similar to CƠ SỞ TỰ ĐỘNG 4 (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (7)

CƠ SỞ TỰ ĐỘNG 4