1. Глава 1
СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫЕ СИСТЕ-
МЫ
1.1. Статически неопределимая ферма
Найти усилия в стержнях плоской фермы (рис. 1). Узел D нагружен
горизонтальной силой P = 16кН. Размеры даны в метрах.
-P -P
2
2
4 4 6
YC
Рис. 1 Рис. 2
Решение
Для равновесия тела на плоскости достаточно три связи. В данной
конструкции из четыре — одна неподвижная опора (две связи) и
две подвижные. Система содержит одну дополнительную связь, сле-
довательно, она один раз статически неопределима. Задачу решаем
методом сил. Выбираем основную систему, отбрасывая вертикальную
связь в узле C (рис. 2). Основная система статически определима и
геометрически неизменяема.
Задача метода сил сводится к двум статически определимым зада-
чам — основная система под действием внешней нагрузки и система
под действием единичной силы взамен реакции опоры дополнительной
опоры.
1. Находим реакции опор в основной системе от действия внешней
силы (рис. 3). Составляем три уравнения равновесия

2. 6 Статически неопределимые системы Раздел 1
-P Xi = XA + P = 0,
2
MA = YB · 8 − P · 4 = 0,
MB = −YA · 8 − P · 4 = 0.
2
X-
A Решаем систему уравнений.
Находим XA = −P = −12 кН,
6A
Y 6B
Y
4 4 YA = −P/2 = −6 кН, YB =
= P/2 = 6 кН.
Рис. 3
Для проверки составляем сумму проекцию всех сил, действующих
на ферму, на ось y:
Yi = YA + YB = 0.
RU1 O1
- Находим усилия в стержнях фермы
от действия сил в основной системе.
R Усилия O1 , U1 , D1 найдем по мето-
D1 ду Риттера [3]. Рассекаем стержни
XA U1 первой панели вертикальным сече-
- - RO1 нием (рис. 4). Находим точки Рит-
6 тера (моментные точки) на пересе-
YA чениях линий действия усилий в се-
Рис. 4 чении. Таких точек две: RO1 , RU1 .
Составляем два уравнения моментов относительно точек Риттера
MRO1 = −O1 · 4 − YA · 4 = 0,
(1.1)
MRU 1 = U1 · 4 + XA · 4 = 0.
Усилие D1 в раскосе, для которого нет точки Риттера (усилия O1 ,
U1 параллельны), определяем из уравнения проекций на вертикальную
ось
Yi = YA − D1 cos 45 = 0. (1.2)
Y O2
RU2
D2
Рассекаем стержни второй па-
RO2 U
2 нели вертикальным сечением
RD2
6 (рис. 5). Находим точки Ритте-
YB ра: RO2 , RU2 , RD2 .
Рис. 5

3. 1.1. Статически неопределимая ферма 7
Составляем уравнения моментов
MRO2 = O2 · 4 sin γ + O2 · 2 cos γ + YB · 4 = 0,
MRU 2 = −U2 · 2 = 0, (1.3)
MRD2 = D2 cos γ · 2 + D2 sin γ · 4 − YB · 4 = 0.
Усилия в вертикальных стержнях V1 , V2 , V3 методом Риттера найти
нельзя. Нет сечений, рассекающих ферму на две части (части должны
содержать хотя бы один стержень) и пересекающих эти стержни.
Используем метод вырезания узлов. Вырезаем узлы A, B, D (рис. 7–
8), заменяя действие стержней их реакциями, направленными от узла
к стержню.
V1 V3
6 6
1
O D -P XA- U1
- U2 B
j A6 6
V2 O2 YA YB
?
Рис. 6 Рис. 7 Рис. 8
Составляем необходимы уравнения равновесия в проекциях. Потре-
буются только проекции на ось y:
YiA = V1 + YA = 0,
YiB = V3 + YB = 0, (1.4)
YiD = −V2 − O2 sin γ = 0.
Решения уравнений 1.1–1.4 заносим в столбец SP k таблицы 1 (в кН)
Таблица 1
k SP k s1k Lk Sk
1 U1 12 0 4 12
2 U2 0 0 4 0
3 V1 6 0.5 4 1.081
4 V2 3 -0.25 4 5.460
5 V3 -6 0.5 2 -10.919
6 D1 -8.485 -0.707 5.657 -1.529
7 D2 6.708 0.559 4.472 1.208
8 O1 6 0.5 4 1.081
9 O2 6.708 0.559 4.472 1.208
2. Прикладываем к ферме единичную силу по направлению реакции
YC дополнительной опоры (рис. 9). Находим реакции опор в основной
системе. Составляем три уравнения равновесия

4. 8 Статически неопределимые системы Раздел 1
2 Xi = XA = 0,
MA = YB · 8 + 1 · 4 = 0,
2 MB = −YA · 8 − 1 · 4 = 0.
X-
A
Решаем систему уравнений.
6A
Y 6
1 6B
Y
4 4 Находим XA = 0, YA = −0.5,
YB = −0.5.
Рис. 9
Методом Риттера или методом вырезания узлов находим усилия
в стержнях фермы от действия единичной силы. В данном случае
уравнения равновесия 1.1–1.4 при этом не изменятся по форме. Изме-
нятся лишь значения реакций опор. Кроме этого на рис. 6 не будет
горизонтальной силы P . Решения заносим в столбец s1k таблицы
1. Для удобства вычислений в последний столбец таблицы запишем
длины стержней.
Записываем каноническую систему метода сил
δ11 YC + ∆1P = 0,
выражающую равенство нулю вертикального перемещения в точке C.
Вычисляем коэффициенты канонической системы
1
δ11 = Lk s2 = 8.327,
1k
EF
k
1
∆1P = Lk SP k s1k = 81.934.
EF
k
Решаем систему и получаем
YC = −∆1P /δ11 = −9.839.
Определяем реакции опор и усилия в стержнях статически неопреде-
лимой системы
(P ) (1)
XA = XA + XA YC = −12
(P ) (1)
YA = YA + YA YC = −1.081
(P ) (1)
YB = YB + YB YC = 10.919
Sk = SP k + s1k YC , k = 1..9.
Результаты вычислений заносим в последний столбец таблицы 1.

5. Список литературы
1. Говорухин В.Н., Цибулин В.Г. Компьютер в математическом исследова-
нии. Учебный курс. — СПб.: Питер, 2001.
2. Дьяконов В.П. MATLAB: учебный курс. — СПб.: Питер, 2001.
3. Кирсанов М.Н. Решебник. Теоретическая механика/ Под ред. А. И. Ки-
риллова. — М.: Физматлит, 2002.
4. Матросов А. Maple 6. Решение задач высшей математики и механики.
— СПб.: БХВ-Петербург, 2001.
5. Очков В.Ф. Mathcad 12 для студентов и инженеров. — СПб.: БХВ-
Петербург, 2005.

6. Учебное издание
КИРСАНОВ Михаил Николаевич
Решебник
Сопротивление материалов
Редактор М. Б. Козинцева
Оригинал-макет автора
Оформление переплета:А.А.Логунов
ЛР № 020528 от 05.06.97.
Подписано в печать с оригинал-макета ***** Формат 60×84/16.
Бумага офсетная. Печать офсетная.
Усл.печ. л. 6,0 Тираж 5000 экз. Заказ