Lucidi per la discussione della tesi triennale per il corso di laurea triennale in Ingegneria Informatica, Università degli Studi di Trieste (Dipartimento di Ingegneria e Architettura).

1. BisPy
un pacchetto Python per il calcolo
della massima bisimulazione di grafi diretti
Francesco Andreuzzi
Università degli Studi di Trieste,
Dipartimento di Ingegneria e Architettura
8 Luglio 2021
Anno accademico 2020-2021 Relatore: Prof. Alberto Casagrande
Francesco Andreuzzi BisPy 8 Luglio 2021 1 / 12

2. Grafi orientati, terminologia
V = {a, b, c, d, e}
E = {ha, bi, hb, ci, ha, di, hc, ei, hd, ei}
a
b
c
d
e
Definizione
Se ha, bi ∈ E =⇒ b è un nodo figlio di a.
Un nodo privo di figli è detto pozzo.
Francesco Andreuzzi BisPy 8 Luglio 2021 2 / 12

3. Bisimulazione
Definizione: Bisimulazione B ⊆ V × V
Se (a, b) ∈ B, allora da a è possibile spostarsi verso un nodo figlio di a che
sia in relazione con un nodo figlio di b, e viceversa.
a
c
b
d e f g
B = {(b, c), (e, g), (d, f )}
Definizione: Nodi bisimili
I nodi a, b sono bisimili se esiste una bisimulazione B tale che (a, b) ∈ B.
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4. Massima bisimulazione
Definizione
La massima bisimulazione su G = (V , E) è la bisimulazione BM tale che:
R ⊆ BM per ogni bisimulazione R su G.
Si può dimostrare che:
1 La massima bisimulazione è unica;
2 La massima bisimulazione è una relazione di equivalenza
=⇒ induce un partizionamento su V ;
3 BM(a, b) ≡
[
R è una
bisimulazione
R;
4 BM definita come nel punto 3. è una bisimulazione.
Francesco Andreuzzi BisPy 8 Luglio 2021 4 / 12

5. Massima bisimulazione -- Esempio e applicazioni pratiche
a
c
b
d e f g
BM =
(a, a) , (b, c), (c, b) ,
(b, b), (c, c) , (d, d) ,
(e, e), (f , f ), (g, g) ,
(d, e), (e, d), (d, f ) ,
(f , d), (d, g), (g, d) ,
(e, f ), (f , e), (e, g) ,
(g, e), (f , g), (g, f )
A
B
C
Ricerca di nodi equivalenti;
Minimizzazione;
Concurrency theory;
XML indexing.
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6. Algoritmi per il calcolo della massima bisimulazione
Non incrementali, complessità asintotica |E| log |V |
Algoritmo di Paige-Tarjan;
Algoritmo di Dovier-Piazza-Policriti;
BM(u, v) =⇒ rank(u) = rank(v).
Incrementali
Algoritmo incrementale di Saha.
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7. BisPy
Python 3;
Open source (https://github.com/fAndreuzzi/BisPy);
Testato su diverse tipologie di grafo, di dimensioni varie.
Example
from bispy import paige_tarjan
# creazione del grafo
graph = networkx.balanced_tree(2,3)
# calcolo della massima bisimulazione
paige_tarjan(graph)
[(7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14), (3, 4, 5, 6),
(1, 2), (0,)]
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8. Risultati sperimentali I -- Paige-Tarjan, Dovier-Piazza-Policriti
102 104 106
10−4
100
104
Numero di nodi
Secondi
Alberi bilanciati
PT
DPP
a
c
b
d e f g
Un albero bilanciato.
Francesco Andreuzzi BisPy 8 Luglio 2021 8 / 12

9. Risultati sperimentali II -- Paige-Tarjan, Saha
0 500 1,000 1,500 2,000
10−3
10−2
Numero di nodi
Tempo
medio
(secondi)
Aggiornamento della massima bisimulazione dopo l’aggiunta di un arco
Paige-Tarjan
Saha
0.2
0.4
Secondi
Paige-Tarjan
Saha
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10. Conclusione
Il software sviluppato consente di osservare e confrontare il
comportamento degli algoritmi su varie tipologie di grafo.
Sviluppi futuri
Pubblicazione di BisPy su JOSS (Journal of Open Source Software);
Ricalcolo incrementale della massima bisimulazione dopo la
rimozione di un arco;
Calcolo della massima bisimulazione con labeled edges;
Integrazione con altre librerie (NetworkX);
Cython per parti critiche del codice.
Francesco Andreuzzi BisPy 8 Luglio 2021 10 / 12

11. Grazie per l’attenzione
Francesco Andreuzzi BisPy 8 Luglio 2021 11 / 12

12. Risultati sperimentali III -- Paige-Tarjan, Saha
5 6 7 8 9 10
10−3
10−2
10−1
Profondità dell’albero
Secondi
Alberi bilanciati
Paige-Tarjan
Saha
5 6 7 8 9 10
10−3
10−2
10−1
Profondità dell’albero
Raggruppamento per tipo di arco
Paige-Tarjan
Saha ∆v = 3
Saha ∆v = 0
Saha ∆v = −1
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