SlideShare a Scribd company logo

Bahan ajar indes n khufaiah 3.2

β€’Download as DOCX, PDFβ€’
β€’
I
indes25

Bahan ajar ini membahas tentang sudut ganda dan sudut paruh trigonometri. Materi dimulai dengan menjelaskan rumus-rumus trigonometri untuk sudut ganda dan paruh yang didapat dari rumus jumlah dan selisih dua sudut. Kemudian memberikan contoh soal untuk memahami konsep sudut ganda dan paruh serta menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan kedua materi tersebut."

Education
1 of 26
PPG PRAJABATAN B E R S U B S I D I 2 0 1 7 / 2 0 1 8 Oleh : Indes Nur Kufailah RB201711280
rRSudutganda dan sudutparuh S U D U T G A N D A D A N S U D U T P A R U H Page 1 Bismillaahirrohmaanirrohiim Puji syukur hanya milik Allah semata, Tuhan semesta alam. Atas berkah, rahmat, dan karunia-Nya penyusunan Bahan Ajar Matematika Materi Sudut Ganda dan Sudut Paruh Trigonometri untuk Kelas XI SMA N 17 Bandung ini dapat terselesaikan. Sholawat beserta salam semoga selalu tercurahkan kepada Sang Revormer peradaban Nabi Muhammad SAW, karna dengan perjuangannyalah kita dapat menikmati manisnya ilmu pengetahuan sampai sekarang Bahan ajar ini disusun sebagai salah satu sumber belajar dalam pelaksanaan belajar mengajar matematika Materi Sudut Ganda dan Sudut Paruh Trigonometri. Dalam bahan ajar ini, penyajian materi menggunakan Model Discovery Learning guna mengembangkan kemampuan, pengetahuan, dalam menggunakan, menentukan, dan menyelesaikan sudut ganda dan sudut paruh trigonometri. Sesuai dengan tujuan penyusunan bahan ajar ini, peserta didik diharapkan mampu (1) menggunakan rumus jumlah dan selisih dua sudut untuk menentukan rumus sudut ganda dan sudut paruh (2) mampu menggunakan rumus sudut ganda dan sudut paruh untuk menentukan nilai trigonometri (3) Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan rumus sudut ganda dan sudut paruh dalam memecahkan masalah. Juga (4) mampu mengungkapkan kembali suatu uraian matematika dalam bahasa sendiri. Dengan segala kerendahan hati, kami memohon kepada siapa saja yang membaca dan menggunakan bahan ajar ini agar sudi kiranya memperbaiki kesalahan-kesalahan yang ditemukan. Akhirnya, kami menyampaikan terima kasih kepada semua pihak yang telah memberikan kontribusinya terhadap penyusunan bahan ajar ini. Semoga segala amal kebaikan yang telah diberikan mendapat balasan yang sesuai dari-Nya. Aamiin. Bandung,Januari2018 Penyusun
rRSudutganda dan sudutparuh S U D U T G A N D A D A N S U D U T P A R U H Page 2 HALAMAN JUDUL .........................................................................................................1 KATA PENGANTAR ........................................................................................................2 DAFTAR ISI .....................................................................................................................3 PETUNJUK PENGGUNAAN ...........................................................................................4 KOMPETENSI YANG HARUS DICAPAI ..........................................................................5 PETA KONSEP ................................................................................................................6 SUDUT GANDA DAN SUDUT PARUH A. SUDUT GANDA ..................................................................................................7 B. SUDUT PARUH...................................................................................................12 C. MASALAH YANG BERKAITAN SUDUT GANDA DAN SUDUT PARUH ..............18 RANGKUMAN ................................................................................................................20 DAFTAR PUSTAKA .........................................................................................................21 KUNCI JAWABAN .........................................................................................................22 GLOSARIUM ..................................................................................................................24
rRSudutganda dan sudutparuh S U D U T G A N D A D A N S U D U T P A R U H Page 3 Bahan ajar matematika Materi Trigonometri ini disusun untuk membantu peserta didik Kelas XI SMA N 17 Bandung dalam meningkatkan kemampuan komunikasi matematisnya. Dalam penyusunannya, bahan ajar ini disesuaikan dengan Kompetensi Inti dan Kompetensi Dasar Kurikulum 2013 yang berlaku saat ini. Bahan ajar matematika ini materi sudut ganda dan sudut paruh trigonometri. Penyajian materi dalam bahan ajar ini disusun dengan menggunakan Model Discovery Learning, sehingga peserta didik dituntun untuk memahami cara menurunkan rumus trigonometri, menghitung, dan memecahkan masalah yang berhubungan dengan sudut ganda dan sudut paruh. Sistematika bahan ajar ini adalah sebagai berikut: 1. Sebelum menginjak pada pembahasan, bahan ajar ini diawali dengan paparan kompetensi yang harus dicapai oleh peserta didik. 2. Materi pembahasan diawali dengan apersepsi berupa contoh kasus nyata atau pun permasalahan matematis serta aktivitas relevan. 3. Uraian materi merupakan materi pokok/materi pembelajaran dalam bahan ajar. Materi disajikan dengan bahasa yang sederhana sehingga mudah dipahami. 4. Setiap pembahasan sub materi dilengkapi dengan contoh soal untuk memperjelas konsep yang dipelajari. 5. Latihan berisi soal-soal untuk menguji kemampuan peserta didik dalam memahami materi yang dipelajari. Latihan yang disajikan sudah disesuaikan dengan indikator- indikator komunikasi matematis. 6. Rangkuman berisi pokok-pokok pembicaraan materi yang telah selesai dipelajari. 7. Evaluasi berisi soal-soal untuk melihat kemampuan komunikasi matematis siswa dalam materi sudut ganda dan sudut paruh trigonometri.. Berikut adalah langkah-langkahyangdisarankanbagi pesertadidik dalam menggunakanbahanajar ini. 1. Bacalah terlebih dahulu kompetensi yang harus dicapai yang terletak sebelum pembahasan. 2. Pahami uraian materi dengan seksama dan perhatikan contoh soal yang diberikan dengan sebaik-baiknya.
rRSudutganda dan sudutparuh S U D U T G A N D A D A N S U D U T P A R U H Page 4 3. Bacalah kembali rangkuman yang ada di akhir bab. 4. Kerjakan soal-soal evaluasi yang ada di akhir bab. 3. Menerapkan, dan menganalisis pengetahuan faktual, konseptual, prosedural, dan metakognitif berdasarkanrasaingintahunya tentang ilmu pengetahuan, teknologi, seni, budaya, dan humaniora dengan wawasan kemanusiaan, kebangsaan, kenegaraan, dan peradaban terkait penyebab fenomena dan kejadian, serta menerapkan pengetahuan prosedural pada bidang kajian yang spesifik sesuai dengan bakat dan minatnya untuk memecahkan masalah. 4. Mengolah, menalar dan menyaji dalam ranah konkret dan abstrak terkait dengan pengembangan dari yang dipelajarinya di sekolah secara mandiri, bertindak secara efektif dan kreatif, serta mampu menggunakan metoda sesuai kaidah keilmuan No. Kompetensi Dasar Indikator Pencapaian Kompetensi 1. 3. 2 Membedakan penggunaan jumlah dan selisih sinus dan cosinus 3. 2. 1 Menggunakanrumusjumlahdanselisih dua sudutuntukmenentukanrumus sudutgandadan sudutparuh 3. 2. 2 Menggunakanrumussudutgandadan sudutparuhuntukmenentukannilai trigonometri. 2. 4. 2 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan 4. 1. 1 Menyelesaikan masalahyang berkaitan dengan rumussudutganda dansudut KOMPETENSI INTI (KI) KOMPETENSI DASAR DAN INDIKATOR PENCAPAIAN KOMPETENSI
rRSudutganda dan sudutparuh S U D U T G A N D A D A N S U D U T P A R U H Page 5 rumus jumlah dan selisih sinus dan cosinus paruhdalam memecahkan masalah. tan 2 𝜢cos 2 𝜢Sin 2𝜢 tan 𝟏 𝟐 𝜢sin 𝟏 𝟐 𝜢 Rumus-Rumus Trigonometri Rumus Sudut Ganda Rumus Sudut Paruh cos 𝟏 𝟐 𝜢
rRSudutganda dan sudutparuh S U D U T G A N D A D A N S U D U T P A R U H Page 6 Pada tahun 2013 hingga awal tahun 2017 Gunung Sinabung di Kabupaten Karo, Sumatra Utara masih saja mengalami erupsi. Bahkan tercatat pada tanggal 4 Januari 2014, gunung tersebut mengalami erupsi sebanyak 30 kali dalam sehari. Terakhir kali gunung Sinabung mengalami erupsi dan mengeluarkan awan panas pada tanggal 20 Februari 2017. Seorang petugas PVMBG (Pusat Vulkanologi dan Mitigasi Bencana Geologi) Sumatra Utara sedang mengamati ketinggian letusan awan panas gunung Sinabung pada hari tersebut. Puncakgunungterlihatpada sudutelevasi Ao sedangkanpuncakletusanawan panas terlihat pada sudut elevasi 2Ao. Jika tinggi gunung Sinabung adalah 2.460 meter, maka berapakah ketinggian letusan awan panas gunung tersebut Jika diketahu tan 𝐴 = √3 3 ? MENGAMATI STIMULATION
rRSudutganda dan sudutparuh S U D U T G A N D A D A N S U D U T P A R U H Page 7 Pada materi sebelumnya, kita sudahmempelajari tentangrumusjumlah danselisih dua sudut.Masihingatkah bagaimanarumusnya? ο‚· Rumus jumlah dan selisih cosinus dua sudut: π‘π‘œπ‘  (𝛼 + 𝛽) = π‘π‘œπ‘  𝛼 π‘π‘œπ‘  𝛽 – 𝑠𝑖𝑛 𝛼 𝑠𝑖𝑛 𝛽 π‘π‘œπ‘  (𝛼 – 𝛽) = π‘π‘œπ‘  𝛼 π‘π‘œπ‘  𝛽 + 𝑠𝑖𝑛 𝛼 𝑠𝑖𝑛 𝛽 ο‚· Rumus jumlah dan selisih sinus dua sudut: 𝑠𝑖𝑛 (𝛼 + 𝛽) = 𝑠𝑖𝑛 𝛼 π‘π‘œπ‘  𝛽 + π‘π‘œπ‘  𝛼 𝑠𝑖𝑛 𝛽 𝑠𝑖𝑛 (𝛼 – 𝛽) = 𝑠𝑖𝑛 𝛼 π‘π‘œπ‘  𝛽 – π‘π‘œπ‘  𝛼 𝑠𝑖𝑛 𝛽 ο‚· Rumus jumlah dan selisih tangen dua sudut: π‘‘π‘Žπ‘› (𝛼 + 𝛽) = tan𝛼+tan 𝛽 1βˆ’tan 𝛼.tan 𝛽 Dari informasi diatas, diketahui tinggi gunung adalah 2460 meter, Dan tan 𝐴 = √3 3 . Bagaimana caranya agar kita tahu ketinggian letusan awan panas gunung tersebut? β€œkita cari tahu dulu 𝐭𝐚𝐧 πŸπ‘¨"
rRSudutganda dan sudutparuh S U D U T G A N D A D A N S U D U T P A R U H Page 8 Ingatkahkita? Menggunakanrumusjumlahdanselisih dua sudut 1. Hitung nilai dari: a. 𝑠𝑖𝑛 75Β° = 𝑠𝑖𝑛 (…+ … ) = 𝑠𝑖𝑛 …. . π‘π‘œπ‘  … . + π‘π‘œπ‘  … . 𝑠𝑖𝑛 …. = …. Γ— … . + … Γ— … = … + β‹―  𝑠𝑖𝑛 75Β° = … .. b. cos 12 7  = π‘π‘œπ‘ (… + β‹― ) = π‘π‘œπ‘  … Γ— π‘π‘œπ‘  … – 𝑠𝑖𝑛 …× 𝑠𝑖𝑛 … = … Γ— … – …× … = … βˆ’ …  π’„π‘œπ‘  12 7  = β‹― c. tan 𝐴 = 2 3 dan tan 𝐡 = 1 3 , maka nilai dari:
rRSudutganda dan sudutparuh S U D U T G A N D A D A N S U D U T P A R U H Page 9 tan( 𝐴 + 𝐡) = tan 𝐴+tan 𝐡 1βˆ’tan 𝐴.tan 𝐡 = … + β‹― 1βˆ’β‹―Γ—β€¦ = … + β‹― β€¦βˆ’β‹― = … … tan( 𝐴 + 𝐡) = … Selanjutnya dari rumus-rumus diatas, mungkin kita akan mendapatkan pertanyaan. 1) Bagaimana jika sudut pada rumus tadi merupakan kelipatan suatu sudut? 2) Apakah ketika rumus penjumlahan pada dua sudut dapat diturunkan ke rumus penjumlahan dengan sudut yang sama dengan lebih mudah? Dalam subbab ini, pembahasan dari jumlah dan selisih dua sudut akan dikembangkan lagi dalam penentuan rumus sinus, cosinus, dan tangen utnuk sudut ganda. Pengertian ganda di sini adalah penjumlahan dua sudut yang sama besar. Pengembangan rumus ini didasari oleh rumus penjumlahan dua sudut, yaitu sin(𝛼 + 𝛽), cos (𝛼 + 𝛽) , π‘‘π‘Žπ‘› tan (𝛼 + 𝛽). MENGGUNAKAN RUMUS JUMLAH DAN SELISIH DUA SUDUT UNTUK SUDUT GANDA MENANYA MENGAMATI
rRSudutganda dan sudutparuh S U D U T G A N D A D A N S U D U T P A R U H Page 10 A. Rumus sin 2 𝜢 Dengan menggunakan rumus sin (𝛼 + 𝛽) , untuk 𝛼 = 𝛽 didapat: 𝑠𝑖𝑛 2 𝛼 = 𝑠𝑖𝑛 ( 𝛼 + 𝛼) = 𝑠𝑖𝑛 𝐴 . π‘π‘œπ‘  𝐴 + π‘π‘œπ‘  𝐴 . 𝑠𝑖𝑛 𝐴 = 2 𝑠𝑖𝑛 𝐴. π‘π‘œπ‘  𝐴 B. Rumus cos 2A Dengan menggunakan rumus cos (𝛼 + 𝛽), untuk 𝛼 = 𝛽 didapat: π‘π‘œπ‘ 2 𝛼 βˆ’ 𝑠𝑖𝑛2 𝛼 cos2𝛼 1 βˆ’ 2 𝑠𝑖𝑛2 𝛼 2π‘π‘œπ‘ 2 𝛼 βˆ’ 1 C. Rumus tan 2 𝛼 Dengan menggunakan rumus tan(𝛼 + 𝛽), untuk 𝛼 = 𝛽 didapat: sin 2 𝛼 = 2 𝑠𝑖𝑛 𝛼. π‘π‘œπ‘  𝛼 tan 2𝛼 = 2tan 𝛼 1 βˆ’ π‘‘π‘Žπ‘›2 𝛼 MENCOBA Merancang dan Menggunakan Rumus Trigonometriuntuk Sudut Rangkap
rRSudutganda dan sudutparuh S U D U T G A N D A D A N S U D U T P A R U H Page 11 1. Buktikan bahwa 𝑠𝑖𝑛 2 = 2. 𝑠𝑖𝑛. π‘π‘œπ‘ ο‘ Jawab : 𝑠𝑖𝑛 2 = 𝑠𝑖𝑛 ( + ) = ……………………………………………………………………………………. = ……………………………………………………………………………………. 2. Buktikan bahwa π‘π‘œπ‘  2 = π‘π‘œπ‘ 2 βˆ’ 𝑠𝑖𝑛2 Jawab : π‘π‘œπ‘  2 = π‘π‘œπ‘  ( + ) = ………………………………………………………………….. = … …… … …… … … …… … …… … …… … …… … … …… … …… … …… … … …. 3. Buktikan bahwa π‘‘π‘Žπ‘› 2 = 2 .tan 𝛼 1βˆ’π‘‘π‘Žπ‘›2 𝛼 Jawab : π‘‘π‘Žπ‘› 2 = π‘‘π‘Žπ‘› ( + ) = …………………………………………………………………….. = … …… … …… … … …… … …… … …… … …… … … …… … …… … …… … … …… . 4. Denganmenggunakanidentitas di Kelas X, bahwa 𝑠𝑖𝑛2 + π‘π‘œπ‘ 2 = 1, sehingga 𝑠𝑖𝑛2 = 1 – π‘π‘œπ‘ 2. Gunakanidentitas di atas untukmembuktikanbahwa π‘π‘œπ‘  2 = 2 π‘π‘œπ‘ 2 βˆ’ 1 Jawab : π‘π‘œπ‘  2 = π‘π‘œπ‘ 2 βˆ’ 𝑠𝑖𝑛2 = π‘π‘œπ‘ 2- (……………………………) = … …… … …… … … …… … …… … …… … …… … … …… … …… … …… … …
rRSudutganda dan sudutparuh S U D U T G A N D A D A N S U D U T P A R U H Page 12 Jika 𝑠𝑖𝑛 𝛼 = 3 4 dengan 𝛼 sudutlancip, hitunglah: a. sin 2 𝛼 b. cos 2 𝛼 c. tan 2 𝛼 Penyelesaian: a. 𝑠𝑖𝑛 2𝛼 = 2sin 𝛼 . cos 𝛼 = 2 . 3 5 . 4 5 𝑠𝑖𝑛 2𝛼 = 24 25 b. π‘π‘œπ‘  2𝛼 = 1 βˆ’ sin2 𝛼 = 1 βˆ’ 2. ( 3 5 ) 2 = 1 βˆ’ 2. 9 25 = 1 βˆ’ 18 25 = 25βˆ’18 25 π‘π‘œπ‘  2𝛼 = 7 25 c. π‘‘π‘Žπ‘› 2𝛼 = 2tan 𝛼 1βˆ’π‘‘π‘Žπ‘›2 𝛼 = 2. 3 4 1βˆ’( 3 4 ) 2 = 3 2 1βˆ’ 9 16 = 3 2 16βˆ’9 16 = 3 2 7 16 π‘‘π‘Žπ‘› 2𝛼 = 24 7 𝑠𝑖𝑛 𝛼 = 3 5 π‘π‘œπ‘  𝛼 = 4 5 π‘‘π‘Žπ‘› 𝛼 = 3 4 53 52 βˆ’ 32 = 4 𝛼
rRSudutganda dan sudutparuh S U D U T G A N D A D A N S U D U T P A R U H Page 13 1. Jika tan βˆ… = 8 15 pada kuadran pertama, hitunglah: a. sin 2βˆ… b. cos 2βˆ… 2. Jika π‘‘π‘Žπ‘›  = βˆ’ 12 5 dan  di kuadranII, hitungnilai dari: a) 𝑠𝑖𝑛  = …… … … …… … b) π‘π‘œπ‘   = … … … …… … … c) 𝑠𝑖𝑛 2 = …… … …… … … = … … …… … …… = … …… … …… … …… … . . d) π‘π‘œπ‘  2 = … … …… … … … = … …… … …… … = … … … …… … …… … …. . e) π‘‘π‘Žπ‘› 2 = … … … …… … … = … …… … …… … = …… … …… … …… … … . . A. Rumus sin 1 2 𝛼 Berdasarkan rumus cos2𝐴 = 1 βˆ’ 2 𝑠𝑖𝑛2 𝐴 dan cos2𝐴 = 2 π‘π‘œπ‘ 2 𝐴 βˆ’ 1, maka dapat digunakanmenentukanrumussudut ganda untuk sin 1 2 𝛼, cos 1 2 𝛼, tan 1 2 𝛼atau disebut sudut rangkap. MENGGUNAKAN RUMUS SINUS, COSINUS, DAN TANGEN UNTUK SUDUT PARUH LATIHAN MENGAMATI
rRSudutganda dan sudutparuh S U D U T G A N D A D A N S U D U T P A R U H Page 14 Misal 2𝐴 = 𝛼 β‡’ 𝐴 = 1 2 𝛼, sehingga: cos2𝐴 = 1 βˆ’ 2 𝑠𝑖𝑛2 𝐴 π‘π‘œπ‘  𝛼 = 1 βˆ’ 2 𝑠𝑖𝑛2 1 2 𝛼 2 𝑠𝑖𝑛2 1 2 𝛼 = 1 βˆ’ cos 𝛼 𝑠𝑖𝑛2 1 2 𝛼 = 1βˆ’cos 𝛼 2 Hal ini berarti: Rumus 𝑠𝑖𝑛 1 2 𝛼 = ±√ 1βˆ’cos 𝛼 2 dengan tanda positif (+) untuk sudut 1 2 𝛼 berada di kuadran I atau kuadran II, dan tanda negatif(-) berada di kuadran III dan IV. B. Rumus cos 1 2 𝛼 begitu pula untuk cos 1 2 A, dengan menggunakan rumus cos2𝐴 = 2 π‘π‘œπ‘ 2 𝐴 βˆ’ 1 diperoleh Hal ini berarti: Rumus π‘π‘œπ‘  1 2 𝛼 = ±√ cos𝛼+1 2 dengantanda positif (+) untuksudut 1 2 𝛼berada di kuadranI ataukuadranIV, dantanda negatif (-) beradadi kuadranII dan III. C. Rumus tan 1 2 𝛼 Pada pembahasansebelumnya telahkita peroleh: 𝑠𝑖𝑛 1 2 𝛼 = Β± √ 1βˆ’cos𝛼 2 dan π‘π‘œπ‘  1 2 𝛼 = ±√ cos 𝛼+1 2 Berdasarkandefinisi tangen, 𝑠𝑖𝑛 1 2 𝛼 = ±√ 1 βˆ’ cos 𝛼 2 π‘π‘œπ‘  1 2 𝛼 = ±√ cos 𝛼 + 1 2
rRSudutganda dan sudutparuh S U D U T G A N D A D A N S U D U T P A R U H Page 15 akan diperoleh: Dengan sin 𝛼 β‰  0 Apabila pembilang dan penyebut dikalikan dengan √1 + π‘π‘œπ‘ π›Ό dan disederhanakan, akan diperoleh: Dengan cos 𝛼 β‰  βˆ’1 1. Dari rumus cos 2𝐴 = 2π‘π‘œπ‘ 2𝐴 βˆ’ 1 dan memisalkan 𝐴 = 1 2 , tunjukkan bahwa π‘π‘œπ‘  1 2 𝛼 = ±√ 1+cos 𝛼 2 tan 1 2 𝛼 = 1 βˆ’ cos 𝛼 sin 𝛼 tan 1 2 𝛼 = sin 𝛼 1 + cos 𝛼 MENCOBA Merancang dan Menggunakan Rumus Trigonometri 𝟏 𝟐 
rRSudutganda dan sudutparuh S U D U T G A N D A D A N S U D U T P A R U H Page 16 Jawab : π‘π‘œπ‘  2𝐴 = 2π‘π‘œπ‘ 2𝐴 βˆ’ 1  π‘π‘œπ‘  2( 1 2  ) = 2π‘π‘œπ‘ 2(… ) βˆ’ 1 2π‘π‘œπ‘ 2 ( 1 2 ) = 1 + …… … …  π‘π‘œπ‘ 2 ( 1 2 ) = … … …… … ..  π‘π‘œπ‘  ( 1 2 ) = … …… … … .. 2. Dari rumus π‘π‘œπ‘  2𝐴 = 2π‘π‘œπ‘ 2𝐴 βˆ’ 1 dan misalkan 𝐴 = 1 2 , tunjukkan bahwa 𝑠𝑖𝑛 1 2 𝛼 = ±√ 1βˆ’cos𝛼 2 Jawab :π‘π‘œπ‘  2𝐴 = 1βˆ’ 2𝑠𝑖𝑛2𝐴  π‘π‘œπ‘  2( 1 2  ) = 1βˆ’ 2𝑠𝑖𝑛2(…. ) 2. 𝑠𝑖𝑛2( 1 2 ) = 1 βˆ’ …… … …  𝑠𝑖𝑛2( 1 2 ) = …… … … …..  𝑠𝑖𝑛 ( 1 2 ) = … …… … ….. 3. Dengan menggunakan identitas π‘‘π‘Žπ‘› 𝐴 = sin 𝐴 cos 𝐴 , buktikan bahwa π‘‘π‘Žπ‘› 1 2  = ±√ 1βˆ’cos 𝛼 1+cos 𝛼 Jawab : π‘‘π‘Žπ‘› 1 2  = ....................... .......................  π‘‘π‘Žπ‘› 1 2  = ....................... .......................  π‘‘π‘Žπ‘› 1 2  = ....................... .......................
rRSudutganda dan sudutparuh S U D U T G A N D A D A N S U D U T P A R U H Page 17 1. Dengan menggunakan prinsip sudut paruh, hitunglah: a. π‘π‘œπ‘  πœ‹ 8 b. sin 15Β° c. tan 15Β° Penyelesaian: a. π‘π‘œπ‘  πœ‹ 8 = √ 1+π‘π‘œπ‘  πœ‹ 4 2 = √ 1+π‘π‘œπ‘  πœ‹ 4 2 = √ 1+ 1 2 √2 2 = √2+√2 4 Jadi π‘π‘œπ‘  πœ‹ 8 = √2+√2 4 b. sin 15Β° 𝑠𝑖𝑛 1 2 𝛼 = ±√ 1βˆ’cos 𝛼 2 1 2 𝛼 = 15Β° berati 𝛼 = 30Β° (kuadran I bertanda positif) sin 15Β° = √ 1βˆ’cos 30Β° 2 sin 15Β° = √ 1βˆ’ 1 2 √3 2 sin 15Β° = √2βˆ’βˆš3 4 Jadi sin 15Β° = 1 2 2 βˆ’ √3 c. tan 15Β° tan 1 2 𝛼 = 1βˆ’cos 𝛼 sin 𝛼 1 2 𝛼 = 15Β° berati 𝛼 = 30Β° (kuadran I bertanda positif) ( πœ‹ 8 merupakansudutparuhdari πœ‹ 4 , πœ‹ 8 terdapat di kuadranI, maka nilai cos πœ‹ 8 positif)
rRSudutganda dan sudutparuh S U D U T G A N D A D A N S U D U T P A R U H Page 18 tan 15Β° =……………… tan 15Β° =……………… Jadi tan 15Β° =……………… 2. Jika cos  = 5 4 , untuk2700 <  < 3600 , tentukannilai dari: a) 𝑠𝑖𝑛 2 1  = ⋯… …… … … …… … …… … …… … … …… … …… … …. . . . . . … … …. b) π‘π‘œπ‘  2 1  = … …… … …… … …… … … …… . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. … … … . c) π‘‘π‘Žπ‘› 2 1  = … …… … …… … … …… … …… … …… … … …… … …… … …… … … .. d) 𝑐𝑠𝑐 2 1  = β‹― …… … … …… … …… … …… … … …… … …… … …… … … …… … . . e) π‘π‘œπ‘‘ 2 1  = β‹― …. . … … …… … … …… … …… … …… … … …… … …… … …… … . . MENYELESAIKAN MASALAH YANG BERKAITAN DENGAN SUDUT GANDA DAN SUDUH PARUH
rRSudutganda dan sudutparuh S U D U T G A N D A D A N S U D U T P A R U H Page 19 Dari informasi sebelumnya, diketahui tinggi gunung adalah 2460 meter, Dan tan 𝐴 = √3 3 . Bagaimana caranya agar kita tahu ketinggian letusan awan panas gunung tersebut? PENYELESAIAN: Sebelumnya kita sudah mencari tahu, bagaimana rumus dari tan 2A, selanjutnya kita hitung nilai QR melalui tan A dengan rumus perbandingan trigonometri. 1. Jika sin(πœƒ+𝐴) sin(πœƒ+𝐡) = √ sin 2𝐴 sin 2𝐡 , buktikan bahwa π‘‘π‘Žπ‘›2 πœƒ = tan 𝐴. tan 𝐡 2. Buktikan bahwa tan [ πœ‹ 4 + 1 2 π‘Žπ‘Ÿπ‘ cos( π‘Ž 𝑏 )] + tan [ πœ‹ 4 βˆ’ 1 2 π‘Žπ‘Ÿπ‘cos( π‘Ž 𝑏 )] = 2𝑏 π‘Ž (Petunjuk: misalkan arc cos ( π‘Ž 𝑏 ) = πœƒ berarti π‘π‘œπ‘ πœƒ = π‘Ž 𝑏 ) tan 𝐴 = 𝑄𝑆 𝑄𝑅 ⇔ √3 3 = 2460 𝑄𝑅 ⇔ 𝑄𝑅 = β‹― Γ— 3 ⇔ 𝑄𝑅 = β‹― Jadi jarak pengamat ke gunung …. Meter tan 2𝐴 = 2tan 𝐴 1βˆ’π‘‘π‘Žπ‘›2 𝐴 = 2×… 1βˆ’(… )2 = β‹― Rumus perbandingan trigonometri tan2𝐴 = β‹― ⇔ 𝑃𝑄 𝑄𝑅 = … … ⇔ 𝑃𝑄 … = … …. PQ = β‹― 𝑃𝑆 = 𝑃𝑄 βˆ’ 𝑄𝑆 =…. βˆ’ …. = β‹― Maka ketinggian letusan awan panas gunung sinabung saat itu …. meter
rRSudutganda dan sudutparuh S U D U T G A N D A D A N S U D U T P A R U H Page 20 1. Dengan menggunakan rumus jumlah dan selisih dua sudut, tuliskan rumus untuk sin 4𝑏. 2. Jika 𝛼 sudut lancip dan cos 𝛼 = 4 5 , hitunglah b. tan 2𝛼 c. tan 1 2 𝛼 3. Sebuah meriam ditembakkan ke atas membentuk sudut πœƒ terhadap arah hosizontal. Diketahui kecepatan awal peluru meriam 𝑣 π‘œ π‘š/𝑠 dan jarak R yang ditempuh peluru meriam memenuhi persamaan 𝑅 = 1 16 𝑣 π‘œ 2 𝑠𝑖𝑛 πœƒ π‘π‘œπ‘ πœƒ. a. Tunjukkan bahwa 𝑅 = 1 32 𝑣 π‘œ 2 𝑠𝑖𝑛 2πœƒ. b. Carilah sudut πœƒ yang memberikan 𝑅 maksimum. Rumus sudut ganda 1. sin 2𝛼 = 2sin 𝛼 .cos 𝛼
rRSudutganda dan sudutparuh S U D U T G A N D A D A N S U D U T P A R U H Page 21 2. cos 2𝛼 = π‘π‘œπ‘ 2 𝛼 βˆ’ 𝑠𝑖𝑛2 𝛼 cos 2𝛼 =2 π‘π‘œπ‘ 2 𝛼 βˆ’ 1 cos 2𝛼 =1 βˆ’ 2 𝑠𝑖𝑛2 𝛼 3. tan 2𝛼 = 2 tan 𝛼 1βˆ’π‘‘π‘Žπ‘›2 𝛼 Rumus sudut paruh 1. sin 1 2 𝛼 = √ 1βˆ’π‘π‘œπ‘  𝛼 2 2. cos 1 2 𝛼 = √ cos 𝛼+1 2 3. tan 1 2 𝛼 = sin 𝛼 1+cos 𝛼 , cos 𝛼 β‰  βˆ’1 tan 1 2 𝛼 = 1βˆ’cos 𝛼 sin 𝛼 , sin 𝛼 β‰  0 Sukino. (2013). Matematika kelompok peminatan matematika dan ilmu alam, Jakarta: Erlangga.
rRSudutganda dan sudutparuh S U D U T G A N D A D A N S U D U T P A R U H Page 22 Kementrian Pendidikan Dan Kebudayaan. (2016). Buku Guru Mata Pelajaran Matematika (peminatan) kelas XI. Jakarta: Kementrian Pendidikan Dan Kebuadayaan. Permana, A Dadi. (2005). Mudah dan Aktif Belajar Matematika untuk kelas XI SMA/MA Program Ilmu Alam. Jakarta: PT. Setia Purna Inves. Suprijanto dkk. (2009). Matematika SMA/MA kelas XI. Jakarta: Yudhistira. 1. sin 4 𝑏 = sin(2𝑏 + 2𝑏) = sin 2𝑏 . cos2𝑏 + cos2𝑏.sin 2𝑏
rRSudutganda dan sudutparuh S U D U T G A N D A D A N S U D U T P A R U H Page 23 = 2 sin 2𝑏 .cos2𝑏 = 2 (2 sin 𝑏 .cos 𝑏) (π‘π‘œπ‘ 2 𝑏 βˆ’ 𝑠𝑖𝑛2 𝑏) = 2 (2 sin 𝑏 .cos3 𝑏 βˆ’ 2 𝑠𝑖𝑛3 𝑏 cos 𝑏) = 4 sin 𝑏 . cos3 𝑏 βˆ’ 4 𝑠𝑖𝑛3 𝑏 cos 𝑏 = 4 sin 𝑏 .(1 βˆ’ 𝑠𝑖𝑛2 𝑏)cos 𝑏 βˆ’ 4 𝑠𝑖𝑛3 𝑏 cos 𝑏 = 4sin 𝑏. cos 𝑏 βˆ’ 4 𝑠𝑖𝑛3 𝑏 cos 𝑏 βˆ’ 4 𝑠𝑖𝑛3 𝑏 cos 𝑏 jadi sin 4 𝑏 = 4 sin 𝑏. cos 𝑏 βˆ’ 8 𝑠𝑖𝑛3 𝑏 cos 𝑏 2. a. penyelesaian: dari segitiga siku-siku disamping di dapat BC=3 tan 𝐡𝐢 = 3 4 tan 2𝛼 = 2 tan 𝛼 1βˆ’π‘‘π‘Žπ‘›2 = 2 . 3 4 1βˆ’( 3 4 ) 2 = 3 2 1βˆ’ 9 16 = 3 2 16 16 βˆ’ 9 16 = 3 2 6 16 = 24 7 b. tan 1 2 𝛼 = sin 𝛼 1+cos 𝛼 = 3 5 1+ 4 5 = 3 5 5 5 + 4 5 = 3 5 9 5 = 3 9 = 1 3 3. Diketahui: ο‚· Kecepatan awal peluru meriam = 𝑣 π‘œ π‘š/𝑠 ο‚· Jarak yang ditempuh peluru meriam=𝑅 5 4 C B A 𝛼
rRSudutganda dan sudutparuh S U D U T G A N D A D A N S U D U T P A R U H Page 24 Ditanyakan : ο‚· Tunjukan 𝑅 = 1 16 𝑣 π‘œ 2 𝑠𝑖𝑛 πœƒ π‘π‘œπ‘ πœƒ. ο‚· Cari sudut πœƒ yang memberikan 𝑅 maksimum Jawab: Pada soal kali ini rumus yang digunakan adalah sudut ganda. a. 𝑅 = 1 32 𝑣 π‘œ 2 𝑠𝑖𝑛 2πœƒ πœƒ = 2 sin πœƒ π‘π‘œπ‘ πœƒ sehingga 𝑅 = 1 16 𝑣 π‘œ 2 𝑠𝑖𝑛 πœƒ π‘π‘œπ‘ πœƒ = 1 16 𝑣 π‘œ 2 2𝑠𝑖𝑛 πœƒ π‘π‘œπ‘ πœƒ 2 = 1 32 𝑣 π‘œ 2 sin 2πœƒ b. Untuk kecepatan awal 𝑣 π‘œ sudut πœƒ terhadap arah horizontal mempengaruhi nilai 𝑅. Oleh karena fungsi sinus memiliki nilai maksimum 1, 𝑅 akan maksimum ketika 2𝑅 = 90Β° ↔ πœƒ = 45Β° Cosinus : suatu fungsi trigonometri dari sebuah sudut. Cosinus suatu sudutdalam segitiga siku-siku adalah perbandingan antara sisi berseberangan dengan sudut itu terhadap sisi miring.
rRSudutganda dan sudutparuh S U D U T G A N D A D A N S U D U T P A R U H Page 25 Identitas : kalimat ruas kiri sama dengan ruas kanan. Sinus : sinus suatu sudut lancip adalah perbandingan antara dua sisi sebuah segitiga siku-siku, yaitu perbandingan antara sisi yang berhadapan dengan sudut tersebut dan sisi miring. Sudut : himpunan titik yang memuat suatu titik P dan dua sinar yang berasaldari P (kadang-kadangdikehendaki bahwa kedua sinar tersebut tidak terletak sepanjang garis lurus yang sama) . Sudut Ganda : penjumlahan dua sudut yang sama besar. Sudut Paruh : setengah dari sudut awal.

Recommended

Kesebangunan
KesebangunanKesebangunan
Kesebangunan
Aushafi Nata
Β 
Bse kelas 5
Bse kelas 5Bse kelas 5
Bse kelas 5Rusmaini Mini
Β 
Kelas05 gemar mtk-sumanto
Kelas05 gemar mtk-sumantoKelas05 gemar mtk-sumanto
Kelas05 gemar mtk-sumanto
Widiarso Cahyoadi
Β 
Kelas V Sd Matematika Yd Sumanto
Kelas V Sd Matematika Yd SumantoKelas V Sd Matematika Yd Sumanto
Kelas V Sd Matematika Yd Sumantosekolah maya
Β 
Sd2mat gemar matematika sumanto
Sd2mat gemar matematika sumantoSd2mat gemar matematika sumanto
Sd2mat gemar matematika sumantoheri junior
Β 
Kls 5 matematika
Kls 5 matematikaKls 5 matematika
Kls 5 matematikaPekerja Sosial Masyarakat
Β 
SD-MI kelas02 senang matematika amin erna buchori isti
SD-MI kelas02 senang matematika amin erna buchori istiSD-MI kelas02 senang matematika amin erna buchori isti
SD-MI kelas02 senang matematika amin erna buchori istisekolah maya
Β 
SD-MI kelas02 matematika purnomosidi
SD-MI kelas02 matematika purnomosidiSD-MI kelas02 matematika purnomosidi
SD-MI kelas02 matematika purnomosidisekolah maya
Β 

Recommended

Kesebangunan
KesebangunanKesebangunan
Kesebangunan
Aushafi Nata
Β 
Bse kelas 5
Bse kelas 5Bse kelas 5
Bse kelas 5Rusmaini Mini
Β 
Kelas05 gemar mtk-sumanto
Kelas05 gemar mtk-sumantoKelas05 gemar mtk-sumanto
Kelas05 gemar mtk-sumanto
Widiarso Cahyoadi
Β 
Kelas V Sd Matematika Yd Sumanto
Kelas V Sd Matematika Yd SumantoKelas V Sd Matematika Yd Sumanto
Kelas V Sd Matematika Yd Sumantosekolah maya
Β 
Sd2mat gemar matematika sumanto
Sd2mat gemar matematika sumantoSd2mat gemar matematika sumanto
Sd2mat gemar matematika sumantoheri junior
Β 
Kls 5 matematika
Kls 5 matematikaKls 5 matematika
Kls 5 matematikaPekerja Sosial Masyarakat
Β 
SD-MI kelas02 senang matematika amin erna buchori isti
SD-MI kelas02 senang matematika amin erna buchori istiSD-MI kelas02 senang matematika amin erna buchori isti
SD-MI kelas02 senang matematika amin erna buchori istisekolah maya
Β 
SD-MI kelas02 matematika purnomosidi
SD-MI kelas02 matematika purnomosidiSD-MI kelas02 matematika purnomosidi
SD-MI kelas02 matematika purnomosidisekolah maya
Β 
SMP-MTs kelas09 belajar matematika aktif dan menyenangkan wahyudin dwi
SMP-MTs kelas09 belajar matematika aktif dan menyenangkan wahyudin dwiSMP-MTs kelas09 belajar matematika aktif dan menyenangkan wahyudin dwi
SMP-MTs kelas09 belajar matematika aktif dan menyenangkan wahyudin dwisekolah maya
Β 
Sd6mat gemar matematika sumanto
Sd6mat gemar matematika sumantoSd6mat gemar matematika sumanto
Sd6mat gemar matematika sumanto
Andrias Eka
Β 
Kelas ii sd matematika_purnomo sidi
Kelas ii sd matematika_purnomo sidiKelas ii sd matematika_purnomo sidi
Kelas ii sd matematika_purnomo sidisitiulwiyah
Β 
SD-MI kelas05 gemar matematika sumanto heny nur
SD-MI kelas05 gemar matematika sumanto heny nurSD-MI kelas05 gemar matematika sumanto heny nur
SD-MI kelas05 gemar matematika sumanto heny nursekolah maya
Β 
Kelas Vi Sd Matematika Yd Sumanto
Kelas Vi Sd Matematika Yd SumantoKelas Vi Sd Matematika Yd Sumanto
Kelas Vi Sd Matematika Yd Sumantosekolah maya
Β 
Sd2mat matematika utkkls2
Sd2mat matematika utkkls2Sd2mat matematika utkkls2
Sd2mat matematika utkkls2Andrias Eka
Β 
Matematika SD 2
Matematika SD 2Matematika SD 2
Matematika SD 2sekolah maya
Β 
Mtk
MtkMtk
MtkArief Muhamad
Β 
Gemar matematika 5 untuk kelas 5
Gemar matematika 5 untuk kelas 5Gemar matematika 5 untuk kelas 5
Gemar matematika 5 untuk kelas 5
primagraphology consulting
Β 
Math 2sd homesch
Math 2sd homeschMath 2sd homesch
Math 2sd homesch
Nusantara FullOnline
Β 
20090904124358
2009090412435820090904124358
20090904124358fadhiltaa
Β 
Smpmatpkt30304
Smpmatpkt30304Smpmatpkt30304
Smpmatpkt30304puputalvia
Β 
Buku siap osn matematika smp 2015
Buku siap osn matematika smp 2015Buku siap osn matematika smp 2015
Buku siap osn matematika smp 2015
Wahyudi Oetomo
Β 
Daftar nilai 3
Daftar nilai 3Daftar nilai 3
Daftar nilai 3Senbilan Penjuru Ilmu
Β 
Matematika klas 3 sd
Matematika klas 3 sdMatematika klas 3 sd
Matematika klas 3 sdFarid Ismail
Β 
Kelas09 matematika ichwan
Kelas09 matematika ichwanKelas09 matematika ichwan
Kelas09 matematika ichwanNurdin Al-Azies
Β 
Kelas v sd m
Kelas v sd mKelas v sd m
Kelas v sd mZulfan Dwi Angga Kamaruddin
Β 
Gemar Matematika 5 Untuk SD/MI Kelas V
Gemar Matematika 5 Untuk SD/MI Kelas VGemar Matematika 5 Untuk SD/MI Kelas V
Gemar Matematika 5 Untuk SD/MI Kelas V
Setiadji Sadewo
Β 
Unit kegiatan belajar mandiri UKBM trigonometri
Unit kegiatan belajar mandiri UKBM trigonometriUnit kegiatan belajar mandiri UKBM trigonometri
Unit kegiatan belajar mandiri UKBM trigonometri
Amphie Yuurisman
Β 
03 05 rpp p10 (grafik fungsi trigonometri)
03 05 rpp p10 (grafik fungsi trigonometri)03 05 rpp p10 (grafik fungsi trigonometri)
03 05 rpp p10 (grafik fungsi trigonometri)
Muhammad Alfiansyah Alfi
Β 
RPP Matematika Kelas 7 Kurtilas Semester 1 2014 2015
RPP Matematika Kelas 7 Kurtilas Semester 1 2014 2015RPP Matematika Kelas 7 Kurtilas Semester 1 2014 2015
RPP Matematika Kelas 7 Kurtilas Semester 1 2014 2015
kreasi_cerdik
Β 
Kelompok 12 jam sudut
Kelompok 12 jam sudutKelompok 12 jam sudut
Kelompok 12 jam sudut
Islamic State University of Raden Fatah Palembang
Β 

More Related Content

What's hot

SMP-MTs kelas09 belajar matematika aktif dan menyenangkan wahyudin dwi
SMP-MTs kelas09 belajar matematika aktif dan menyenangkan wahyudin dwiSMP-MTs kelas09 belajar matematika aktif dan menyenangkan wahyudin dwi
SMP-MTs kelas09 belajar matematika aktif dan menyenangkan wahyudin dwisekolah maya
Β 
Sd6mat gemar matematika sumanto
Sd6mat gemar matematika sumantoSd6mat gemar matematika sumanto
Sd6mat gemar matematika sumanto
Andrias Eka
Β 
Kelas ii sd matematika_purnomo sidi
Kelas ii sd matematika_purnomo sidiKelas ii sd matematika_purnomo sidi
Kelas ii sd matematika_purnomo sidisitiulwiyah
Β 
SD-MI kelas05 gemar matematika sumanto heny nur
SD-MI kelas05 gemar matematika sumanto heny nurSD-MI kelas05 gemar matematika sumanto heny nur
SD-MI kelas05 gemar matematika sumanto heny nursekolah maya
Β 
Kelas Vi Sd Matematika Yd Sumanto
Kelas Vi Sd Matematika Yd SumantoKelas Vi Sd Matematika Yd Sumanto
Kelas Vi Sd Matematika Yd Sumantosekolah maya
Β 
Sd2mat matematika utkkls2
Sd2mat matematika utkkls2Sd2mat matematika utkkls2
Sd2mat matematika utkkls2Andrias Eka
Β 
Matematika SD 2
Matematika SD 2Matematika SD 2
Matematika SD 2sekolah maya
Β 
Gemar matematika 5 untuk kelas 5
Gemar matematika 5 untuk kelas 5Gemar matematika 5 untuk kelas 5
Gemar matematika 5 untuk kelas 5
primagraphology consulting
Β 
Math 2sd homesch
Math 2sd homeschMath 2sd homesch
Math 2sd homesch
Nusantara FullOnline
Β 
20090904124358
2009090412435820090904124358
20090904124358fadhiltaa
Β 
Smpmatpkt30304
Smpmatpkt30304Smpmatpkt30304
Smpmatpkt30304puputalvia
Β 
Buku siap osn matematika smp 2015
Buku siap osn matematika smp 2015Buku siap osn matematika smp 2015
Buku siap osn matematika smp 2015
Wahyudi Oetomo
Β 
Matematika klas 3 sd
Matematika klas 3 sdMatematika klas 3 sd
Matematika klas 3 sdFarid Ismail
Β 
Kelas09 matematika ichwan
Kelas09 matematika ichwanKelas09 matematika ichwan
Kelas09 matematika ichwanNurdin Al-Azies
Β 
Gemar Matematika 5 Untuk SD/MI Kelas V
Gemar Matematika 5 Untuk SD/MI Kelas VGemar Matematika 5 Untuk SD/MI Kelas V
Gemar Matematika 5 Untuk SD/MI Kelas V
Setiadji Sadewo
Β 

What's hot (18)

SMP-MTs kelas09 belajar matematika aktif dan menyenangkan wahyudin dwi
SMP-MTs kelas09 belajar matematika aktif dan menyenangkan wahyudin dwiSMP-MTs kelas09 belajar matematika aktif dan menyenangkan wahyudin dwi
SMP-MTs kelas09 belajar matematika aktif dan menyenangkan wahyudin dwi
Β 
Sd6mat gemar matematika sumanto
Sd6mat gemar matematika sumantoSd6mat gemar matematika sumanto
Sd6mat gemar matematika sumanto
Β 
Kelas ii sd matematika_purnomo sidi
Kelas ii sd matematika_purnomo sidiKelas ii sd matematika_purnomo sidi
Kelas ii sd matematika_purnomo sidi
Β 
SD-MI kelas05 gemar matematika sumanto heny nur
SD-MI kelas05 gemar matematika sumanto heny nurSD-MI kelas05 gemar matematika sumanto heny nur
SD-MI kelas05 gemar matematika sumanto heny nur
Β 
Kelas Vi Sd Matematika Yd Sumanto
Kelas Vi Sd Matematika Yd SumantoKelas Vi Sd Matematika Yd Sumanto
Kelas Vi Sd Matematika Yd Sumanto
Β 
Sd2mat matematika utkkls2
Sd2mat matematika utkkls2Sd2mat matematika utkkls2
Sd2mat matematika utkkls2
Β 
Matematika SD 2
Matematika SD 2Matematika SD 2
Matematika SD 2
Β 
Mtk
MtkMtk
Mtk
Β 
Gemar matematika 5 untuk kelas 5
Gemar matematika 5 untuk kelas 5Gemar matematika 5 untuk kelas 5
Gemar matematika 5 untuk kelas 5
Β 
Math 2sd homesch
Math 2sd homeschMath 2sd homesch
Math 2sd homesch
Β 
20090904124358
2009090412435820090904124358
20090904124358
Β 
Smpmatpkt30304
Smpmatpkt30304Smpmatpkt30304
Smpmatpkt30304
Β 
Buku siap osn matematika smp 2015
Buku siap osn matematika smp 2015Buku siap osn matematika smp 2015
Buku siap osn matematika smp 2015
Β 
Daftar nilai 3
Daftar nilai 3Daftar nilai 3
Daftar nilai 3
Β 
Matematika klas 3 sd
Matematika klas 3 sdMatematika klas 3 sd
Matematika klas 3 sd
Β 
Kelas09 matematika ichwan
Kelas09 matematika ichwanKelas09 matematika ichwan
Kelas09 matematika ichwan
Β 
Kelas v sd m
Kelas v sd mKelas v sd m
Kelas v sd m
Β 
Gemar Matematika 5 Untuk SD/MI Kelas V
Gemar Matematika 5 Untuk SD/MI Kelas VGemar Matematika 5 Untuk SD/MI Kelas V
Gemar Matematika 5 Untuk SD/MI Kelas V
Β 

Similar to Bahan ajar indes n khufaiah 3.2

Unit kegiatan belajar mandiri UKBM trigonometri
Unit kegiatan belajar mandiri UKBM trigonometriUnit kegiatan belajar mandiri UKBM trigonometri
Unit kegiatan belajar mandiri UKBM trigonometri
Amphie Yuurisman
Β 
03 05 rpp p10 (grafik fungsi trigonometri)
03 05 rpp p10 (grafik fungsi trigonometri)03 05 rpp p10 (grafik fungsi trigonometri)
03 05 rpp p10 (grafik fungsi trigonometri)
Muhammad Alfiansyah Alfi
Β 
RPP Matematika Kelas 7 Kurtilas Semester 1 2014 2015
RPP Matematika Kelas 7 Kurtilas Semester 1 2014 2015RPP Matematika Kelas 7 Kurtilas Semester 1 2014 2015
RPP Matematika Kelas 7 Kurtilas Semester 1 2014 2015
kreasi_cerdik
Β 
Kelompok 12 jam sudut
Kelompok 12 jam sudutKelompok 12 jam sudut
Kelompok 12 jam sudut
Islamic State University of Raden Fatah Palembang
Β 
E-modul trigonometri Sobikhah (6).pdf
E-modul trigonometri Sobikhah (6).pdfE-modul trigonometri Sobikhah (6).pdf
E-modul trigonometri Sobikhah (6).pdf
IkhaSobikhah
Β 
Rpp garis lengkap
Rpp garis lengkapRpp garis lengkap
Rpp garis lengkappujiaripjy
Β 
Modul pengayaan ipa 2018
Modul pengayaan ipa 2018Modul pengayaan ipa 2018
Modul pengayaan ipa 2018
yanto abdulah
Β 
Buku Ajar Peluang untuk SMA Kelas XI Bahasa
Buku Ajar Peluang untuk SMA Kelas XI BahasaBuku Ajar Peluang untuk SMA Kelas XI Bahasa
Buku Ajar Peluang untuk SMA Kelas XI BahasaKristalina Dewi
Β 
Panduan matematika
Panduan matematikaPanduan matematika
Panduan matematika
kolodit
Β 
Sd6ips ayo belajarsambilbermainips
Sd6ips ayo belajarsambilbermainipsSd6ips ayo belajarsambilbermainips
Sd6ips ayo belajarsambilbermainipsheri junior
Β 
Bahan ajar Bidang Kartesius
Bahan ajar Bidang KartesiusBahan ajar Bidang Kartesius
Bahan ajar Bidang Kartesius
rifal jusnawan
Β 
Stasioner
StasionerStasioner
Stasioner
Ira Aprilia
Β 
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11CeciliaPurwita
Β 
Tugas 1.2 praktik bahan ajar dra hastuty musa, m. si - mansyur, s. pd.pdf
Tugas 1.2 praktik bahan ajar dra hastuty musa, m. si - mansyur, s. pd.pdfTugas 1.2 praktik bahan ajar dra hastuty musa, m. si - mansyur, s. pd.pdf
Tugas 1.2 praktik bahan ajar dra hastuty musa, m. si - mansyur, s. pd.pdf
Roshan Mansyur
Β 
Rpp matematika sma xii peminatan bab 6 (trigonometri analitika)
Rpp matematika sma xii peminatan bab 6 (trigonometri analitika)Rpp matematika sma xii peminatan bab 6 (trigonometri analitika)
Rpp matematika sma xii peminatan bab 6 (trigonometri analitika)
eli priyatna laidan
Β 
E-book matematika kls XI IPA
E-book matematika kls XI IPAE-book matematika kls XI IPA
E-book matematika kls XI IPAarvinefriani
Β 
Media pembelajaran
Media pembelajaranMedia pembelajaran
Media pembelajaranrievan1
Β 

Similar to Bahan ajar indes n khufaiah 3.2 (20)

Unit kegiatan belajar mandiri UKBM trigonometri
Unit kegiatan belajar mandiri UKBM trigonometriUnit kegiatan belajar mandiri UKBM trigonometri
Unit kegiatan belajar mandiri UKBM trigonometri
Β 
03 05 rpp p10 (grafik fungsi trigonometri)
03 05 rpp p10 (grafik fungsi trigonometri)03 05 rpp p10 (grafik fungsi trigonometri)
03 05 rpp p10 (grafik fungsi trigonometri)
Β 
RPP Matematika Kelas 7 Kurtilas Semester 1 2014 2015
RPP Matematika Kelas 7 Kurtilas Semester 1 2014 2015RPP Matematika Kelas 7 Kurtilas Semester 1 2014 2015
RPP Matematika Kelas 7 Kurtilas Semester 1 2014 2015
Β 
Kelompok 12 jam sudut
Kelompok 12 jam sudutKelompok 12 jam sudut
Kelompok 12 jam sudut
Β 
E-modul trigonometri Sobikhah (6).pdf
E-modul trigonometri Sobikhah (6).pdfE-modul trigonometri Sobikhah (6).pdf
E-modul trigonometri Sobikhah (6).pdf
Β 
Ri kal.in
Ri kal.inRi kal.in
Ri kal.in
Β 
Rpp garis lengkap
Rpp garis lengkapRpp garis lengkap
Rpp garis lengkap
Β 
Modul pengayaan ipa 2018
Modul pengayaan ipa 2018Modul pengayaan ipa 2018
Modul pengayaan ipa 2018
Β 
Buku Ajar Peluang untuk SMA Kelas XI Bahasa
Buku Ajar Peluang untuk SMA Kelas XI BahasaBuku Ajar Peluang untuk SMA Kelas XI Bahasa
Buku Ajar Peluang untuk SMA Kelas XI Bahasa
Β 
Panduan matematika
Panduan matematikaPanduan matematika
Panduan matematika
Β 
Sd6ips ayo belajarsambilbermainips
Sd6ips ayo belajarsambilbermainipsSd6ips ayo belajarsambilbermainips
Sd6ips ayo belajarsambilbermainips
Β 
Bahan ajar Bidang Kartesius
Bahan ajar Bidang KartesiusBahan ajar Bidang Kartesius
Bahan ajar Bidang Kartesius
Β 
Rpp
RppRpp
Rpp
Β 
Stasioner
StasionerStasioner
Stasioner
Β 
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Β 
Tugas 1.2 praktik bahan ajar dra hastuty musa, m. si - mansyur, s. pd.pdf
Tugas 1.2 praktik bahan ajar dra hastuty musa, m. si - mansyur, s. pd.pdfTugas 1.2 praktik bahan ajar dra hastuty musa, m. si - mansyur, s. pd.pdf
Tugas 1.2 praktik bahan ajar dra hastuty musa, m. si - mansyur, s. pd.pdf
Β 
Rpp matematika sma xii peminatan bab 6 (trigonometri analitika)
Rpp matematika sma xii peminatan bab 6 (trigonometri analitika)Rpp matematika sma xii peminatan bab 6 (trigonometri analitika)
Rpp matematika sma xii peminatan bab 6 (trigonometri analitika)
Β 
E-book matematika kls XI IPA
E-book matematika kls XI IPAE-book matematika kls XI IPA
E-book matematika kls XI IPA
Β 
Trigonometri
TrigonometriTrigonometri
Trigonometri
Β 
Media pembelajaran
Media pembelajaranMedia pembelajaran
Media pembelajaran
Β 

Recently uploaded

penjelasan tentang tugas dan wewenang pkd
penjelasan tentang tugas dan wewenang pkdpenjelasan tentang tugas dan wewenang pkd
penjelasan tentang tugas dan wewenang pkd
jaya35ml2
Β 
ppt landasan pendidikan Alat alat pendidikan PAI 9_
ppt landasan pendidikan Alat alat pendidikan PAI 9_ppt landasan pendidikan Alat alat pendidikan PAI 9_
ppt landasan pendidikan Alat alat pendidikan PAI 9_
setiatinambunan
Β 
Juknis Pengisian Blanko Ijazah 2024 29 04 2024 Top.pptx
Juknis Pengisian Blanko Ijazah 2024 29 04 2024 Top.pptxJuknis Pengisian Blanko Ijazah 2024 29 04 2024 Top.pptx
Juknis Pengisian Blanko Ijazah 2024 29 04 2024 Top.pptx
mattaja008
Β 
Pi-2 AGUS MULYADI. S.Pd (3).pptx visi giru penggerak dan prakrsa perubahan bagja
Pi-2 AGUS MULYADI. S.Pd (3).pptx visi giru penggerak dan prakrsa perubahan bagjaPi-2 AGUS MULYADI. S.Pd (3).pptx visi giru penggerak dan prakrsa perubahan bagja
Pi-2 AGUS MULYADI. S.Pd (3).pptx visi giru penggerak dan prakrsa perubahan bagja
agusmulyadi08
Β 
PELAKSANAAN + Link2 Materi Pelatihan_ PENGAWASAN P3DN & TKDN_ pd PENGADAAN Ba...
PELAKSANAAN + Link2 Materi Pelatihan_ PENGAWASAN P3DN & TKDN_ pd PENGADAAN Ba...PELAKSANAAN + Link2 Materi Pelatihan_ PENGAWASAN P3DN & TKDN_ pd PENGADAAN Ba...
PELAKSANAAN + Link2 Materi Pelatihan_ PENGAWASAN P3DN & TKDN_ pd PENGADAAN Ba...
Kanaidi ken
Β 
Permainan Wiwi Wowo aksi nyata berkebhinekaan
Permainan Wiwi Wowo aksi nyata berkebhinekaanPermainan Wiwi Wowo aksi nyata berkebhinekaan
Permainan Wiwi Wowo aksi nyata berkebhinekaan
DEVI390643
Β 
Modul Ajar Bahasa Inggris Kelas 5 Fase C Kurikulum Merdeka
Modul Ajar Bahasa Inggris Kelas 5 Fase C Kurikulum MerdekaModul Ajar Bahasa Inggris Kelas 5 Fase C Kurikulum Merdeka
Modul Ajar Bahasa Inggris Kelas 5 Fase C Kurikulum Merdeka
Fathan Emran
Β 
Diseminasi Budaya Positif Lucy Kristina S.pptx
Diseminasi Budaya Positif Lucy Kristina S.pptxDiseminasi Budaya Positif Lucy Kristina S.pptx
Diseminasi Budaya Positif Lucy Kristina S.pptx
LucyKristinaS
Β 
untuk observasi kepala sekolah dengan pengawas
untuk observasi kepala sekolah dengan pengawasuntuk observasi kepala sekolah dengan pengawas
untuk observasi kepala sekolah dengan pengawas
TEDYHARTO1
Β 
Modul Ajar IPS Kelas 7 Fase D Kurikulum Merdeka
Modul Ajar IPS Kelas 7 Fase D Kurikulum MerdekaModul Ajar IPS Kelas 7 Fase D Kurikulum Merdeka
Modul Ajar IPS Kelas 7 Fase D Kurikulum Merdeka
Fathan Emran
Β 
Laporan Kegiatan Pramuka Tugas Tambahan PMM.pdf
Laporan Kegiatan Pramuka Tugas Tambahan PMM.pdfLaporan Kegiatan Pramuka Tugas Tambahan PMM.pdf
Laporan Kegiatan Pramuka Tugas Tambahan PMM.pdf
UmyHasna1
Β 
ppt landasan pendidikan pai 9 revisi.pdf
ppt landasan pendidikan pai 9 revisi.pdfppt landasan pendidikan pai 9 revisi.pdf
ppt landasan pendidikan pai 9 revisi.pdf
setiatinambunan
Β 
LK 1 - 5T Keputusan Berdampak PERMATA BUNDA.pdf
LK 1 - 5T Keputusan Berdampak PERMATA BUNDA.pdfLK 1 - 5T Keputusan Berdampak PERMATA BUNDA.pdf
LK 1 - 5T Keputusan Berdampak PERMATA BUNDA.pdf
UditGheozi2
Β 
PPT Observasi Praktik Kinerja PMM SD pdf
PPT Observasi Praktik Kinerja PMM SD pdfPPT Observasi Praktik Kinerja PMM SD pdf
PPT Observasi Praktik Kinerja PMM SD pdf
safitriana935
Β 
2. Kerangka Kompetensi Literasi Guru SD_Rev.pptx
2. Kerangka Kompetensi Literasi Guru SD_Rev.pptx2. Kerangka Kompetensi Literasi Guru SD_Rev.pptx
2. Kerangka Kompetensi Literasi Guru SD_Rev.pptx
arianferdana
Β 
SOAL SHB PKN SEMESTER GENAP TAHUN 2023-2024.docx
SOAL SHB PKN SEMESTER GENAP TAHUN 2023-2024.docxSOAL SHB PKN SEMESTER GENAP TAHUN 2023-2024.docx
SOAL SHB PKN SEMESTER GENAP TAHUN 2023-2024.docx
MuhammadBagusAprilia1
Β 
Koneksi Antar Materi modul 1.4 Budaya Positif
Koneksi Antar Materi modul 1.4 Budaya PositifKoneksi Antar Materi modul 1.4 Budaya Positif
Koneksi Antar Materi modul 1.4 Budaya Positif
Rima98947
Β 
Tugas Mandiri 1.4.a.4.3 Keyakinan Kelas.pdf
Tugas Mandiri 1.4.a.4.3 Keyakinan Kelas.pdfTugas Mandiri 1.4.a.4.3 Keyakinan Kelas.pdf
Tugas Mandiri 1.4.a.4.3 Keyakinan Kelas.pdf
muhammadRifai732845
Β 
UNTUK DOSEN Materi Sosialisasi Pengelolaan Kinerja Akademik Dosen
UNTUK DOSEN Materi Sosialisasi Pengelolaan Kinerja Akademik DosenUNTUK DOSEN Materi Sosialisasi Pengelolaan Kinerja Akademik Dosen
UNTUK DOSEN Materi Sosialisasi Pengelolaan Kinerja Akademik Dosen
AdrianAgoes9
Β 
Paparan Kurikulum Satuan Pendidikan_LOKAKARYA TPK 2024.pptx.pdf
Paparan Kurikulum Satuan Pendidikan_LOKAKARYA TPK 2024.pptx.pdfPaparan Kurikulum Satuan Pendidikan_LOKAKARYA TPK 2024.pptx.pdf
Paparan Kurikulum Satuan Pendidikan_LOKAKARYA TPK 2024.pptx.pdf
SEMUELSAMBOKARAENG
Β 

Recently uploaded (20)

penjelasan tentang tugas dan wewenang pkd
penjelasan tentang tugas dan wewenang pkdpenjelasan tentang tugas dan wewenang pkd
penjelasan tentang tugas dan wewenang pkd
Β 
ppt landasan pendidikan Alat alat pendidikan PAI 9_
ppt landasan pendidikan Alat alat pendidikan PAI 9_ppt landasan pendidikan Alat alat pendidikan PAI 9_
ppt landasan pendidikan Alat alat pendidikan PAI 9_
Β 
Juknis Pengisian Blanko Ijazah 2024 29 04 2024 Top.pptx
Juknis Pengisian Blanko Ijazah 2024 29 04 2024 Top.pptxJuknis Pengisian Blanko Ijazah 2024 29 04 2024 Top.pptx
Juknis Pengisian Blanko Ijazah 2024 29 04 2024 Top.pptx
Β 
Pi-2 AGUS MULYADI. S.Pd (3).pptx visi giru penggerak dan prakrsa perubahan bagja
Pi-2 AGUS MULYADI. S.Pd (3).pptx visi giru penggerak dan prakrsa perubahan bagjaPi-2 AGUS MULYADI. S.Pd (3).pptx visi giru penggerak dan prakrsa perubahan bagja
Pi-2 AGUS MULYADI. S.Pd (3).pptx visi giru penggerak dan prakrsa perubahan bagja
Β 
PELAKSANAAN + Link2 Materi Pelatihan_ PENGAWASAN P3DN & TKDN_ pd PENGADAAN Ba...
PELAKSANAAN + Link2 Materi Pelatihan_ PENGAWASAN P3DN & TKDN_ pd PENGADAAN Ba...PELAKSANAAN + Link2 Materi Pelatihan_ PENGAWASAN P3DN & TKDN_ pd PENGADAAN Ba...
PELAKSANAAN + Link2 Materi Pelatihan_ PENGAWASAN P3DN & TKDN_ pd PENGADAAN Ba...
Β 
Permainan Wiwi Wowo aksi nyata berkebhinekaan
Permainan Wiwi Wowo aksi nyata berkebhinekaanPermainan Wiwi Wowo aksi nyata berkebhinekaan
Permainan Wiwi Wowo aksi nyata berkebhinekaan
Β 
Modul Ajar Bahasa Inggris Kelas 5 Fase C Kurikulum Merdeka
Modul Ajar Bahasa Inggris Kelas 5 Fase C Kurikulum MerdekaModul Ajar Bahasa Inggris Kelas 5 Fase C Kurikulum Merdeka
Modul Ajar Bahasa Inggris Kelas 5 Fase C Kurikulum Merdeka
Β 
Diseminasi Budaya Positif Lucy Kristina S.pptx
Diseminasi Budaya Positif Lucy Kristina S.pptxDiseminasi Budaya Positif Lucy Kristina S.pptx
Diseminasi Budaya Positif Lucy Kristina S.pptx
Β 
untuk observasi kepala sekolah dengan pengawas
untuk observasi kepala sekolah dengan pengawasuntuk observasi kepala sekolah dengan pengawas
untuk observasi kepala sekolah dengan pengawas
Β 
Modul Ajar IPS Kelas 7 Fase D Kurikulum Merdeka
Modul Ajar IPS Kelas 7 Fase D Kurikulum MerdekaModul Ajar IPS Kelas 7 Fase D Kurikulum Merdeka
Modul Ajar IPS Kelas 7 Fase D Kurikulum Merdeka
Β 
Laporan Kegiatan Pramuka Tugas Tambahan PMM.pdf
Laporan Kegiatan Pramuka Tugas Tambahan PMM.pdfLaporan Kegiatan Pramuka Tugas Tambahan PMM.pdf
Laporan Kegiatan Pramuka Tugas Tambahan PMM.pdf
Β 
ppt landasan pendidikan pai 9 revisi.pdf
ppt landasan pendidikan pai 9 revisi.pdfppt landasan pendidikan pai 9 revisi.pdf
ppt landasan pendidikan pai 9 revisi.pdf
Β 
LK 1 - 5T Keputusan Berdampak PERMATA BUNDA.pdf
LK 1 - 5T Keputusan Berdampak PERMATA BUNDA.pdfLK 1 - 5T Keputusan Berdampak PERMATA BUNDA.pdf
LK 1 - 5T Keputusan Berdampak PERMATA BUNDA.pdf
Β 
PPT Observasi Praktik Kinerja PMM SD pdf
PPT Observasi Praktik Kinerja PMM SD pdfPPT Observasi Praktik Kinerja PMM SD pdf
PPT Observasi Praktik Kinerja PMM SD pdf
Β 
2. Kerangka Kompetensi Literasi Guru SD_Rev.pptx
2. Kerangka Kompetensi Literasi Guru SD_Rev.pptx2. Kerangka Kompetensi Literasi Guru SD_Rev.pptx
2. Kerangka Kompetensi Literasi Guru SD_Rev.pptx
Β 
SOAL SHB PKN SEMESTER GENAP TAHUN 2023-2024.docx
SOAL SHB PKN SEMESTER GENAP TAHUN 2023-2024.docxSOAL SHB PKN SEMESTER GENAP TAHUN 2023-2024.docx
SOAL SHB PKN SEMESTER GENAP TAHUN 2023-2024.docx
Β 
Koneksi Antar Materi modul 1.4 Budaya Positif
Koneksi Antar Materi modul 1.4 Budaya PositifKoneksi Antar Materi modul 1.4 Budaya Positif
Koneksi Antar Materi modul 1.4 Budaya Positif
Β 
Tugas Mandiri 1.4.a.4.3 Keyakinan Kelas.pdf
Tugas Mandiri 1.4.a.4.3 Keyakinan Kelas.pdfTugas Mandiri 1.4.a.4.3 Keyakinan Kelas.pdf
Tugas Mandiri 1.4.a.4.3 Keyakinan Kelas.pdf
Β 
UNTUK DOSEN Materi Sosialisasi Pengelolaan Kinerja Akademik Dosen
UNTUK DOSEN Materi Sosialisasi Pengelolaan Kinerja Akademik DosenUNTUK DOSEN Materi Sosialisasi Pengelolaan Kinerja Akademik Dosen
UNTUK DOSEN Materi Sosialisasi Pengelolaan Kinerja Akademik Dosen
Β 
Paparan Kurikulum Satuan Pendidikan_LOKAKARYA TPK 2024.pptx.pdf
Paparan Kurikulum Satuan Pendidikan_LOKAKARYA TPK 2024.pptx.pdfPaparan Kurikulum Satuan Pendidikan_LOKAKARYA TPK 2024.pptx.pdf
Paparan Kurikulum Satuan Pendidikan_LOKAKARYA TPK 2024.pptx.pdf
Β 

Bahan ajar indes n khufaiah 3.2

  • 1. PPG PRAJABATAN B E R S U B S I D I 2 0 1 7 / 2 0 1 8 Oleh : Indes Nur Kufailah RB201711280
  • 2. rRSudutganda dan sudutparuh S U D U T G A N D A D A N S U D U T P A R U H Page 1 Bismillaahirrohmaanirrohiim Puji syukur hanya milik Allah semata, Tuhan semesta alam. Atas berkah, rahmat, dan karunia-Nya penyusunan Bahan Ajar Matematika Materi Sudut Ganda dan Sudut Paruh Trigonometri untuk Kelas XI SMA N 17 Bandung ini dapat terselesaikan. Sholawat beserta salam semoga selalu tercurahkan kepada Sang Revormer peradaban Nabi Muhammad SAW, karna dengan perjuangannyalah kita dapat menikmati manisnya ilmu pengetahuan sampai sekarang Bahan ajar ini disusun sebagai salah satu sumber belajar dalam pelaksanaan belajar mengajar matematika Materi Sudut Ganda dan Sudut Paruh Trigonometri. Dalam bahan ajar ini, penyajian materi menggunakan Model Discovery Learning guna mengembangkan kemampuan, pengetahuan, dalam menggunakan, menentukan, dan menyelesaikan sudut ganda dan sudut paruh trigonometri. Sesuai dengan tujuan penyusunan bahan ajar ini, peserta didik diharapkan mampu (1) menggunakan rumus jumlah dan selisih dua sudut untuk menentukan rumus sudut ganda dan sudut paruh (2) mampu menggunakan rumus sudut ganda dan sudut paruh untuk menentukan nilai trigonometri (3) Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan rumus sudut ganda dan sudut paruh dalam memecahkan masalah. Juga (4) mampu mengungkapkan kembali suatu uraian matematika dalam bahasa sendiri. Dengan segala kerendahan hati, kami memohon kepada siapa saja yang membaca dan menggunakan bahan ajar ini agar sudi kiranya memperbaiki kesalahan-kesalahan yang ditemukan. Akhirnya, kami menyampaikan terima kasih kepada semua pihak yang telah memberikan kontribusinya terhadap penyusunan bahan ajar ini. Semoga segala amal kebaikan yang telah diberikan mendapat balasan yang sesuai dari-Nya. Aamiin. Bandung,Januari2018 Penyusun
  • 3. rRSudutganda dan sudutparuh S U D U T G A N D A D A N S U D U T P A R U H Page 2 HALAMAN JUDUL .........................................................................................................1 KATA PENGANTAR ........................................................................................................2 DAFTAR ISI .....................................................................................................................3 PETUNJUK PENGGUNAAN ...........................................................................................4 KOMPETENSI YANG HARUS DICAPAI ..........................................................................5 PETA KONSEP ................................................................................................................6 SUDUT GANDA DAN SUDUT PARUH A. SUDUT GANDA ..................................................................................................7 B. SUDUT PARUH...................................................................................................12 C. MASALAH YANG BERKAITAN SUDUT GANDA DAN SUDUT PARUH ..............18 RANGKUMAN ................................................................................................................20 DAFTAR PUSTAKA .........................................................................................................21 KUNCI JAWABAN .........................................................................................................22 GLOSARIUM ..................................................................................................................24
  • 4. rRSudutganda dan sudutparuh S U D U T G A N D A D A N S U D U T P A R U H Page 3 Bahan ajar matematika Materi Trigonometri ini disusun untuk membantu peserta didik Kelas XI SMA N 17 Bandung dalam meningkatkan kemampuan komunikasi matematisnya. Dalam penyusunannya, bahan ajar ini disesuaikan dengan Kompetensi Inti dan Kompetensi Dasar Kurikulum 2013 yang berlaku saat ini. Bahan ajar matematika ini materi sudut ganda dan sudut paruh trigonometri. Penyajian materi dalam bahan ajar ini disusun dengan menggunakan Model Discovery Learning, sehingga peserta didik dituntun untuk memahami cara menurunkan rumus trigonometri, menghitung, dan memecahkan masalah yang berhubungan dengan sudut ganda dan sudut paruh. Sistematika bahan ajar ini adalah sebagai berikut: 1. Sebelum menginjak pada pembahasan, bahan ajar ini diawali dengan paparan kompetensi yang harus dicapai oleh peserta didik. 2. Materi pembahasan diawali dengan apersepsi berupa contoh kasus nyata atau pun permasalahan matematis serta aktivitas relevan. 3. Uraian materi merupakan materi pokok/materi pembelajaran dalam bahan ajar. Materi disajikan dengan bahasa yang sederhana sehingga mudah dipahami. 4. Setiap pembahasan sub materi dilengkapi dengan contoh soal untuk memperjelas konsep yang dipelajari. 5. Latihan berisi soal-soal untuk menguji kemampuan peserta didik dalam memahami materi yang dipelajari. Latihan yang disajikan sudah disesuaikan dengan indikator- indikator komunikasi matematis. 6. Rangkuman berisi pokok-pokok pembicaraan materi yang telah selesai dipelajari. 7. Evaluasi berisi soal-soal untuk melihat kemampuan komunikasi matematis siswa dalam materi sudut ganda dan sudut paruh trigonometri.. Berikut adalah langkah-langkahyangdisarankanbagi pesertadidik dalam menggunakanbahanajar ini. 1. Bacalah terlebih dahulu kompetensi yang harus dicapai yang terletak sebelum pembahasan. 2. Pahami uraian materi dengan seksama dan perhatikan contoh soal yang diberikan dengan sebaik-baiknya.
  • 5. rRSudutganda dan sudutparuh S U D U T G A N D A D A N S U D U T P A R U H Page 4 3. Bacalah kembali rangkuman yang ada di akhir bab. 4. Kerjakan soal-soal evaluasi yang ada di akhir bab. 3. Menerapkan, dan menganalisis pengetahuan faktual, konseptual, prosedural, dan metakognitif berdasarkanrasaingintahunya tentang ilmu pengetahuan, teknologi, seni, budaya, dan humaniora dengan wawasan kemanusiaan, kebangsaan, kenegaraan, dan peradaban terkait penyebab fenomena dan kejadian, serta menerapkan pengetahuan prosedural pada bidang kajian yang spesifik sesuai dengan bakat dan minatnya untuk memecahkan masalah. 4. Mengolah, menalar dan menyaji dalam ranah konkret dan abstrak terkait dengan pengembangan dari yang dipelajarinya di sekolah secara mandiri, bertindak secara efektif dan kreatif, serta mampu menggunakan metoda sesuai kaidah keilmuan No. Kompetensi Dasar Indikator Pencapaian Kompetensi 1. 3. 2 Membedakan penggunaan jumlah dan selisih sinus dan cosinus 3. 2. 1 Menggunakanrumusjumlahdanselisih dua sudutuntukmenentukanrumus sudutgandadan sudutparuh 3. 2. 2 Menggunakanrumussudutgandadan sudutparuhuntukmenentukannilai trigonometri. 2. 4. 2 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan 4. 1. 1 Menyelesaikan masalahyang berkaitan dengan rumussudutganda dansudut KOMPETENSI INTI (KI) KOMPETENSI DASAR DAN INDIKATOR PENCAPAIAN KOMPETENSI
  • 6. rRSudutganda dan sudutparuh S U D U T G A N D A D A N S U D U T P A R U H Page 5 rumus jumlah dan selisih sinus dan cosinus paruhdalam memecahkan masalah. tan 2 𝜢cos 2 𝜢Sin 2𝜢 tan 𝟏 𝟐 𝜢sin 𝟏 𝟐 𝜢 Rumus-Rumus Trigonometri Rumus Sudut Ganda Rumus Sudut Paruh cos 𝟏 𝟐 𝜢
  • 7. rRSudutganda dan sudutparuh S U D U T G A N D A D A N S U D U T P A R U H Page 6 Pada tahun 2013 hingga awal tahun 2017 Gunung Sinabung di Kabupaten Karo, Sumatra Utara masih saja mengalami erupsi. Bahkan tercatat pada tanggal 4 Januari 2014, gunung tersebut mengalami erupsi sebanyak 30 kali dalam sehari. Terakhir kali gunung Sinabung mengalami erupsi dan mengeluarkan awan panas pada tanggal 20 Februari 2017. Seorang petugas PVMBG (Pusat Vulkanologi dan Mitigasi Bencana Geologi) Sumatra Utara sedang mengamati ketinggian letusan awan panas gunung Sinabung pada hari tersebut. Puncakgunungterlihatpada sudutelevasi Ao sedangkanpuncakletusanawan panas terlihat pada sudut elevasi 2Ao. Jika tinggi gunung Sinabung adalah 2.460 meter, maka berapakah ketinggian letusan awan panas gunung tersebut Jika diketahu tan 𝐴 = √3 3 ? MENGAMATI STIMULATION
  • 8. rRSudutganda dan sudutparuh S U D U T G A N D A D A N S U D U T P A R U H Page 7 Pada materi sebelumnya, kita sudahmempelajari tentangrumusjumlah danselisih dua sudut.Masihingatkah bagaimanarumusnya? ο‚· Rumus jumlah dan selisih cosinus dua sudut: π‘π‘œπ‘  (𝛼 + 𝛽) = π‘π‘œπ‘  𝛼 π‘π‘œπ‘  𝛽 – 𝑠𝑖𝑛 𝛼 𝑠𝑖𝑛 𝛽 π‘π‘œπ‘  (𝛼 – 𝛽) = π‘π‘œπ‘  𝛼 π‘π‘œπ‘  𝛽 + 𝑠𝑖𝑛 𝛼 𝑠𝑖𝑛 𝛽 ο‚· Rumus jumlah dan selisih sinus dua sudut: 𝑠𝑖𝑛 (𝛼 + 𝛽) = 𝑠𝑖𝑛 𝛼 π‘π‘œπ‘  𝛽 + π‘π‘œπ‘  𝛼 𝑠𝑖𝑛 𝛽 𝑠𝑖𝑛 (𝛼 – 𝛽) = 𝑠𝑖𝑛 𝛼 π‘π‘œπ‘  𝛽 – π‘π‘œπ‘  𝛼 𝑠𝑖𝑛 𝛽 ο‚· Rumus jumlah dan selisih tangen dua sudut: π‘‘π‘Žπ‘› (𝛼 + 𝛽) = tan𝛼+tan 𝛽 1βˆ’tan 𝛼.tan 𝛽 Dari informasi diatas, diketahui tinggi gunung adalah 2460 meter, Dan tan 𝐴 = √3 3 . Bagaimana caranya agar kita tahu ketinggian letusan awan panas gunung tersebut? β€œkita cari tahu dulu 𝐭𝐚𝐧 πŸπ‘¨"
  • 9. rRSudutganda dan sudutparuh S U D U T G A N D A D A N S U D U T P A R U H Page 8 Ingatkahkita? Menggunakanrumusjumlahdanselisih dua sudut 1. Hitung nilai dari: a. 𝑠𝑖𝑛 75Β° = 𝑠𝑖𝑛 (…+ … ) = 𝑠𝑖𝑛 …. . π‘π‘œπ‘  … . + π‘π‘œπ‘  … . 𝑠𝑖𝑛 …. = …. Γ— … . + … Γ— … = … + β‹―  𝑠𝑖𝑛 75Β° = … .. b. cos 12 7  = π‘π‘œπ‘ (… + β‹― ) = π‘π‘œπ‘  … Γ— π‘π‘œπ‘  … – 𝑠𝑖𝑛 …× 𝑠𝑖𝑛 … = … Γ— … – …× … = … βˆ’ …  π’„π‘œπ‘  12 7  = β‹― c. tan 𝐴 = 2 3 dan tan 𝐡 = 1 3 , maka nilai dari:
  • 10. rRSudutganda dan sudutparuh S U D U T G A N D A D A N S U D U T P A R U H Page 9 tan( 𝐴 + 𝐡) = tan 𝐴+tan 𝐡 1βˆ’tan 𝐴.tan 𝐡 = … + β‹― 1βˆ’β‹―Γ—β€¦ = … + β‹― β€¦βˆ’β‹― = … … tan( 𝐴 + 𝐡) = … Selanjutnya dari rumus-rumus diatas, mungkin kita akan mendapatkan pertanyaan. 1) Bagaimana jika sudut pada rumus tadi merupakan kelipatan suatu sudut? 2) Apakah ketika rumus penjumlahan pada dua sudut dapat diturunkan ke rumus penjumlahan dengan sudut yang sama dengan lebih mudah? Dalam subbab ini, pembahasan dari jumlah dan selisih dua sudut akan dikembangkan lagi dalam penentuan rumus sinus, cosinus, dan tangen utnuk sudut ganda. Pengertian ganda di sini adalah penjumlahan dua sudut yang sama besar. Pengembangan rumus ini didasari oleh rumus penjumlahan dua sudut, yaitu sin(𝛼 + 𝛽), cos (𝛼 + 𝛽) , π‘‘π‘Žπ‘› tan (𝛼 + 𝛽). MENGGUNAKAN RUMUS JUMLAH DAN SELISIH DUA SUDUT UNTUK SUDUT GANDA MENANYA MENGAMATI
  • 11. rRSudutganda dan sudutparuh S U D U T G A N D A D A N S U D U T P A R U H Page 10 A. Rumus sin 2 𝜢 Dengan menggunakan rumus sin (𝛼 + 𝛽) , untuk 𝛼 = 𝛽 didapat: 𝑠𝑖𝑛 2 𝛼 = 𝑠𝑖𝑛 ( 𝛼 + 𝛼) = 𝑠𝑖𝑛 𝐴 . π‘π‘œπ‘  𝐴 + π‘π‘œπ‘  𝐴 . 𝑠𝑖𝑛 𝐴 = 2 𝑠𝑖𝑛 𝐴. π‘π‘œπ‘  𝐴 B. Rumus cos 2A Dengan menggunakan rumus cos (𝛼 + 𝛽), untuk 𝛼 = 𝛽 didapat: π‘π‘œπ‘ 2 𝛼 βˆ’ 𝑠𝑖𝑛2 𝛼 cos2𝛼 1 βˆ’ 2 𝑠𝑖𝑛2 𝛼 2π‘π‘œπ‘ 2 𝛼 βˆ’ 1 C. Rumus tan 2 𝛼 Dengan menggunakan rumus tan(𝛼 + 𝛽), untuk 𝛼 = 𝛽 didapat: sin 2 𝛼 = 2 𝑠𝑖𝑛 𝛼. π‘π‘œπ‘  𝛼 tan 2𝛼 = 2tan 𝛼 1 βˆ’ π‘‘π‘Žπ‘›2 𝛼 MENCOBA Merancang dan Menggunakan Rumus Trigonometriuntuk Sudut Rangkap
  • 12. rRSudutganda dan sudutparuh S U D U T G A N D A D A N S U D U T P A R U H Page 11 1. Buktikan bahwa 𝑠𝑖𝑛 2 = 2. 𝑠𝑖𝑛. π‘π‘œπ‘ ο‘ Jawab : 𝑠𝑖𝑛 2 = 𝑠𝑖𝑛 ( + ) = ……………………………………………………………………………………. = ……………………………………………………………………………………. 2. Buktikan bahwa π‘π‘œπ‘  2 = π‘π‘œπ‘ 2 βˆ’ 𝑠𝑖𝑛2 Jawab : π‘π‘œπ‘  2 = π‘π‘œπ‘  ( + ) = ………………………………………………………………….. = … …… … …… … … …… … …… … …… … …… … … …… … …… … …… … … …. 3. Buktikan bahwa π‘‘π‘Žπ‘› 2 = 2 .tan 𝛼 1βˆ’π‘‘π‘Žπ‘›2 𝛼 Jawab : π‘‘π‘Žπ‘› 2 = π‘‘π‘Žπ‘› ( + ) = …………………………………………………………………….. = … …… … …… … … …… … …… … …… … …… … … …… … …… … …… … … …… . 4. Denganmenggunakanidentitas di Kelas X, bahwa 𝑠𝑖𝑛2 + π‘π‘œπ‘ 2 = 1, sehingga 𝑠𝑖𝑛2 = 1 – π‘π‘œπ‘ 2. Gunakanidentitas di atas untukmembuktikanbahwa π‘π‘œπ‘  2 = 2 π‘π‘œπ‘ 2 βˆ’ 1 Jawab : π‘π‘œπ‘  2 = π‘π‘œπ‘ 2 βˆ’ 𝑠𝑖𝑛2 = π‘π‘œπ‘ 2- (……………………………) = … …… … …… … … …… … …… … …… … …… … … …… … …… … …… … …
  • 13. rRSudutganda dan sudutparuh S U D U T G A N D A D A N S U D U T P A R U H Page 12 Jika 𝑠𝑖𝑛 𝛼 = 3 4 dengan 𝛼 sudutlancip, hitunglah: a. sin 2 𝛼 b. cos 2 𝛼 c. tan 2 𝛼 Penyelesaian: a. 𝑠𝑖𝑛 2𝛼 = 2sin 𝛼 . cos 𝛼 = 2 . 3 5 . 4 5 𝑠𝑖𝑛 2𝛼 = 24 25 b. π‘π‘œπ‘  2𝛼 = 1 βˆ’ sin2 𝛼 = 1 βˆ’ 2. ( 3 5 ) 2 = 1 βˆ’ 2. 9 25 = 1 βˆ’ 18 25 = 25βˆ’18 25 π‘π‘œπ‘  2𝛼 = 7 25 c. π‘‘π‘Žπ‘› 2𝛼 = 2tan 𝛼 1βˆ’π‘‘π‘Žπ‘›2 𝛼 = 2. 3 4 1βˆ’( 3 4 ) 2 = 3 2 1βˆ’ 9 16 = 3 2 16βˆ’9 16 = 3 2 7 16 π‘‘π‘Žπ‘› 2𝛼 = 24 7 𝑠𝑖𝑛 𝛼 = 3 5 π‘π‘œπ‘  𝛼 = 4 5 π‘‘π‘Žπ‘› 𝛼 = 3 4 53 52 βˆ’ 32 = 4 𝛼
  • 14. rRSudutganda dan sudutparuh S U D U T G A N D A D A N S U D U T P A R U H Page 13 1. Jika tan βˆ… = 8 15 pada kuadran pertama, hitunglah: a. sin 2βˆ… b. cos 2βˆ… 2. Jika π‘‘π‘Žπ‘›  = βˆ’ 12 5 dan  di kuadranII, hitungnilai dari: a) 𝑠𝑖𝑛  = …… … … …… … b) π‘π‘œπ‘   = … … … …… … … c) 𝑠𝑖𝑛 2 = …… … …… … … = … … …… … …… = … …… … …… … …… … . . d) π‘π‘œπ‘  2 = … … …… … … … = … …… … …… … = … … … …… … …… … …. . e) π‘‘π‘Žπ‘› 2 = … … … …… … … = … …… … …… … = …… … …… … …… … … . . A. Rumus sin 1 2 𝛼 Berdasarkan rumus cos2𝐴 = 1 βˆ’ 2 𝑠𝑖𝑛2 𝐴 dan cos2𝐴 = 2 π‘π‘œπ‘ 2 𝐴 βˆ’ 1, maka dapat digunakanmenentukanrumussudut ganda untuk sin 1 2 𝛼, cos 1 2 𝛼, tan 1 2 𝛼atau disebut sudut rangkap. MENGGUNAKAN RUMUS SINUS, COSINUS, DAN TANGEN UNTUK SUDUT PARUH LATIHAN MENGAMATI
  • 15. rRSudutganda dan sudutparuh S U D U T G A N D A D A N S U D U T P A R U H Page 14 Misal 2𝐴 = 𝛼 β‡’ 𝐴 = 1 2 𝛼, sehingga: cos2𝐴 = 1 βˆ’ 2 𝑠𝑖𝑛2 𝐴 π‘π‘œπ‘  𝛼 = 1 βˆ’ 2 𝑠𝑖𝑛2 1 2 𝛼 2 𝑠𝑖𝑛2 1 2 𝛼 = 1 βˆ’ cos 𝛼 𝑠𝑖𝑛2 1 2 𝛼 = 1βˆ’cos 𝛼 2 Hal ini berarti: Rumus 𝑠𝑖𝑛 1 2 𝛼 = ±√ 1βˆ’cos 𝛼 2 dengan tanda positif (+) untuk sudut 1 2 𝛼 berada di kuadran I atau kuadran II, dan tanda negatif(-) berada di kuadran III dan IV. B. Rumus cos 1 2 𝛼 begitu pula untuk cos 1 2 A, dengan menggunakan rumus cos2𝐴 = 2 π‘π‘œπ‘ 2 𝐴 βˆ’ 1 diperoleh Hal ini berarti: Rumus π‘π‘œπ‘  1 2 𝛼 = ±√ cos𝛼+1 2 dengantanda positif (+) untuksudut 1 2 𝛼berada di kuadranI ataukuadranIV, dantanda negatif (-) beradadi kuadranII dan III. C. Rumus tan 1 2 𝛼 Pada pembahasansebelumnya telahkita peroleh: 𝑠𝑖𝑛 1 2 𝛼 = Β± √ 1βˆ’cos𝛼 2 dan π‘π‘œπ‘  1 2 𝛼 = ±√ cos 𝛼+1 2 Berdasarkandefinisi tangen, 𝑠𝑖𝑛 1 2 𝛼 = ±√ 1 βˆ’ cos 𝛼 2 π‘π‘œπ‘  1 2 𝛼 = ±√ cos 𝛼 + 1 2
  • 16. rRSudutganda dan sudutparuh S U D U T G A N D A D A N S U D U T P A R U H Page 15 akan diperoleh: Dengan sin 𝛼 β‰  0 Apabila pembilang dan penyebut dikalikan dengan √1 + π‘π‘œπ‘ π›Ό dan disederhanakan, akan diperoleh: Dengan cos 𝛼 β‰  βˆ’1 1. Dari rumus cos 2𝐴 = 2π‘π‘œπ‘ 2𝐴 βˆ’ 1 dan memisalkan 𝐴 = 1 2 , tunjukkan bahwa π‘π‘œπ‘  1 2 𝛼 = ±√ 1+cos 𝛼 2 tan 1 2 𝛼 = 1 βˆ’ cos 𝛼 sin 𝛼 tan 1 2 𝛼 = sin 𝛼 1 + cos 𝛼 MENCOBA Merancang dan Menggunakan Rumus Trigonometri 𝟏 𝟐 
  • 17. rRSudutganda dan sudutparuh S U D U T G A N D A D A N S U D U T P A R U H Page 16 Jawab : π‘π‘œπ‘  2𝐴 = 2π‘π‘œπ‘ 2𝐴 βˆ’ 1  π‘π‘œπ‘  2( 1 2  ) = 2π‘π‘œπ‘ 2(… ) βˆ’ 1 2π‘π‘œπ‘ 2 ( 1 2 ) = 1 + …… … …  π‘π‘œπ‘ 2 ( 1 2 ) = … … …… … ..  π‘π‘œπ‘  ( 1 2 ) = … …… … … .. 2. Dari rumus π‘π‘œπ‘  2𝐴 = 2π‘π‘œπ‘ 2𝐴 βˆ’ 1 dan misalkan 𝐴 = 1 2 , tunjukkan bahwa 𝑠𝑖𝑛 1 2 𝛼 = ±√ 1βˆ’cos𝛼 2 Jawab :π‘π‘œπ‘  2𝐴 = 1βˆ’ 2𝑠𝑖𝑛2𝐴  π‘π‘œπ‘  2( 1 2  ) = 1βˆ’ 2𝑠𝑖𝑛2(…. ) 2. 𝑠𝑖𝑛2( 1 2 ) = 1 βˆ’ …… … …  𝑠𝑖𝑛2( 1 2 ) = …… … … …..  𝑠𝑖𝑛 ( 1 2 ) = … …… … ….. 3. Dengan menggunakan identitas π‘‘π‘Žπ‘› 𝐴 = sin 𝐴 cos 𝐴 , buktikan bahwa π‘‘π‘Žπ‘› 1 2  = ±√ 1βˆ’cos 𝛼 1+cos 𝛼 Jawab : π‘‘π‘Žπ‘› 1 2  = ....................... .......................  π‘‘π‘Žπ‘› 1 2  = ....................... .......................  π‘‘π‘Žπ‘› 1 2  = ....................... .......................
  • 18. rRSudutganda dan sudutparuh S U D U T G A N D A D A N S U D U T P A R U H Page 17 1. Dengan menggunakan prinsip sudut paruh, hitunglah: a. π‘π‘œπ‘  πœ‹ 8 b. sin 15Β° c. tan 15Β° Penyelesaian: a. π‘π‘œπ‘  πœ‹ 8 = √ 1+π‘π‘œπ‘  πœ‹ 4 2 = √ 1+π‘π‘œπ‘  πœ‹ 4 2 = √ 1+ 1 2 √2 2 = √2+√2 4 Jadi π‘π‘œπ‘  πœ‹ 8 = √2+√2 4 b. sin 15Β° 𝑠𝑖𝑛 1 2 𝛼 = ±√ 1βˆ’cos 𝛼 2 1 2 𝛼 = 15Β° berati 𝛼 = 30Β° (kuadran I bertanda positif) sin 15Β° = √ 1βˆ’cos 30Β° 2 sin 15Β° = √ 1βˆ’ 1 2 √3 2 sin 15Β° = √2βˆ’βˆš3 4 Jadi sin 15Β° = 1 2 2 βˆ’ √3 c. tan 15Β° tan 1 2 𝛼 = 1βˆ’cos 𝛼 sin 𝛼 1 2 𝛼 = 15Β° berati 𝛼 = 30Β° (kuadran I bertanda positif) ( πœ‹ 8 merupakansudutparuhdari πœ‹ 4 , πœ‹ 8 terdapat di kuadranI, maka nilai cos πœ‹ 8 positif)
  • 19. rRSudutganda dan sudutparuh S U D U T G A N D A D A N S U D U T P A R U H Page 18 tan 15Β° =……………… tan 15Β° =……………… Jadi tan 15Β° =……………… 2. Jika cos  = 5 4 , untuk2700 <  < 3600 , tentukannilai dari: a) 𝑠𝑖𝑛 2 1  = ⋯… …… … … …… … …… … …… … … …… … …… … …. . . . . . … … …. b) π‘π‘œπ‘  2 1  = … …… … …… … …… … … …… . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. … … … . c) π‘‘π‘Žπ‘› 2 1  = … …… … …… … … …… … …… … …… … … …… … …… … …… … … .. d) 𝑐𝑠𝑐 2 1  = β‹― …… … … …… … …… … …… … … …… … …… … …… … … …… … . . e) π‘π‘œπ‘‘ 2 1  = β‹― …. . … … …… … … …… … …… … …… … … …… … …… … …… … . . MENYELESAIKAN MASALAH YANG BERKAITAN DENGAN SUDUT GANDA DAN SUDUH PARUH
  • 20. rRSudutganda dan sudutparuh S U D U T G A N D A D A N S U D U T P A R U H Page 19 Dari informasi sebelumnya, diketahui tinggi gunung adalah 2460 meter, Dan tan 𝐴 = √3 3 . Bagaimana caranya agar kita tahu ketinggian letusan awan panas gunung tersebut? PENYELESAIAN: Sebelumnya kita sudah mencari tahu, bagaimana rumus dari tan 2A, selanjutnya kita hitung nilai QR melalui tan A dengan rumus perbandingan trigonometri. 1. Jika sin(πœƒ+𝐴) sin(πœƒ+𝐡) = √ sin 2𝐴 sin 2𝐡 , buktikan bahwa π‘‘π‘Žπ‘›2 πœƒ = tan 𝐴. tan 𝐡 2. Buktikan bahwa tan [ πœ‹ 4 + 1 2 π‘Žπ‘Ÿπ‘ cos( π‘Ž 𝑏 )] + tan [ πœ‹ 4 βˆ’ 1 2 π‘Žπ‘Ÿπ‘cos( π‘Ž 𝑏 )] = 2𝑏 π‘Ž (Petunjuk: misalkan arc cos ( π‘Ž 𝑏 ) = πœƒ berarti π‘π‘œπ‘ πœƒ = π‘Ž 𝑏 ) tan 𝐴 = 𝑄𝑆 𝑄𝑅 ⇔ √3 3 = 2460 𝑄𝑅 ⇔ 𝑄𝑅 = β‹― Γ— 3 ⇔ 𝑄𝑅 = β‹― Jadi jarak pengamat ke gunung …. Meter tan 2𝐴 = 2tan 𝐴 1βˆ’π‘‘π‘Žπ‘›2 𝐴 = 2×… 1βˆ’(… )2 = β‹― Rumus perbandingan trigonometri tan2𝐴 = β‹― ⇔ 𝑃𝑄 𝑄𝑅 = … … ⇔ 𝑃𝑄 … = … …. PQ = β‹― 𝑃𝑆 = 𝑃𝑄 βˆ’ 𝑄𝑆 =…. βˆ’ …. = β‹― Maka ketinggian letusan awan panas gunung sinabung saat itu …. meter
  • 21. rRSudutganda dan sudutparuh S U D U T G A N D A D A N S U D U T P A R U H Page 20 1. Dengan menggunakan rumus jumlah dan selisih dua sudut, tuliskan rumus untuk sin 4𝑏. 2. Jika 𝛼 sudut lancip dan cos 𝛼 = 4 5 , hitunglah b. tan 2𝛼 c. tan 1 2 𝛼 3. Sebuah meriam ditembakkan ke atas membentuk sudut πœƒ terhadap arah hosizontal. Diketahui kecepatan awal peluru meriam 𝑣 π‘œ π‘š/𝑠 dan jarak R yang ditempuh peluru meriam memenuhi persamaan 𝑅 = 1 16 𝑣 π‘œ 2 𝑠𝑖𝑛 πœƒ π‘π‘œπ‘ πœƒ. a. Tunjukkan bahwa 𝑅 = 1 32 𝑣 π‘œ 2 𝑠𝑖𝑛 2πœƒ. b. Carilah sudut πœƒ yang memberikan 𝑅 maksimum. Rumus sudut ganda 1. sin 2𝛼 = 2sin 𝛼 .cos 𝛼
  • 22. rRSudutganda dan sudutparuh S U D U T G A N D A D A N S U D U T P A R U H Page 21 2. cos 2𝛼 = π‘π‘œπ‘ 2 𝛼 βˆ’ 𝑠𝑖𝑛2 𝛼 cos 2𝛼 =2 π‘π‘œπ‘ 2 𝛼 βˆ’ 1 cos 2𝛼 =1 βˆ’ 2 𝑠𝑖𝑛2 𝛼 3. tan 2𝛼 = 2 tan 𝛼 1βˆ’π‘‘π‘Žπ‘›2 𝛼 Rumus sudut paruh 1. sin 1 2 𝛼 = √ 1βˆ’π‘π‘œπ‘  𝛼 2 2. cos 1 2 𝛼 = √ cos 𝛼+1 2 3. tan 1 2 𝛼 = sin 𝛼 1+cos 𝛼 , cos 𝛼 β‰  βˆ’1 tan 1 2 𝛼 = 1βˆ’cos 𝛼 sin 𝛼 , sin 𝛼 β‰  0 Sukino. (2013). Matematika kelompok peminatan matematika dan ilmu alam, Jakarta: Erlangga.
  • 23. rRSudutganda dan sudutparuh S U D U T G A N D A D A N S U D U T P A R U H Page 22 Kementrian Pendidikan Dan Kebudayaan. (2016). Buku Guru Mata Pelajaran Matematika (peminatan) kelas XI. Jakarta: Kementrian Pendidikan Dan Kebuadayaan. Permana, A Dadi. (2005). Mudah dan Aktif Belajar Matematika untuk kelas XI SMA/MA Program Ilmu Alam. Jakarta: PT. Setia Purna Inves. Suprijanto dkk. (2009). Matematika SMA/MA kelas XI. Jakarta: Yudhistira. 1. sin 4 𝑏 = sin(2𝑏 + 2𝑏) = sin 2𝑏 . cos2𝑏 + cos2𝑏.sin 2𝑏
  • 24. rRSudutganda dan sudutparuh S U D U T G A N D A D A N S U D U T P A R U H Page 23 = 2 sin 2𝑏 .cos2𝑏 = 2 (2 sin 𝑏 .cos 𝑏) (π‘π‘œπ‘ 2 𝑏 βˆ’ 𝑠𝑖𝑛2 𝑏) = 2 (2 sin 𝑏 .cos3 𝑏 βˆ’ 2 𝑠𝑖𝑛3 𝑏 cos 𝑏) = 4 sin 𝑏 . cos3 𝑏 βˆ’ 4 𝑠𝑖𝑛3 𝑏 cos 𝑏 = 4 sin 𝑏 .(1 βˆ’ 𝑠𝑖𝑛2 𝑏)cos 𝑏 βˆ’ 4 𝑠𝑖𝑛3 𝑏 cos 𝑏 = 4sin 𝑏. cos 𝑏 βˆ’ 4 𝑠𝑖𝑛3 𝑏 cos 𝑏 βˆ’ 4 𝑠𝑖𝑛3 𝑏 cos 𝑏 jadi sin 4 𝑏 = 4 sin 𝑏. cos 𝑏 βˆ’ 8 𝑠𝑖𝑛3 𝑏 cos 𝑏 2. a. penyelesaian: dari segitiga siku-siku disamping di dapat BC=3 tan 𝐡𝐢 = 3 4 tan 2𝛼 = 2 tan 𝛼 1βˆ’π‘‘π‘Žπ‘›2 = 2 . 3 4 1βˆ’( 3 4 ) 2 = 3 2 1βˆ’ 9 16 = 3 2 16 16 βˆ’ 9 16 = 3 2 6 16 = 24 7 b. tan 1 2 𝛼 = sin 𝛼 1+cos 𝛼 = 3 5 1+ 4 5 = 3 5 5 5 + 4 5 = 3 5 9 5 = 3 9 = 1 3 3. Diketahui: ο‚· Kecepatan awal peluru meriam = 𝑣 π‘œ π‘š/𝑠 ο‚· Jarak yang ditempuh peluru meriam=𝑅 5 4 C B A 𝛼
  • 25. rRSudutganda dan sudutparuh S U D U T G A N D A D A N S U D U T P A R U H Page 24 Ditanyakan : ο‚· Tunjukan 𝑅 = 1 16 𝑣 π‘œ 2 𝑠𝑖𝑛 πœƒ π‘π‘œπ‘ πœƒ. ο‚· Cari sudut πœƒ yang memberikan 𝑅 maksimum Jawab: Pada soal kali ini rumus yang digunakan adalah sudut ganda. a. 𝑅 = 1 32 𝑣 π‘œ 2 𝑠𝑖𝑛 2πœƒ πœƒ = 2 sin πœƒ π‘π‘œπ‘ πœƒ sehingga 𝑅 = 1 16 𝑣 π‘œ 2 𝑠𝑖𝑛 πœƒ π‘π‘œπ‘ πœƒ = 1 16 𝑣 π‘œ 2 2𝑠𝑖𝑛 πœƒ π‘π‘œπ‘ πœƒ 2 = 1 32 𝑣 π‘œ 2 sin 2πœƒ b. Untuk kecepatan awal 𝑣 π‘œ sudut πœƒ terhadap arah horizontal mempengaruhi nilai 𝑅. Oleh karena fungsi sinus memiliki nilai maksimum 1, 𝑅 akan maksimum ketika 2𝑅 = 90Β° ↔ πœƒ = 45Β° Cosinus : suatu fungsi trigonometri dari sebuah sudut. Cosinus suatu sudutdalam segitiga siku-siku adalah perbandingan antara sisi berseberangan dengan sudut itu terhadap sisi miring.
  • 26. rRSudutganda dan sudutparuh S U D U T G A N D A D A N S U D U T P A R U H Page 25 Identitas : kalimat ruas kiri sama dengan ruas kanan. Sinus : sinus suatu sudut lancip adalah perbandingan antara dua sisi sebuah segitiga siku-siku, yaitu perbandingan antara sisi yang berhadapan dengan sudut tersebut dan sisi miring. Sudut : himpunan titik yang memuat suatu titik P dan dua sinar yang berasaldari P (kadang-kadangdikehendaki bahwa kedua sinar tersebut tidak terletak sepanjang garis lurus yang sama) . Sudut Ganda : penjumlahan dua sudut yang sama besar. Sudut Paruh : setengah dari sudut awal.