Barna - Amplificatoare operationale

1
Seria
ELECTRONICĂ APLICATĂ

2
Seria ELECTRONICĂ APLICATĂ
R. Boconcius, I. Diaconescu Voltmetre electronice
R. Popescu FrecvenŃmetre electronice
R. Andreescu Generatoare de semnal
Th. Nicolau PunŃi şi compensatoare electronice
C. NegoiŃă, M. Ivan Aparate electronice pentru măsurarea mări-
milor geometrice
V. Malcoci Aparate electronice pentru masurarea
parametrilor rezistenŃelor, bobinelor şi
condensatoarelor
St. Boboc Aparate electronice pentru măsurarea mase-
lor, forŃelor şi cuplurilor
I. Mateescu, I. Malcescu Osciloscopul
A. V. Goncearov ş.a. Înregistrarea magnetică a imaginii
Th. Nicolau, I. Apostol Umidimetre electrice
H. Siennreich, A. Vasilescu Transmisiuni cu modulaŃia impulsurilor în
cod
Gh. Boldea Localizarea deranjamentelor din cablurile de
telecomunicaŃii

3
ARPAD BARNA
Profesor la Universitatea din Hawai
AMPLIFICATOARE
OPERAłIONALE
222 exemple şi probleme
Traducere din literatura americană
după ediŃia 1971
EDITURA TEHNICĂ
Bucureşti

4
A. Barna - Universtity of Hawaii
OPERATIONAL AMPLIFIERS
Copyright ©1971 by Jhon Wiley & Sons. Inc.
No part of this book may be reproducted by
any means, not transmitted, not translated
into a machine language whitout the written
permission of the publisher.
Traducere: ing. ŞTEFAN CSERVENY
ing. MARIN SÂMPĂLEANU
Redactor: ing. CONST. MINEA
Tehnoredactor: I. GRUIA
Coperta seriei: SIMONA NICULESCU
Bun de tipar: 08.10.1974
Coli de tipar:8,5
Tiraj : 7 900+75 ex. broşate
C. Z. :621.375 :621.391
______________________________________
Tiparul executat sub comanda nr. 253
la întreprinderea poligrafică „Crişana”, Oradea
str. Moscovei nr.5
Republica Socialistă România

5
PREFAłĂ
Realizarea amplificatoarelor operaŃionale în producŃie de masă, la un
cost scăzut, a permis o largă folosire a lor în numeroase aplica-Ńii.
Ca urmare a performanŃelor lor deosebite a fost posibilă realizarea
unor proiecte cu parametrii fără precedent, în ceea ce priveşte pre-
cizia, viteza, siguranŃa în funcŃionare şi reproductibilitatea. Pentru o
folosire completă a întregului lor potenŃial sînt necesare tehnici de
proiectare foarte precise. Lucrarea de faŃă prezintă cititorului no-
Ńiunile de bază pentru înŃelegerea folosirii amplificatoarelor opera-
Ńionale în domeniul circuitelor liniare.
Această carte se bazează pe un curs de aparatură electronică Ńinut
de autor la Universitatea din Hawaii. Un număr de 222 de exemple şi
probleme, reprezentînd diverse aplicaŃii, însoŃesc şi comple-tează
lucrarea. Aceste caracteristici, precum şi realizarea lucrării într-o
forma uşor accesibilă, permit folosirea cărŃii atît ca manual cît şi
ca lucrare de referinŃă în acest domeniu.
După o introducere generală, sînt prezentate proprietăŃile funda-
mentale ale amplificatoarelor operaŃionale ideale. În acest capitol 3 este
introdusă o prezentare generală a reacŃiei, iar efectele ei şi ale varia-
Ńiei componentelor asupra preciziei amplificatoarelor operaŃionale sînt
analizate în capitolul 4. Răspunsul tranzitoriu şi în frecvenŃă al
amplificatoarelor operaŃionale, în lipsa reacŃiei şi în prezenŃa ei, sînt
analizate în capitolele 5 şi 6. Considerente asupra stabilităŃii precum
şi criteriile de stabilitate sînt prezentate în capitolul 7, capitolul 8
cuprinzând prezentarea tehnicilor de compensare. În capitolul 9
sînt analizate rejecŃia semnalului în modul comun, impedanŃele de
intrare şi de ieşire precum şi proprietăŃile de rejecŃie a tensiunii de
alimentare. CurenŃii de intrare, tensiunea de dezechilibru (offset), viteza
de variaŃie a tensiunii de ieşire, zgomotul, precum şi alte limitări

6
formează cuprinsul capitolului 10. În anexe sînt rezumate rezulta-
tele obŃinute în lucrare precum şi o serie de formulare folosite. De ase-
menea, este dată o prezentare a principalilor parametrii ai amplifi-
catoarelor operaŃionale folosite în exemple şi probleme. Sînt anexate
şi răspunsuri la unele dintre problemele date.
Honolulu. Hawaii
Februarie, 1971 ARPAD BARNA

7
C U P R I N S
1. Introducere în amplificatoare operaŃionale ........………………............. 9
ProprietăŃi……………………………...…………………………............. 10
AplicaŃii…………………………………...………………………............ 11
Probleme…………………………………………………......................... 11
2. Amplificatoare operaŃionale ideale…………………………………......... 16
Circuite amplificatoare neinversoare…………………………………....... 17
Circuite amplificatoare inversoare……………………………………....... 17
Circuite amplificatore diferenŃiale……………………………………....... 18
Circuite amplificatoare diferenŃiale cu intrări flotante…………………..... 18
Probleme………………………………………………………………...... 19
3. ReacŃia…………………………………………………………………....... 22
Circuite amplificatoare neinversoare cu reacŃie………………………...... 22
Circuite amplificatoare inversoare cu reacŃie…………………………...... 24
Circuite amplificatoare diferenŃiale cu reacŃie…………………………..... 26
Circuitul repetor de tensiune…………………………………………........ 29
Probleme………………………………………………………………...... 30
4. Precizia amplificării …………………………………………………......... 34
VariaŃii mici ale amplificării amplificatorului operaŃional……………....... 35
VariaŃii mici ale rezistenŃei de reacŃie…………………………………...... 37
VariaŃii mici ale rezinstenŃei de intrare………………………………........ 39
VariaŃii ale mai multor parametri……………………………………......... 40
Probleme………………………………………………………………...... 42
5. Răspunsul tranzistorului şi caracteristici de frecvenŃă a am-
plificatoarelor operaŃionale…………………………………………....... 44
ReŃea de întârziere a fazei……………………………………………........ 44
Cascada la reŃele de întârziere a fazei…………………………………...... 48
ReŃele de întârziere modificată a fazei………………………………......... 52
ReŃele de avans a fazei…………………………………………………..... 54
ReŃele divizoare de tensiune…………………………………………….... 57
Probleme………………………………………………………………...... 60
6. Caracteristici de frecvenŃă şi răspunsul tranzitoriu al cir-
cuitelor amplificatoare cu reacŃie............................................................. 63
Caracteristici de fecvenŃă………………………………………………..... 63
Răspunsul tranzitoriu…………………………………………………....... 66
Probleme………………………………………………………………...... 68
7. Stabilitatea circuitelor amplificatoare cu reacŃie……………………....... 70
Circuite amplificatoare compuse din reŃele de întârziere a fazei ……........ 72
Cazul general…………………………………………………………....... 76
Probleme………………………………………………………………...... 77
8.Tehnici de compensare ………………………………………………......... 79
Compensarea prin întârzierea fazei……………………………………...... 79

8
Compensarea prin întârzierea modificată a fazei……………………......... 83
Compensarea prin avans a fazei………………………………………....... 86
Compensarea prin avans-întârziere a fazei……………………………...... 89
Circuite de compensare ………………………………………………....... 92
Probleme………………………………………………………………...... 93
9. ProprietăŃile liniare ale amplificatoarelor operaŃionale …………........... 98
Amplificarea şi rejecŃia semnalelor în mod comun…………………......... 98
ImpedanŃe de intrare …………………………………………………..... 102
ImpedanŃa de ieşire…………………………………………………….... 106
RejecŃia tensiunii de alimentare………………………………………..... 107
Probleme……………………………………………………………….... 108
10. Alte proprietăŃi ale amplificatoarelor operaŃionale reale ………........ 110
CurenŃi de intrare………………………………………………………... 110
Tensiunea de dezechilibru de intrare…………………………………..... 112
Limitări şi valori admisibile…………………………………………...... 113
Viteza maximă de variaŃie a tensiunii de ieşire………………………..... 115
Zgomotul………………………………………………………………... 116
Probleme……………………………………………………………….... 118
Anexe ……………………………………………………………………...... 121
Tabelul 1 : Formule de amplificare pentru circuitele amplifi-
catoare cu reacŃie………........................................................................... 123
Tabelul 2 : FuncŃii de transfer ale unor reacŃii particulare………………........ 124
Tabelul 3: CondiŃiile de stabilitate ale circuitului amplifica-
toare cu reacŃie negativă…........................................................................ 126
Tabelul 4 : ProprietăŃile tipice ale amplificatoarelor operaŃio-
nale folosite în exemple de probleme………………………………….... 129
Răspunsuri la probleme alese…………………………………………........ 129
Index de noŃiuni în limbile română şi engleză............................................. 130

9
1. INTRODUCERE
ÎN AMPLIFICATOARE OPERAłIONALE
Acest capitol îşi propune să prezinte trăsăturile caracteristice ale
amplificatoarelor operaŃionale şi să ilustreze tematica acestei cărŃi.* Tra-
tarea detaliată a subiectului va începe cu capitolul 2.
Denumirea de amplificator operaŃional s-a răspîndit îndeosebi după
1960, deşi amplificatoare operaŃionale au fost folosite cu mult înainte.
Un amplificator operaŃional (fig. 1.1) se caracterizează printr-o tensiune
de ieşire iV (s) care este proporŃională cu diferenŃa celor două tensiuni
de intrare pV şi nV :
i p nV (s) A(V V )= − (1.1)
O trăsătura specifică a amplificatoarelor operaŃionale este aceea că
amplificarea A este o funcŃie de frecvenŃa, care în curent continuu (la
frecvenŃa zero) are o valoare diferită de zero. Această valoare constituie de
obicei valoarea maximă a amplificării în dependenŃa acesteea de frecvenŃă.
Exemplu 1.1 Într-un amplificator operaŃional descris de ecuaŃia 1.1
A=10000/(1+jf/1MHz), unde f este frecvenŃa, iar j 1= − . Valoarea în curent
continuu a lui A, adică valoarea sa la frecvenŃa zero, este CCA ≡A(f=0)=10000.
Fig.1.1 Reprezentarea sche-
matică a unui amplificator
operaŃional.
_______________
* Termenii care apar prima dată sînt scrişi cu litere cursive.

10
Modulul amplificării A,
2
| A | 10000 / 1 (f /1MHz)= + ,
este maxim la frecvenŃa f=0 şi are valoarea CCA .
Din ecuaŃia (1.1) rezultă o altă trăsătură specifică a amplificatoarelor
operaŃionale: tensiunea de ieşire este nulă – cel puŃin în principiu –
atunci cînd ambele tensiuni de intrare sînt nule. Alte tipuri de ampli-
ficatoare nu prezintă această proprietate; de exemplu la un amplificator
de curent continuu cu un singur transistor şi fără deplasare de nivel,
tensiunea de ieşire nu poate fi zero atunci cînd tensiunea de intrare
este nulă.
PROPRIETĂłI
Ideal, ar fi de dorit ca amplificatorul operaŃional să fie descris de
ecuaŃia 1.1, în care amplificarea A să depindă de frecvenŃă conform
unei funcŃii bine definite adică independent de mărimea semnalului,
de timp şi de temperatură şi care să fie identică pentru amplificatoarele
din aceeaşi categorie. Ar fi de asemenea de dorit ca ecuaŃia 1.1 să fie
respectată întocmai: iesV trebuie să fie zero dacă p nV V= , indiferent
cît de mari sînt acestea.
În realitate, amplificarea A depinde de mărimea semnalului, de
timp, de temperatură, de tensiunea sursei de alimentare şi variază de
la un amplificator la altul, uneori chiar şi de cinci ori. De asemenea,
amplificaoarele operaŃionale au o tensiune de dezechilibru de intrare
(tensiune offset) diferită de zero (de obicei cîŃiva milivolŃi), care se
adaugă la p nV V− şi variază cu temperatura şi de la un amplificator
la altul.
Exemplu 1.2 Un amplificator operaŃional are o amplificare în curent
continuu CCA = 1000 şi o tensiune de dezechilibru de intrare maximă OFFV =
±2 mV. Prin urmare, tensiunea de ieşire pentru tensiuni de intrare nule poate lua orice
valoare în domeniul delimitat de ies OFFV V A= = ±2mV×1000 = ±2V. Deci, dacă
p nV V 0= = , tensiunea de ieşire iesV este cuprinsă între -2V şi +2V.
În cazul în care cele două tensiuni de intrare sînt egale dar diferite
de zero, p nV V 0= ≠ o fracŃiune din ele va ajunge la bornele de ieşire;
această fracŃiune poartă denumirea de amplificare de mod comun MCA .
Exemplu 1.3 Un amplificator operaŃional are o amplificare de mod comun
MCA = 0,0001. Astfel dacă p nV V= = 1 V, tensiunea de ieşire , neglijînd tensiunea
de dezechilibru de intrare OFFV , va fi ies MC n MC pV A V A V= = = 0,0001×1 V=
= 0,1 mV.

11
Ideal ar fi de asemenea de dorit ca curenŃii de intrare care intră în
bornele de intrare ale amplificatoarelor operaŃionale să fie nuli. În
realitate, întotdeauna va exista un curent de intrare (de obicei destul
de mic).
Exemplu 1.4 Valoarea medie a celor doi curenŃi de intrare constituie
curentul de polarizare de intrare. Un amplificator operaŃional are un curent de
polarizare de intrare maxim 12
pI 40pA 40 10 A−
= = × . Astfel considerînd cei
doi curenŃi de intrare de aceeaşi polaritate, fiecare dintre cei doi curenŃi de intrare
poate avea o valoare cuprinsă între zero şi ±80 pA. Dacă însă tehnologia de fabri-
caŃie a amplificatorului este bine controlată, cei doi curenŃi de intrare nu vor diferi
unul de celalalt cu mai mult de 15 pA, aceasta se exprimă afirmînd că valoarea
maximă a curentului de dezechilibru de intrare (curent offset) este 15 pA.
ProprietăŃile amplificatoarelor operaŃionale vor fi discutate în detaliu
în capitolele următoare. Faptul că imperfecŃiunile unui ampli-
ficator operaŃional contează, sau nu, depinde de cerinŃele fiecărei apli-
caŃii în parte.
APLICAłII
Amplificatoarele operaŃionale pot fi utilizate în multe circuite
printre care amplificatoare, circuite de formare a impulsurilor, filter
active, generatoare pentru diferite forme de unde, comparatoare. Cî-
teva aplicaŃii sînt ilustrate în problemele de la sfîrşitul acestui capitol;
discuŃia din capitolele următoare se va referi însă numai la amplifica-
toare, aplicaŃie care stă probabil la baza tuturor celorlate utilizări.*
Se va vedea că prin introducerea reacŃiei negative unele proprietăŃi
ale circuitului amplificator rezultat se vor îmbunătăŃi pe seama altor
proprietăŃi, în timp ce unele caracteristici nu pot fi modificate cu aju-
torul re-acŃiei. Astfel, de exemplu, se pot modifica amplificarea de curent
continuu şi precizia ei, dar nu se poate îmbunătăŃi tensiunea de dezechi-
libru de intrare.
Nu vor putea fi discutate toate configuraŃiile posibile de amplifi-
catoare. Accentul va cădea pe analiza circuitelor simple care pot fi
folosite ca părŃi componente în sisteme mai mari.
P R O B L E M E
1. Să se determine valoarea tensiunii de ieşire iesV în figura 1.1,
dacă pV = 1 mV, nV =1,1mV şi A=10 000.
_________________
* Pentru aplicaŃii vezi cartea J. Eimbinder, Application Considerations for Linear
Integrated Circuits, Wiley – Interscience, New York, 1970 în care se fac şi trimiteri bi-
bliografice.

12
2. Să se determine valoarea |A| la o frecvenŃă f = 10 MHz, dacă
A=1 000/(1+jf/10MHz).
3. Să se determine faza lui A la o frecvenŃă f = 10 MHz, dacă A
are expresia din problema precedentă.
4. Un amplificator operaŃional are o valoare maximă a tensiunii
de dezechilibru de intrare OFFV =± 3mV şi o amplificare de curent
continuu CCA = -1 000. Să se determine între ce limite se va găsi tensi-
unea de ieşire iesV dacă tensiunile de intrare sunt pV = 5 mV şi nV =
=6m V.
5. Amplificarea de mod comun a unui amplficator operaŃional
este MCA = 0,0002. Să se determine valoarea absolută a tensiunii de
ieşire iesV , dacă tensiunile de intrare sînt p nV V= = 2V.
6. În circuitul din figura 1.2 1V = 9mV, 2V = 8mV, 1 2R R= =
=10 M şi valoarea maximă a curentului de dezechilibru de intrare
a amplificatorului operaŃional peste 15pA. Să se determine între ce limite
se va găsi iesV dacă A=1 000 şi amplificatorul respectă ecuaŃia 1.1.
Fig. 1.2
7. Să se arate că în circuitul din figura 1.3 („Repetor de tensiune”),
ies inV V= dacă se respectă ecuaŃia 1.1 şi dacă A tinde către infinit.
Fig. 1.3
8. În figura 1.4 se arată un amplificator operaŃional folosit ca un
integrator. Să se arate că dacă amplificatorul operaŃional este descris
de ecuaŃia 1.1 în care A tinde către infinit şi are curenŃi de intrare nuli,
atunci ies inV (1/ RC) V dt= ∫ pentru comutatorul S deschis.

13
Fig.1.4
9. Să se arate că în sumatorul din figura 1.5, ies 1 2 3V (V V V ) / 3= + +
dacă toate patru amplificatoarele operaŃionale sînt descrise de ecuaŃia 1.1
cu A tinzînd către infinit, şi au curenŃi de intrare nuli.
Fig. 1.5
10. Să se arate că în sumatorul din figura 1.6. ies 1 2 3V (V V V )= − + +
dacă amplificatorul operaŃional este descris de ecuaŃia 1.1, cu A tinzînd
către infinit, şi are curenŃi de intrare nuli.

15
Fig. 1.8
11. Să se modifice valorile rezistenŃelor în circuitul din figura 1.6,
astfel încît ies 1 2 3V (V 2V 3V )= − + + . Se va considera că amplificatorul
operaŃional este deschis de ecuaŃia 1.1, cu A tinzînd către infinit, şi are
curenŃi de intrare nuli.
12. Să se găsească iesV în circuitul de formare a impulsurilor din
figura 1.7 a, pentru inV dat în figura 1.7 b. Se va considera că ampli-
ficatorul operaŃional este descris de ecuaŃia 1.1, cu A tinzînd către
infinit, şi are curenŃi de intrare nuli.
13. Să se arate că în circuitul din figura 1.8 inV
iesV e= dacă
cuadripolul B descris de ecuaŃia 2 1V ln V= şi dacă amplificatorul
operaŃional este descris de ecuaŃia 1.1, cu A tinzînd către infinit.

16
2. AMPLIFICATOARE OPERAłIONALE IDEALE
Un amplificator operaŃional ideal (fig. 2.1) are două borne de intrare,
o bornă de ieşire şi o bornă de masă. Tensiunea iesV dintre borna de
ieşire şi borna de masă depinde de tensiunea pV dintre borna pozitivă
(+) şi masa de tensiune nV dintre borna negativă (-) şi masă,
prin relaŃia:
ies p nV A(V V )= − (2.1,a)
relaŃie care este adevărată atîta vreme cît curentul de ieşire este finit,
adică atîta vreme cît :
ies| I |< ∞ (2.1,b)
Mărimea A se numeşte amplificare, amplificarea în buclă deschisă
sau amplificarea tensiunii diferenŃiale a amplificatorului operaŃional*.
Amplificatorul operaŃional ideal are de asemenea curenŃi de intrare
nuli, adică în figura 2.1,
p nI I 0= = (2.2)
Fig.2.1 Amplificator
operaŃional ideal
________________
* În capitolele 2, 3 şi 4, A se va considera independent de frecvenŃă. Caracte-
risticile de frecvenŃă ale lui A vor fi introduse în capitolul 5.

17
ProprietăŃile descrise de ecuaŃiile 2.1 şi 2.2 sînt respectate indife-
rent de valoarea lui pV şi nV . Astfel, dacă de exemplu un amplificator
operaŃional ideal are la intrare tensiunile p nV = V 1= milion de volŃi,
tensiunea de ieşire va fi iesV 0= . Aceasta rezultă din ecuaŃia 2.1, deşi în
realitate ar fi foarte dificil de găsit un asemenea amplificator opera-
Ńional. De asemenea ecuaŃia 2.2 este dificil de satisfăcut într-un ampli-
ficator operaŃional real; curenŃii de intrare nu sînt niciodata nuli, deşi
în multe cazuri ei pot fi neglijaŃi.
CIRCUITE AMPLIFICATOARE NEINVERSOARE
În figura 2.2 se arată un amplificator operaŃional folosit ca ampli-
ficator neinversor. Din ecuaŃia 2.1 rezultă pentru tensiunea de ieşire:
ies inV = AV (2.3)
Fig.2.2 Circuit amplificator
neinversor
Exemplul 2.1. Un amplificator operaŃional folosit ca amplificator nein-
versor are o amplificare A = 5 000. Tensiunea de intrare este inV = 1 mV. Prin
urmare tensiunea de ieşire este ies inV V= = 5 000×1 mV = 5V.
CIRCUITE AMPLIFICATOARE INVERSOARE
ficator inversor. Din ecuaŃia 2.1 rezultă pentru tensiunea de ieşire:
ies inV = -AV (2.4)
inversor
2 – Amplificatoare operaŃionale

18
Exemplul 2.2 Un amplificator operaŃional folosit ca amplificator inversor
are o amplificare A = 10 000. Tensiunea de intrare este inV = 1m V. Rezultă o
tensiune de ieşire ies inV AV= − = -10 000 × 1 m V = -10V.
CIRCUITE AMPLIFICATOARE DIFERENłIALE
ficator diferenŃial. Din ecuaŃia 2.1 rezultă pentru tensiunea de ieşire:
ies p nV = A(V -V ) (2.5)
diferenŃial
Exemplul 2.3 Un amplificator operaŃional folosit ca amplificator diferen-
Ńial are o amplificare A=20 000. Tensiunile de intrare sînt pV = 9 mV şi pV = 9,1 mV.
Rezultă o tensiune de ieşire ies p nV A(V V ) 20000 (9mV 9,1mV) 2V= − = × − = − .
CU INTRĂRI FLOTANTE
În figura 2.5 se arată un amplificator diferenŃial cu intrări flotante.
Din ecuaŃia 2.1 rezultă pentru tensiunea de ieşire:
ies inV = AV (2.6)
Fig. 2.5 Circuit amplificator
diferrenŃial cu intrări flotante
Exemplul 2.4. În amplificatorul diferenŃial cu intrări flotante din figura 2.5
se foloseşte un amplificator operaŃional cu o amplificare A = 1 000. Tensiunea
de intrare este inV = 1 mV. Prin urmare tensiunea de ieşire este ies inV AV= =
=1000×1 m V=1V.

19
P R O B L E M E
1. Ce valoare trebuie să aibă amplificarea A pentru ca un semnal
de intrare de tensiune inV = 0,1 mV să fie aplicat la o tensiune Vies=
=2V ? Care tip de amplificator trebuie folosit ?
2. Un circuit amplificator inversor are o amplificare A=5 000 şi o
tensiune de ieşire iesV = 2V . Să se determine valoarea tensiunii de
intrare inV .
3. Să se determine valoarea lui Vp în circuitul din figura 2.6, dacă
amplificarea A= 10 000, tensiunea de ieşire iesV 1V= şi dacă nV 5mV= .
4. Să se determine valoarea tensiunii de ieşire iesV în circuitul
din figura 2.6, dacă amplificatorul operaŃional este ideal cu o ampli-
ficare A = 2 000 şi dacă inV = -1m V.
Fig. 2.6
5. Să se determine valoarea tensiunii de ieşire iesV în circuitul din
figura 2.7, dacă amplificatorul operaŃional este ideal cu o amplificare
A = 2 000 şi dacă inV = -1m V.
Fig. 2.7
6. Să se calculeze valorile tensiunilor 1iesV şi 2iesV în circuitul
din figura 2.8, considerînd 1A = 10 000 şi inV = - 0,2m V.
2*

20
Fig. 2.8
7. Să se calculeze valoarea lui iesV în circuitul din figura 2.9 dacă
1V = 1mV, 2V = 5 V, 1A = 5V şi 2A = 10 000. Să se repete pentru 1A =
=5001.
Fig. 2.9
8. Să se calculeze valoarea lui iesV în circuitul din figura 2.10
dacă inV =10 mV şi A = 2 000.
Fig. 2.10

21
9. Să se calculeze valorile tensiunilor 1iesV şi 2iesV în circuitul din
figura 2.11, dacă 1 2 3V V V= = = 1 mV şi 1 2A A= = 4 000.
Fig. 2.11
10. Ce valoare are iesV în circuitul din figura 2.12 ? Să se explice
rezultatul pe baza ecuaŃiei 2.1,b.
Fig. 2.12
11. Circuitul amplificator diferenŃial, din figura 2.4 este folosit
ca un comparator cu nV = 1V şi pV t 1= × V/secundă. După cît timp
se va anula iesV ?

22
3. REACłIA
PerformanŃele unui circuit amplificator care foloseşte un ampli-
ficator operaŃional pot fi modificate substanŃial prin aplicarea unei
reacŃii corespunzătoare: amplificarea rezultată poate fi micşorată,
stabilitatea sa îmbunătăŃită, mărimea semnalelor parazite redusă, lărgi-
mea de bandă şi viteza de lucru crescute, nelinearităŃile diminuate.
DiscuŃia se va referi numai la reacŃia negativă, adică la cazul în care o
parte a tensiunii de ieşire este redusă la borna de intrare negativă;
cîteva proprietăŃi ale reacŃiei pozitive vor fi succinct menŃionate în pro-
blema 16 din acest capitol şi în problema 12 a capitolului 4.
În acest capitol se vor determina amplificările diferitelor circuite
amplificatoare cu reacŃie; alte proprietăŃi ale reacŃiei vor fi discutate
în capitolele următoare.
CIRCUITE AMPLIFICATOARE NEINVERSOARE
CU REACłIE
Fie circuitul din figura 3.1. Semnalul de intrare inV este introdus
pe borna de intrare pozitivă (+) a amplificatorului. Borna de intrare
negativă (-), nu mai este însă legată la masă ca mai înainte, ci pri-
meşte o tensiune mV care este o fracŃiune a tensiunii de ieşire iesV :
m N iesV = F V (3.1)
unde factorul de reacŃie al circuitului amplificator neinversor, NF , este
definit astfel:
I
N
I R
R
F
R R
≡
+
(3.2)

23
neinversor cu reacŃie
negativă
Pentru a exprima iesV ca funcŃie de inV se va utiliza ecuaŃia 2.1
care capătă forma:
ies in mV A(V V )= − (3.3)
Combinînd ecuaŃiile 3.1 şi 3.3 rezultă:
ies
in N
V A
V 1 AF
=
+
(3.4)
Mărimea ies inV / V este amplificarea rezultată a circuitului ampli-
ficator neinversor cu reacŃie şi în cele ce urmează va fi notată cu NM ,*
ies
N
in
V
M
V
= (3.5)
Prin urmare, pentru circuitul amplificator neinversor cu reacŃie
negativă,
N
N
A
M
1 AF
=
+
(3.6)
unde coeficientul de reacŃie NF este dat de ecuaŃia (3.2).
EXEMPLU 3.1. În circuitul amplificator cu reacŃie, din figura 3.1 se folo-
seşte un amplificator operaŃional cu amplificarea A=1000. Valorile rezisten-
Ńelor sînt IR =1000 şi RR = 9000 . Prin urmare coeficientul de reacŃie este:
I
N
I R
R 1000
F 0,1
R R 1000 9000
Ω
= = =
+ Ω + Ω
iar amplificarea rezultată a circuitului amplificator cu reacŃie este
N
N
A 1000 1000
M 9,90
1 AF 1 1000 0,1 101
Ω
= = = =
+ + ×
___________
* NM se mai numeşte uneori amplificare cu reacŃie sau amplificare pe buclă închisă

24
Este interesant de văzut ce se întîmplă atunci cînd amplificarea
A a amplificatorului operaŃional este suficient de mare pentru ca ampli-
ficarea pe buclă a circuitului amplificator neinversor NF A să devină mult
mai mare decît unitatea, adică:
NF A 1≫ (3.7)
În acest caz, expresia (3.6) a amplificării rezultate se poate reduce
la următoarea formă simplificată:
N
N N N
A A 1
M
1 AF AF F
= ≈ =
+
(3.8)
Prin urmare, dacă A este suficient de mare ca să rezulte o ampli-
tudine pe buclă NAF 1≫ , amplificarea rezultată a circuitului amplifi-
cator cu reacŃia NM devine independent de A şi este determinat doar
de coeficentul de reacŃie, adică de rezistenŃele IR şi RR .
Exemplul 3.2. În circuitul amplificator din fig. 3.1 se foloseşte un ampli-
ficator operaŃional cu o amplificare A=100000.RezistenŃele au valorile IR 1000= Ω
şi RR 9000= Ω . Prin urmare, factorul de reacŃie este:
I
N
I R
R 1000
F 0,1
R R 1000 10000
Ω
= = =
+ Ω + Ω
Amplificarea pe o buclă are valoarea NAF 100000 0,1 10000 1= × = ≫ . Deci
amplificarea rezultată a circuitului amplificator este aproximativ
N NM 1/ F 1/ 0,1 10≈ = = . Valoarea exactă a lui NM este:
N
N
A 100000
M 9,9990
1 AF 1 10000
= = =
+ +
CIRCUITE AMPLIFICATOARE INVERSOARE
CU REACłIE
În figura 3.2 se arată un circuit amplificator inversor cu reacŃie
negativă. Aici, ca şi în cazul circuitului amplificator neinversor, o frac-
Ńiune a tensiunii de ieşire este readusă la borna de intrare negativă.
De data aceasta însă, semnalul de intrare inV este introdus pe borna
negativă prin rezistenŃa de la intrare IR . Folosind ecuaŃia 2.1 rezultă:
ies mV AV= (3.9)
Din figura 3.2 rezultă:
in m
n
I
V V
I
R
−
= (3.10)

25
Fig.3.2 Cicuit amplificator
inversor cu reacŃie negativă
şi
m ies
n
R
V V
I
R
−
= (3.11)
Combinînd ecuaŃiile 3.9, 3.10 şi 3.11, amplificarea rezultantă a
circuitului amplificator inversor cu reacŃie, IM ,* devine:
ies
I
in I
V A
M
V 1 (A 1)F
−
= =
+ +
(3.12)
unde factorul de reacŃie al circuitului amplificator inversor, FI, este
definit ca :
RI
I RR
F ≡ (3.13)
Exemplul 3.3. În circuitul amplificator cu reacŃie din figura 3.2 se folo-
seşte un amplificator operaŃional cu A=1000. RezistenŃele au valorile IR = 1000
şi RR =10000 . Prin urmare, coeficientul de reacŃie este:
I
I
R
R 1000
F 0,1
R 10000
= = = ,
şi amplificarea rezultată a circuitului amplificator cu reacŃie este:
I
I
A 1000
M 9,89
1 (A 1)F 1 (1000 1) 0,1
− −
= = = −
+ + + + ×
Dacă amplificarea A este sufficient de mare pentru ca amplificarea pe
buclă a circuitului amplificator inversor, definită ca produsul IAF , să fie
mare, adică atunci cînd:
I IAF 1 F+≫ (3.14)
____________
* IM se mai numeşte uneori amplificare cu reacŃie sau amplificare pe buclă închisă

26
ecuaŃia 3.12 se reduce la următoarea formă simplificată:
I
I I I I I
A A A 1
M
1 (A 1)F 1 F AF AF F
− − −
= = ≈ = −
+ + + +
(3.15)
Prin urmare, ca şi în cazul circuitului amplificator neinversor cu reacŃie
negativă, dacă amplificarea A este suficient de mare, amplificarea
rezultată depinde doar de coeficintul de reacŃie adică de rezistenŃele
IR şi RR .
Exemplul 3.4. În circuitul amplificator cu reacŃie din figura 3.2 se folo-
seşte un amplificator operaŃional cu amplificarea A=100000. RezistenŃele au
valori IR =1000 şi RR =10000 . Prin urmare coeficientul de reacŃie este:
I
I
R
R 1000
F 0,1
R 10000
= = =
Amplificarea pe buclă are valoarea I IAF 100000 0,1 10000 1 F 1,1= × = + =≫ .
Deci amplificarea rezultantă a circuitului amplificator cu reacŃie este aproximativ
I IM 1/ F 1/ 0,1 10≈ − = − = − . Valoarea exactă a lui IM este:
I
I
A 100000
M 9,9989
1 (A 1)F 1 (100000 1) 0,1
− −
= = = −
+ + + + ×
CU REACłIE
În figura 3.3 se arată un circuit amplificator diferenŃial cu reacŃie
negativă. Rezultă ecuaŃiile următoare:
ies p nV A(V V )= − (3.16)
n m
m
I
V V
I
R
−
= (3.17)
diferenŃial cu reacŃie negati-
vă

27
şi:
m ies
m
R
V V
I
R
−
= (3.18)
Combinînd aceste ecuaŃii, rezultă:
ies p in
N I
A A
V V V
1 AF 1 (1 A)F
= −
+ + +
(3.19)
unde coeficenŃii de reacŃie NF şi IF sînt definiŃi astfel:
I
N
I R
R
F
R R
≡
+
(3.20)
I
I
R
R
F
R
≡ (3.21)
EcuaŃia 3.19 mai poate fi scrisă în forma:
ies N p I nV M V M V= + (3.22)
unde NM şi IM sînt definite astfel:
N
N
A
M
1 AF
≡
+
(3.23)
şi
I
I
A
M
1 (A 1)F
−
≡
+ +
(3.24)
cu NF şi IF daŃi de ecuaŃiile 3.20 respectiv 3.21.
Se observă că NM şi IM au în general aceeaşi mărime; prin
urmare cele două semnale de intrare pV şi nV sînt amplificate de un
număr diferit de ori. În cazul limită al unor amplificări pe buclă NAF 1≫
şi I IAF 1 F+≫ ,* tensiunea de ieşire iesV se poate aproxima prin:
ies p n
N I
1 1
V V V
F F
≈ − (3.25)
Exemplul 3.5. În circuitul din figura 3.3 se foloseşte un amplificator ope-
raŃional cu amplificarea A=100000. RezistenŃele au valorile IR 1000= Ω şi
RR 9000= Ω . Valoarea coeficientului de reacŃie NF este:
I
N
I R
R 1000 1
F
R R 1000 9000 10
Ω
= = =
+ Ω + Ω
iar valoarea coeficentului de reacŃie IF este:
I
I
R
R 1000 1
F
R 9000 9
Ω
= = =
Ω
________________
* Se poate arăta că aceste două condiŃii sînt echivalente.

28
Valoarea amplificarii pe buclă NAF este:
NAF 100000 /10 10000 1= = ≫ ,
deci se justifică folosirea ecuaŃiei 3.25:
ies p n p n
N I
1 1
V V V 10V 9V
F F
≈ − = −
Expresia exactă pentru iesV obŃinută din ecuaŃia 3.19, este
ies p n
N I
p n p n
A A
V V V
1 AF 1 (A 1)F
10000 100000
V V 9,9990V 8,9991V
1 100000 0,1 1 (100000 1) / 9
= − =
+ + +
= − = −
+ × + +
Mărimile amplificărilor celor două semnale de intrare pV şi nV la
un circuit amplificator diferenŃial cu reacŃie pot fi făcute egale dacă se
modifică circuitul din figura 3.3. aşa cum se arată în figura 3.4. Acum,
din ecuaŃia 3.19 rezultă pentru tensiunea de ieşire iesV expresia:
p
ies p n
N p s I
RA A
V V V
1 AF R R 1 (1 A)F
= − =
+ + + +
p n
s s I II I
R Rp R p R
A A
V V
R R R RR R
1 A1 A (1 ) / (1 )
R RR R R R
= −
+ ++ + + +
(2.36)
Dacă:
pR
I s
RR
R R
= (3.27)
atunci ecuaŃia devine:
ies p n
I
A
V (V V )
1 (1 A)F
= −
+ +
(3.28)
adică mărimile amplificărilor lui nV şi pV sînt egale. Mai mult chiar,
dacă amplificările pe bucla NAF 1≫ şi I IAF 1 F+≫ , atunci iesV se poate
aproxima astfel:
ies p n
I
1
V (V V )
F
≈ − (3.29)
Exemplul 3.6. În circuitul din figura 3.4 se foloseşte un amplificator ope-
raŃional cu amplificarea A=100000. RezistenŃele au valori IR 1000= Ω ,
RR 9000= Ω , sR 2000= Ω şi pR 18000= Ω . Deci p s R IR / R R / R= , şi
amplificarea pe buclă :
I I
I I
R R
R R1000
AF A 10000 11111 1 F 1 1,11
R 9000 R
= = = + = + =≫

29
Fig. 3.4 Circuit amplifica-
tor diferenŃial cu reacŃie
negativă şi cu amplificări
egalizate
Prin urmare se poate aplica ecuaŃia 3.29, adică tensiunea de ieşire este aproximativ:
ies p n
I p n
1
V 9(V V )
F (V V )
≈ = −
−
Expresia exactă pentru iesV corespunzătoare ecuaŃiei 3.28, este:
ies p n p n p n
I
A 100000
V (V V ) (V V ) 8,9991(V V )
1 (A 1)F 1 (100000 1) / 9
= − = − = −
+ + + +
CIRCUITUL REPETOR DE TENSIUNE
Un caz special al circuitului amplificator neinversor cu reacŃie din
figura 3.1 apare în situaŃii limită în care fie IR 0≠ şi RR 0= fie IR = ∞
şi RR ≠ ∞ Acest caz special constituie circuitul repetor de tensiune, forma
cea mai simplă a acestui circuit fiind repre-
zentată în figura 3.5. Coeficientul de reacŃie
NF are valoarea NF 1= ; prin urmare, din
ecuaŃia 3.4 rezultă:
ies
in
V A
V 1 A
=
+
(3. 30)
În situaŃia limită în care amplificarea A ≫ 1,
ecuaŃia 3.30 se reduce la:
ies
in
V
1
V
≈ , (3.31)
de unde şi denumirea de repetor de tensiune. Fig. 3.5

30
Exemplul 3.7 Amplificatorul operaŃional folosit în circuitul din figura 3.5
are o amplificare A=100000. Prin urmare, din ecuaŃia 3.30 rezultă:
ies
in
V 100000
0,999990
V 1 100000
= =
+
P R O B L E M E
1. Să se calculeze valoarea amplificării rezultate a circuitului
amplificator neinversor cu reacŃie, NM , dacă amplificatorul operaŃio-
nal folosit are amplificarea A=100000 iar rezistenŃele au valorile
IR =100 şi RR = =10000 . Cu cîte procente se modifică NM dacă A
este modificat la 11000?
2. Să se deducă m inV / V în figura 3.1. Ce devine m inV / V dacă ampli-
ficarea pe bucla NAF 1≫ ?
3. Să se deducă ecuaŃia 3.4.
4. Să se calculeze valoarea amplificării rezultate a circuitului
amplificator inversor IM pentru circuitul din figura 3.2, dacă ampli-
ficatorul operaŃional are amplificarea A=10000 iar rezisŃentele au
valorile IR =100 şi RR = =10000 .
5. Să se deducă m inV / V în figura 3.2. Ce devine m inV / V dacă ampli-
ficarea pe buclă I IAF 1 F+≫ ?
7. Să se deducă in mV / I în figura 3.2. Ce devine in mV / I dacă ampli-
ficarea pe buclă I IAF 1 F+≫ ?
8. Să se calculeze valorile amplificărilor rezultate NM şi IM ale
circuitului amplificator diferenŃial cu reacŃie din figura 3.3, dacă ampli-
ficatorul operaŃional folosit în circuit are amplificarea A=10000 iar
rezistenŃele au valorile IR =100 şi RR = 10000
10. În circuitul din figura 3.4 amplificatorul operaŃional are o
amplificare A=10000. RezistenŃele au valoriler IR =100 , RR =10000 ,
sR =100 şi pR =10000 ; tensiunile de intrare sînt p nV V= =1V.
Ce valoare are tensiunea de ieşire iesV ? Să se repete cu RR = 10001 .
12. Să se calculeze valoarea raportului ies inV / V pentru un circuit
repetor de tensiune în care se foloseşte un amplificator operaŃional cu
amplificarea A=1000.
13. Să se calculeze ies inV / V pentru circuitul din figura 3.6. Să se
comenteze rezultatul.
14. Să se calculeze valoarea tensiunii de ieşire iesV în circuitul
din figura 3.7, dacă nV = 1 mV şi amplificarea A = 1000.

31
Fig. 3.6 Fig. 3.7
15. Să se deducă o expresie pentru iesV în circuitul amplificator
diferenŃial compus figura 3.8. Cum depinde iesV de 1R şi de 2R ? Să se
calculeze iesV pentru 1V =10 mV, 2V = 11 mV, 1R = 1 M , 2R =10 M şi
1A =11000, 2A =10000, IR = sR =100 , RR = pR =100000 şi
3A =10000. În ce scop se folosesc amplificatoarele operaŃionale 1A şi 2A ?
Fig. 3.8
16. În figura 3.9 se arată un circuit amplificator cu reacŃie pozitivă.
Să se determine valoarea lui ies inV / V dacă amplificatorul operaŃional
are amplificarea A=100 iar IR =100 şi RR =10000 . Să se comenteze
rezultatul.

32
Fig. 3.9
17. Folosind expresia aproximativă N NM 1/ F≈ în locul ecuaŃiei
exacte 3.6, NM se calculează cu o anumită eroare. Se defineşte eroarea
relativă la determinarea lui NM :
N Nexact aproxN
N Nexact
M MM
M M
−∆
=
unde Nexact
M este NM din ecuaŃia 3.6 iar N Naprox
M 1/ F= . Să se arate
că eroarea relativă la determinarea lui NM este: N
N N
M 1
M AF
∆
= −
18. Folosind expresia aproximativă I IM 1/ F≈ − în locul ecuaŃiei
exacte 3.12, IM se calculează cu o anumită eroare. Se defineşte eroarea
relativă la determinarea lui IM :
exact aprox
exact
I II
I I
M MM
M M
−∆
= ,
unde exactIM este IM din ecuaŃia 3.12 iar aproxI IM 1/ F= − . Să se arate că
eroarea relativă la determinarea lui IM este:
I I
I I
M 1 F
M AF
∆ +
= −
19. Să se determine ies inV / V pentru circuitul amplificator cu intrare
diferenŃială şi ieşire diferenŃială din figura 3.10.* Să se calculeze ies inV / V
pentru 1 2A A 1000= = , 1R = 2R =10000 şi 3R =2000 .
20. Să se determine ies inV / V pentru circuitul amplificator poten-
Ńiometric din figura 3.11*. Să se calculeze ies inV / V pentru
1 2A A 1000= = şi 1 2 3 4R R R R 1000= = = = Ω
_______________
* Pentru o analiză riguroasă a circuitului vezi J. Eimbinder, Designing with Lincar
Integrated Circuits, John Wiley and Sons, New York, 1969

33
21. Să se arate că dacă NF şi IF sînt date de ecuaŃiile 3.20 respectiv
3.21, atunci condiŃiile NAF 1≫ şi I IAF 1 F+≫ sînt echivalente.
Fig. 3.10
Fig. 3.11

34
4.PRECIZIA AMPLIFICĂRII
Expresiile deduse în capitolul precedent pentru amplificările rezul-
tante NM şi IM arată că acestea depind de valoarea amplificării A a
amplificatorului operaŃional şi de valorile rezistenŃelor IR şi RR . De
multe ori apare necesitatea evaluării efectelor unor mici modificări ale
amplificării A sau ale valorilor rezistenŃelor asupra lui NM şi IM . Desigur,
o astfel de evaluare se poate face calculând pe NM şi IM ; uneori acest
procedeu poate deveni foarte laborios, îndeosebi atunci când modifi-
cările sunt mici.
Exemplul 4.1. Într-un circuit amplificator neinversor cu reacŃie negativă
(Fig. 3.1) se foloseşte un amplificator operaŃional cu o amplificare A 10000 1%= ± .
RezistenŃele au valorile IR 1000= Ω şi RR 9000= Ω . Cît va fi variaŃia relativă
a amplificării rezultante a circuitului amplificator cu reacŃie NM , ca urmare
a modificării lui A cu 1%?
Valoarea coeficientului de reacŃie NF este
I
N
I R
R 1000
F 0,1
R R 1000 9000
Ω
= = =
+ Ω + Ω
.
Cînd A are valoarea nominala A=10000, NM are valoarea
Nnom
N
A 10000 10000
M 9,99
1 AF 1 10000 0,1 1001
= = = ≈
+ + ×
.
Cînd A are valoarea sa minimă A=9900, NM este
Nmin
N
A 9900 9900
M
1 AF 1 9900 0,1 991
= = =
+ + ×
.
Când A are valoarea sa maximă A=10100, NM devine
Nmax
N
A 10100 10100
M
1 AF 1 10100 0,1 1011
= = =
+ + ×
.

35
DiferenŃa dintre valorile minimă şi nominală ale lui NM este:
N Nmin nom
9900 1000 100
M M 0,0001
991 1001 991,991
− = − = − ≈ − ,
iar variaŃia relativă a lui NM corespunzătoare acestei diferenŃe este:
N Nmin nom
Nnom
M M 0,0001
0,00001 0,001%
M 9,99
−
≈ − ≈ − = − .
DiferenŃa dintre valorile maximă şi nominală ale lui NM este:
N Nmax nom
10100 10000 100
M M 0,0001
1011 1001 1.012.011
− = − = ≈
iar variaŃia relativă a lui NM corespunzătoare acestei diferenŃe este:
N Nmax nom
Nnom
M M 0,0001
0,00001 0,001%
M 9,99
−
≈ ≈ =
Prin urmare, amplificarea rezultantă poate fi exprimată astfel:
NM 9,99 0,001%= ±
VARIAłII MICI ALE AMPLIFICĂRII
AMPLIFICATORULUI OPERAłIONAL
Exemplul anterior ilustrează cît de incomodă poate deveni eva-
luarea modificării amplificării rezultante NM atunci când variaŃiile
amplificării A ale amplificatorului operaŃional sunt mici. În cele ce ur-
mează se va arăta că în cazul în care mărimile variaŃiilor lui A sînt
mult mai mici decât A, se pot obŃine expresii simple pentru variaŃiile
relative ale lui NM şi IM .*
Definind
nomA A A∆ ≡ − (4.1)
şi
nomM M M∆ ≡ − (4.2)
unde
( )nom nomM M A≡ (4.3)
şi considerând că A A∆ este mic, adică
A
1
A
∆
<< (4.4)
______________
* Rezultatele din acest capitol vor fi obŃinute pe baza unor dezvoltări în serie
Taylor. Se poate însă ajunge la aceste rezultate şi direct – vezi problemele 13 şi 14

36
amplificarea rezultantă M poate fi dezvoltată în următoarea serie
Taylor:
( ) ( )
nom nom
2
2
nom nom nom2
A A A A
M 1 M
M M A A A A ...
A 2! A= =
 ∂ ∂ 
= + − + − +    ∂  ∂ 
(4.5)
combinând ecuaŃiile 4.1, 4.2, 4.3 şi 4.5 rezultă:
nom nom
2
2
2
A A A A
M 1 M
M A A ...
A 2! A= =
 ∂ ∂ 
∆ = ∆ + ∆ +    ∂  ∂ 
(4.6)
Se poate arăta că, Ńinând seama de ecuaŃia 4.4, ecuaŃia 4.6 poate fi
aproximată în modul următor
nomA A
M
M A
A =
∂ 
∆ = ∆ 
∂ 
(4.7)
şi prin urmare, variaŃia relativă a amplificării rezultante
nom
nom
nom nom nomA A
AM M A
M M A A=
∆ ∂ ∆ 
=  
∂ 
(4.8)
În cazul circuitului amplificator neinversor cu reacŃie, Ńinând seama
de ecuaŃia 3.6, ecuaŃia 4.8 pentru M= NM devine:
nom
N
N nom N nom
M 1 A
M 1 A F A
∆ ∆
=
+
(4.9)
Când amplificarea pe buclă nom NA F 1>> , ecuaŃia (4.9) se reduce la
nom
N
N nom N nom
M 1 A
M A F A
∆ ∆
≈ (4.10)
Exemplul 4.2. Se va calcula din nou variaŃia relativă a lui NM pentru
exemplul precedent adică pentru A 10000 1%= ± şi NF 0,1= , de data aceasta
explicându-se ecuaŃia 4.10. Valoarea amplificării pe buclă este
nom NA F 10000 0,1 1000 1= × = >> ; prin urmare se justifică folosirea ecuaŃiei 4.10:
N
N nom N nomnom
M 1 A 1
1% 0,001%
M A F A 1000
∆ ∆
= = =
Valoarea nominală a amplificării rezultante a circuitului amplificator cu reac-
Ńie este
nom
Nnom
nom N
A
M 9,99
1 A F
= ≈
+
,
deci NM poate fi exprimat astfel:
NM 9,99 0,001%= ± .

37
În cazul circuitului amplificator inversor cu reacŃie, Ńinînd seama
de ecuaŃia 3.12, ecuaŃia 4.8 pentru IM M= devine:
( )
I I
I nom I nomnom
M 1 F A
M 1 A 1 F A
∆ + ∆
=
+ +
(4.11)
Cînd amplificarea pe buclă nom I IA F 1 F>> + , ecuaŃia 4.11 se reduce la
I I
I nom I nomnom
M 1 F A
M A F A
∆ + ∆
≈ (4.12)
Exemplul 4.3. Într-un circuit amplificator inversor cu reacŃie negativă
se foloseşte un amplificator operaŃional cu o amplificare A 10000 1%= ± .
RezistenŃele au valorile IR 1000= Ω şi RR 10000= Ω . Care este valoarea no-
minală a lui IM şi cît este variaŃia sa relativă corespunzătoare variaŃiei lui A
cu 1%?
Din ecuaŃia 3.13
I
I
R
R 1000
F 0,1
R 10000
= = = .
Valoarea nominală a lui IM se obŃine cu ajutorul ecuaŃiei 3.12:
( ) ( )
nom
Inom
nom I
A 10000
M 9,99
1 A 1 F 1 10000 1 0,1
− −
= = ≈ −
+ + + + ×
Valoarea amplificării pe buclă nom I IA F 10000 0,1 1000 1 F 1,1= × = >> + = ;
se poate deci aplica ecuaŃia 4.12:
I I
I nom I nomnom
M 1 F A 1 0,1
1% 0,0011%
M A F A 1000
∆ + ∆ +
= = =
Prin urmare, IM 9,99 0,0011%= − ± .
VARIAłII MICI ALE REZISTENłEI DE REACłIE
În următorul caz analizat se va considera că în figura 3.1 sau în
figura 3.2, amplificarea A a amplificatorului operaŃional şi rezistenŃa
de intrare IR sunt constante şi doar rezistenŃa de reacŃie RR variază.
În acest caz
( ) ( )nom nom
R Rnom
R R R
R R R
M
M M R R R
R =
 ∂
= + − + 
∂ 
( )nom
R Rnom
2 2
R R2
R R R
1 M
R R ...
2! R =
 ∂
− + 
 ∂ 
(4.13)
Definind
nomR R RR R R∆ ≡ − (4.14)

38
şi folosind definiŃia dată de ecuaŃia 4.2 în care
( )nomnom FM M R≡ (4.15)
ecuaŃia 4.13 devine
R R R Rnom nom
2
2
R R2
R RR R R R
M 1 M
M R R ...
R 2! R= =
  ∂ ∂
∆ = ∆ + ∆ +    ∂ ∂   
(4.16)
Se poate arăta că pentru variaŃii relative mici ale rezistenŃei de reacŃie
RR , adică pentru
nom
R
R
R
1
R
∆
<< (4.17)
ecuaŃia 4.16 se poate aproxima astfel:
R Rnom
R
R R R
M
M R
R =
 ∂
∆ = ∆ 
∂ 
(4.18)
şi prin urmare, variaŃia relativă a amplificării rezultante va fi
nom
nomR Rnom
R R
nom nom R RR R
R RM M
M M R R=
  ∆∆ ∂
=  
∂ 
(4.19)
În cazul circuitului amplificator neinversor cu reacŃie, Ńinînd
seama de ecuaŃiile 3.2 şi 3.6, ecuaŃia 4.19 pentru NM M= devine:
( )nom nom nom
nom nom
N R
N N N
N R
M R
M F 1 F
M R
∆ ∆
= − (4.20)
unde coeficientul de reacŃie nomNF este definit ca
( )nom R Rnom
nom
I
N N R R
I R
R
F F
R R=
≡ =
+
(4.21)
În situaŃia limită în care amplificarea pe buclă nomNAF 1>> ,
nom nomN NM 1 F≈ (vezi ecuaŃia 3.8) şi deci variaŃia relativă a amplifi-
cării rezultante devine:
( )nom
nom nom
N R
N
N R
M R
1 F
M R
∆ ∆
≈ − (4.22)
Exemplul 4.4. Într-un circuit amplificator neinversor cu reacŃie negativă
se foloseşte un amplificator operaŃional cu A=10000. RezistenŃele au valorile
IR 1000= Ω şi RR 9000 1%= Ω + . Cât este variaŃia relativă a amplificării rezul-
tante NM ca urmare a variaŃiei rezistenŃei de reacŃie RR cu 1%?
Valoarea nominală a coeficientului de reacŃie NF este
I
Nnom
I Rnom
R 1000
F 0,1
R R 1000 9000
Ω
= = =
+ Ω + Ω
.

39
Valoarea amplificării pe buclă este Nnom
AF 10000 0,1 1000 1= × = >> şi deci
se poate aplica ecuaŃia 4.22:
( ) ( )N R
Nnom
N Rnom nom
M R
1 F 1 0,1 1% 0,9%
M R
∆ ∆
≈ − = − × = .
În cazul unui circuit amplificator inversor cu A 1>> , se poate arăta
cu ajutorul ecuaŃiilor 3.12 şi 3.13, că ecuaŃia 4.19 pentru IM M= devine
nom nom
nom nom
I R
I I
I R
M R
M F
M R
∆ ∆
= − (4.23)
unde coeficientul de reacŃie nomIF este definit ca
( )nom R Rnom
nom
I
I I R R
R
R
F F
R=
= = (4.24)
În cazul limită în care amplificarea pe buclă nom nomI IAF 1 F>> + ,
nom nom
I R
I R
M R
M R
∆ ∆
≈ (4.25)
Exemplul 4.5. Într-un circuit amplificator inversor cu reacŃie negativă
se foloseşte un amplificator operaŃional cu A=10000. RezistenŃele au valorile
IR 1000= Ω şi RR 10000 1%= Ω + . Cât este variaŃia relativă a amplificării re-
zultante IM , ca urmare a variaŃiei rezistenŃei de reacŃie RR cu 1%?
Valoarea nominală a coeficientului de reacŃie IF este
I
Inom
Rnom
R 1000
F 0,1
R 10000
Ω
= = =
Ω
Valoarea amplificării pe buclă este I Inom
AF 10000 0,1 1000 1 F 1,1= × = >> + =
şi deci se poate aplica ecuaŃia 4.25
I R
I Rnom nom
M R
1%
M R
∆ ∆
≈ = .
Având în vedere că
( ) ( )Inom
Inom
A 10000
M 9,99
1 A 1 F 1 10000 1 0,1
− −
= = ≈ −
+ + + +
,
amplificarea rezultantă a circuitului amplificator cu reacŃie se poate exprima prin
IM 9,99 1%= − ± .
VARIAłII MICI ALE REZISTENłEI DE INTRARE
În cazul în care amplificarea A a amplificatorului operaŃional şi
rezistenŃa FR sunt constante şi doar rezistenŃa de intrare IR variază,
se poate arăta că pentru un circuit amplificator neinversor
( )nom nom nom
nom nom
N I
N N N
N I
M R
M F 1 F
M R
∆ ∆
= − − (4.26)

40
unde coeficientul de reacŃie nomNF este definit de ecuaŃia 4.21, iar IR∆
se defineşte ca
nomI I IR R R∆ ≡ − (4.27)
În cazul limită în care amplificarea pe buclă nomNAF 1>> ,
ecuaŃia 4.26 se reduce la
( )nom
nom nom
N I
N
N I
M R
1 F
M R
∆ ∆
≈ − − (4.28)
Pentru un circuit amplificator inversor cu A 1>> , se poate arăta că
nom nom
nom nom
I I
I I
I I
M R
M F
M R
∆ ∆
= (4.29)
În cazul limită în care amplificarea pe buclă nom nomI IAF 1 F>> + ,
nom nom
I I
I I
M R
M R
∆ ∆
≈ − (4.30)
VARIAłII ALE MAI MULTOR PARAMETRI
Dezvoltarea în serie Taylor, folosită mai sus la calculul erorilor
datorate variaŃiilor mărimilor A, FR şi IR , poate fi folosită şi la cal-
culul erorilor datorate altor cauze. Ea poate fi de asemenea folosită
la găsirea erorii datorate variaŃiei simultane ale mai multor parametri.
Dacă variază amplificarea A a amplificatorului operaŃional, re-
zistenŃa de reacŃie RR şi rezistenŃa de intrare IR , atunci amplificarea
rezultantă M a circuitului amplificator cu reacŃie se poate exprima cu
ajutorul unei serii Taylor cu mai multe variabile:
( ) ( )nomnom nom R R
R
M M
M M A A R R
A R
 ∂ ∂ 
= + − + − +  
∂ ∂   
( )nomI I
I
M
R R ..
R
 ∂
+ − + 
∂ 
, (4.31)
unde toate derivatele parŃiale se vor evolua pentru nomA A= ,
nomR RR R= şi nomI IR R= .
Dacă variaŃiile relative ale lui A, RR şi IR sunt mici, atunci din
ecuaŃia 4.31 şi folosind definiŃiile din ecuaŃiile 4.1, 4.2, 4.14 şi 4.27 re-
zultă următoarea aproximaŃie pentru variaŃia lui M:
R I
R I
M M M
M A R R
A R R
   ∂ ∂ ∂ 
∆ ≈ ∆ + ∆ + ∆    
∂ ∂ ∂     
, (4.32)

41
unde din nou derivatele se vor evolua pentru nomA A= , nomR RR R= şi
nomI IR R= .
În cazul unui circuit amplificator neinversor cu o amplificare pe
buclă nomnom NA F 1≫ , Ńinînd seama de ecuaŃiile 4.10, 4.22 şi 4.28 din
ecuaŃia 4.32 rezultă pentru NM M= o variaŃie relativă
nom
nom nom
N R
N
N nom N nom R
M R1 A
(1 F )
M A F A R
∆ ∆∆
≈ + − −
nom
nom
I
N
I
R
(1 F )
R
∆
− − . (4.33)
De multe ori trebuie apreciat N NM / M∆ în cazul cel mai defavorabil,
adică maximul valorii sale absolute:
nom
nom nom
N R
N
N nom N nom R
M R1 A
Max (1 F )
M A F A R
∆ ∆∆
≈ + − +
nom
nom
I
N
I
R
(1 F )
R
∆
+ − (4.34)
Exemplul 4.6. Într-un circuit amplificatory neinvcrsor cu reacŃie negativă
se foloseşte un amplificator operaŃional cu A=100000±10%. RezistenŃele au
valorile 1R 100 0,1%= Ω+ şi RR 100000 0,1%= Ω± . Prin urmare:
Inom
Nnom
I Rnom nom
R 100
F 0,001
R R 100 100000
Ω
= = ≈
+ Ω + Ω
iar amplificarea pe buclă nom Nnom
A F 100000 0,001 100 1= × = ≫ , şi deci se poate
aplica ecuaŃia 4.34. Eroarea relativă asupra NM în cazul cel mai defavorabil re-
zultă:
N
N
M 1
Max 10% (1 0,001) 0,1%
M 100
∆
≈ + − × + (1 0,001) 0,1% 0,3%− × ≈
Analog, pentru cazul unui circuit amplificator inversor cu ampli-
ficarea pe buclă nom nomnom I IA F 1 F>> + , Ńinînd seama de ecuaŃiile 4.12,
4.25 şi 4.30, din ecuaŃia 4.32 cu IM M= rezultă:
nom
nom nom nom
II R I
I nom I nom R I
1 FM R RA
M A F A R R
+∆ ∆ ∆∆
≈ + − (4.35)
Din nou interesează valoarea lui I IM / M∆ în cazul cel mai de-
favorabil, adică maximul valorii sale absolute:
nom
nom nom nom
II R I
I nom I nom R I
1 FM R RA
Max
M A F A R R
+∆ ∆ ∆∆
≈ + + (4.36)

42
P R O B L E M E
1. ReŃinînd şi termenul de ordinul 2 din dezvoltarea în serie din
ecuaŃia 4.6, să se arate că eroarea relativă ce rezultă din folosirea ecua-
Ńiei 4.9 este mai mică decît nomA / A∆ .
2. Într-un circuit amplificator neinversor cu reacŃie negativă se
foloseşte un amplificator operaŃional cu amplificarea A =20000±10%.
RezistenŃele au valorile IR 200= Ω şi RR 1800= Ω . Să se găsească
valoarea nominală a amplificării rezultante NM şi eroarea cu care re-
zultă ca urmare a variaŃiei amplificării A cu 10%.
3. Să se deducă ecuaŃiile 4.9, 4.11, 4.20, 4.23, 4.26, şi 4.29.
4. Să se aplice ecuaŃia 4.10 în cazul unui circuit repetor de ten-
siune. Care va fi eroarea relativă a amplificării rezultante NM , dacă
amplificatorul operaŃional folosit în circuit are amplificarea A =10000
±10%?
5. Pentru circuitul amplificator neinversor din figura 3.1 se
dau: A=20000±20%, IR 100 1%= Ω ± şi RR 10000 1%= Ω ± . Să se
găsească valoarea nominală a amplificării rezultante NM şi eroarea sa re-
lativă în procente pentru cazul cel mai defavorabil.
6. Pentru circuitul amplificator neinversor din figura 3.1 se
dau: A =20000±20%, IR 100 0,1%= Ω ± şi RR 10000 0,1%= ± . Să se gă-
sească valoarea nominală a amplificării rezultante MN şi eroarea sa
relativă în procente pentru cazul cel mai defavorabil. Să se compare
acest rezultat cu cel din problema precedentă.
7. În circuitul amplificatory neinversor din figura 3.1, A =10 000
±20%, RR 10000 1%= Ω ± iar rezistenŃa de intrare IR se poate regla
între valoarea sa minimă minIR şi valoarea sa maximă maxIR . Să se gă-
sească valoarea maximă a maxIR si valoarea minimă minIR astfel încît
NM să poată fi ajustat întotdeauna ca să fie egal cu 100.
8. În circuitul amplificator inversor din figura 3.2, A =100±
±10%, IR 100 1%= Ω ± şi RR 10000 1%= Ω ± . Să se găsească valoarea
nominalăa amplificării rezultante NM , şi eroarea sa relativă în procente
pentru cazul cel mai defavorabil.
9. În circuitul amplificator inversor din figura 3.2, A=10000 şi
IR 101= Ω . Să se găsească valoarea rezistenŃei de reacŃie RR pentru
care amplificarea rezultantă este IM 100= − .
10. În circuitul amplificator neinversor din figura 3.1, A=10000,
IR 100= Ω şi RR 10000= Ω . Cît este N NM / M∆ dacă valorile RR şi
IR cresc ambele cu 10%.

43
11. Se consideră circuitul amplificator diferenŃial compus din
figura 3.8, cu elementele şi tensiunile de intrare date în problema 15
din capitolul 3. Să se găsească variaŃia relativă a tensiunii de ieşire
iesV în cazul cel mai defavorabil, dacă rezistenŃele pot varia fiecare
cu cel mult ±1%.
12. În circuitul amplificator cu reacŃie pozitivă din figura 3.9,
A 100 0,1%= ± , IR 100= Ω şi RR 10000= Ω . Să se estimeze M / M∆ da-
torat variaŃiei lui A cu 0,1%.
13. Utilizînd ecuaŃiile 3.6, 4.1, 4.2, 4.3 şi 4.4 cu NM M= să se
deducă ecuaŃia 4.9 fără ca să se foloseascădezvoltarea în serie Taylor.
14. Utilizînd ecuaŃiile 3.2, 3.6, 4.2, 4.14, 4.15 şi 4.17 cu NM M=
să se deducă ecuaŃia 4.20 fără ca să se folosească dezvoltarea în serie
Taylor.

44
5.... RĂSPUNSUL TRANZITORIU
ŞI CARACTERISTICI DE FRECVENłĂ
ALE AMPLIFICATOARELOR OPERAłIONALE
Pînă acum s-a considerat că amplificarea unui amplificator opera-
Ńional (amplificarea tensiunii diferenŃiale) este un număr real pozitiv.
Această presupunere a permis obŃinerea unor rezultate semnificative,
dar ea nu mai este acceptabilă atunci cînd urmează să fie determinate
răspunsul tranzitoriu şi caracteristicile de frecvenŃă, deoarece amplificării
reale A îi va corespunde o lărgime de bandă infinită, un timp de creştere
nul şi un timp de întîrziere nul, toate fizic irealizabile. În acest
capitol se vor examina reprezentări pentru A care să poată fi utilizate la de-
terminarea răspunsului tranzitoriu şi a lărgimii de bandă.
REłEA DE ÎNTÎRZIERE A FAZEI
ReŃeaua de întîrziere a fazei din figura 5.1 constituie adeseori o
bună aproximare pentru un etaj de amplificare dintr-un amplificator
operaŃional. Variabilele inI şi iesV sunt un semnal de curent, de exemplu
curentul de colector de la ieşirea unui etaj cu tranzistor, respectiv, un
semnal de tensiune, cum ar fi tensiunea de la intrarea etajului următor.
Dacă iesV şi inI sînt reprezentate în domeniul timpului, adică
ies iesV V (t)= şi in inI I (t)= , atunci se poate arăta că raportul transfor-
matelor Laplace respective este
ies
in
£{V (t)} R
,
£{I (t)} 1 RCs
=
+
(5.1)
unde s este variabila transformatei Laplace în domeniul acestei trans--
formări
____________
* În fig.5.11 se arată o altă structură a reŃelei de întîrziere a fazei
** Pentru un rezumat al utilizării transformatei Laplace în circuitele electronice vezi de
ex. A. Barna, High-Speed Pulse Circuits, Wiley-Interscience, New York, 1970

45
Fig.5.1. ReŃea de întîr-
ziere a fazei
Exemplul 5.1. În circuitul din figura 5.1, R 1000= Ω şi curentul inI (t) este
o funcŃie de timp de forma inI (t) 1mA u(t)= × ), adică este o funcŃie treaptă cu
mărime 1 mA. Transformata Laplace a curentului inI (t) este:
in
1mA
£{I (t)} £{1mA u(t)} 1mA {u(t)}
s
= × = ×ρ .
Deci transformata Laplace a tensiunii iesV (t) este:
in in
R 1mA 1000 1V
£{I (t)} £{I (t)}
1 RCs s 1 RCs s(1 RCs)
Ω
= = =
+ + +
Transformata inversă Laplace a acestei expresii este:
1 t/RC
ies
1V
V (t) £ 1V (1 e ).
s(1 RCs)
− − 
= = − 
+ 
i
Pe de altă parte, dacă inI şi iesV sînt descompuse în unde sinusoidale
în domeniul frecvenŃelor, atunci pentru fiecare componentă de o frec--
venŃă unghiulară ω funcŃia de transfer se poate scrie în modul următor:
ies
in
V ( ) R
I ( ) 1 j RC
ω
=
ω + ω
(5.2)
unde frecvenŃa unghiulară ω este legată de frecvenŃa f prin relaŃia
2 fω = π (5.3)
Definind o frecvenŃă de frîngere 0f
0
1
f
2 RC
=
π
(5.4)
funcŃia de transfer dată de ecuaŃia 5.2 poate fi scrisă astfel:
ies
in 0
V (f ) R
I (f) 1 jf / f
=
+
(5.5)

46
Exemplul 5.2. În circuitul din figura 5.1, inI este o undă sinusoidală de o
frecvenŃă f=10MHz iar R=10000Ω şi C=10 pF. Astfel, din ecuaŃia 5.4,
0 11
1 1
f 1,59MHz
2 RC 2 10000 10−
= = =
π π ×
iar funcŃia de transfer din ecuaŃia 5.5 devine
ies
in
V (f ) 10000 10000
I (f ) 1 j10MHz /1,59MHz 1 6,28j
Ω Ω
= =
+ +
Prezintă interes determinarea modulului şi fazei funcŃiei de transfer.
Din ecuaŃia 5.5 rezultă modulul
ies
2in 0
0
V (j) R R
I (f ) 1 jf / f 1 (f / f )
= =
+ +
(5.6)
şi faza
ies
0 0
in 0
V (f) R
arctg(f / f ) arctg(f / f)
I (f) 1 jf / f 2
π
ϕ ≡ = = − = − +
+
(5.7)
Exemplul 5.3. În circuitul din figura 5.1, R=10000 Ω, f=10 MHz şi
0f =1,59 MHz. Folosind ecuaŃia 5.6 rezultă modulul funcŃiei de transfer
ies
2 2
in 0
V (f ) R 10000
1570
I (f ) 1 (f / f ) 1 (10MHz /1,59MHz)
Ω
= = = Ω
+ +
Prin urmare dacă amplitudinea curentului inI (f) este 1 mA, atunci amplitudiuca
tensiunii iesV (f) va fi 1 mA x l570 Ω =1,57 V. Faza ϕ din ecuaŃia 5.7 este
o
0arctg(f / f ) arctg(10MHz /1,59MHz) 81 .ϕ = − = − = −
Se obişnuieşte să se reprezinte cîştigul G al reŃelei de întîrziere a
fazei, care poate fi definit ca
10
2
0
1
G 2 dB log
1 (f / f )
≡ − ×
+
unde G este exprimat în decibeli (dB) ca în diagrama de sus din figura
5.2. În această reprezentare, cunoscută sub denumirea de diagramă
Bode a cîştigului, se arată cum cîştigul scade la 0f / f cu 3 decibeli
faŃă de valoarea sa de la f=0.* De asemenea, pentru 0f f≫ , cîştigul scade
cu -20 dB/decadă a frecvenŃei, sau cu aproximativ -6dB/octavă. De
multe ori cîştigul poate fi aproximat prin două linii drepte, G=G(f=0)
pentru 0f f≪ şi G=G(f=0) - 20 dB 10 0log (f / f ) pentru 0f f≫ ; aceste două
linii drepte se intersectează la frecvenŃa 0f f= de unde şi denumirea
______________
* H. W. Bode, Network Analysis and Feedhack Amplifier Design, D. Van Nostrand
Company, Princeton, 1945.

47
Fig.5.2. Diagrame Bode
2
0
1
G 20dB log[1 (f / f ) ]
2
≡ + şi 1
0(1 jf / f )−
ϕ ≡ +
pentru o reŃea de întîrziere a fazei
de frecvenŃă de frîngere. Această aproximare liniară pe porŃiuni a cîş-
tigului a fost reprezentată în figura 5.2 prin linii întrerupte. În aceeaşi
figură a mai fost reprezentată şi diagrama Bode a fazei ϕ ca funcŃie
de frecvenŃă.
Pentru anumite intervale ale 0f / f , ecuaŃiile 5.6 şi 5.7 pot fi apro--
ximate prin expresii mai simple. Pentru valori mici ale 0f / f sunt posibile
mai multe aproximaŃii ale modulului dat de ecuaŃia 5.6. Una dintre ele
este o dezvoltare binomială:
2 2
ies
in 0 0
V (f) 1 f f
R 1 , 1.
I (f) 2 f f
    
 ≈ −    
     
≪ (5.8)
O altă aproximare a ecuaŃiei 5.6 pentru ( 0f / f ) mic rezultă dintr-o dez-
voltare logaritmică:
2
ies
0
in 0
V (f ) 1 f
R exp ,(f / f ) 1
I (f) 2 f
  
 ≈ ⋅ −  
   
≪ (5.9)

48
Pentru valori mari ale 0(f / f ) , ecuaŃia 5.6 poate fi aproximată astfel:
ies 0
0
in
V (f ) f
R ,(f / f ) 1
I (f) f
≈ ≫ (5.10)
Faza ϕ din ecuaŃia 5.7 se poate aproxima pentru 0(f / f ) mic cu
2
0
0
f
, (f / f ) 1,
f
ϕ ≈ ≪ (5.11)
iar pentru 0(f / f ) mare cu
0
0
f
,(f / f ) 1
2 f
π
ϕ ≈ − + ≫ (5.12)
Exemplul 5.4. În circuitul din figura 5.1, 0f 1/ 2 RC 1MHz= π = . La o frec-
venŃă f=0,1 MHz, 0f / f 0,1= . O primă aproximaŃie a modulului funcŃiei de transfer
rezultă din ecuaŃia 5.8.
ies
in
V (f)
R
I (f)
≈
O aproximare mai bună se poate obŃine din ecuaŃia 5.8
2
2ies
in 0
V (f) 1 f 1
R 1 R 1 0,1 0,995R,
I (f) 2 f 2
     ≈ − = − =        
sau din ecuaŃia 5.9
2
2ies
in 0
V (f) 1 f 1
R exp R exp 0,1 0,99501R.
I (f ) 2 f 2
     ≈ ⋅ − = ⋅ − =        
Valoarea exactă dată de ecuaŃia 5.6 este
ies
2 2
in 0
V (f ) R R
0,995037R.
I (f ) 1 (f / f ) 1 0,1
= = =
+ +
Valoarea fazei ϕ se poate aproxima prin ecuaŃia 5.11 cu
o
0
f
0,1 5,37 .
f
ϕ ≈ − = − = −
Valoarea exactă a fazei ϕ dată de ecuaŃia 5.7 este
o
0arctg(f / f ) arctg(0,1) 5,71 .ϕ = − = − = −
CASCADĂ DE REłELE DE ÎNTÎRZIERE A FAZEI
ReŃeaua de întîrziere a fazei din figura 5.1 dă în multe situaŃii o
aproximare acceptabilă a unui etaj dintr-un amplificator operaŃional.
De obicei însă există mai multe etaje, care urmează să fie reprezentate

49
de mai multe reŃele de întîrziere a fazei. Din fericire, în cele mai multe
situaŃii acestea sînt distincte şi funcŃia de transfer rezultantă se poate
scrie ca un produs de funcŃii de transfer. Astfel, funcŃia de transfer în
domeniul frecvenŃelor unui amplificatory cu două etaje poate fi scrisă
sub forma
constantă
1 2
1 1
1 jf / f 1 jf / f
×
+ +
În figura 5.1 au fost considerate un curent de intrare şi o tensiune
de ieşire. Atunci cînd trebuie reprezentat un întreg amplificator ope-
raŃional, atat semnalul de intrare cît şi cel de ieşire sunt tensiuni. Deci
amplificarea A a amplificatorului operaŃional care conŃine 2 etaje se
poate scrie astfel:
CC
1 2
A
A
(1 jf / f )(1 jf / f )
=
+ +
(5.13)
unde CCA A(f 0)= = este amplificarea amplificatorului operaŃional la
frecvenŃa zero: un număr real pozitiv fără dimensiuni.
Exemplul 5.5. Un amplificator operaŃional cu două etaje are o amplificare
la frecvenŃă zero CCA 1000= şi poate fi reprezentat prin două reŃele de întîrziere
a fazei distincte. Una din acestea constă dintr-o rezistenŃă de 1000 Ω şi o ca-
pacitate de 5 pF, iar cealaltă dintr-o rezistenŃă de 1000 Ω şi o capacitate de 5 pF.
Avînd în vedere că notaŃiile 1f şi 2f pot fi schimbate între ele, se poate scrie
1 32
1
f 318kHz
2 100000 5 10−
= =
π × ×
şi
2 12
1
f 31,8MHz
2 1000 5 10−
= =
π × ×
Prin urmare amplificarea A devine
1000
A
(1 jf / 318kHz)(1 jf / 31,8MHz)
=
+ +
În general cîştigul se defineşte ca 10G 20dB log A≡ × , iar faza
este Aϕ = . În figura 5.3 sînt arătate diagramele cîştigului şi fazei unui
amplificator cu două etaje descris de ecuaŃia 5.13 cu 2 1f / f 100= şi
CCA = 1000. Avînd în vedere că logaritmul unui produs este suma logarit-
milor, cîştigul se poate obŃine ca suma cîştigurilor individuale ale celor
două etaje; fazele individuale ale celor două etaje sunt adunate liniar
pentru a se obŃine faza rezultantă. Se poate observa că pentru 2 1f f f≫ ≫
cîştigul scade cu -40dB/decadă a frecvenŃei.

50
Fig. 5.3. Diagrame Bode 10G 20dBlog A= şi Aϕ = pentru
amplificatorul operaŃional cu două etaje descris de ecuaŃia
5.13 avînd CCA 100= şi 2 1.f 100f=
În figura 5.4 se consideră cazul special în care cele două frecvenŃe de
frîngere sînt egale 1 2f f= , cînd
CC
2
1
A
A
(1 jf / f )
=
+
(5.14)
Pentru un amplificator cu trei etaje, extiiizînd ecuaŃia 5.13 se obŃine
CC
1 2 3
A
A ;
(1 jf / f )(1 jf / f )(1 jf / f )
=
+ + +
(5.15)
expresii similare se pot obŃine pentru un număr mai mare de etaje.

51
Fig. 5.4. Diagrame Bode 10G 20dBlog A≡ şi Aϕ = pentru
un amplificator operaŃional cu două etaje identice avînd CCA =
= 100000
Exemplul 5.6 În ecuaŃia 5.15 1f =l MHz, 2f =4 MHz, 3f =40 MHz şi
CCA 10000= . Cat vot fi modulul |A| şi faza A la frecvenŃa f= 0,1MHz?
Modulul lui A este
CC
1 2 3
A
A .
1 jf / f 1 jf / f 1 jf / f
=
+ + +
Folosind ecuaŃiile 5.6 şi 5.8 rezultă:
2
2
1 1
1 1 1 1
1 1 (0,1) 0,995
1 jf / f 2 f 2
 
≈ − = − = 
+  
2 2
2 2
1 1 1 1 0,1
1 1 0,9997
1 jf / f 2 f 2 4
   
≈ − = − =   
+   
şi
2 2
3 3
1 1 1 1 0,1
1 1 0,999997;
1 jf / f 2 f 2 40
   
≈ − = − =   
+   
4*

52
prin urmare A 10000 0,995 0,9997 0,999997 9,947≈ × × × = .
Faza se poate obŃine însumînd fazele individuale:
CC
1 2 3
1 1 1
A A .
1 jf / f 1 jf / f 1 jf / f
= + + +
+ + +
Pe baza ecuaŃiei 5.7, aceasta se poate scrie sub forma
1 2 3A arctg(f / f ) arctg(f / f ) arctg(f / f ),= − − −
care folosindu-se ecuaŃia 5.11, devine
o
1 2 3
f f f 0,1 0,1 0,1
A 0,1275 7,3
f f f 1 4 40
≈ − − − = − − − = − = −
REłELE DE ÎNTÎRZIERE MODIFICATĂ A FAZEI
În figura 5.5 sînt prezentate două forme echivalente ale unei re-
Ńele deîntîrziere modificată a fazei. Astfel de reŃele se folosesc la
modificareaproprietăŃilor amplificatoarelor operaŃionale; de obicei ele nu
sînt o partecomponentă a amplificatorului, ci sînt adăugate din afară. Dacă
inV şi iesV sunt reprezentate
în domeniul timpului, atunci
pentru circuitul din figura 5.5b
se poate arăta că
{ }
{ }
ies 2
in 1 2
£ V (t) 1 sR C
£ V (t) 1 s(R R )C
+
=
+ +
(5.16)
Dacă inV şi iesV sînt reprezen-
tate îndomeniul frecvenŃelor,
atunci funcŃia de transfer este
ies 2
in 1
V (f ) 1 jf / f
V (f) 1 f / f
+
=
+
(5.17,a)
unde frecvenŃele de frîngere 1f
şi 2f sunt definite astfel:
1
1 2
1
f
2 (R R )C
≡
π +
(5.17,b)
2
2
1
f
2 R C
≡
π
(5.17,c)
Fig. 5.5. Două forme echivalente pen-
tru reŃeaua de întîrziere modificată a
fazei.

53
Fig. 5.6. Diagrame Bode pentru reŃeaua de întîrziere modificată
a fazei cu 2 1f 100f=
În figura 5.6 sînt reprezentate diagrame Bode pentru o reŃea de
întîrziere modificată a fazei pentru 2 1f 100f= .
Din ecuaŃiile 5.17, b şi 5.17, c se poate vedea că 2 1f f≥ deci modulul
ecuaŃiei 5.17, a
ies 2
in 1
V (f ) 1 jf / f
V (f) 1 jf / f
+
=
+
(5.18)
este o funcŃie de frecvenŃă monoton descrescătoare. Faza poate fi ex-
primată astfel:
ies 2
2 1
in 1
V (f ) 1 jf / f
1 jf / f 1 jf / f
V (f ) 1 jf / f
+
= = + − + =
+
2 1
f f
arctg arctg .
f f
   
= −   
   
(5.19)

54
Din ecuaŃia 5.17 rezultă următoarea expresie a raportului dintre
1f şi 2f
2 1 2 1
1 2 2
f R R R
1
f R R
+
= = + (5.20)
Deci, dacă 2 1f / f este dat, 1 2R / R rezultă, dar C şi una dintre rezistenŃele
1R şi 2R pot fi alese.
Exemplul 5.7. în reŃeaua de intarziere a fazei modificate dinfigura 5.5,
1 2 2(R R ) / R 10+ = ;deci 2 1f / f 10= . Din ecuaŃia 5.18 rezultă modulul funcŃiei de
transfer
2 1ies
in 1 1
1 jf / f 1 jf / (10f )V (f)
,
V (f) 1 jf / f 1 jf / f
+ +
= =
+ +
iar faza ϕ funcŃiei de transfer devine
2
1 2 1 1 1
1 jf / f f f f f
arctg arctg arctg arctg
1 jf / f f f 10f f
       +
ϕ = = − = −       
+        
Pe de altă parte, dacă se dau 1f şi 2f , atunci 1R şi 2R se pot calcula din
1
1 2
1 1 1
R
2 C f f
 
= − 
π  
(5.21,a)
şi din
2
2
1 1
R
2 C f
=
π
(5.21,b)
REłELE DE AVANS A FAZEI
În figura 5.7 se arată o reŃea de avans a fazei. Ca şi reŃeaua de în--
tîrziere modificată, a fazei reŃeaua de avans a fazei se foloseşte la mo-
dificarea răspunsului unui amplificator operaŃional şi este deobicei
Fig. 5.7. ReŃea de avans
a fazei.

55
situată în afara amplificatorului. Pentru inV şi iesV reprezentate în
domeniul timpului rezultă:
ies 2 1
1 2in 1 2
1 2
£{V (t)} R 1 sCR
R R£{V (t)} R R
1 sC
R R
+
=
+
+
+
Pentru o reprezentare în domeniul frecvenŃelor, funcŃia de transfer se
poate pune sub forma
ies 1 1
in 2 2
V (f ) f 1 jf / f
,
V (f ) f 1 jf / f
+
=
+
(5.23,a)
unde frecvenŃele de frangere 1f şi 2f sunt definite prin
1
1
1
f
2 R C
≡
π
(5.23,b)
2
1 2
1 2
1
f
R R
2 C
R R
≡
π
+
(5.23,c)
Din ecuaŃiile 5.23,b şi 5.23, c se poate vedea că 2 1f f≥ ; deci modulul
ecuaŃiei 5.23, a.
1ies 1
in 2 2
1 jf / fV (f) f
V (f) f 1 jf / f
+
=
+
(5.24)
este o funcŃie de f monoton crescătoare. Faza ϕ a ecuaŃiei 5.23, a se
poate scrie sub forma
1
2 1 2
1 jf / f f f
arctg arctg
1 jf / f f f
   +
ϕ = = −   
+    
(5.25)
În figura 5.8 sînt reprezentate diagrame Bode pentru o reŃea de
avans al fazei pentru 2 1f 100f= .
Din ecuaŃia 5.23 se poate vedea că
2 1 2 1
1 2 2
f R R R
1
f R R
+
= = + (5.26)
Astfel, dacă 2 1f / f este dat rezultă 1 2R / R , dar C şi una dintre rezis-
tenŃele 1R sau 2R pot fi încă alese. Dacă 1f şi 2f sînt date, 1R şi 2R se
pot calcula din
1
1
1 1
R
2 C f
=
π
(5.27,a)

56
şi din
2
2 1
1 1
R
2 C f f
=
π −
(5.27,b)
Exemplul 5.8. În reŃeaua de avans al fazei din figura 5.7, 1 2 2(R R ) / R 10+ =
şi deci 2 1f / f 10= . Din ecuaŃia 5.24 rezultă modulul funcŃiei de transfer
1 1ies 1
in 2 2 1
1 jf / f 1 jf / fV (f) f 1
V (f) f 1 jf / f 10 1 jf /10f
+ +
= =
+ +
iar faza ϕ a funcŃiei de transfer este
1
2 1 1
1 jf / f f f
arctg arctg
1 jf / f f 10f
   +
ϕ = = −   
+    
Fig. 5.8. Diagrame Bode pentru o reŃea de avans al fazei cu
2 1f 100f=

57
REłELE DIVIZOARE DE TENSIUNE
În figura 5.9 este reprezentată o reŃea divizoare de tensiune care conŃine
două rezistenŃe şi două condensatoare. Dacă inV şi iesV , sunt reprezentate
în domeniul frecvenŃelor, se poate arăta că funcŃia de transfer este de forma
pies 1
in s p 2
RV (f ) 1 jf / f
V (f ) R R 1 jf / f
+
=
+ +
(5.28,a)
unde frecvenŃele de frangere 1f şi 2f sunt definite prin
1
s s
1
f
2 R C
≡
π
(5.28,b)
şi
2
s p
s p
s p
1
f
R R
2 (C C )
R R
≡
π +
+
(5.28,c)
Exemplul 5.9. în reŃeaua divizoare de tensiune din figura 5.9, sR = 10000 Ω ,
pR =100 , sC =0,5 pF şi pC = 5 pF.
Deci
iar funcŃia de transfer devine
pies 1
in s p 2
RV (f ) 1 jf / f jf / 31,8MHz
0,0099 .
V (f) R R 1 jf / f 1 jf / 289MHz
+
= =
+ + +
Fig 5.9 ReŃea divizoare
de tensiune
2
s p
s p
s p
1
f 289MHz.
R R
2 (C C )
R R
≡ =
π +
+
1 12
s s
1 1
f 31,8MHz
2 R C 2 10000 0,5 10−
≡ = =
π π × ×

58
În figura 5.10 sînt arătate cazurile particulare extreme de reŃele
divizoare a tensiunii. Cea dintîi (fig. 5.10, a) este un divizor rezistiv
cu iesV şi ies in p p sV / V R / (R R )= + = independent de frecvenŃă. FuncŃia
de transfer a celei de-a doua (fig. 5.10, b) este de forma
pies
in s p 0
RV (f ) 1
V (f ) R R 1 jf / f
=
+ +
(5.29,a)
unde frecvenŃa de frîngere 0f este
p s
0
p s
R R
f
2 CR R
+
≅
π
(5.29,b)
adică caracteristicile de frecvenŃă ale acestui circuit sînt ca şi cele ale
reŃelei de întîrziere a fazei. Circuitul din figura 5.10, c este o reŃea de
avans a fazei (vezi ecuaŃia 5.23).
Cel din urmă circuit (fig. 5.10, d) este o reŃea divizoare de tensiune
compensată în care
s s p pR C R C= (5.30)
Se poate arăta ca atunci cînd este îndeplinită ecuaŃia 5.30, funcŃia
de transfer din ecuaŃia 5.28, a se reduce la
pies
in s p
RV (f )
V (f ) R R
=
+
(5.31)
expresie independentă de frecvenŃă şi identică cu funcŃia de transfer a
divizorului rezistiv din figura 5.10, a. Prin urmare, dacă se doreşte o
caracteristică de transfer independentă de frecvenŃă, de forma celei
a divizorului din figura 5.10, a şi dacă în circuit apar în mod inevitabil
capacităŃi, atunci una dintre aceste capacităŃi trebuie să fie mărită astfel
încît să fie îndeplinită ecuaŃia 5.30.
Exemplul 5.10. Valorile componentelor circuitului din figura 5.9 au fost
în exemplul precedent pR =10000 Ω , R =100 Ω , sC =0,5 pF şi pC =5 pF; funcŃia
de transfer ies inV (f) / V (f) a rezultat dependentă de frecvenŃă. Dacă se doreşte o
funcŃie de transfer independentă de frecvenŃă, atunci din ecuaŃia 5.30 rezultă că
trebuie îndeplinită condiŃia
p s
s p
C R 10000
100.
C R 100
Ω
= = =
Ω
Însă în circuitul iniŃial
p
s
C 5pF
10.
C 0,5pF
= =

59
Fig 5.10. Cazuri limită pentru reteaua divi-
zoare de tensiune: a - Divizor rezistiv; b -
ReŃea de întîrziere a fazei; c - ReŃea de
avans al fazei; d - ReŃea divizoare de ten-
siune compensate.

60
Un raport p sC / C 100= poate fi obŃinut dacă In paralel cu condensatorul
iniŃial pC se adaugă un condensator suplimentar de 45 pF;
p
s
C 5pF 45pF
100,
C 0,5pF
+
= =
şi astfel caracteristica de transfer rezultă independentă de frecvenŃă.
P R O B L E M E
1. Pentru circuitul din figura 5.1 să se reprezinte iesV ca funcŃie de
timp, dacă curentul de intrare Iin este o funcŃie delta, 10
inI (t) 10−
=
Culombi (t)×σ ; R=1000 Ω şi C=10 pF.
2. Să se deducă ecuaŃiile 5.2 şi 5.5.
3. Să se evalueze ecuaŃiile 5.6 şi 5.7 dacă în circuitul din figura
5.1, R 2000= Ω , C=20 pF iar curentul inI este o undă sinusoidală de
frecvenŃă 20 MHz.
4. Să se arate că diagrama de fază din figura 5.2 este antisimetrică
(rămîne neschimbată la o rotaŃie cu 180°) faŃă de punctul 0f / f 1= ,
o
45ϕ = −
5. Să se deducă ecuaŃiile 5.6 şi 5.7.
Fig 5.11.
6. În figura 5.11 se arată o alta configuraŃie de reŃea de întîrziere a
fazei. Să se deducă expresiile ies inL{V (t)}/ L{V (t)} şi ies inV (f) / V (f) .
7. Să se arate că pentru valori mai mici 0f / f faza ϕ din ecuaŃia 5.7
poate fi aproximată mai bine decît în ecuaŃia 5.11 cu ajutorul ecuaŃiei
3
0 0
f 1 f
.
f 3 f
 
ϕ = − +  
 
8. Să se arate că faza ϕ din ecuaŃia 5.7 poate fi mai bine aproximată
pentru valori mari ale lui 0f / f , cu ajutorul ecuaŃiei
3
0
0
f 1 f
.
2 f 3 f
 π
ϕ = − − −  
 
decît prin ecuaŃia 5.12.

61
Să se evalueze această expresie, ecuaŃia 5.12 şi ecuaŃia 5.7 pentru
0f / f = 10. Să se exprime rezultatul în grade.
9. Să se arate că tangenta la curba φ(f) din figura 5.2 în punctul
0f / f =1, φ= -45º intersectează 0f / f =10 la o fază egală cu
180ºln10
45º 45º 66º 111º
2
ϕ = − − ≈ − − = − .
10. Să se deducă ecuaŃia 5.9 dezvoltînd în serie Taylor expresia
2
0ln[1/ 1 (f / f ) ]+ .
11. Să se arate că evaluarea câştigului la 0f / f =1, aproximat prin
ecuaŃia 5.9, este mai mic decît valoarea cîştigului de la f=0 cu 10dB
10ln e 4,3dB≈ .
12. Un etaj dintr-un amplificator operaŃional poate fi reprezentat
cu ajutorul circuitului din figura 5.1 considerînd R=10000 şi C=
=5pF. La ce frecvenŃă scade cîştigul cu 3 dB faŃă de valoare sa de la
frecvenŃă zero?
13. Un amplificator operaŃional cu două etaje are o amplificare la
frecvenŃă zero CCA =10000. El constă din două etaje identice fiecare
putând fi reprezentat printr-o reŃea de întîrziere a fazei avînd R=10000
şi C=5pF. Să se reprezinte diagramele Bode, folosind o aproximare liniară
pe porŃiuni pentru cîştig.
14. Să se deducă ies in£{V (t)}/ £{V (t)} pentru amplificatorul descris
în problema precedentă. Să se găsească tensiunea de ieşire ca funcŃie de
timp dacă tensiunea de intrare este un salt treaptă inV (t) = 1 mV×u(t).
15. Cu ajutorul ecuaŃiei 5.9 să se arate că modulul ecuaŃiei 5.13 poate
fi exprimat pentru 1f / f 1≪ şi 2f / f 1≪ prin
2 2
CC
1 2
1 f f
| A | A exp
2 f f
       ≈ − +    
       
.
16. Amplificarea unui amplificator operaŃional cu trei etaje este
de forma ecuaŃiei 5.15 cu CCA =1000. Cele trei etaje sunt caracteri-
zate de 1f =1 MHz, 2f =10 MHz, 3f = 50 MHz. Să se reprezinte dia-
gramele Bode ale amplificării A, folosindu-se aproximarea liniară pe
porŃiuni pentru cîştig.
17. Să se arate că cele două forme de reŃele de întîrziere a fazei
modificate din fig 5.5 sînt echivalente dacă in 1 inV R I= .
18. Să se deducă ecuaŃiile 5.16, 5.17 şi 5.20.
19. În reŃeaua de întîrziere a fazei modificată din fig 5.5, b,
1R =10000 , 2R =200 şi C= 1000 pF. Ce valori au 1f şi 2f din ecua-
Ńia 5.17 ? Să se reprezinte diagramele Bode, folosindu-se aproximarea

62
liniară pe porŃiuni pentru cîştig. Să se repete pentru 1R =5000 .
20. Să se deducă ecuaŃiile 5.22, 5.23 şi 5.27.
21. În reŃeaua de avans a fazei din figura 5.7, 1R =10000 ,
2R =100 şi C=10 pF. Ce valori au 1f şi 2f din ecuaŃia 5.23 ? Să se re-
prezinte diagramele Bode, folosindu-se aproximarea liniară pe porŃiuni
pentru cîştig. Să se repete pentru 1R =5000 .
22. În reŃeaua divizoare de tensiune din figura 5.9, sR =10000 ,
PR =1000 , sC =0,5 pF şi PC =10 pF. Cît este ies inV (f) / V (f) ? Să se
modifice circuitul adăugîndu-se o capacitate astfel încît funcŃia de
transfer ies inV (f) / V (f) să fie independentă de frecvenŃă. Să se precizeze
valoarea şi locul în care trebuie introdusă capacitatea suplimentară.
23. Să se deducă ies in£{V (t)}/ £{V (t)} pentru reŃeaua divizoare
de tensiune din figura 5.9. Să se reprezinte tensiunea de ieşire iesV (t)
dacă tensiune de intrare este un salt treaptă iesV (t) =1V×u(t); sR =
=1000 , PR =2000 şi PC =1000pF. Se vor considera cazurile
sC =1000pF, 2000 pF şi 5000 pF.
24. Să se reprezinte diagramele Bode pentru exemplele 5.7 şi 5.8.

63
6.... CARACTERISTICI DE FRECVENłĂ
ŞI RĂSPUNSUL TRANZITORIU
ALE CIRCUITELOR AMPLIFICATOARE
CU REACłIE
În capitolul anterior au fost discutate caracteristicile de frecvenŃă
şi răspunsul tranzitoriu ale amplificatoarelor operaŃionale. Prin apli-
carea unei reacŃii se pot însă modifica caracteristicile de frecvenŃă şi
răspunsul tranzitoriu rezulate. În unele situaŃii, în urma aplicării reac-
Ńiei sistemul devine instabil. CondiŃiile de stabilitate ale circuitului
amplificator cu reacŃie vor fi discutate in capitolul viitor; aici se va
presupune că sistemul este stabil şi atenŃia va fi focalizată asupra discu-
tării caracteristicilor de frecvenŃă şi răspunsului tranzitoriu rezul-
tante.
CARACTERISTICI DE FRECVENłĂ
Pentru un circuit amplificator neinversor ce foloseşte un amplifi-
cator operaŃional, amplificarea in domeniul frecvenŃelor se poate ex-
prima prin
CC
0
A
A
1 jf / f
=
+
(6.1)
iar amplificarea rezultantă NM este
N
N
A
M
1 AF
=
+
(6.2)
unde coeficientul de reacŃie NF este un număr pozitiv, real şi fără di-
mensiuni. Introducând ecuaŃia (6.1) în ecuaŃia (6.2) rezultă NM care
poate fi scris sub forma:
CC
N
0 CC N
M
M
1 jf /[f (1 A F )]
=
+ +
(6.3,a)

64
Fig.6.1 Diagrame Bode ale N| M | din ecuaŃia 6.3 considerînd
CCA 10000= pentru CCM 10000= şi 100
au sub forma
CC
N
0 CC N
M
M
1 jf /[f (1 A F )]
=
+ +
(6.3,b)
unde CCM este amplificarea rezultantă a circuitului amplificator cu
reacŃie la frecvenŃa zero
CC
CC
CC N
A
M
1 A F
≡
+
(6.3, c)
EcuaŃia (6.3) este ilustrată în fig 6.1 în care au fost reprezentate
diagrame Bode corespunzătoare unui CCA =10000 pentru situaŃiile
în care CCM =10000 (adică NF =0) respectiv CCM =100 (adică NF =
=0,0099). Se poate observa că frecvenŃa de frîngere B al N| M | este
0 CC CCB f A / M= . Pentru f B≫ , N CC 0| M | A f / f≈ , independent de
NF şi deci de CCM . În consecinŃă, diagrama cîştigului N| M | se poate
aproxima prin două linii drepte: N CC| M | M≈ pentru f B≪ şi
N CC 0| M | A f / f≈ pentru f B≫ . Acest B reprezintă banda la 3dB (sau
pur şi simplu banda) lui N| M | adică frecvenŃa la care N| M | scade cu
3 dB faŃă de valoarea sa de la frecvenŃa zero.
Exemplul 6.1. Un amplificator operaŃional este caracterizat de o ampli-
ficare ce se poate exprima cu ecuaŃia 6.1 în care 0f = 1 MHz şi CCA =10000. El
este folosit într-un circuit amplificator neinversor cu reacŃie care are o ampli-

65
ficare rezultantă la frecvenŃa zero CCM =200. Amplificarea rezultantă NM a
circuitului amplificator cu reacŃie, conform ecuaŃiei 6.3,b este:
CC
N
0 CC CC
M 200 200
M
1 jf / (f A / M ) 1 jf / (1MHz 10000 / 200) 1 jf / 50MHz
= = =
+ + × +
Deci banda la 3dB a circuitului amplificator cu reacŃie este B=50 MHz.
Dacă în circuitul amplificator neinversor cu reacŃie se foloseşte
un amplificator operaŃional cu o amplificare
CC
2
0
A
A
(1 jf / f )
=
+
(6.4)
amplificarea rezultantă NM devine
CC
N 2
CC
CC 0 0
M
M
M f f
1 2j
A f f
=
  
 − − 
   
(6.5,a)
Fig.6.2. Diagrame Bode ale N| M | din ecuaŃia 6.5 con-
siderînd CCA =10000 pentru CCM =10000 şi 100
unde CCM este definit prin
CC
CC
CC N
A
M
1 A F
=
+
(6.5,b)
iar coeficientul de reacŃie NF este din nou un număr real, pozitiv şi fără
dimensiuni.

66
EcuaŃia 6.5 este ilustrată în figura 6.2 pentru CCA =10000 şi
pentru CCM =10000 respectiv 100. Se poate arăta că frecvenŃa de
frîngere B al N| M | este 0 CC CCB f A / M= . Pentru frecvenŃe f B≫ ,
2
N CC 0| M | A (f / f)= , independent de NF şi CCM . În fig 6.2 se arată
de asemenea că una din diagramele cîştigului are o formă semnifica-
tiv diferită de cele anterioare; ea reprezintă o rezonanŃă în apropierea
frecvenŃei f B≈ şi revine la o valoarea sa de la frecvenŃa zero în apro-
piere de f B 2≈ . Exceptîndu-se vecinătatea acestei rezonanŃe, cîştigul
poate fi aproximat prin doua linii drepte şi anume N CC| M | M≈ pentru
f B≪ respectiv 2
N CC 0| M | A (f / f )= pentru f B≫ . Banda lui N| M | la
3dB depinde acum de detaliile acestei caracteristici dar rămîne încă în
vecinătatea lui B şi va fi aproximată prin B în cele ce urmează.
Exemplul 6.2. Un amplificator operaŃional este caracterizat de o ampli-
ficare A descrisă de ecuaŃia 6.4 cu 0f =1 MHz şi CCA =10000. El este folosit într-un
circuit amplificator neinversor cu reacŃie a cărui amplificare rezultantă la frec-
venŃă zero este CCM =200. Astfel, ecuaŃia 6.5,a se va scrie
N 2
200
M
200 f f
1 2j
10000 1MHz 1MHz
=
  
− −  
   
.
Dacă
2
f f
0,02 2j 1
1MHz 1MHz
  
−  
   
≪ ,
adică dacă
4 2
f f
4 2500
1MHz 1MHz
   
+   
   
≪ ,
ceea ce înseamnă de fapt f 7≪ MHz, atunci N CCM M 200≈ = . Dacă dimpotrivă
( ) ( )4 2
f /1MHz 4 f /1MHz 2500+ ≫ , adică f >7 MHz, atunci se poate arăta că
( ) ( ) ( )
cc
N 2 2 2
A 10000 200
M
f /1MHz f /1MHz f / 7MHz
≈ = ≈ − .
Se poate de asemenea arăta că banda la 3dB a circuitului amplificator cu
reacŃie rezultant este în vecinătatea valorii B=7 MHz.
RĂSPUNSUL TRANZITORIU
Dacă semnalul de la intrarea unui circuit amplificator este repre-
zentat în domeniul timpului, atunci va prezenta interes găsirea semna-
lului de la ieşire ca funcŃie de timp. În situaŃia in care A este descris
de ecuaŃia 6.1 cu o frecvenŃă de frîngere 0f singulară, amplificarea re-
zultantă NM are o frecvenŃă de frîngere reală singulară de valoare

67
0 CC CCf A / M (vezi ecuaŃia 6.36). Se poate arăta că în acest caz raportul
transformatelor Laplace este
ieş CC
in
£{V (t)} M
£{V (t)} 1 s
=
+ τ
(6.6,a)
unde τ este definit ca
1
2
τ ≡
πB
(6.6,b)
B fiind banda la 3dB a circuitului amplificator cu reacŃie:
0≡ cc
cc
A
B f
M
(6.6,c)
Exemplul 6.3. Într-un circuit amplificator neinversor cu reacŃie se foloseşte
amplificatorul operaŃional de tipul 741*. El adminte o amplificare A ce poate fi
aproximată prin ecuaŃia 6.1 considerând CCA =200000 şi 0f =10 Hz; coeficientul de
reacŃie are valoarea NF =0,01. Prin urmare, amplificarea rezultantă la frecvenŃă
zero este
CC
CC
CC N
A 200000
M 100
1 A F 1 200000 0,01
= = ≈
+ + ×
iar banda rezultantă va fi în jur de
CC
0
CC
A 200000
B f 10Hz 20kHz
M 100
= = = ;
rezultă
1 1
8 s
2 B 2 20kHz
τ = = ≈ µ
π π×
.
Dacă semnalul de intrare este un slat treaptă de amplificare 1mV, atunci
( ){ } CC
ies
M1mV 1mV 100
V t
s 1 s 1 s
£
s s 8
= × = ×
+ τ + × µ
Prin urmare
( )t/8 s
ieşV (t) 0,1V 1 e− µ
= × − .
Pentru cazul ecuaŃiei 6.4 în care A adminte două frecvenŃe de frîn-
gere identice 0f , se poate arăta că rădăcinile numitorului ecuaŃiei 6.5,a
se găsesc la frecvenŃele, ( )0 CC Nf f j A F= ± şi că pentru CC NA F 1≫ sem-
nalul de ieşire va avea forma unei oscilaŃii amortizate ( )t
e sin t−α
ω + ϕ ,
____________
* ProprietăŃile tipurilor de amplificatoare operaŃionale folosite în exemple şi
probleme sînt rezumate în anexă.

68
unde 02 fα ≈ π . Mai mult chiar, se poate arăta că dacă diagrama cîş-
tigului N| M | ca funcŃie de frecvenŃă se poate aproxima prin două
linii drepte ce se intersectează la o frecvenŃă 0 CC CCB f A / M= , atunci
0 CC N2 f A F 2 Bω = π ≈ π .
Exemplul 6.4. Amplificarea A a unui amplificator operaŃional este dată
de ecuaŃia 6.4 cu 0f =1 MHz şi CCA =10000. El se foloseşte într-un circuit ampli-
ficator neinversor cu reacŃie a cărui amplificare rezultantă la frecvenŃă zero este
CCM =200. Se poate arăta că pentru s j2 f= π , transformata Laplace corespunză-
toare ecuaŃiei 6.5, a se poate scrie astfel
( )
( )( )
2 16
N 6 7 6 7
4 10
M s
s 2 10 j 1,4 10 s 2 10 j 1,4 10
π
=
+ π + × π× + π× − × π×
Evaluînd transformata inversă Laplace, se poate arăta de aici că răspunsul
tranzitoriu va fi de forma ( )t
e sin tα
ω + ϕ cu 6
2 10α = π şi 7
1,4 10ω = π .
Atunci cînd A adminte două frecvenŃe de frîngere distincte, se pot
face aproximaŃii asemănătoare. Dacă A adminte mai mult decît două
frecvenŃe de frîngere, ca în cazul ecuaŃiei 5.15, atunci circuitul ampli-
ficator cu reacŃie rezultant poate să înceteze să mai fie stabil, el poate
să oscileze. Dacă el este totuşi stabil atunci semnalul de ieşire pentru
un semnal salt treaptă la intrare va cuprinde din nou oscilaŃii amorti-
zate de forma ( )t
e sin t−α
ω + ϕ .
P R O B L E M E
2. Amplificarea A a amplificatorului operaŃional de tipul 107 se
poate aproxima sub forma ecuaŃiei 6.1 cu CCA =160000 şi 0f =5 Hz.
Să se reprezinte diagramele Bode ale amplificării A şi amplificării re-
zultante NM , dacă amplificatorul este utilizat într-un circuit ampli-
ficator neinversor cu reacŃie cu amplificarea rezultantă la frecvenŃă
zero CCM =10000. Să se calculeze banda lui N| M | la 3dB. Să se repete
pentru CCM =100 şi pentru CCM =10.
3. Amplificarea A a amplificatorului operaŃional de tipul 9406
se poate aproxima sub forma ecuaŃiei 6.1 cu CCA =1000 şi 0f =1,5 MHz.
Să se reprezinte diagramele Bode ale amplificării A şi amplificării re-
zultante NM , dacă amplificatorul este utilizat într-un circuit amplificator
neinversor cu reacŃie cu amplificarea rezultantă la frecvenŃă zero CCM =
=10. Să se calculeze banda lui N| M | la 3 dB. Să se repete pentru CCM =
=1 (repetor de tensiune).

69
5. Să se arate că NM din ecuaŃia 6.5,a nu poate deveni infinit.
6. Să se arate că modulul lui NM calculat din ecuaŃia 6.5,a este
maxim la frecvenŃa 1FAff NCC0 −= , valoarea acestui maxim fiind
NCC F/A5,0
7. Un circuit amplificator neinversor cu reacŃie negativă utili-
zează un amplificator operaŃional de tipul 9406 a cărui amplificare A
se poate aproxima sub forma ecuaŃiei 6.1 cu CCA =1000 şi 0f =1,5MHz.
Să se calculeze şi să se reprezinte semnalul de ieşire ca funcŃie de timp,
dacă semnalul de intrare este un salt treaptă de 10mV amplitudine,
iar amplificarea rezultantă la frecvenŃa zero este CCM =100.
8. Un circuit amplificator neinversor cu reacŃie negativă utili-
zează un amplificator operaŃional de tipul 702 A, cu amplificarea A
dată de ecuaŃia 5.15 în care 1f =1MHz, 2f =4MHz, 3f =40MHz şi CCA =
=4000; coeficientul de reacŃie este NF =0,01. Se va presupune că cir-
cuitul amplificator cu reacŃie rezultant este stabil (ceea ce se va dovedi
în capitolul următor). Să se reprezinte diagramele Bode pentru |A| şi
N| M | făcîndu-se o aproximare liniară pe porŃiuni. Să se estimeze banda
lui N| M | la 3dB şi timpul de răspuns 1/ α .
9. Să se deducă pentru un circuit amplificator inversor cu reacŃie
negativă o expresie echivalentă cu ecuaŃia 6.3. Prin ce diferă această
expresie de ecuaŃia 6.3 dacă IF 1≪ ?
10. Să se deducă pentru un circuit amplificator inversor cu reacŃie
negativă o expresie echivalentă cu ecuaŃie 6.5. Prin ce diferă această
expresie de ecuaŃia 6.5 dacă IF 1≪ ?
11. Un amplificator cu amplificarea ( )3
A 400 / 1 jf /10MHz= + este
folosit într-un circuit amplificator neinversor cu reacŃie cu un
coeficient de reacŃie NF =0,01. Să se reprezinte diagrama Bode a
câstigului pentru amplificarea rezultantă NM fără a folosi aproximarea
liniară pe porŃiuni. Să se repete pentru NF =0,02.
12. Să se deducă rezultatele date în exemplul 6.4.

70
7....STABILITATEA CIRCUITELOR AMPLIFICATOARE
CU REACłIE
Stabilitatea unui circuit amplificator cu reacŃie, caracterizat prin
amplificarea rezultantă
N
N
A
M
1 AF
=
+
(7.1)
pentru valori date ale lui A şi NF , este determinată de rădăcinile numi-
torului N1 AF+ ; dacă toate rădăcinile au părŃile reale negative, atunci
sistemul este stabil. Fără a se verifica, în cele ce urmează se paote arăta
că un criteriu de stabilitate echivalent este criteriul Nyquist, care poate
fi formulat în modul următor: dacă în ecuaŃia 7.1, A descrie un sistem
stabil, atunci s istemul descris de către NM din aceeaşi ecuaŃie este sta-
bil dacă şi numai dacă reprezentarea grafică în planul complex a lui
NAF pentru f−∞ ≤ ≤ +∞ , denumită diagrama Nyquist, nu înconjoară
punctul de coordonate -1+j0*. Cazul în care A descrie un sistem
instabil nu va fi discutat în cele ce urmează.
Există cîteva moduri în care curba NAF poate înconjura punctul
-1+j0. Pentru un sistem fizic realizabil există relaŃia ( )A f = −∞ =
( )A f 0 j0= = +∞ = + şi prin urmare reprezentarea lui NAF considerată
pentru domeniul de frecvenŃă de la f = −∞ la f = +∞ este o curbă
închisă. Printr-o interpretare topologică se poate considera această
curbă închisă ca o buclă de sfoară avînd un reper fixat în planul com-
plex în punctul -1+j0. Dacă această buclă poate fi îndepărtată (fără
a o ridica peste reperul fixat în planul complex) atunci ea nu înconjoară
punctul în care este fixat reperul şi sistemul este stabil. Astfel în figu-
rile 7.1,a şi 7.1,c bucla nu înconjoară punctul de coordonate -1+j0
_______________
* N. Nyquist, „ Regeneration Theory”, Bell System Tech. J., 11, 126-147 (Jan
1932)

71
Fig.7.1. Diagramele Nyquist a două sisteme stabile (a şi c) şi a două sisteme
instabile (b şi d)
şi sistemul este stabil în timp ce sistemele din fig 7.1,b şi 7.1,d sînt
instabile deoarece bucla înconjoară acest punct în ambele cazuri. Un
alt mod de a determina stabilitatea unui sistem foloşeste un vector
avînd originea în punctul -1+j0 şi vîrful într-un punct curent de pe
curba NAF din planul complex. Dacă unghiul total măturat de acest
vector în timp ce vîrful lui parcurge curba lui NAF de la f = −∞ la
f = +∞ este zero, atunci bucla nu înconjoară punctul de origine al
vectorului (-1+j0) şi sistemul este stabil.

72
Exemplul 7.1. Un amplificator operaŃional având amplificarea CCA A /=
0/(1 jf / f )+ este folosit ca amplificator neinversor cu reacŃie cu coeficientul de reac-
Ńie NF , un număr real, pozitiv. La o frecvenŃă egală cu zero, f=0, N CC NAF A F= la
f = ±∞ , NAF =0. Diagrama Nyquist a lui NAF este reprezentată în figura 7.2.
Deoarece faza lui NAF este totdeauna
între +90º şi -90º nu se ajunge nici-
odată la -180º. Prin urmare, punctul de
coordonate -1+j0 nu poate fi încon-
jurat de curba lui NAF şi circuitul am-
plificator cu reacŃie rezultat este stabil.
CIRCUITE AMPLIFICA-
TOARE COMPUSE DIN REłELE DE
ÎNTÂRZIERE A FAZEI
Figura 7.3 ilustrează caracte-
risticile generale ale unor diagra-
me Nyquist corespunzătoare unor reŃele de întîrziere a fazei cu următoarele
funcŃii de transfer:
CC N
N
1
A F
AF
1 jf / f
=
+
(o reŃea de întârziere a fazei) (7.2)
( )( )
CC N
N
1 2
A F
AF
1 jf / f 1 jf / f
=
+ +
(două reŃele de întârziere a fazei) (7.3)
( )( )( )
CC N
N
1 2 3
A F
AF
1 jf / f 1 jf / f 1 jf / f
=
+ + +
(trei reŃele de întârziere a fazei) (7.4)
( )( )( )( )
CC N
N
1 2 3 4
A F
AF
1 jf / f 1 jf / f 1 jf / f 1 jf / f
=
+ + + +
(patru reŃele de întârziere a fazei) (7.5)
Se poate constata din figura 7.3 că NAF pentru ecuaŃiile 7.2 şi 7.3 de-
scrie întotdeauna un sistem stabil, în timp ce stabilitatea sistemelor
descrise de ecuaŃiile 7.4 sau 7.5 depinde de mărimea cantităŃii CC NA F
precum şi de valoarea frecvenŃelor de tăiere.
În cele de urmează se va studia stabilitatea unui circuit amplifi-
cator care constă din trei reŃele de întîrziere a fazei, respectiv un circuit
caracterizat de ecuaŃia 7.4. Separînd părŃile reale şi imaginare de la
numitorul ecuaŃiei 7.4 se obŃine
CC N
N 2 2 2
1 2 1 3 2 3 1 2 3 1 2 3
A F
AF
f f f f f f f
1 j
f f f f f f f f f f f f
=
 
− − − + + + − 
 
(7.6)
Fig.7.2. Diagrama Nyquist pentru
exemplul 7.1.

73
Deoarece mărimea CC NA F este reală, ecuaŃia 7.6 este reală dacă
3
1 2 3 1 2 3
ff f f
0
f f f f f f
+ + − = (7.7)
Fig.7.3. Diagramele Nyquist ale răspunsurilor unor reŃele de întîrziere
a fazei: a - o reŃea de întîrziere a fazei ; b - două reŃele de întîrziere
a fazei; c - trei reŃele de întîrziere a fazei; d - patru reŃele de întîrziere a
fazei.
O soluŃie a ecuaŃiei 7.7 este f = 0 corespunzătoare intersecŃiei curbei
NAF din figura 7.3 c cu axa reală pozitivă. Este important să se deter-
mine, de asemenea, dacă intersecŃia curbei NAF cu axa reală negativă
se găseşte plasată la stânga sau la dreapta punctului de coordonate
-1+j0. Dacă f=0, atunci ecuaŃia 7.7 poate fi devizată prin f, obŃi-
nîndu-se:
1 2 1 3 2 3f f f f f f f= ± + + (7.8)
Aceste două frecvenŃe, una pozitivă şi una negativă, reprezintă punctul
unde curba NAF intersectează axa reală negativă în figura 7.3,c. Pentru

74
aceste frecvenŃe, NAF din ecuaŃia 7.6 reprezintă o mărime reală, şi anume:
CC N
N 2 2 2
1 2 1 3 2 3
A F
AF
f f f
1
f f f f f f
=
− − −
(7.9)
Substituind ecuaŃia 7.8 în ecuaŃia 7.9 se obŃine
CC N
N
2 3 1 3 1 2
1 2 3
A F
AF
f f f f f f
2
f f f
−
=
+ + +
+ + +
(7.10)
Sistemul este stabil dacă acest punct este plasat la dreapta punctului
-1+j0 adică, dacă în ecuaŃia 7.10 NAF > -1. Aceasta implică con-
diŃia următoare pentru stabilitatea sistemului:
2 3 1 31 2
CC N
1 3 2
f f f ff f
A F 2
f f f
+ ++
< + + + (7.11)
Exemplul 7.2. Amplificarea unui amplificator operaŃional de tipul 702 A
poate fi descrisă de trei reŃele de întîrziere a fazei cu următoarele frecvenŃe de
frîngere: 1f =1MHz, 2f =4MHz şi 3f =40MHz. În acest caz condiŃia de stabilitate
7.11 devine
CC N
4MHz 40MHz 1MHz 40MHz 1MHz 4MHz
A F 2 56,4
1MHz 4MHz 40MHz
+ + +
< + + + =
Amplificatorul are o amplificare în curent continuu egală cu CCA =4000 şi prin
urmare sistemul rezultant va fi stabil cînd coeficientul de reacŃie NF va fi
N
CC
56,4 56,4
F 0,014
A 4000
< = =
CondiŃia de stabilitate poate fi exprimată de asemenea cu ajutorul ampli-
ficării cu reacŃie CCM , impunînd ca, pentru a satisface inegalitatea referitoare
la coeficientul de reacŃie, amplificarea cu reacŃie CCM să fie mai mare decît
CC
CC
CC N
A 4000
M 70
1 A F 1 56,4
= = =
+ +
Dacă CCM este mai mic decît 70, atunci coeficientul de reacŃie NF este mai mare
decît 0,014 şi sistemul este instabil. De aceea se poate trage concluzia că această
configuraŃie nu este potrivită pentru o amplificare rezultantă mai mică decît 70,
deoarece circuitul amplificator cu reacŃie ar oscila pe o frecvenŃă aproximativ
egală cu aceea dată de ecuaŃia 7.8, respectiv
1 2 1 3 2 3f f f f f f f 1MHz 4MHz 1MHz 40MHz 4MHz 40MHz 14,3MHz= + + = ⋅ + ⋅ + ⋅ =
Valoarea exactă a frecvenŃei şi amplitudinea oscilaŃiei depind de proprie-
tăŃile neliniare ale amplificatorului operaŃional şi nu vor fi analizate aici.

75
În cazul unui circuit amplificatorul inversor cu reacŃie, folosind
ecuaŃia 3.12, se obŃine amplificarea rezultantă
( )I
II I
I
A 1 A
M
AF1 A 1 F 1 F
1
1 F
− −
= =
+ + +
+
+
(7.12)
iar condiŃia de stabilitate se reduce la cea din cazul circuitului ampli-
ficator neinversor, dacă coeficientul de reacŃie F<<1. Dacă totuşi IF
nu este cu mult mai mic decît unitatea, se poate arăta că condiŃia de
stabiliate devine:
CC I 2 3 1 3 1 2
I 1 2 3
A F f f f f f f
2
1 F f f f
+ + +
< + + +
+
(7.13)
adică, în locul cantităŃii CC NA F * trebuie folosită expresia CC I IA F / (1 F )+ .
În cazul în care amplificarea A reprezintă amplificarea pentru
patru reŃele de întârziere a fazei
( )( )( )( )
CC
1 2 3 4
A
A
1 jf / f 2 jf / f 3 jf / f 4 jf / f
=
+ + + +
(7.14)
CondiŃia de stabilitate va fi dedusă pentru cazul limită cand 4f este mic
comparativ cu 1f , 2f şi 3f , respectiv
4 1f f≪ (7.15 a)
4 2f f≪ (7.15 b)
4 3f f≪ (7.15 c)
Se poate arăta, ca rezultat al acestor aproximaŃii, că în vecinătatea
punctului unde | A 180≈ − ecuaŃia 7.14 poate fi aproximată astfel
( )( )( )( )
CC
1 2 3 4
A
A
1 jf / f 1 jf / f 1 jf / f 1 jf / f
≈
+ + + +
(7.16)
Pentru a determina dacă circuitul amplificator cu reacŃie obŃinut
prin aplicarea unei reacŃii negative de coeficient de reacŃie NF este sta-
bil, trebuie determinată valoarea lui NAF pentru N| AF = -180º. Folosind
ecuaŃia 7.16, NAF poate fi scris astfel
CC N 4
N 4 2 2 2 3 3 3
1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3
A F f
AF
f f f f f f f
j f
f f f f f f f f f f f f
=
 
− − − + − − −  
 
(7.17)
_____________
* Cu această substituŃie toate condiŃiile de stabilitate deduse în acest capitol
pentru amplificatoarele neinversoare pot fi aplicate şi în cazul amplificatoarelor inver-
soare (a se vedea şi tabelul 3).

Barna - Amplificatoare operationale

Barna - Amplificatoare operationale

Recommended

Recommended

More Related Content

More from Robin Cruise Jr.

More from Robin Cruise Jr. (20)

Barna - Amplificatoare operationale