1. PROBABILIDADE CONDICIONADA ÍNDICE UNIDADE 6

2. Conceptos Probabilidade condicionada. Sucesos dependentes e independentes. Probabilidade composta. Probabilidade total. Probabilidade a posteriori. Teorema de Bayes.

3. 1. Probabilidade condicionada. Chámase probabilidade do suceso B condicionada polo suceso A, ao cociente: Analogamente, a probabilidade condicionada de A respecto de B é: Das dúas definicións anteriores obtemos as seguintes relacións chamadas principios de probabilidade composta :

4. 1. Probabilidade condicionada Exemplo: Unha comisaría de policía metropolitana está formada por 1200 axentes: 960 homes e 240 mulleres. Ó longo dos dous últimos anos foron ascendidos 324 axentes. Na seguinte táboa amósase o reparto específico dos ascensos para axentes masculinos e femininos: 1200 876 324 Total 240 204 36 Mulleres 960 672 288 Homes Total Non ascendidos Ascendidos

5. 1. Probabilidade condicionada

6. 1. Probabilidade condicionada a. Calcula a probabilidade de que, escollido un axente da comisaría ó chou, este sexa unha muller e fose ascendida. b. Calcula a probabilidade de que, escollido un axente da comisaría ó chou, sexa unha muller. c. Calcula a probabilidade de que, escollido un axente da comisaría ó chou, este fose ascendido sabendo que é unha muller.

7. 1. Probabilidade condicionada a. Calcula a probabilidade de que, escollido un axente da comisaría ó chou, este sexa unha muller e fose ascendida. Solución: Empregando a regra de Laplace p(“sexa muller” e “fose ascendido”)= p(“sexa muller” “fose ascendido”)= Casos favorables = 36 axentes femininas foron ascendidas Casos posibles = 1200 axentes da comisaría

8. 1. Probabilidade condicionada b. Calcula a probabilidade de que, escollido un axente da comisaría ó chou, sexa unha muller. Empregando a regra de Laplace: p(“ser muller”) = casos favorables = 240 mulleres axentes na comisaría de policía casos posibles = 1200 axentes da comisaría de policía

9. 1. Probabilidade condicionada c. Calcula a probabilidade de que, escollido un axente da comisaría ó chou, este fose ascendido sabendo que é unha muller. Neste apartado temos unha información previa sobre o resultado do experimento, sabemos que o axente escollido ó chou foi unha muller. Pídennos, por tanto, a probabilidade de que o axente escollido fose ascendido coa condición de que se trata dunha muller.

10. 1. Probabilidade condicionada c. Empregando de novo a regra de Laplace : p(“fose ascendido”/”muller”)= casos favorables= 36 axentes femininas foron ascendidas casos posibles= 240 axentes femininas na comisaría Por outra banda : p(“fose ascendida”/”ser muller”)=

11. 1. Probabilidade condicionada Exemplo2: Vexamos agora un exemplo moi gráfico. Nota : Esta aplicación gráfica foi obtida do banco de imaxes do ITE.

12. 1. Probabilidade condicionada Exemplo3. Tedes agora un segundo exemplo gráfico: Nota : Esta aplicación gráfica foi obtida do banco de imaxes do ITE.

13. 1. Probabilidade condicionada Exemplo: A táboa seguinte amosa o número de alumnos dun centro escolar matriculados en cada un dos niveis da ESO. 398 73 97 103 125 Rapazas 306 50 92 76 88 Rapaces Total 4º ESO 3º ESO 2º ESO 1º ESO

14. 1. Probabilidade condicionada Calcula a probabilidade de que, escollido un escolar do centro ó chou, este sexa unha rapaza que curse 3º da ESO. Calcula a probabilidade de que, escollido un escolar do centro ó chou, sexa unha rapaza. Calcula a probabilidade de que, escollido un escolar do centro ó chou, este curse 3º da ESO sabendo que é unha rapaza.

15. 1. Probabilidade condicionada Solución: Calcula a probabilidade de que, escollido un escolar do centro ó chou, este sexa unha rapaza que curse 3º da ESO . Empregando a regra de Laplace p(“sexa rapaza” e “curse 3º ESO”)= p(“sexa rapaza” “curse 3º ESO”)= casos favorables = 97 rapazas estudan 3º ESO casos posibles = 306+398=704 alumnos do centro escolar

16. 1. Probabilidade condicionada b. Calcula a probabilidade de que, escollido un escolar do centro ó chou, sexa unha rapaza. Empregando a regra de Laplace: p(“ser rapaza”)= casos favorables = 398 alumnas no centro escolar casos posibles = 704 alumnos/as no centro escolar

17. 1. Probabilidade condicionada c. Calcula a probabilidade de que, escollido un escolar do centro ó chou, este curse 3º da ESO sabendo que é unha rapaza. Neste apartado temos unha información previa sobre o resultado do experimento, sabemos que o alumno escollido ó chou foi unha rapaza. Pídennos, por tanto, a probabilidade de que o alumno escollido curse 3º da ESO coa condición de que se trata dunha rapaza.

18. 1. Probabilidade condicionada c. Empregando de novo a regra de Laplace : p(“cursar 3ºESO”/”ser rapaza”)= casos favorables= 97 rapazas estudan 3º ESO casos posibles= 398 rapazas no centro Por outra banda : p(“cursar 3ºESO”/”ser rapaza”)=

19. 2. Sucesos dependentes e independentes. Dous sucesos A e B son independentes se p(B)=p(B/A) Dous sucesos A e B son dependentes se p(B)≠p(B/A)

20. 2. Sucesos dependentes e independentes Exemplo 1: Dunha urna que contén 9 bólas vermellas e 5 bólas negras extraemos sucesivamente 2 bólas. Acha a probabilidade de que : As dúas bólas sexan negras . As dúas bólas sexan vermellas . A primeira sexa vermella e a segunda sexa negra . Unha sexa vermella e a outra negra .

21. 2. Sucesos dependentes e independentes 9 bólas vermellas 5 bólas negras

22. 2. Sucesos dependentes e independentes A probabilidade condicionada aparece en experimentos compostos (varios exp. simples encadeados) onde o resultado dun experimento simple vese afectado polo resultado do experimento simple anterior. No noso caso trátase dun experimento composto de dous experimentos simples consistentes na extracción dunha bóla. Sacamos unha bóla da urna e, sen devolvela sacamos unha segunda bóla. O resultado do segundo experimento vese condicionado polo resultado do primeiro experimento, pois a composición da urna xa non é a mesma.

23. 2. Sucesos dependentes e independentes Definamos os sucesos: N 1 =“sacar bóla negra na 1ª extracción” V 1 =“sacar bóla vermella na 1ª extracción” N 2 =“sacar bóla negra na 2ª extracción” V 2 =“sacar bóla vermella na 2ª extracción” E fagamos un diagrama de árbore da situación.

24. Sucesos dependentes e independentes 14 bólas 5 negras 9 vermellas V 1 N 1 13 bólas 4 negras 9 vermellas 13 bólas 5 negras 8 vermellas V 2 N 2 V 2 N 2

25. 2. Sucesos dependentes e independentes P(V 1 )=9/14 P(N 1 )=5/14 P(N 2 /N 1 )=4/13 P(V 2 /N 1 )=9/13 P(N 2 /V 1 )=5/13 P(V 2 /V 1 )=8/13

26. 2. Sucesos dependentes e independentes Solución: a. Acha a probabilidade de que as dúas bólas sexan negras. p(“as dúas bólas sexan negras”)= p(“sacar bóla negra na 1ª extracción e sacar bóla negra na 2ª extracción”)= p(N 1 N 2 ) = p(N 1 ).p(N 2 /N 1 ) =

27. 2. Sucesos dependentes e independentes b. Acha a probabilidade de que as dúas bólas sexan vermellas. p(“as dúas bólas sexan vermellas”)= p(“sacar bóla vermella na 1ª extracción e sacar bóla vermella na 2ª extracción”)= p(V 1 V 2 ) = p(V 1 ).p(V 2 /V 1 ) =

28. 2. Sucesos dependentes e independentes c. Acha a probabilidade de que a primeira sexa vermella e a segunda sexa negra. p(“1ª bóla sexa vermella e a 2ª sexa negra”)= p(V 1 N 2 ) = p(V 1 ).p(N 2 /V 1 ) =

29. 2. Sucesos dependentes e independentes d. Acha a probabilidade de que unha sexa vermella e a outra negra. p(“unha bóla sexa vermella e a outra negra”)= P(“1ª bóla vermella e 2ª bóla negra ou 1ª bóla negra e 2ª bóla vermella”)= p(“1ª bóla vermella e 2ª bóla negra”) + + p(“1ª bóla negra e 2ª bóla vermella”)= p(V 1 N 2 ) + p(N 1 V 2 )= p(V 1 ).p(N 2 /V 1 ) + p(N 1 ).p(V 2 /N 1 )=

30. 2. Sucesos dependentes e independentes Exemplo 2: Tomemos agora a mesma urna con 9 bólas vermellas e 5 bólas negras e saquemos dúas bólas pero con devolución; é dicir, extraemos unha bóla, devolvémola á urna, e extraemos a segunda bóla. Acha a probabilidade de que : As dúas bólas sexan negras. As dúas bólas sexan vermellas . A primeira sexa vermella e a segunda sexa negra . Unha sexa vermella e a outra negra .

31. 2. Sucesos dependentes e independentes Temos agora un experimento composto de dous experimentos simples consistentes na extracción dunha bóla da urna dada, igual que no caso anterior. Pero a situación é ben distinta, os resultados do segundo experimento non se ven afectados polos resultados do primeiro experimento pois a composición da urna non sofre variación algunha.

32. 2. Sucesos dependentes e independentes Igual que fixemos no exemplo 1, definamos os sucesos: N 1 =“sacar bóla negra na 1ª extracción” V 1 =“sacar bóla vermella na 1ª extracción” N 2 =“sacar bóla negra na 2ª extracción” V 2 =“sacar bóla vermella na 2ª extracción” E fagamos un diagrama de árbore da situación.

33. 2. Sucesos dependentes e independentes P(N 1 )=5/14 P(V 1 )=9/14 P(N 2 /N 1 )=p(N 2 )=5/14 P(V 2 /N 1 )=P(V 2 )=9/14 P(N 2 /V 1 )=P(N 2 )=5/14 P(V 2 /V 1 )=P(V 2 )=9/14

34. 2.Sucesos dependentes e independentes Solución: a. Acha a probabilidade de que as dúas bólas sexan negras. p(“as dúas bólas sexan negras”)= p(“sacar bóla negra na 1ª extracción e sacar bóla negra na 2ª extracción”)= p(N 1 N 2 ) = p(N 1 ).p(N 2 /N 1 ) = p(N 1 ).p(N 2 ) =

35. 2. Sucesos dependentes e independentes b. Acha a probabilidade de que as dúas bólas sexan vermellas. p(“as dúas bólas sexan vermellas”)= p(“sacar bóla vermella na 1ª extracción e sacar bóla vermella na 2ª extracción”)= p(V 1 V 2 ) = p(V 1 ).p(V 2 /V 1 ) = p(V 1 ).p(V 2 ) =

36. 2. Sucesos dependentes e independentes c. Acha a probabilidade de que a primeira sexa vermella e a segunda sexa negra. p(“1ª bóla sexa vermella e a 2ª sexa negra”)= p(V 1 N 2 ) = p(V 1 ).p(N 2 /V 1 ) = p(V 1 ).p(N 2 ) =

37. 2. Sucesos dependentes e independentes d. Acha a probabilidade de que unha sexa vermella e a outra negra. p(“unha bóla sexa vermella e a outra negra”)= P(“1ª bóla vermella e 2ª bóla negra ou 1ª bóla negra e 2ª bóla vermella”)= p(“1ª bóla vermella e 2ª bóla negra”) + p(“1ª bóla negra e 2ª bóla vermella”)= p(V 1 N 2 ) + p(N 1 V 2 )= p(V 1 ).p(N 2 /V 1 ) + p(N 1 ).p(V 2 /N 1 )= p(V 1 ).p(N 2 )+ p(N 1 ).p(V 2 )=

38. 2. Sucesos dependentes e independentes No primeiro exemplo, “extracción de dúas bólas sen devolución dunha urna”, as probabilidades dos sucesos correspondentes á segunda parte do experimento (N 2 ,V 2 ) vense afectadas polo resultado da primeira parte do experimento. De feito que: p(N 2 )≠p(N 2 /N 1 )≠p(N 2 /V 1 ) p(V 2 )≠p(V 2 /N 1 )≠p(V 2 /V 1 ) Os sucesos N 2 e N 1 , N 2 e V 1 , V 2 e N 1 , V 2 e V 1 son o que se chama sucesos dependentes.

39. 2. Sucesos dependentes e independentes No segundo exemplo, “extracción de dúas bólas con devolución dunha urna”, as probabilidades dos sucesos correspondentes á segunda parte do experimento (N 2 ,V 2 ) non se ven afectadas polo resultado da primeira parte do experimento. De feito: p(N 2 )=p(N 2 /N 1 )=p(N 2 /V 1 ) p(V 2 )=p(V 2 /N 1 )=p(V 2 /V 1 ) Os sucesos N 2 e N 1 , N 2 e V 1 , V 2 e N 1 , V 2 e V 1 son o que se chama sucesos independentes.

40. 3.Probabilidade composta ou de integración de sucesos. Sucesos independentes . Se A e B son independentes, entón p(B)=p(B/A), por tanto p(A B)=p(A).p(B/A) convértese en p(A B)=p(A).p(B) Sucesos dependentes . Se A e B son dependentes, entón p(A B)=p(A).p(B/A) Se A, B e C son dependentes, entón p(A B C)=p[(A B) C]= =p (A B). p(C/A B)=p(A).p(B/A).p(C/A B)

41. 4. Probabilidade total Sexan n-sucesos A 1 ,A 2 ,….,A n incompatibles dous a dous, e tales que A 1 UA 2 U…UA n =E é dicir, un sistema completo de sucesos, tal que a probabilidade de cada un deles é distinta de cero. Sexa B un suceso calquera para o que se coñecen as probabilidades de B condicionadas a cada un dos sucesos A i i=1,…,n (p(B/A i )). Entón a probabilidade do suceso B vén dada pola seguinte expresión:

42. 4. Probabilidade Total Exemplo: Os alumnos de secundaria dun instituto están repartidos da seguinte maneira: 40% en primeiro, 25% en segundo, 15% en terceiro e o resto en cuarto. A porcentaxe de aprobados de cada un está no 30% en 1º, o 40% en 2º, 60% en 3º e 70% en 4º . Elixido ó chou un alumno de secundaria deste centro, pídese: A probabilidade de que aprobara.

43. 4. Probabilidade Total

44. 4. Probabilidade Total Para o experimento aleatorio “elixir un alumno de secundaria do centro ó chou” os sucesos : A 1 =“cursar 1º ESO” p(A 1 )=40/100 A 2 =“cursar 2º ESO” p(A 2 )=25/100 A 3 =“cursar 3º ESO” p(A 3 )=15/100 A 4 =“cursar 4º ESO” p(A 4 )=20/100 Son incompatibles dous a dous pois un alumno de secundaria non pode cursar dous niveis simultaneamente. Ademais A 1 UA 2 UA 3 UA 4 =E pois a unión dos catro sucesos abarca todos os alumnos de secundaria do centro. Forman, polo tanto, un sistema completo de sucesos.

45. 4. Probabilidade Total Por outra banda temos o suceso B=“o alumno aproba o curso “ E coñecemos as probabilidades condicionadas: p(“o alumno aproba o curso”/”cursa 1ºESO”) =p(B/A 1 )=30/100 p(“o alumno aproba o curso”/”cursa 2ºESO”) =p(B/A 2 )=40/100 p(“o alumno aproba o curso”/”cursa 3ºESO”) =p(B/A 3 )=60/100 p(“o alumno aproba o curso”/”cursa 4ºESO”) =p(B/A 4 )=70/100

46. 4. Probabilidade Total De acordo co Teorema da Probabilidade Total: p(B)=p(A 1 ).p(B/A 1 )+p(A 2 ).p(B/A 2 )+p(A 3 ).p(B/A 3 )+p(A 4 ).p(B/A 4 )

47. 4. Probabilidade Total Pero, vexamos agora de onde sae dito resultado . Fagamos un diagrama de árbore onde vexamos reflectida toda a situación:

48. 4. Probabilidade Total Exp. Aleat.: ” elixir un alumno de Secundaria ó chou” A 4 = “ cursar 4ºESO” P(A 4 )=20/100 A 3 = “ cursar 3ºESO” P(A 3 )=15/100 A 2 = “ cursar 2ºESO” P(A 2 )=25/100 A 1 = “ cursar 1ºESO” P(A 1 )=40/100 Non B= “ non aprobar” P(No B/A 1 )= 70/100 B= “ aprobar” P(B/A 1 )=30/100 Non B= “ non aprobar” P(No B/A 2 )= 60/100 B= “ aprobar” P(B/A 2 )=40/100 Non B= “ non aprobar” P(No B/A 3 )= 40/100 B= “ aprobar” P(B/A 3 )=60/100 Non B= “ non aprobar” P(No B/A 4 )= 30/100 B= “ aprobar” P(B/A 4 )=70/100

49. 4. Probabilidade Total

50. 4. Probabilidade Total Se non coñecésemos o Teorema da Probabilidade Total e á vista deste diagrama, poderiamos razoar do seguinte xeito: p(B)=p(“o alumno aproba”)= =p(“cursa 1º e aproba” ou “cursa 2º e aproba” ou “cursa 3º e aproba”ou “cursa 4º e aproba”)= =p((A 1 B)U(A 2 B)U(A 3 B)U(A 4 B))= como son sucesos incompatibles

51. 4. Probabilidade Total =p(A 1 B)+p(A 2 B)+p(A 3 B)+p(A 4 B)= fíxate que estes sucesos corresponden ás ramas do diagrama de árbore que rematan no suceso B, e polo principio da probabilidade composta: =p(A 1 ).p(B/A 1 )+p(A 2 ).p(B/A 2 )+p(A 3 ).p(B/A 3 )+ +p(A 4 ).p(B/A 4 ) Observa que acabamos de chegar á fórmula do Teorema da Probabilidade Total.

52. 5. Probabilidade a posteriori.Teorema de Bayes. Sexan n-sucesos A 1 ,A 2 ,….,A n incompatibles dous a dous, e tales que A 1 UA 2 U…UA n =E é dicir, un sistema completo de sucesos, tal que a probabilidade de cada un deles é distinta de cero. Sexa B un suceso calquera para o que se coñecen as probabilidades de B condicionadas a cada un dos sucesos A i i=1,…,n (p(B/A i )). Cúmprese : i=1,2,…,n

53. 5. Probabilidade a posteriori.Teorema de Bayes. Nota: O Teorema de Bayes esixe as mesmas condicións ca o Teorema da Probabilidade Total. Cando se cumpre un tamén se cumpre o outro. Exemplo: No exercicio anterior, pídennos agora: Sabendo que aprobou, cal é a probabilidade de que curse 4º da ESO. Lembremos a situación, mediante o diagrama de árbore:

54. 5. Teorema de Bayes.

55. 5. Probabilidade a posteriori.Teorema de Bayes. Pídennos: p(“curse 4ºESO”/” aproba o curso”) = pola definición de probabilidade condicionada Polo principio de probabilidade composta e T. da probabilidade total observa que obtivemos a fórmula de Bayes