1. CONTRASTE DE HIPÓTESES UNIDADE 11 ÍNDICE

2. Conceptos Introdución Hipóteses estatísticas. Hipótese nula. Hipótese alternativa. Tipos de erros Criterios de decisión. Pasos para a construción dun contraste de hipóteses.

3. Conceptos Contraste de hipóteses para a media Contraste de hipóteses para a proporción . Contraste de hipóteses para a diferenza de medias. Relación entre contraste de hipóteses e intervalos de confianza.

4. 1. Introdución Os obxectivos principais dos procedementos de inferencia tratados ata agora son dous: Determinar o valor concreto dun parámetro poboacional ( Estimación puntual ) Construír unha rexión aleatoria que conteña un parámetro poboacional cunha probabilidade prefixada de antemán ( Intervalos de confianza )

5. 1. Introdución Neste tema veremos unha terceira forma de inferencia estatística denominada Contraste de hipóteses O contraste de hipóteses serve para corroborar ou rexeitar unha afirmación ( hipótese ) sobre a poboación en estudo.

6. 1. Introdución A teoría do contraste de hipóteses foi proposta por Egon Pearson e Jerzy Neymann en 1928, analizaron a técnica do contraste, a eficiencia relativa e a optimidade dos contrastes. A pesar dalgunha controversia, nos anos 50 chegou a ser de práctica xeral.

7. 1. Introdución Probar estatísticamente unha hipótese é comprobar se a información que proporciona unha mostra observada concorda (ou non) coa hipótese estatística formulada sobre o modelo de probabilidade en estudo e, polo tanto, decidir se aceptar (ou non) a hipótese formulada cunhas marxes de erro previamente prefixadas.

8. 1. Introdución É dicir, Contrastar unha hipótese é comparar as prediccións coa realidade que observamos. Se dentro da marxe de erro que nos permitimos admitir, temos coincidencia, aceptaremos a hipótese e, en caso contrario a rexeitaremos.

9. 1. Introdución Polo tanto, un contraste de hipóteses é un procedemento que nos permite decidir se unha hipótese realizada sobre un parámetro descoñecido se acepta ou se rexeita cunha probabilidade prefixada α , chamada nivel de significación

10. 1. Introdución Vexamos exemplos de situacións nas que podemos utilizar o contraste de hipóteses

11. 1. Introdución Exemplo 1: Unha máquina prográmase para que produza parafusos de 15,50 mm e, en efecto, prodúceos cunha lonxitude media de 15,50 mm e unha desviación típica de 0,12 mm. Pasado un tempo, quérese comprobar se a máquina segue funcionando correctamente, pois se teñen sospeitas de que se desaxustou.

12. 1. Introdución Exemplo 1: Temos que decidir se a lonxitude media segue sendo μ =15,50 ou, se pola contra, µ ≠ 15,50; en cuxo caso, deberemos reaxustar a máquina. Para verificalo extraemos unha mostra de 90 parafusos e resulta que a media é A diferenza pode deberse a que: A máquina se desaxustou e μ ≠ 15,50 A máquina funciona ben e a diferenza débese ao azar, consecuencia de elixir unha mostra Para decidir entre as dúas posibilidades faremos un contraste de hipóteses ( Contraste de hipóteses para a media )

13. 1. Introdución Exemplo 2: Segundo a información dada pola Universidade de Santiago, sabemos que a proporción de aprobados nas probas de acceso á Universidade é do 95%. Se queremos coñecer a veracidade desa información, consideraremos a hipótese: a proporción de aprobados nas probas de acceso á Universidade é igual a 95% e a contrastaremos coa información obtida a partir dunha mostra. ( Contraste de hipóteses para a proporción )

14. 1. Introdución Exemplo 3: Dúas empresas producen o mesmo tipo de motor para lavadoras. Ao cabo dos anos, estes motores tiveron unha duración similar, pero na actualidade, a segunda empresa afirma que os seus motores duran máis que os da primeira. Para determinar se aceptamos ou rexeitamos esta afirmación da empresa, podemos utilizar o contraste de hipóteses para a diferenza de medias.456456

15. 2. Hipóteses estatísticas Unha hipótese estatística é unha afirmación respecto a algunha característica dunha poboación.

16. 2. Hipóteses estatísticas Unha hipótese estatística pode ser: Paramétrica: é unha afirmación sobre os valores dos parámetros poboacionais descoñecidos. Clasifícanse en: Simple: se a hipótese asigna valores únicos aos parámetros ( μ = 1'5, σ = 10, ...). Composta: se a hipótese asigna un rango de valores aos parámetros poboacionais descoñecidos ( μ > 1'5, 5 < σ < 10, ...).

17. 2. Hipóteses estatísticas Non Paramétrica: É unha afirmación sobre algunha característica estatística da poboación en estudo. Por exemplo : as observacións son independentes a distribución da variable é normal a distribución é simétrica, ...

18. 3. Hipótese nula. Hipótese alternativa. O primeiro paso no contraste consiste en formular as seguintes hipóteses: A hipótese nula : denótase por H 0 e é a afirmación que se considera verdadeira e que se quere contrastar . A hipótese alternativa : denotada por H 1, é a afirmación contraria á formulada na hipótese nula.

19. 3. Hipótese nula. Hipótese alternativa. Observacións: 1º.- A aceptación de H 0 non implica que esta sexa correcta , se non que os datos da mostra non proporcionaron evidencia suficiente como para refutala.

20. 3. Hipótese nula. Hipótese alternativa. 2º.- Se o experimentador quere apoiar con contundencia un determinado argumento é debido a que este non pode ser asumido gratuitamente e, polo tanto, só poderá ser defendido a través do rexeitamento do argumento contrario. Por exemplo , se un médico quere avalar empiricamente que unha nova vacina é efectiva, entón a hipótese nula será: H 0 : “A vacina non é efectiva”

21. 3. Hipótese nula. Hipótese alternativa Exemplo 1: Unha máquina prográmase para que produza parafusos de 15,50 mm. e, en efecto, prodúceos cunha lonxitude media de 15,50 mm. e unha desviación típica de 0,12 mm. Pasado un tempo, quérese comprobar se a máquina segue funcionando correctamente, pois se teñen sospeitas de que se desaxustou.

22. 3. Hipótese nula. Hipótese alternativa Para poder decidir, definimos como hipótese nula: H 0 :“a máquina funciona ben”: μ =15,50 mm. E, polo tanto: H 1 : μ≠ 15,50 mm.

23. 3. Hipótese nula. Hipótese alternativa Exemplo2: Segundo a información dada pola Universidade de Santiago, sabemos que a proporción de aprobados nas probas de acceso á Universidade é do 95%. H 0 :“a proporción de aprobados é do 95% ”: p=0,95 E, polo tanto: H 1 : p ≠ 0,95 mm

24. 3. Hipótese nula. Hipótese alternativa Exemplo 3: Dúas empresas producen o mesmo tipo de motor para lavadoras. Ao cabo dos anos, estes motores tiveron unha duración similar, pero na actualidade, a segunda empresa afirma que os seus motores duran máis que os da primeira. H 0 : μ 1 - μ 2 = 0 E, polo tanto: H 1 : μ 1 - μ 2 ‡ 0

25. 4. Tipos de erros . O contraste de hipóteses non establece a verdade da hipótese, senón un criterio que nos permite decidir se unha hipótese se acepta ou se rexeita segundo as mostras observadas difiren significativamente dos resultados esperados. Neste proceso podemos incorrer en dous tipos de erros segundo sexa a situación real e a decisión que tomemos.

26. 4. Tipos de erros . Erro de tipo I : Rexeitamos a hipótese nula cando esta é certa. Error de tipo II: Non rexeitamos a hipótese nula cando esta é falsa. As catro posibles situacións que poden dar lugar a un contraste de hipóteses esquematízanse no seguinte cadro:

27. 4. Tipos de erros . A ter en conta: Os dous tipos de erros son incompatibles: só é posible cometer un erro de tipo I se se rexeita a hipótese nula; mentres que o erro de tipo II está ligado ao non rexeitamento da hipótese nula. H 0 certa H 0 falsa H 0 rexeitada Erro tipo I Decisión correcta H 0 non rexeitada Decisión correcta Erro tipo II

28. 5. Criterios de decisión Toda decisión esta suxeita a erro e, polo tanto, calquera criterio utilizado para optar por unha ou pola outra hipótese atenderá a controlar o risco de equivocarse. Temos dous posibles enfoques iniciais: Unicamente pretendemos controlar o risco de cometer un erro de tipo I A decisión tomada garante probabilidades prefixadas de antemán para ambos os dous erros.

29. 5. Criterios de decisión Acoutar a probabilidade de erro de tipo I Esta proposta responde a aquelas situacións nas que o experimentador aposta inicialmente pola hipótese nula e só está disposto a rexeitala se a evidencia na súa contra é moi importante, preocupándose en menor medida de aceptala erroneamente.

30. 5. Criterios de decisión Exemplo: Nun proceso xudicial no que se decide entre a inocencia ou a culpabilidade do reo só se rexeitará a hipótese nula ( o acusado é inocente ) se a evidencia das probas acerca da súa culpabilidade vai máis alá de calquera dúbida razoable.

31. 5. Criterios de decisión Definición: Chámase nivel de significación dun contraste, α , á probabilidade de cometer un erro tipo I α = P ( “rexeitar H 0 ” / ”H 0 é certa” )

32. 5. Criterios de decisión Fixar o nivel de significación é decidir de antemán a probabilidade máxima que se está disposto a asumir, de rexeitar a hipótese nula cando é certa. O nivel de significación o elixe o experimentador, aínda que os valores usados habitualmente son 0,1; 0,05 ou 0,01

33. 5. Criterios de decisión A selección dun nivel de significación leva a dividir en dúas rexións o conxunto de posibles valores do estatístico de contraste: Unha de probabilidade α , coñecida como rexión de rexeitamento ou crítica. Unha de probabilidade 1- α , coñecida como rexión de aceptación.

34. 5. Criterios de decisión Se o estatístico de contraste toma un valor pertencente á rexión de aceptación, non existen razóns suficientes para rexeitar a hipótese nula cun nivel de significación α e o contraste dise estatisticamente non significativo

35. 5. Criterios de decisión Se o valor do estatístico cae na rexión de rexeitamento, entón asumimos un nivel de significación α , que os datos non son compatibles coa hipótese nula e a rexeitamos . Dise que o contraste é estatisticamente significativo

36. 5. Criterios de decisión A ubicación das rexións de rexeitamento e de aceptación dependerá do tipo de hipótese alternativa.

37. 5. Criterios de decisión Para unha hipótese nula simple do tipo H 0 : θ = θ 0 as hipóteses alternativas máis importantes son: H 0 : θ ‡ θ 0 Se α = P ( “rexeitar H 0 ” / ”H 0 é certa” ) Entón a rexión de rexeitamento vén dada por: RR α = (-∞,d (1- α )/2 )U(d α /2 ,+∞) Contraste bilateral

38. 5. Criterios de decisión Se H 0 : θ≤θ 0 H α : θ > θ 0 Entón a rexión de rexeitamento vén dada por: RR α = (d α ,+∞) Contraste unilateral dereito Se H 0 : θ≥θ 0 H α : θ < θ 0 Entón a rexión de rexeitamento vén dada por: RR α = (-∞,d (1- α ) ) Contraste unilateral esquerdo

39. 5. Criterios de decisión Prefixar a probabilidade de ambos os dous erros Existen situacións nos que incorrer nun erro de tipo II é tanto máis grave que cometer un erro de tipo I.

40. 5. Criterios de decisión Exemplo: Na execución dunha proba para detectar a presenza dun virus, cuxo desenvolvemento pode ser mortal se non é medicado a tempo, realizouse o seguinte contraste: H 0 : “ o virus non está presente” H α : “ o virus si está presente”

41. 5. Criterios de decisión Un erro de tipo I implicaría admitir a existencia do virus erroneamente. A gravidade de incorrer nun erro de tipo II é evidente, xa que equivale a descartar o virus cando o paciente si que o adquiriu.

42. 5. Criterios de decisión En situacións deste tipo, ademais de prefixar o nivel de significación, é conveniente precisar tamén a probabilidade que se está disposto a asumir de non rexeitar a hipótese nula erroneamente; incorrer nun erro de tipo II . Defínese : β = P ( “non rexeitar H 0 ” / ”H α é certa” )

43. 5. Criterios de decisión A ter en conta: Fixado o nivel de significación, a probabilidade de erro de tipo II diminúe coa distancia entre H 0 e H α A probabilidade de incorrer nun erro de tipo II diminúe (aumenta) se aumenta (diminúe) a probabilidade de cometer un erro de tipo I. Só é posible diminuir simultaneamente as probabilidades de ambos os dous erros aumentando o tamaño mostral.

44. 6. Pasos para a construción dun contraste de hipóteses 1ºpaso .- Especificar sen ambigüidade, as hipóteses nula e alternativa. Dependendo do sentido da hipótese alternativa, poderemos falar de contraste bilateral ou unilateral Contraste bilateral: H 1 : p ‡ p 0 Contraste unilateral: H 1 : p < p 0 ou H 1 : p > p 0

45. 6. Pasos para a construción dun contraste de hipóteses 2º paso.- Fixar o nivel de significación O nivel de significación, α , é a probabilidade de rexeitar a hipótese nula cando esta é certa (Erro tipo I) Este nivel deberemos prefixalo de antemán e tomaremos valores pequenos (0,05; 0,01; 0,1) xa que determinaremos as rexións de aceptación e rexeitamento a partir deste nivel α .

46. 6. Pasos para a construción dun contraste de hipóteses 2º paso.- Fixar o nivel de significación Contrate bilateral Contrastes unilaterais

47. 6. Pasos para a construción dun contraste de hipóteses 3º paso.- Determinación do estatístico de contraste Todos os estatísticos que imos utilizar nesta unidade, dependerán do parámetro sobre o cal se elaborou a hipótese nula.

48. 6. Pasos para a construción dun contraste de hipóteses Se a hipótese é sobre a media poboacional Se a hipótese é sobre a proporción poboacional Se a hipótese é sobre a diferenza de medias

49. 6. Pasos para a construción dun contraste de hipóteses 4ºpaso.- Determinar as rexións de aceptación e rexeitamento . Contraste bilateral

50. 6. Pasos para a construción dun contraste de hipóteses Contraste unilateral esquerdo Contraste unilateral dereito

51. 6. Pasos para a construción dun contraste de hipóteses 5º paso.- Tomar unha mostra da poboación e calcular o valor de estatístico de contraste, elixido no paso 3, para esta mostra concreta. A partir da mostra observada podemos obter un valor concreto do estatístico de contraste.

52. 6. Pasos para a construción dun contraste de hipóteses 6º paso.- Tomar a decisión de rexeitar ou non a hipótese nula, en función de que o valor do estatístico valorado na mostra observada se atope na rexión de rexeitamento ou de aceptación. Unha vez obtido o valor concreto do estatístico na mostra e a rexión de aceptación poderemos determinar se este valor é considerado aceptable ou non e, polo tanto, se aceptamos ou rexeitamos a hipótese nula

53. 6. Pasos para a construción dun contraste de hipóteses EXEMPLO 1: O concello de Carballo afirma que o 65% dos accidentes de tráfico no que están implicados mozos son debidos ao alcohol. Un investigador decide contrastar dita hipótese para o que toma unha mostra formada por 35 accidentes e observa que 24 deles foron debidos ao alcohol Que podemos dicir sobre a información do concello?

54. 6. Pasos para a construción dun contraste de hipóteses EXEMPLO 1: 1º.- Definir as hipóteses nula e alternativa H 0 : p = 0.65 H α : p ‡ 0.65 2º.- Elixir o nivel de significación Tomaremos como un bo nivel de significación α =0´01

55. 6. Pasos para a construción dun contraste de hipóteses EXEMPLO 1: 3º.- Determinación do estatístico de contraste A hipótese realízase sobre a proporción poboacional ; polo tanto, o estatístico de contraste é: Estatístico de contraste

56. 6. Pasos para a construción dun contraste de hipóteses EXEMPLO 1: 4º.- Determinación das rexións de aceptación e de rexeitamento Trátase dun contraste bilateral, polo tanto o valor crítico é z α /2 = 2.58 ; que é o valor que separa a rexión de aceptación da de rexeitamento. Rexión de aceptación (-2´58, 2´58)

57. 6. Pasos para a construción dun contraste de hipóteses 5º. - Tomar unha mostra da poboación e calcular o valor de estatístico de contraste para esta mostra concreta .

58. 6. Pasos para a construción dun contraste de hipóteses 6º.- Tomar a decisión de rexeitar ou non a hipótese nula, en función de que o valor do estatístico valorado na mostra observada se atope na rexión de rexeitamento ou de aceptación. Como 0´444 está no intervalo (-2´58, 2´58) acéptase a hipótese nula e dicimos, a un nivel do 1%, que a proporción de accidentes debidos ao alcohol é do 65%

59. 6. Pasos para a construción dun contraste de hipóteses

60. 7. Contraste de hipóteses para a media Temos unha poboación onde estudamos unha variable que segue N( μ , σ ) con σ coñecida. Queremos contrastar a hipótese H 0 : μ = μ 0 a partir dos resultados dunha mostra de tamaño n para a cal a media mostral é

61. 7. Contraste de hipóteses para a media Para isto seguiremos os seguintes pasos: 1) Fixar o nivel de significación: α

62. 7. Contraste de hipóteses para a media 2) Establecer a hipótese alternativa Hipótese nula Hipótese alternativa Tipo de contraste μ = μ 0 μ ‡ μ 0 Bilateral μ ≤ μ 0 μ > μ 0 Unilateral dereita μ ≥ μ 0 μ < μ 0 Unilateral esquerda

63. 7. Contraste de hipóteses para a media 3) Elixir o estatístico de contraste

64. 7. Contraste de hipóteses para a media 4) Construír a rexión de aceptación H 0 H α R. aceptación μ = μ 0 μ ‡ μ 0 (-z α /2 , z α /2 ) μ ≤ μ 0 μ > μ 0 (-∞, z α ) μ ≥ μ 0 μ < μ 0 (-z α , ∞)

65. 7. Contraste de hipóteses para a media 5) Verificación

66. 7. Contraste de hipóteses para a media Se σ é descoñecida e o tamaño da mostra n é grande (n≥30) Farase como no caso anterior substituíndo a varianza poboacional σ 2 pola cuasevarianza mostral ŝ 2 Polo que o estatístico de contraste é

67. 7. Contraste de hipóteses para a media EXEMPLO1: Crese que o tempo medio de ocio que adican ao día os estudantes de Bacharelato segue unha distribución N(350,60) (minutos). Para contrastar esta hipótese, tómase unha mostra aleatoria de 100 alumnos e obsérvase que o tempo medio é 320 minutos. Que se pode dicir desta afirmación ao nivel do 10%?

68. 7. Contraste de hipóteses para a media EXEMPLO 1: 1º.- Formulamos as hipóteses: H 0 : μ = 350 H α : μ ‡ 350 2º.- O nivel de significación é α = 0´1 3º.- Estatístico de contraste 4º.- Rexión de aceptación (-1´645, 1´645)

69. 7. Contraste de hipóteses para a media 6º.- Como -5 non está no intervalo (-1.645, 1.645) rexéitase a hipótese nula e, polo tanto, ao nivel do 10% ponse en dúbida que o tempo medio adicado ao ocio polos alumnos sexa 350 minutos.

70. 7. Contraste de hipóteses para a media

71. 7. Contraste de hipóteses para a media EXEMPLO2: Quérese contrastar o contido de azucre de distintos cargamentos de remolacha. Sábese que o contido medio de azucre para remolacha de regadío é do 18% e con media superior para o de secano, sendo a desviación típica 6% para ambos os dous casos. Tómase unha mostra de 20 cargamentos. Que valor da media permitirá tomar a decisión se é de secano ou de regadío ao nivel do 5%?

72. 7. Contraste de hipóteses para a media EXEMPLO 2: 1º.- Formulamos as hipóteses: H 0 : μ ≤ 18 H α : μ > 18 2º.- O nivel de significación é α = 0´05 3º.- Estatístico de contraste 4º.- Rexión de aceptación (-∞, 1´645)

73. 7. Contraste de hipóteses para a media

74. 7. Contraste de hipóteses para a media Polo tanto, 20´2% é o punto crítico que nos permitirá tomar a decisión se é de secano ou de regadío ao nivel do 5%.

75. 8. Contraste de hipóteses para a proporción Temos unha distribución binomial de parámetros B(n,p) e queremos contrastar o valor de p H 0 : p = p 0 Para iso eliximos unha mostra de tamaño n na que obtivemos que

76. 8. Contraste de hipóteses para a proporción Para iso seguiremos os seguintes pasos: 1) Fixar o nivel de significación: α

77. 8. Contraste de hipóteses para a proporción 2) Establecer a hipótese alternativa Hipótese nula Hipótese alternativa Tipo de contraste p = p 0 P ‡ p 0 Bilateral p ≤ p 0 p > p 0 Unilateral dereita p ≥ p 0 p < p 0 Unilateral esquerda

78. 8. Contraste de hipóteses para a proporción 3) Elixir o estatístico de contraste

79. 8. Contraste de hipóteses para a proporción 4) Construír a rexión de aceptación H 0 H α R. aceptación p = p 0 p ‡ p 0 (-z α /2 , z α /2 ) p ≤ p 0 p > p 0 (-∞, z α ) p ≥ p 0 p < p 0 (-z α , ∞)

80. 8. Contraste de hipóteses para a proporción 5) Verificación

81. 8. Contraste de hipóteses para a proporción EXEMPLO1: Ronald A. Fisher comenza a súa obra “Deseño de experimentos” co seguinte exemplo: Unha dama afirma que o sabor dunha taza de té con leite é distinto cando se verte antes o leite que o té. Para contrastar esta afirmación prepáranse 10 tazas de té; en 5 de elas vértese antes o leite e nas 5 restantes, antes o té.

82. 8. Contraste de hipóteses para a proporción A continuación, a dama proba en orde aleatoria as 10 cuncas e acerta en 8 das 10. Este feito é unha evidencia significativa a favor da hipótese? Para contestar a esta pregunta estudaremos cada un dos pasos que deberemos seguir na resolución de calquera problema de contraste de hipóteses.

83. 8. Contraste de hipóteses para a proporción 1º.- Definir as hipóteses nula e alternativa Tomaremos como hipótese nula a máis conservadora H 0 : “O sabor dunha cunca de té é indiferente da orde no que se verten o leite e o té” e como hipótese alternativa, a nova información que temos H 1 : “O sabor dunha cunca de té é distinto se se verte primeiro o leite e logo o té ou se se fai ao contrario”

84. 8. Contraste de hipóteses para a proporción Estas hipóteses verifícanse se ao elixir unha mostra, a proporción de acertos é igual a 0,5 ou maior ca 0,5 . Polo tanto: p=0,5 p>0,5

85. 8. Contraste de hipóteses para a proporción 2º.- Fixar o nivel de significación Tomaremos como un bo nivel de significación α =0,05

86. 8. Contraste de hipóteses para a proporción 3º.-Determinación do estatístico de contraste A hipótese realízase sobre a proporción poboacional ; polo tanto, o estatístico de contraste é:

87. 8. Contraste de hipóteses para a proporción 4º.- Determinación das rexións de aceptación e de rexeitamento Trátase dun contraste unilateral, polo tanto, o valor crítico é z α = 1.645 ; que é o valor que separa a rexión de aceptación da de rexeitamento.

88. 8. Contraste de hipóteses para a proporción

89. 8. Contraste de hipóteses para a proporción 5º.- Tomar unha mostra da poboación e calcular o valor de estatístico de contraste para esta mostra concreta .

90. 8. Contraste de hipóteses para a proporción 6º.- Tomar a decisión de rexeitar ou non a hipótese nula, en función de que o valor do estatístico valorado na mostra observada se atope na rexión de rexeitamento ou de aceptación. Como 1,875 > 1,65 , este valor está dentro da rexión de rexeitamento e polo tanto, rexeitamos a hipótese de que o sabor dunha taza de té é independente da orde na que se mesturen o té e o leite cun nivel de significación do 5%

91. 8. Contraste de hipóteses para a proporción

92. 8. Contraste de hipóteses para a proporción EXEMPLO 2 : Un adestrador asegura que os seus xogadores encestan máis do 92% dos tiros libres nos adestramentos. Co fin de contrastar esta afirmación escolleuse aleatoriamente unha mostra de 60 lanzamentos, dos que 42 entraron na canastra. Estes resultados, poñen en dúbida a afirmación do adestrador ou non?

93. 8. Contraste de hipóteses para a proporción EXEMPLO 2: 1º.- Formulamos as hipóteses: H 0 : p ≥ 0.92 H α : p < 0.92 2º.- Eliximos como nivel de significación α = 0´1 3º.- Estatístico de contraste 4º.- Rexión de aceptación (-1,28, ∞)

94. 8. Contraste de hipóteses para a proporción rexéitase a hipótese nula e ponse en dúbida, a un nivel do 10%, a afirmación do adestrador.

95. 8. Contraste de hipóteses para a proporción

96. 9. Contraste de hipóteses para a diferenza de medias Temos dúas poboacións normais, N( μ 1 , σ 1 ) y N( μ 2 , σ 2 ) con desviacións típicas coñecidas. Queremos contrastar a hipótese H 0 : μ 1 - μ 2 =v Para iso collemos unha mostra de cada unha das poboacións de tamaños n 1 e n 2 Nesas mostras obtivemos as medias mostrais:

97. 9. Contraste de hipóteses para a diferenza de medias Para iso seguiremos os seguintes pasos: 1) Fixar o nivel de significación: α

98. 9. Contraste de hipóteses para a diferenza de medias. 2) Establecer a hipótese alternativa Hipótese nula Hipótese alternativa Tipo de contraste μ 1 - μ 2 = v μ 1 - μ 2 ‡ v Bilateral μ 1 - μ 2 ≤ v μ 1 - μ 2 > v Unilateral dereita μ 1 - μ 2 ≥ v μ 1 - μ 2 < v Unilateral esquerda

99. 9. Contraste de hipóteses para a diferenza de medias 3) Elixir o estatístico de contraste

100. 9. Contraste de hipóteses para a diferenza de medias 4) Construir a rexión de aceptación H 0 H α R. aceptación μ 1 - μ 2 = v μ 1 - μ 2 ‡ v (-z α /2 , z α /2 ) μ 1 - μ 2 ≤ v μ 1 - μ 2 > v (-∞, z α ) μ 1 - μ 2 ≥ v μ 1 - μ 2 < v (-z α , ∞)

101. 9. Contraste de hipóteses para a diferenza de medias 5) Verificación

102. 9. Contraste de hipóteses para a diferenza de medias EXEMPLO: Co fin de determinar se existen diferenzas significativas entre dous grupos de estudantes, realizamos o mesmo exame a 30 alumnos do primeiro grupo e a 35 do segundo; obténdose a seguinte información: Nota media Desviación típica 1º grupo 5,5 0,5 2º grupo 5,2 1

103. 9. Contraste de hipóteses para a diferenza de medias EXEMPLO: Dexesamos contrastar a hipótese sobre a non existencia de diferenzas significativas entre ambos os dous grupos cun nivel de significación do 1%.

104. 9. Contraste de hipóteses para a diferenza de medias EXEMPLO : 1º.- Formulamos as hipóteses: H 0 : μ 1 - μ 2 = 0 H α : μ 1 - μ 2 ‡ 0 2º.- Eliximos como nivel de significación α = 0´01 3º.- Estatístico de contraste 4º.- Rexión de aceptación (-2.575, 2.575)

105. 9. Contraste de hipóteses para a diferenza de medias acéptase a hipótese sobre a non existencia de diferenzas significativas entre os grupos.

106. 9. Contraste de hipóteses para a diferenza de medias

107. 10. Relación entre contraste de hipóteses e intervalos de confianza. Existe unha gran relación entre o intervalo de confianza para un parámetro dunha distribución e un contraste de hipóteses relativo ao mesmo. Exemplo : Formulamos a hipótese de que a media μ dunha distribución toma un determinado valor. Construímos o intervalo de confianza para unha mostra particular. Cando este intervalo non conteña o valor μ 0 equivalerá a rexeitar a hipótese nula H 0 : μ = μ 0

108. 10. Relación entre contraste de hipóteses e intervalos de confianza. EXEMPLO: O gremio de restaurantes de Carballo afirma que o prezo medio do menú do día é de 8 euros e queremos contrastar esta hipótese. Para iso faremos: Paso 1º.- Hipótese nula: H 0 : μ = 8 € Hipótese alternativa: H α : μ ‡ 8 € Paso 2º.- Fixamos o nivel de significación α =0,05

109. 10. Relación entre contraste de hipóteses e intervalos de confianza. EXEMPLO: Paso 3º.- O estatístico de contraste é Paso 4º.- Determinar a rexión de aceptación (-z α /2 , z α /2 ) = (-1.96, 1.96)

110. 10. Relación entre contraste de hipóteses e intervalos de confianza. EXEMPLO: Paso 5º.-Eliximos unha mostra aleatoria de 40 restaurantes e obtemos que o prezo medio da mostra e a desviación típica mostral son:

111. 10. Relación entre contraste de hipóteses e intervalos de confianza. EXEMPLO: Paso 6º.-Rexeitamos a hipótese nula xa que existe evidencia suficiente de que o prezo do menú sexa distinto de 8 euros 1,976 non está na rexión de aceptación (-1.96, 1.96)

112. 10. Relación entre contraste de hipóteses e intervalos de confianza.

113. 10. Relación entre contraste de hipóteses e intervalos de confianza. EXEMPLO: Achemos agora un intervalo de confianza para a media poboacional ao nivel do 5% Polo tanto O intervalo de confianza non cobre o valor da media poboacional ao nivel de significación do 5%