คณิต 53

ÃËÑÊÇÔªÒ 04 ¤³ÔµÈÒÊµÃì Ë¹éÒ 2
ÇÑ¹àÊÒÃì·Õ‹ 20 ¡ØÁÀÒ¾Ñ¹¸ì 2553 àÇÅÒ 11.30 - 13.30 ¹.

ÊèÇ¹·Õ‹ 1 áººÃÐºÒÂµÑÇàÅ×Í¡ áµèÅÐ¢éÍÁÕ¤ÓµÍº·Õ‹¶Ù¡µéÍ§·Õ‹ÊØ´à¾ÕÂ§¤ÓµÍºà´ÕÂÇ ¨Ó¹Ç¹

36 ¢éÍ (¢éÍ 1–36) ¢éÍÅÐ 1 ¤Ðá¹¹

1. ãËé A = {1, 2, 3, . . .} áÅÐ B = {{1, 2}, {3, 4, 5}, 6, 7, 8, . . .} ¢éÍã´à»š¹à·ç¨

1. A−B ÁÕÊÁÒªÔ¡ 5 µÑÇ

2. ¨Ó¹Ç¹ÊÁÒªÔ¡¢Í§à¾ÒàÇÍÃìà«µ¢Í§ B−A à·èÒ¡Ñº 4

3. ¨Ó¹Ç¹ÊÁÒªÔ¡¢Í§ (A − B) ∪ (B − A) à»š¹¨Ó¹Ç¹¤Ùè

4. A∩B ¤×Íà«µ¢Í§¨Ó¹Ç¹¹Ñº·Õ‹ÁÕ¤èÒÁÒ¡¡ÇèÒ 5

2. ¾Ô¨ÒÃ³Ò¡ÒÃãËéàËµØ¼ÅµèÍä»¹ÕŒ

àËµØ 1) A

2) àËç´à»š¹¾×ªÁÕ´Í¡

¼Å àËç´à»š¹¾×ªªÑŒ¹ÊÙ§

¢éÍÊÃØ»¢éÒ§µé¹ÊÁàËµØÊÁ¼Å ¶éÒ A á·¹¢éÍ¤ÇÒÁã´

1. ¾×ªªÑŒ¹ÊÙ§·Ø¡ª¹Ô´ÁÕ´Í¡

2. ¾×ªªÑŒ¹ÊÙ§ºÒ§ª¹Ô´ÁÕ´Í¡

3. ¾×ªÁÕ´Í¡·Ø¡ª¹Ô´à»š¹¾×ªªÑŒ¹ÊÙ§

4. ¾×ªÁÕ´Í¡ºÒ§ª¹Ô´à»š¹¾×ªªÑŒ¹ÊÙ§


3. ¾Ô¨ÒÃ³Ò¢éÍ¤ÇÒÁµèÍä»¹ÕŒ

¡. ¨Ó¹Ç¹·Õ‹à»š¹·È¹ÔÂÁäÁèÃÙé¨ººÒ§¨Ó¹Ç¹à»š¹¨Ó¹Ç¹ÍµÃÃ¡ÂÐ

¢. ¨Ó¹Ç¹·Õ‹à»š¹·È¹ÔÂÁäÁèÃÙé¨ººÒ§¨Ó¹Ç¹à»š¹¨Ó¹Ç¹µÃÃ¡ÂÐ

¢éÍã´¶Ù¡µéÍ§

1. ¢éÍ ¡. áÅÐ¢éÍ ¢. 2. ¢éÍ ¡. à·èÒ¹ÑŒ¹

3. ¢éÍ ¢. à·èÒ¹ÑŒ¹ 4. ¢éÍ ¡. áÅÐ¢éÍ ¢. ¼Ô´

4. ¡ÓË¹´ãËé s, t, u áÅÐ v à»š¹¨Ó¹Ç¹¨ÃÔ§ «Ö‹§ s<t áÅÐ u<v

¾Ô¨ÒÃ³Ò¢éÍ¤ÇÒÁµèÍä»¹ÕŒ

¡. s−u<t−v

¢. s−v <t−u


1. ¢éÍ ¡. áÅÐ¢éÍ ¢. 2. ¢éÍ ¡. à·èÒ¹ÑŒ¹



5. ¼Åà©ÅÂ¢Í§ÊÁ¡ÒÃ 2|5 − x| = 1 ÍÂÙèã¹ªèÇ§ã´

1. (−10, −5) 2. (−6, −4)

3. (−4, 5) 4. (−3, 6)

3
6. ¶éÒ à»š¹¼Åà©ÅÂË¹Ö‹§¢Í§ÊÁ¡ÒÃ 4x2 + bx − 6 = 0 àÁ×‹Í b à»š¹¨Ó¹Ç¹¨ÃÔ§áÅéÇ ÍÕ¡¼Å
4
à©ÅÂË¹Ö‹§¢Í§ÊÁ¡ÒÃ¹ÕŒÁÕ¤èÒµÃ§¡Ñº¢éÍã´

1
1. −2 2. −
2
1
3. 4. 2
2

7. ¢éÍã´ÁÕ¤èÒµèÒ§¨Ò¡¢éÍÍ×‹¹

1. (−1)0 2. (−1)0.2

3. (−1)0.4 4. (−1)0.8

√ √ √ √ √ √ 2
8. |4 3 − 5 2| − |3 5 − 5 2| + |4 3 − 3 5| à·èÒ¡Ñº¢éÍã´

1. 0 2. 180

3. 192 4. 200


9. ¡ÓË¹´ãËé a à»š¹¨Ó¹Ç¹¨ÃÔ§ºÇ¡ áÅÐ n à»š¹¨Ó¹Ç¹¤ÙèºÇ¡


√ n
¡.
n
a = |a|
√
n
¢. an = |a|


1. ¢éÍ ¡. áÅÐ¢éÍ ¢. 2. ¢éÍ ¡. à·èÒ¹ÑŒ¹


10. ¶éÒ f (x) = −x2 + x + 2 áÅéÇ ¢éÍÊÃØ»ã´¶Ù¡µéÍ§

1. f (x) ≥ 0 àÁ×‹Í −1 ≤ x ≤ 2

2. ¨Ø´Ç¡¡ÅÑº¢Í§¡ÃÒ¿¢Í§¿˜§¡ìªÑ¹ f ÍÂÙèã¹¨µØÀÒ¤·Õ‹ÊÍ§

3. ¿˜§¡ìªÑ¹ f ÁÕ¤èÒÊÙ§ÊØ´à·èÒ¡Ñº 2

4. ¿˜§¡ìªÑ¹ f ÁÕ¤èÒµ‹ÓÊØ´à·èÒ¡Ñº 2


11. ¤ÇÒÁÊÑÁ¾Ñ¹¸ìã¹¢éÍã´à»š¹¿˜§¡ìªÑ¹

1. {(1, 2), (2, 3), (3, 2), (2, 4)}

2. {(1, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 3)}

3. {(1, 3), (1, 2), (1, 1), (1, 4)}

4. {(1, 3), (2, 1), (3, 3), (4, 1)}
√
12. ¶éÒ f (x) = 3−x áÅÐ g(x) = −2 + |x − 4| áÅéÇ Df ∪ Rg ¤×Í¢éÍã´

1. (−∞, 3] 2. [−2, ∞)

3. [−2, 3] 4. (−∞, ∞)


13. ¡ÓË¹´ãËé¡ÃÒ¿¢Í§¿˜§¡ìªÑ¹ f à»š¹´Ñ§¹ÕŒ

ß½¼ ß ¼

ß

¤èÒ¢Í§ 11f (−11) − 3f (−3)f (3) ¤×Í¢éÍã´

1. 57 2. 68

3. 75 4. 86


14. ÃÙ»ÊÒÁàËÅÕ‹ÂÁÁØÁ©Ò¡ÃÙ»Ë¹Ö‹§ ÁÕ¾×Œ¹·Õ‹ 600 µÒÃÒ§à«¹µÔàÁµÃ ¶éÒ´éÒ¹»ÃÐ¡ÍºÁØÁ

©Ò¡´éÒ¹Ë¹Ö‹§ÂÒÇà»š¹ 75% ¢Í§´éÒ¹»ÃÐ¡ÍºÁØÁ©Ò¡ÍÕ¡´éÒ¹Ë¹Ö‹§áÅéÇ àÊé¹ÃÍºÃÙ»ÊÒÁ

àËÅÕ‹ÂÁÁØÁ©Ò¡ÃÙ»¹ÕŒ ÂÒÇ¡Õ‹à«¹µÔàÁµÃ

1. 120 2. 40
√ √
3. 60 2 4. 20 2

15. ¢ºÇ¹¾ÒàËÃ´ÃÙ»ÊÕ‹àËÅÕ‹ÂÁ¼×¹¼éÒ¢ºÇ¹Ë¹Ö‹§ »ÃÐ¡Íº´éÇÂ¼Ùéà´Ô¹à»š¹á¶Ç á¶ÇÅÐà·èÒæ ¡Ñ¹

(ÁÒ¡¡ÇèÒ 1 á¶Ç áÅÐá¶ÇÅÐÁÒ¡¡ÇèÒ 1 ¤¹) â´ÂÁÕà©¾ÒÐ¼ÙéÍÂÙèÃÔÁ´éÒ¹¹Í¡·ÑŒ§ÊÕ‹´éÒ¹¢Í§

¢ºÇ¹à·èÒ¹ÑŒ¹ ·Õ‹ÊÇÁªØ´ÊÕá´§ «Ö‹§ÁÕ·ÑŒ§ËÁ´ 50 ¤¹ ¶éÒ x ¤×Í¨Ó¹Ç¹á¶Ç¢Í§¢ºÇ¹

¾ÒàËÃ´ áÅÐ N ¤×Í¨Ó¹Ç¹¤¹·Õ‹ÍÂÙèã¹¢ºÇ¹¾ÒàËÃ´áÅéÇ ¢éÍã´¶Ù¡µéÍ§

1. 31x − x2 = N

2. 29x − x2 = N

3. 27x − x2 = N

4. 25x − x2 = N


16. ÃÙ»ÊÕ‹àËÅÕ‹ÂÁ¼×¹¼éÒÊÍ§ÃÙ» ÁÕ¢¹Ò´à·èÒ¡Ñ¹ â´ÂÁÕàÊé¹·áÂ§ÁØÁÂÒÇà»š¹ÊÍ§à·èÒ¢Í§´éÒ¹

¡ÇéÒ§ ¶éÒ¹ÓÃÙ»ÊÕ‹àËÅÕ‹ÂÁ¼×¹¼éÒ·ÑŒ§ÊÍ§ÁÒÇÒ§µèÍ¡Ñ¹´Ñ§ÃÙ» ¨Ø´ A áÅÐ¨Ø´ B ÍÂÙèËèÒ§¡Ñ¹à»š¹

ÃÐÂÐ¡Õ‹à·èÒ¢Í§´éÒ¹¡ÇéÒ§

1. 1.5 2. 3
√ √
3. 2 4. 2 2

17. â´Â¡ÒÃãªéµÒÃÒ§ËÒÍÑµÃÒÊèÇ¹µÃÕâ¡³ÁÔµÔ¢Í§ÁØÁ¢¹Ò´µèÒ§æ ·Õ‹¡ÓË¹´ãËéµèÍä»¹ÕŒ

θ sin θ cos θ
72◦ 0.951 0.309
73◦ 0.956 0.292
74◦ 0.961 0.276
75◦ 0.966 0.259

ÁØÁÀÒÂã¹·Õ‹ÁÕ¢¹Ò´àÅç¡·Õ‹ÊØ´¢Í§ÃÙ»ÊÒÁàËÅÕ‹ÂÁ·Õ‹ÁÕ´éÒ¹·ÑŒ§ÊÒÁÂÒÇ 7, 24 áÅÐ 25 Ë¹èÇÂ

ÁÕ¢¹Ò´ã¡Åéà¤ÕÂ§¡Ñº¢éÍã´ÁÒ¡·Õ‹ÊØ´

1. 15◦ 2. 16◦

3. 17◦ 4. 18◦


18. ÁØÁÁØÁË¹Ö‹§¢Í§ÃÙ»ÊÒÁàËÅÕ‹ÂÁÁØÁ©Ò¡ÁÕ¢¹Ò´à·èÒ¡Ñº 60 Í§ÈÒ ¶éÒàÊé¹ÃÍºÃÙ»¢Í§ÃÙ»

√
ÊÒÁàËÅÕ‹ÂÁ¹ÕŒÂÒÇ 3− 3 ¿ØµáÅéÇ ´éÒ¹·Õ‹ÂÒÇà»š¹ÍÑ¹´ÑºÊÍ§ÁÕ¤ÇÒÁÂÒÇà·èÒ¡Ñº¢éÍã´

√
1. 2− 3 ¿Øµ

√
2. 2 + 3 ¿Øµ
√
3. 2 3 − 3 ¿Øµ
√
4. 2 3 + 3 ¿Øµ

19. ¡ÅéÍ§Ç§¨Ã»´«Ö‹§¶Ù¡µÔ´µÑŒ§ÍÂÙèÊÙ§¨Ò¡¾×Œ¹¶¹¹ 2 àÁµÃ ÊÒÁÒÃ¶¨ÑºÀÒ¾ä´éµ‹Ó·Õ‹ÊØ´·Õ‹ÁØÁ

¡éÁ 45◦ áÅÐÊÙ§·Õ‹ÊØ´·Õ‹ÁØÁ¡éÁ 30◦ ÃÐÂÐ·Ò§º¹¾×Œ¹¶¹¹ã¹á¹Ç¡ÅéÍ§ ·Õ‹¡ÅéÍ§¹ÕŒÊÒÁÒÃ¶

√
¨ÑºÀÒ¾ä´é¤×Íà·èÒã´ (¡ÓË¹´ãËé 3 ≈ 1.73)

1. 1.00 àÁµÃ 2. 1.46 àÁµÃ

3. 2.00 àÁµÃ 4. 3.46 àÁµÃ

3 1
20. ¡ÓË¹´ãËé , 1, , . . . à»š¹ÅÓ´ÑºàÅ¢¤³Ôµ ¼ÅºÇ¡¢Í§¾¨¹ì·Õ‹ 40 áÅÐ¾¨¹ì·Õ‹ 42 à·èÒ¡Ñº
2 2
¢éÍã´

1. −18 2. −19

3. −37 4. −38


21. ã¹ 40 ¾¨¹ìáÃ¡¢Í§ÅÓ´Ñº an = 3 + (−1)n ÁÕ¡Õ‹¾¨¹ì ·Õ‹ÁÕ¤èÒà·èÒ¡Ñº¾¨¹ì·Õ‹ 40

1. 10 2. 20

3. 30 4. 40

22. ¡ÓË¹´ãËé a1 , a2 , a3 , . . . à»š¹ÅÓ´ÑºàÃ¢Ò¤³Ôµ ¶éÒ a2 = 8 áÅÐ a5 = −64 áÅéÇ ¼ÅºÇ¡

¢Í§ 10 ¾¨¹ìáÃ¡¢Í§ÅÓ´Ñº¹ÕŒà·èÒ¡Ñº¢éÍã´

1. 2, 048 2. 1, 512

3. 1, 364 4. 1, 024

23. ·ÒÊÕàËÃÕÂÊÒÁÍÑ¹´Ñ§¹ÕŒ àËÃÕÂáÃ¡´éÒ¹Ë¹Ö‹§·ÒÊÕ¢ÒÇ ÍÕ¡´éÒ¹Ë¹Ö‹§·ÒÊÕá´§ àËÃÕÂ·Õ‹

ÊÍ§´éÒ¹Ë¹Ö‹§·ÒÊÕá´§ ÍÕ¡´éÒ¹Ë¹Ö‹§·ÒÊÕ¿‡Ò àËÃÕÂ·Õ‹ÊÒÁ´éÒ¹Ë¹Ö‹§·ÒÊÕ¿‡Ò ÍÕ¡´éÒ¹Ë¹Ö‹§

·ÒÊÕ¢ÒÇ âÂ¹àËÃÕÂ·ÑŒ§ÊÒÁ¢ÖŒ¹¾ÃéÍÁ¡Ñ¹ ¤ÇÒÁ¹èÒ¨Ðà»š¹·Õ‹àËÃÕÂ¨Ð¢ÖŒ¹Ë¹éÒµèÒ§ÊÕ¡Ñ¹

·ÑŒ§ËÁ´à»š¹´Ñ§¢éÍã´

1 1
1. 2.
2 4
1 1
3. 4.
8 16


24. ¡ÅèÍ§ãºË¹Ö‹§ºÃÃ¨ØÊÅÒ¡ËÁÒÂàÅ¢ 1–10 ËÁÒÂàÅ¢ÅÐ 1 ãº ¶éÒÊØèÁËÂÔºÊÅÒ¡¨Ó¹Ç¹ÊÍ§

ãº â´ÂËÂÔº·ÕÅÐãºáººäÁèãÊè¤×¹ ¤ÇÒÁ¹èÒ¨Ðà»š¹·Õ‹¨ÐËÂÔºä´éÊÅÒ¡ËÁÒÂàÅ¢µ‹Ó¡ÇèÒ 5

à¾ÕÂ§Ë¹Ö‹§ãºà·èÒ¹ÑŒ¹ à·èÒ¡Ñº¢éÍã´

2 8
1. 2.
9 15
2 11
3. 4.
35 156

25. ã¹¡ÒÃÇÑ´ÊèÇ¹ÊÙ§¹Ñ¡àÃÕÂ¹áµèÅÐ¤¹ã¹ªÑŒ¹ ¾ºÇèÒ¹Ñ¡àÃÕÂ¹·Õ‹ÊÙ§·Õ‹ÊØ´ÊÙ§ 177 à«¹µÔàÁµÃ

áÅÐ¹Ñ¡àÃÕÂ¹·Õ‹àµÕŒÂ·Õ‹ÊØ´ÊÙ§ 145 à«¹µÔàÁµÃ ¾Ô¨ÒÃ³Òà«µ¢Í§ÊèÇ¹ÊÙ§µèÍä»¹ÕŒ

S = {H | H à»š¹ÊèÇ¹ÊÙ§ã¹Ë¹èÇÂà«¹µÔàÁµÃ¢Í§¹Ñ¡àÃÕÂ¹ã¹ªÑŒ¹}

T = { H | 145 ≤ H ≤ 177 }

à«µã´¶×Íà»š¹»ÃÔÀÙÁÔµÑÇÍÂèÒ§ (á«Áà»ÅÊà»«) ÊÓËÃÑº¡ÒÃ·´ÅÍ§ÊØèÁ¹ÕŒ

1. S áÅÐ T

2. S à·èÒ¹ÑŒ¹

3. T à·èÒ¹ÑŒ¹

4. ·ÑŒ§ S áÅÐ T äÁèà»š¹»ÃÔÀÙÁÔµÑÇÍÂèÒ§


26. ã¹¡ÒÃàÅ×Í¡¤³Ð¡ÃÃÁ¡ÒÃªØ´Ë¹Ö‹§ «Ö‹§»ÃÐ¡Íº´éÇÂ »ÃÐ¸Ò¹ ÃÍ§»ÃÐ¸Ò¹ áÅÐ

àÅ¢Ò¹Ø¡ÒÃÍÂèÒ§ÅÐ 1 ¤¹ ¨Ò¡ËÔ§ 6 ¤¹ áÅÐªÒÂ 4 ¤¹ ¤ÇÒÁ¹èÒ¨Ðà»š¹·Õ‹¤³Ð¡ÃÃÁ¡ÒÃ

ªØ´¹ÕŒ ¨ÐÁÕ»ÃÐ¸Ò¹áÅÐÃÍ§»ÃÐ¸Ò¹à»š¹ËÔ§à·èÒ¡Ñº¢éÍã´

1 1
1. 2.
18 12
1 1
3. 4.
9 3

27. ¤ÃÙÊÍ¹ÇÔ·ÂÒÈÒÊµÃìÁÍºËÁÒÂãËé¹Ñ¡àÃÕÂ¹ 40 ¤¹ ·Óâ¤Ã§§Ò¹µÒÁ¤ÇÒÁÊ¹ã¨ ËÅÑ§¨Ò¡

µÃÇ¨ÃÒÂ§Ò¹â¤Ã§§Ò¹¢Í§·Ø¡¤¹áÅéÇ ¼ÅÊÃØ»à»š¹´Ñ§¹ÕŒ

¼Å¡ÒÃ»ÃÐàÁÔ¹ ¨Ó¹Ç¹â¤Ã§§Ò¹

´ÕàÂÕ‹ÂÁ 3
´Õ 20
¾Íãªé 12
µéÍ§á¡éä¢ 5

¢éÍÁÙÅ·Õ‹à¡çºÃÇºÃÇÁ à¾×‹ÍãËéä´é¼ÅÊÃØ»¢éÒ§µé¹à»š¹¢éÍÁÙÅª¹Ô´ã´

1. ¢éÍÁÙÅ»°ÁÀÙÁÔ àªÔ§»ÃÔÁÒ³

2. ¢éÍÁÙÅ·ØµÔÂÀÙÁÔ àªÔ§»ÃÔÁÒ³

3. ¢éÍÁÙÅ»°ÁÀÙÁÔ àªÔ§¤Ø³ÀÒ¾

4. ¢éÍÁÙÅ·ØµÔÂÀÙÁÔ àªÔ§¤Ø³ÀÒ¾


28. ¤èÒà©ÅÕ‹ÂàÅ¢¤³Ôµ¢Í§¹ŒÓË¹Ñ¡¢Í§¾¹Ñ¡§Ò¹¢Í§ºÃÔÉÑ·Ë¹Ö‹§ à·èÒ¡Ñº 48.01 ¡ÔâÅ¡ÃÑÁ ºÃÔÉÑ·

¹ÕŒÁÕ¾¹Ñ¡§Ò¹ªÒÂ 43 ¤¹ áÅÐ¾¹Ñ¡§Ò¹ËÔ§ 57 ¤¹ ¶éÒ¤èÒà©ÅÕ‹ÂàÅ¢¤³Ôµ¢Í§¹ŒÓË¹Ñ¡

¾¹Ñ¡§Ò¹ËÔ§à·èÒ¡Ñº 45 ¡ÔâÅ¡ÃÑÁ áÅéÇ ¹ŒÓË¹Ñ¡¢Í§¾¹Ñ¡§Ò¹ªÒÂ·ÑŒ§ËÁ´ÃÇÁ¡Ñ¹à·èÒ¡Ñº

¢éÍã´

1. 2, 236 ¡ÔâÅ¡ÃÑÁ

2. 2, 279 ¡ÔâÅ¡ÃÑÁ

3. 2, 322 ¡ÔâÅ¡ÃÑÁ

4. 2, 365 ¡ÔâÅ¡ÃÑÁ


29. á¼¹ÀÒ¾µé¹-ãº¢Í§¹ŒÓË¹Ñ¡ã¹Ë¹èÇÂ¡ÃÑÁ¢Í§ä¢èä¡è 10 ¿Í§ à»š¹´Ñ§¹ÕŒ

5 7 8
6 7 8 9
7 0 4 4 7
8 1

¢éÍÊÃØ»ã´à»š¹à·ç¨

1. °Ò¹¹ÔÂÁ¢Í§¹ŒÓË¹Ñ¡¢Í§ä¢èä¡èÁÕà¾ÕÂ§¤èÒà´ÕÂÇ

2. ¤èÒà©ÅÕ‹ÂàÅ¢¤³ÔµáÅÐÁÑ¸Â°Ò¹¢Í§¹ŒÓË¹Ñ¡¢Í§ä¢èä¡èÁÕ¤èÒà·èÒ¡Ñ¹

3. ÁÕä¢èä¡è 5 ¿Í§·Õ‹ÁÕ¹ŒÓË¹Ñ¡¹éÍÂ¡ÇèÒ 70 ¡ÃÑÁ

4. ä¢èä¡è·Õ‹ÁÕ¹ŒÓË¹Ñ¡ÊÙ§¡ÇèÒ°Ò¹¹ÔÂÁ ÁÕ¨Ó¹Ç¹ÁÒ¡¡ÇèÒ ä¢èä¡è·Õ‹ÁÕ¹ŒÓË¹Ñ¡à·èÒ¡Ñº°Ò¹

¹ÔÂÁ


30. ÊÓËÃÑº¢éÍÁÙÅàªÔ§»ÃÔÁÒ³ã´æ ·Õ‹ÁÕ¤èÒÊ¶ÔµÔµèÍä»¹ÕŒ ¤èÒÊ¶ÔµÔã´¨ÐµÃ§¡Ñº¤èÒ¢Í§¢éÍÁÙÅ¤èÒ

Ë¹Ö‹§àÊÁÍ

1. ¾ÔÊÑÂ

2. ¤èÒà©ÅÕ‹ÂàÅ¢¤³Ôµ

3. ÁÑ¸Â°Ò¹

4. °Ò¹¹ÔÂÁ

31. ¢éÍÁÙÅµèÍä»¹ÕŒáÊ´§¹ŒÓË¹Ñ¡ã¹Ë¹èÇÂ¡ÔâÅ¡ÃÑÁ ¢Í§¹Ñ¡àÃÕÂ¹¡ÅØèÁË¹Ö‹§

41, 88, 46, 42, 43, 49, 44, 45, 43, 95, 47, 48

¤èÒ¡ÅÒ§ã¹¢éÍã´à»š¹¤èÒ·Õ‹àËÁÒÐÊÁ·Õ‹¨Ðà»š¹µÑÇá·¹¢Í§¢éÍÁÙÅªØ´¹ÕŒ

1. ÁÑ¸Â°Ò¹

2. °Ò¹¹ÔÂÁ

3. ¤èÒà©ÅÕ‹ÂàÅ¢¤³Ôµ

4. ¤èÒà©ÅÕ‹Â¢Í§¤èÒÊÙ§ÊØ´áÅÐ¤èÒµ‹ÓÊØ´


32. ¤Ðá¹¹ÊÍº¤ÇÒÁÃÙé·Ñ‹Çä»¢Í§¹Ñ¡àÃÕÂ¹ 200 ¤¹¹ÓàÊ¹Íâ´Âãªéá¼¹ÀÒ¾¡ÅèÍ§´Ñ§¹ÕŒ

½¼ ½¾ ½ ½ ¾

¢éÍã´à»š¹à·ç¨

1. ¨Ó¹Ç¹¹Ñ¡àÃÕÂ¹·Õ‹·Óä´é 12 ¶Ö§ 16 ¤Ðá¹¹ ÁÕà·èÒ¡Ñº ¨Ó¹Ç¹¹Ñ¡àÃÕÂ¹·Õ‹·Óä´é 16

¶Ö§ 18 ¤Ðá¹¹


¶Ö§ 24 ¤Ðá¹¹


¶Ö§ 24 ¤Ðá¹¹


¶Ö§ 24 ¤Ðá¹¹


33. ¨Ò¡¡ÒÃµÃÇ¨ÊÍºÅÓ´Ñº·Õ‹¢Í§¤Ðá¹¹ÊÍº¢Í§¹ÒÂ ¡ áÅÐ¹ÒÂ ¢ ã¹ ÇÔªÒ¤³ÔµÈÒÊµÃì

·Õ‹ÁÕ¼Ùéà¢éÒÊÍº 400 ¤¹ »ÃÒ¡®ÇèÒ¹ÒÂ ¡ ÊÍºä´é¤Ðá¹¹ÍÂÙèã¹µÓáË¹è§¤ÇÍÃìä·Åì·Õ‹ 3

áÅÐ¹ÒÂ ¢ ÊÍºä´é¤Ðá¹¹ÍÂÙèã¹µÓáË¹è§à»ÍÃìà«ç¹ä·Åì·Õ‹ 60 ¨Ó¹Ç¹¹Ñ¡àÃÕÂ¹·Õ‹ÊÍºä´é

¤Ðá¹¹ÃÐËÇèÒ§¤Ðá¹¹¢Í§¹ÒÂ ¡ áÅÐ¹ÒÂ ¢ ÁÕ»ÃÐÁÒ³¡Õ‹¤¹

1. 15 ¤¹ 2. 30 ¤¹

3. 45 ¤¹ 4. 60 ¤¹

34. ¢éÍÁÙÅªØ´Ë¹Ö‹§ ÁÕºÒ§ÊèÇ¹¶Ù¡¹ÓàÊ¹Íã¹µÒÃÒ§µèÍä»¹ÕŒ

ÍÑ¹µÃÀÒ¤ªÑŒ¹ ¤ÇÒÁ¶Õ‹ ¤ÇÒÁ¶Õ‹ÊÐÊÁ ¤ÇÒÁ¶Õ‹ÊÑÁ¾Ñ·¸ì

2–6
7–11 11 0.2
12–16 14
17–21 6 0.3

ªèÇ§¤Ðá¹¹ã´à»š¹ªèÇ§¤Ðá¹¹·Õ‹ÁÕ¤ÇÒÁ¶Õ‹ÊÙ§ÊØ´

1. 2–6 2. 7–11

3. 12–16 4. 17–21


35. ¨Ó¹Ç¹¼ÙéÇèÒ§§Ò¹·Ñ‹Ç»ÃÐà·Èã¹à´×Í¹¡Ñ¹ÂÒÂ¹ »‚¾.È. 2551 ÁÕ¨Ó¹Ç¹·ÑŒ§ÊÔŒ¹ 4.29 áÊ¹

¤¹ µÒÃÒ§à»ÃÕÂºà·ÕÂºÍÑµÃÒ¡ÒÃÇèÒ§§Ò¹ã¹à´×Í¹¡Ñ¹ÂÒÂ¹ »‚¾.È. 2550 ¡Ñº»‚¾.È. 2551

à»š¹´Ñ§¹ÕŒ

ÍÑµÃÒ¡ÒÃÇèÒ§§Ò¹ã¹à´×Í¹¡Ñ¹ÂÒÂ¹

¾×Œ¹·Õ‹ÊÓÃÇ¨ (¨Ó¹Ç¹¼ÙéÇèÒ§§Ò¹µèÍ¨Ó¹Ç¹¼ÙéÍÂÙèã¹
¡ÓÅÑ§áÃ§§Ò¹¤Ù³ 100)

»‚¾.È. 2550 »‚¾.È. 2551
ÀÒ¤ãµé 1.0 1.0
ÀÒ¤µÐÇÑ¹ÍÍ¡à©ÕÂ§àË¹×Í 0.9 1.3
ÀÒ¤àË¹×Í 1.5 1.2
ÀÒ¤¡ÅÒ§ (Â¡àÇé¹¡ÃØ§à·¾ÁËÒ¹¤Ã) 1.3 0.9
¡ÃØ§à·¾ÁËÒ¹¤Ã 1.2 1.2
·Ñ‹Ç»ÃÐà·È 1.2 1.1


¡. ¨Ó¹Ç¹¼ÙéÇèÒ§§Ò¹ã¹ÀÒ¤ãµéã¹à´×Í¹¡Ñ¹ÂÒÂ¹¢Í§»‚¾.È. 2550 áÅÐ¢Í§»‚¾.È.

2551 à·èÒ¡Ñ¹

¢. ¨Ó¹Ç¹¼ÙéÍÂÙèã¹¡ÓÅÑ§áÃ§§Ò¹·Ñ‹Ç»ÃÐà·Èã¹à´×Í¹¡Ñ¹ÂÒÂ¹ »‚¾.È. 2551 ÁÕ»ÃÐÁÒ³

39 ÅéÒ¹¤¹


1. ¢éÍ ¡. áÅÐ¢éÍ ¢. 2. ¢éÍ ¡. à·èÒ¹ÑŒ¹



36. ã¹¡ÒÃãªéÊ¶ÔµÔà¾×‹Í¡ÒÃµÑ´ÊÔ¹ã¨áÅÐÇÒ§á¼¹ ÊÓËÃÑºàÃ×‹Í§·Õ‹¨Óà»š¹µéÍ§ÁÕ¡ÒÃãªé¢éÍÁÙÅáÅÐ

ÊÒÃÊ¹à·È ¶éÒ¢Ò´¢éÍÁÙÅáÅÐÊÒÃÊ¹à·È´Ñ§¡ÅèÒÇ ¼ÙéµÑ´ÊÔ¹ã¨¤ÇÃ·Ó¢ÑŒ¹µÍ¹ã´¡èÍ¹

1. à¡çºÃÇºÃÇÁ¢éÍÁÙÅ

2. àÅ×Í¡ÇÔ¸ÕÇÔà¤ÃÒÐËì¢éÍÁÙÅ

3. àÅ×Í¡ÇÔ¸Õà¡çºÃÇºÃÇÁ¢éÍÁÙÅ

4. ¡ÓË¹´¢éÍÁÙÅ·Õ‹¨Óà»š¹µéÍ§ãªé


ÊèÇ¹·Õ‹ 2 ¨Ó¹Ç¹ 4 ¢éÍ (¢éÍ 37–40) ¢éÍÅÐ 1 ¤Ðá¹¹

¤ÓÍ¸ÔºÒÂ

1. ¢éÍÊÍºÊèÇ¹¹ÕŒ à»š¹¢éÍÊÍº·Õ‹ÁÕ¤ÓµÍº·Õ‹¶Ù¡µéÍ§à»š¹¨Ó¹Ç¹àµçÁºÇ¡ËÃ×ÍÈÙ¹Âì «Ö‹§

»ÃÐ¡Íº´éÇÂµÑÇàÅ¢äÁèà¡Ô¹ 3 ËÅÑ¡ àÁ×‹Íà¢ÕÂ¹ã¹ÃÐºº°Ò¹ÊÔº

2. ã¹¡ÒÃµÍº ãËéÃÐºÒÂµÑÇàÅ×Í¡·Õ‹µÃ§¡ÑºµÑÇàÅ¢ã¹áµèÅÐËÅÑ¡¢Í§¤ÓµÍº â´ÂµéÍ§ÃÐºÒÂ

µÑÇàÅ×Í¡·ÑŒ§ 3 ËÅÑ¡ ¤×Í ËÅÑ¡ÃéÍÂ ËÅÑ¡ÊÔº áÅÐËÅÑ¡Ë¹èÇÂ µÒÁÅÓ´Ñº (¡Ã³Õ·Õ‹¤ÓµÍº·Õ‹

µéÍ§¡ÒÃµÍºäÁèÁÕàÅ¢ËÅÑ¡ã´ ãËéÃÐºÒÂàÅ¢ 0 ã¹ËÅÑ¡¹ÑŒ¹)

3. ¼Ùéà¢éÒÊÍºµéÍ§ÃÐºÒÂ¤ÓµÍºä´é¶Ù¡µéÍ§·ÑŒ§ 3 ËÅÑ¡ ¨Ö§¨Ðä´é¤Ðá¹¹ã¹¢éÍ¹ÑŒ¹æ

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1. ¶éÒ¤ÓµÍº·Õ‹µéÍ§¡ÒÃµÍº¤×Í 0

ãËéÃÐºÒÂàÅ¢ 000 ã¹ËÅÑ¡ÃéÍÂ ËÅÑ¡ÊÔº áÅÐËÅÑ¡Ë¹èÇÂ µÒÁÅÓ´Ñº






37. ã¹¡ÒÃÊÍº¢Í§¹Ñ¡àÃÕÂ¹ªÑŒ¹»ÃÐ¶ÁÈÖ¡ÉÒ¡ÅØèÁË¹Ö‹§ ¾ºÇèÒ ÁÕ¼ÙéÊÍº¼èÒ¹ÇÔªÒµèÒ§æ ´Ñ§¹ÕŒ

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ÊÑ§¤ÁÈÖ¡ÉÒ 50 ¤¹

ÀÒÉÒä·Â 44 ¤¹

¤³ÔµÈÒÊµÃìáÅÐÊÑ§¤ÁÈÖ¡ÉÒ 15 ¤¹

ÀÒÉÒä·ÂáÅÐÊÑ§¤ÁÈÖ¡ÉÒ 12 ¤¹

¤³ÔµÈÒÊµÃìáÅÐÀÒÉÒä·Â 7 ¤¹

·ÑŒ§ÊÒÁÇÔªÒ 5 ¤¹

¨Ó¹Ç¹¼ÙéÊÍº¼èÒ¹ÍÂèÒ§¹éÍÂË¹Ö‹§ÇÔªÒÁÕ¡Õ‹¤¹

38. ã¹ÊÇ¹»†ÒáËè§Ë¹Ö‹§ à¨éÒ¢Í§»ÅÙ¡µé¹ÂÙ¤ÒÅÔ»µÑÊà»š¹á¶Ç´Ñ§¹ÕŒ á¶ÇáÃ¡ 12 µé¹ á¶Ç·Õ‹ÊÍ§

14 µé¹ á¶Ç·Õ‹ÊÒÁ 16 µé¹ â´Â»ÅÙ¡à¾Ô‹Áàªè¹¹ÕŒ µÒÁÅÓ´ÑºàÅ¢¤³Ôµ ¶éÒà¨éÒ¢Í§»ÅÙ¡µé¹

ÂÙ¤ÒÅÔ»µÑÊäÇé·ÑŒ§ËÁ´ 15 á¶Ç ¨ÐÁÕµé¹ÂÙ¤ÒÅÔ»µÑÊã¹ÊÇ¹»†Ò¹ÕŒ·ÑŒ§ËÁ´¡Õ‹µé¹

39. µÙé¹ÔÃÀÑÂÁÕÃÐººÅçÍ¡·Õ‹à»š¹ÃËÑÊ»ÃÐ¡Íº´éÇÂµÑÇàÅ¢â´´ 0 ¶Ö§ 9 ¨Ó¹Ç¹ 3 ËÅÑ¡ ¨Ó¹Ç¹

ÃËÑÊ·ÑŒ§ËÁ´·Õ‹ÁÕºÒ§ËÅÑ¡«ŒÓ¡Ñ¹ ¤×Íà·èÒã´

40. ¨Ó¹Ç¹ÇÔ¸Õã¹¡ÒÃ¨Ñ´ãËéËÔ§ 3 ¤¹ áÅÐªÒÂ 3 ¤¹ ¹Ñ‹§àÃÕÂ§¡Ñ¹à»š¹á¶Ç â´ÂãËéÊÒÁÕÀÃÃÂÒ

¤ÙèË¹Ö‹§¹Ñ‹§µÔ´¡Ñ¹àÊÁÍ ÁÕ·ÑŒ§ËÁ´¡Õ‹ÇÔ¸Õ

คณิต 53

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