第5回プログラマのための数学勉強会でのLTスライドになります.

1. 複素関数を見る
第5回 プログラマのための数学勉強会
堀川 由人(@Hyrodium)

2. 自己紹介
• 堀川 由人
• 高専出身
• 大阪大学工学部3回(機械系)
• 趣味で数学
• サイエンスアゴラで数学模型展示
• Twitter: @Hyrodium

3. 本日のテーマ
• 実関数 は平面上の
曲線として見れる
• 複素関数 は4次元
空間に行かないと見れない(?)
• 正則(微分可能)な関数の性質

4. お品書き
• 複素関数を見る2つの方法
• 逆数の変換の例
• 正則な関数の性質
等角性など
• 色々の関数の例

5. 複素関数を見る2つの方法
• 単位格子の変形を観察 •
の曲面を観察

6. 逆数の変換

7. 逆数の描き方
1. 立体射影
3. 立体射影
2. 実軸回りの180°回転
詳しくはTwitter(@Hyrodium)で…

8. 単位格子の逆数変換

9. 単位格子の逆数変換

10. 単位格子の逆数変換

11. 単位格子の逆数変換

12. 単位格子の逆数変換

13. 単位格子の逆数変換

14. 単位格子の逆数変換

15. 単位格子の逆数変換

16. 単位格子の逆数変換

17. 単位格子の逆数変換

18. 単位格子の逆数変換
平面平面

19. の実部

20. の実部
双曲線
虚軸上でゼロ

21. の虚部

22. の虚部
双曲線
実軸上でゼロ

23. の実部と虚部
等高線

24. 2つの方法で曲線が一致
等高線単位格子の変換

25. 2つの方法は互いに逆変換
等高線単位格子の変換

26. 2つの方法は互いに逆変換
等高線単位格子の変換
等高線 単位格子の変換

27. は対合変換
等高線単位格子の変換

28. 正則な関数の性質

29. 等高線の直交性
• 上から見ると等高線が直交している

30. Cauchy-Riemannの関係式
• の勾配が直交

31. Cauchy-Riemannの関係式
• の勾配が直交
ほぼ正方形

32. 正則でない複素関数
共役複素数への変換実軸方向に引き延ばし
非正方形 が逆方向

33. 等角性
• が正則なら も正則
• 単位格子を移した先のマスもほぼ正方形
ほぼ正方形

34. 複素関数の微分係数
• 複素数の積は拡大・回転を表す
実関数

35. 正則な複素関数
• 等高線が直交
• 角を保つ(等角性)
• 微視的には正方形を
正方形に移す

36. 2つの方法まとめ
曲面の等高線
• 実関数と同じ感覚で
扱える
• 関数の形が見え易い
単位格子の変換
• 変換が見え易い
• 微分が見え易い
逆
変
換

37. 色々の関数の例