1. 3-Mavzu. Chiziqli algebraga kirish. Vektor va matrisalar bilan ishlash.
Reja:
1. Vektorning ta’rifi, asosiy tushunchalar.
2. Vektorlar ustida amallar.
3. Fazodagi bazis haqida
4. Ikki vektorning skalyar va vektor ko’paytmasi.
5. Vektorlarning aralash ko`paytmasi.
6. Matrisaning ta’rifi, asosiy tushunchalar.
7. Matrisalar ustida chiziqli amallar.
8. Transponirlangan matrisa.
9. Teskari matrisa haqida tushuncha va matritsa rangi.
10. Ikkinchi, uchinchi tartibli determinantlarning ta’riflari.
11. Chiziqli tenlamalar va ularni yechish usullari.
12. MATLABda chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini tadqiq etish
va yechish.
3. 4.1. Vektorning ta’rifi, asosiy tushunchalar
Matematika, fizika, mexanika, elektrotexnika, radiotexnika va shunga o’xshash soxalarda ikki xil
miqdorlar uchrab turadi. Bu miqdorlarning bir turi uzining son qiymati bilan to’l aniqlanadi.
Masalan, shaklning yuzi, jismning xajmi, temperatura, elektr kattalik, zichlik kabi miqdorlar. Bunday
miqdorlar skalyar miqdorlar deyiladi. Ikkinchi tur miqdorlar o’zining son qiymati bilan to’la
aniqlanmaydi, ularni to’la aniqlash uchun son qiymatlari bilan bir qatorda yo’nalishlari xam berilgan
bo’lishi kerak. Masalan, kuch, tezlik, tezlanish kabi miqdorlar.
39. Misol. Firma to‘rtta A1,A2,A3,A4 turdagi mahsulot ishlab chiqarishda S1,S2,S3,S4
turdagi resurslarni ishlatadi. Resurslardan har bir mahsulot bir birligiga ketadigan meyor
va bir kunda ketadigan resurslar hajmi jadvalda berilgan.
Mah
s-
ulot
turi
Har bir mahsulotning bir
birligi uchun ketadigan
meyor
Bir kunda
ketadigan
resurslar hajmi
A1 A2 A3 A4
S1 2 2 4 1 2250
S2 2 1 1 2 1550
S3 3 1 2 1 1850
S4 1 2 1 3 1700
Masalaning matematik modelini yozing va uni yechib bir kunda ishlab
chiqiladigan mahsulotlar hajmini toping.
40. Yechish. Firma har kuni A1 mahsulotdan x1, A2 mahsulotdan x2, A3 mahsulotdan
x3 va A4 mahsulotdan x4 hajmda ishlab chiqariladi. U holda masala quyidagi
tenglamalar sistemasiga keladi.
1700
3
1
2
1
1850
1
2
1
3
1550
2
1
1
2
2250
1
4
2
2
4
3
2
1
4
3
2
1
4
3
2
1
4
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Bu tenglamalar sistemasini matritsa formasida yozamiz
AX=B.
Bu yerda
1700
1850
1550
2250
.
3
1
2
1
1
2
1
3
2
1
1
2
1
4
2
2
4
3
2
1
B
x
x
x
x
Х
A
41. Tenlamalar sistemasini yechishning Jardan-Gauss usulini ko‘rib
chiqamiz. Jardan-Gauss usuli chiziqli tenglamalar sistemasini
yechish uchun zarurat tug‘ulganda A-1 teskari matritsani topish
uchun eng qulay usullardan biridir. Bu usul mohiyati quyidagidan
iborat: Sistemadagi birinchi tenglamadan ixtiyoriy 0 dan farqli
koeffitsientli nomalum tanlanadi va birinchi tenglamaning hamma
hadlari shu koeffitsientga bo‘linadi. Birinchi tenglama yordamida
tanlangan noma’lum boshqa hamma tenlamalardan yo‘qotiladi.
Ikkinchi tenglamadan ixtiyoriy 0 dan farqli koeffitsientli nomalum
tanlanadi va ikkinchi tenglamaning hamma hadlari shu
koeffitsientga bo‘lib chiqiladi. Bu tenglama yordamida tanlangan
noma’lum qolgan hamma tenlamalardan yo‘qotiladi va hokazo.
42. Chiziqli tenglamalar sistemasini yechishning Gauss usuli.
n ta no’malumli m ta tenglamalar sistemasini qaraymiz (14).
Agar chizikli tenglamar sistemasi yechimga ega bo’lsa, u birgalikda, agar yechimga ega
bo’lmasa, u birgalikda emas deyiladi. Quyidagi elemyentar almashtirishlar natijasida
tenglamalar sistemasi o’ziga teng kuchli sistemaga almashadi;
1) Istalgan ikki tenglamani o’rinlarini almashtirilsa;
2) Tenglamalardan istalgan birini ikkala tomonini noldan farkli songa ko’paytirilsa;
3) Tenglamalardan birini istalgan haqiqiy songa ko’paytirib, boshqa tenglamaga qo’shilsa.
Agar n>m bo’lsa, n - m ta bir xil noma’lumli xadlarni tengliklarning o’ng tomoniga
olib o’tib, o’ng tomidagi nomalumlar ixtiyoriy qiymatlarni qabul qiladi deb, tenglamalar
sistemasini n=m xolga keltirib olish mumkin. Shuni e’tiborga olib, (14) sistemani n=m xoli
uchun yechamiz.
Gauss usulining moxiyati noma’lumlarni ikkinchi tenglamadan boshlab, ketma-ket
yo’qotib oxirgi teglamada bitta no’malum qolguncha davom ettiriladi va oxirgi tenglamadan
yuqoriga qarab no’malumlarni ketma-ket topib, yechim hosil qilinadi.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
49.
50. 12. MATLABda chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini
tadqiq etish va yechish
Chiziqli tenglamalar sistemasini yechishda MATLAB usullari. Chiziqli tenglamalar sistemasini
yechish uchun MATLAB funksiyalari (usullari) juda ko’p bo’lib, biz ulardan bir nechtasini keltiramiz.
Birinchi usul “chapdan bo’lish” usulidir:
1) x=AB;
2) x=isqnonneg(A,B)-Ax=B chiziqli tenglamalar sistemasini kichik kvadratlar usuli bilan
yechadi. Bunda A-(nxn) o’lchovli, B-(nx1) o’lchovli, xi≥0, i=1,2,…,n. Minimallashtirish kriteriyasi: B -
Ax ning ikkinchi normasini minimallashtirish;
3) x=isqnonneg(A,B,x0) - iterasiyalar uchun chiziqli tenglamalar sistemasining aniq berilgan
nomanfiy boshlang’ich qiymatlarda yechib beradi;
4) [x,w]=isqnonneg(…) - yechim bilan birga qoldiqlar vektori kvadrati ikkinchi normasini
qaytaradi;
5) [x,w,w1]=isqnonneg(…) - xuddi avvalgi buyruq kabi, yana qoldiqlar vektori w1 ni qaytaradi;
6) bicg(A,B)-Ax=B ning x yechimini qaytaradi; A(nxn), B(nx1). Bunda hisoblash iterasiyalar
yaqinlashguncha yoki min{20,n} gacha bajariladi;
7) bisc(A,B,tol) - yechimni tol xatolik bilan qaytaradi;
8) bisc(A,B,tol,maxit) - avvalgi buyruq kabi, yechimni undan tashqari maxit-maksimal iteratsiyalar
soni bilan qaytaradi.
51.
52.
53.
54.
55.
56.
57.
58. 4-ma'ruza uchun adabiyotlar
1. Yaxshiboyev M.U., Narzullayev U.X. va boshqalar. Oliy matematikadan
misol va masalalar to’plami, 1-qism. 2012.
1. Бугров Я.С., Никольский С.М. Элементы линейной алгебры и
аналитической геометрии. - М.: Наука, 1988.
1. Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии. - М-: Наука,
1986.
1. Данко П.С., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в
упражнениях задачах. В 2 ч. - М.: Высшая; школа, 1998.
1. Минорский В.И. Сборник задач по высшей математике. М: Наука, 1987.
2. Беклемешев Д.В., Петрович А.Ю., Чуберов И.А. Сборник задач по
аналитической геометрии и линейной алгебре. -М.: Наука, 1987.
1. Slaudio Sanuto, Anita Tabacco “Mathematical Analysis”, Italy, Springer, Ipart, 2008, II-part, 2010.
2. W W L Chen “Introduction to Fourier Series”, London, Chapter 1-8, 2004, 2013.
3. W W L Chen “Fundamentales of Analysis”, London, Chapter 1-10, 1983, 2008.
4. SH.R.Xurramov “Oliy matematika”. 1-2 jild, Toshkent, Tafakkur, 2018.
5. Soatov YO.U. Oliy matematika. T., O‘qituvchi, 1995. 1- 2 qismlar.
6. N.M.Jabborov, E. «Oliy matematika». 1-2 qism. Qarshi, 2010.
7. Latipov X.R., Tadjiyev Sh. Analitik geometriya va chiziqlu algebra. Toshkent, "O’zbekiston". 1995.
59. 4-ma’ruza uchun o’zini-o’zi tekshirish savollari
1. Matritsaning ta’rifi.
2. Matritsalarning yig’indisi.
3. Matritsalar yig’indisi xossalari.
4. Matritsalarni songa ko’paytirish.
5. Matritsalarni songa ko’paytirish xossalari.
6. Matritsalarni ko’paytirish.
7. Matritsalarni ko’paytirishning xossalari.
8. Transponirlangan matritsa.
9. Matritsalarni elementar almashtirishlar.
10. Ikkinchi tartibli determinantlar ta’riflari.
11. Uchinchi tartibli determinantlar ta’riflari.
12. Teskari matritsa va uni topish.
13. Matritsa rangi va unga doir misollar.
14. Chiziqli tenglamalar sistemasini yechishning matritsa usuli.
15. Vektorning ta’rifi, asosiy tushunchlar.
16. Fazoda bazis.
17. Ikki vektorning skalyar ko’paytmasi.
18. Skalyar ko’paytmani vektorning koordinatalari orqali ifodalash.
19. Ukki vektorning vektor ko’paytmasi.
20. Vektorli ko’paytmani vektorning koordinatalari orqali ifodalash.
21. Vektorning aralash ko’paytmasi.
22. Kordinatalari bilan berilgan vektorning aralash ko’paytmasi.
