3. MATEMÁTICA BÁSICA pág. 3
INTRODUCCIÓN
En el curso de matemática básica, desde un punto de vista en la economía y
rendimiento, nos permitirá conocer cómo emplear los principios enseñados en la
formulación de matrices, permitiendo el proceso del aprendizaje del curso.
Para ello es necesario contar con los recursos brindados por la sociedad en las
diferentes empresas en donde se pueda aplicar con facilidad los ejercicios
propuestos por diferentes autores quienes dieron un origen a un desarrollo de
las actividades de manera cómoda y organizada, para un buen desarrollo de los
problemas empresariales, por lo que es necesario que el estudiante de ingeniería
tenga conocimiento de matrices y pueda aplicarlos de manera correcta en los
problemas presentes en diferentes empresas.
Así, creímos conveniente plantear y analizar un caso particular en el que se
pueda observar cómo influye la matemática en la toma de decisiones de una
empresa. Los temas escogidos por nosotros, son operaciones con matrices y
ecuaciones lineales, agregando así a nuestro trabajo las debidas definiciones de
cada tema.
De esta manera, el presente proyecto busca obtener, mediante el planteamiento
y desarrollo de un problema matemático, los costos mínimos en los que se debe
incurrir por la compra de insumos de una empresa de multiservicios.
Este trabajo de investigación tiene el propósito de plantear una supuesta
situación problemática en la que se relacionen los conocimientos adquiridos en
el curso de matemática básica.
4. MATEMÁTICA BÁSICA pág. 4
PROBLEMÁTICA
PROBLEMA:
La empresa, está dedicada al servicio de fotocopias, impresiones, anillados, etc.
Los cuales son servicios que estudiantes usan diariamente.
Actualmente no se lleva un debido control del número óptimo de unidades a
comprar por cada insumo (Cartuchos de tinta, hojas bond A4, Tóner), por lo que
se ha solicitado realizar un análisis que nos permita optimizar estos costos, lo
cual se llevará acabo basándose en el historial de compras que se realiza y en
la capacidad de rendimiento que dichos insumos poseen.
Historial de compras de Insumos:
Tóner para
Fotocopiadora
Paquete de
Hojas A4
MES
2 9 FEBRERO
2 7 MARZO
4 13 ABRIL
4 10 MAYO
4 15 JUNIO
Capacidad de Rendimiento:
Los costos de los insumos a los que la empresa le compra a su proveedor son
los que aparecen en la siguiente tabla:
Costos de los Insumos
Cartucho Tinta Negra S/. 60.00
Cartucho Tinta de Color S/. 70.00
Tóner para la fotocopiadora S/. 40.00
Paquete de Hojas A4 S/. 15.00
Cartuchos de
Tinta Negra
Cartuchos de
Tinta de Color
MES
1 1 FEBRERO
2 1 MARZO
2 2 ABRIL
3 2 MAYO
3 2 JUNIO
Cartuchos de
Tinta Negra
Cartuchos de
Tinta de Color
Rendimiento por
Insumo
400
Impresiones
300
Impresiones
Tóner para
Fotocopias
Paquete de
Hojas A4
Rendimiento por
Insumo
1500
Impresiones
500 Hojas Bond
A4
5. MATEMÁTICA BÁSICA pág. 5
Determinar el número de unidades a comprar por cada insumo con el fin de
minimizar los costos totales para el mes de Julio de la empresa Danielita.
* Se sabe que se espera realizar este mes 1500 impresiones y 9000
Fotocopias.
HIPÓTESIS:
La aplicación de la teoría de matrices y la teoría de programación lineal permite
determinar el número de unidades a comprar por cada insumo con el fin de
minimizar los costos totales para el mes de Julio de la empresa de Danielita.
6. MATEMÁTICA BÁSICA pág. 6
OBJETIVOS
a) GENERAL
Hallar el número total de unidades a comprar y el costo mínimo total de
los insumos que necesita la empresa Danielita para el mes de Julio.
b) ESPECIFICO
Determinar las restricciones para encontrar el punto óptimo en nuestro
modelo de Programación lineal.
Aplicar la teoría de matrices y la de ecuación lineal para el desarrollo del
problema mostrado.
7. MATEMÁTICA BÁSICA pág. 7
FUNDAMENTO TEORICO
TEORÍA DE MATRIZ:
• Matriz: Se denomina matriz a un arreglo rectangular ordenado de elementos
dispuestos en filas y columnas, que se encierran entre corchetes o
paréntesis. Para representar a una matriz se utilizan letras mayúsculas.
Veamos por ejemplo:
Al realizar el inventario en los tres almacenes de una tienda se obtuvo:
Almacén 1: 12 computadoras, 8 impresoras y 5 escáneres.
Almacén 2: 20 computadoras, 18 impresoras y 9 escáneres.
Almacén 3: 2 computadoras, 3 impresoras y 15 escáneres.
¿Cuántos artículos de cada tipo hay en la tienda?
Solución:
Organizamos los datos, en filas y columnas formando un arreglo rectangular.
La fila indica el almacén y la columna el artículo.
En total hay 34 computadoras, 29 impresoras y 29 escáneres.
C I E
Almacén 1 12 8 5
Almacén 2 20 18 9
Almacén 3 2 3 15
Total 34 29 29
8. MATEMÁTICA BÁSICA pág. 8
f(x,y) = ax + by
PROGRAMACIÓN LINEAL:
Definición:
En infinidad de aplicaciones de la industria, la economía, la estrategia militar,
etc. Se presentan situaciones en las que se exige maximizar o minimizar
algunas funciones que se encuentran sujetas a determinadas limitaciones, a
las cuales se les da el nombre de restricciones. Este tema te permite hallar
soluciones a dichos problemas.
a. Función objetivo:
La programación lineal consiste en optimizar (es decir maximizar o
minimizar) una función lineal que tiene varias variables.
La función objetiva está sujeta a varias restricciones, expresadas por
inecuaciones lineales. Cada desigualdad del sistema de restricciones
determina un semiplano que se encuentra en el plano cartesiano, puede
ser en cualquiera de los cuatro cuadrantes.
El semiplano se encuentra en el primer cuadrante.
9. MATEMÁTICA BÁSICA pág. 9
b. Solución factible:
El conjunto intersección, de todos los semiplanos formados por las
restricciones, determina un área que recibe el nombre de región de validez
o zona de soluciones factibles.
Área sombreada en un semiplano, está determinada por las desigualdades de
las restricciones.
c. Solución óptima:
El conjunto de los vértices del área se denomina conjunto de soluciones
factibles básicas y el vértice donde se presenta la solución óptima se llama
solución máxima (o mínima según el caso).
d. Valor de la programación lineal:
El valor que toma la función objetivo en el vértice de solución óptima se
llama valor del programa lineal.
e. Operaciones con programación lineal:
Los pasos para resolver un problema de programación lineal son:
a. Elegir las incógnitas.
b. Escribir la función objetivo en función de los datos del problema.
10. MATEMÁTICA BÁSICA pág. 10
c. Escribir las restricciones en forma de sistema de inecuaciones.
d. Averiguar el conjunto de soluciones factibles representando
gráficamente las restricciones.
e. Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de
soluciones factibles (si son pocos).
f. Calcular el valor de la función objetivo en cada uno de los
vértices para ver en cuál de ellos presenta el valor máximo o
mínimo según nos pida el problema (hay que tener en cuenta
aquí la posible no existencia de solución si el recinto no está
acotado).
11. MATEMÁTICA BÁSICA pág. 11
MARCO TEÓRICO:
Operaciones con matrices:
Adición y/o sustracción de matrices:
La suma (diferencia) de dos matrices A = (aij), B = (bij) de la misma
dimensión, es otra matriz S = (sij) de la misma dimensión que los sumandos
y con término genérico
sij = aij ± bij
Ejemplos:
Propiedades de la suma de matrices:
P1. A + (B + C) = (A + B) + C (propiedad asociativa)
P2. A + B = B + A (propiedad conmutativa)
P3. A + 0 = A (0 es la matriz nula)
P4. La matriz –A, que se obtiene cambiando de signo todos los elementos
de A, recibe el nombre de matriz opuesta de A, ya que A + (–A) = 0.
12. MATEMÁTICA BÁSICA pág. 12
Producto de un número por una matriz:
El producto de una matriz A = (aij) por un número real k es otra matriz B =
(bij) de la misma dimensión que A y tal que cada elemento bij de B se obtiene
multiplicando aij por k, es decir:
bij = k·aij
Ejemplo: 3 A
Solución:
Producto de dos matrices:
13. MATEMÁTICA BÁSICA pág. 13
SOLUCIÓN DEL PROBLEMA
A los datos que se nos han dado los pasamos a Matrices de manera
correspondiente.
Número de Insumos Utilizados Mensualmente:
A:
[
𝟏 𝟏
𝟐 𝟏
𝟐 𝟐
𝟑 𝟐
𝟑 𝟐]
𝐁:
[
𝟐 𝟗
𝟐 𝟕
𝟒 𝟏𝟑
𝟒 𝟏𝟎
𝟒 𝟏𝟓]
FEBRERO
MARZO
ABRIL
MAYO
JUNIO
Cartuchos de tinta
negra para
impresora. Cartuchos de tinta
de color para
impresora.
FEBRERO
MARZO
ABRIL
MAYO
JUNIO
Tóner para
impresora. Paquete de hojas
A4.
14. MATEMÁTICA BÁSICA pág. 14
Costos Unitarios de los Insumos:
𝐂: [
𝟔𝟎
𝟕𝟎
]
𝐃: [𝟒𝟎
𝟏𝟓
]
Rendimiento Por Insumo:
𝐄: [
𝟒𝟎𝟎
𝟑𝟎𝟎
]
F:[
𝟏𝟓𝟎𝟎
𝟓𝟎𝟎
]
Demanda Esperada:
𝐆: [
𝟏𝟓𝟎𝟎
𝟗𝟎𝟎𝟎
]
Ahora que ya definimos nuestras matrices, procederemos a hallar datos
adicionales a partir de estas, con la finalidad de poder obtener el número
óptimo de insumos a comprar.
Costo Total de Insumos por Mes:
A x C:
[
𝟏 𝟏
𝟐 𝟏
𝟐 𝟐
𝟑 𝟐
𝟑 𝟐]
x [
𝟔𝟎
𝟕𝟎
] =
[
𝟔𝟎𝒙𝟏 + 𝟕𝟎𝒙𝟏
𝟔𝟎𝒙𝟐 + 𝟕𝟎𝒙𝟏
𝟔𝟎𝒙𝟐 + 𝟕𝟎𝒙𝟐
𝟔𝟎𝒙𝟑 + 𝟕𝟎𝒙𝟐
𝟔𝟎𝒙𝟑 + 𝟕𝟎𝒙𝟐]
=
[
𝟏𝟑𝟎
𝟏𝟗𝟎
𝟐𝟔𝟎
𝟑𝟐𝟎
𝟑𝟐𝟎]
TINTA NEGRA
TINTA DE
COLOR
TÓNER
PAQUETE A4
TINTA NEGRA
TINTA DE COLOR
IMPRESIONES
COPIAS POR TONÉR
# DE HOJAS POR
PAQUETE
CANTIDAD DE IMPRESIONES
CANTIDAD DE COPIAS
FEBRERO
MARZO
ABRIL
MAYO
JUNIO
15. MATEMÁTICA BÁSICA pág. 15
𝐁 𝐱 𝐃:
[
𝟐 𝟗
𝟐 𝟕
𝟒 𝟏𝟑
𝟒 𝟏𝟎
𝟒 𝟏𝟓]
X [
𝟒𝟎
𝟏𝟓
] =
[
𝟒𝟎𝒙𝟐 + 𝟗𝒙𝟏𝟓
𝟒𝟎𝒙𝟐 + 𝟕𝒙𝟏𝟓
𝟒𝟎𝒙𝟒 + 𝟏𝟑𝒙𝟏𝟓
𝟒𝟎𝒙𝟒 + 𝟏𝟎𝒙𝟏𝟓
𝟒𝟎𝒙𝟒 + 𝟏𝟓𝒙𝟏𝟓]
=
[
𝟐𝟏𝟓
𝟏𝟖𝟓
𝟑𝟓𝟓
𝟑𝟏𝟎
𝟑𝟖𝟓]
Determinación de Variables:
x = Número de cartuchos de tinta negra para impresora a comprar en el
mes de Julio.
y = Número de cartuchos de tinta a color para impresora a comprar en el
mes de Julio.
p = Número de tóneres de tinta negra para fotocopiadora a comprar en
mes de Julio.
q = Número de paquetes de 1/2 millar de papel Bond A4 a comprar en el
mes de Julio.
Planteamiento de las Restricciones:
Para las variables “x” e “y” se tomó en cuenta:
- Según la matriz A, el número de “x” máximo fue de 3 unidades.
- Según la matriz A, el número de “y” máximo fue de 2 unidades.
- Según la matriz A, el número de “x” e “y” mínimo fue de 1 unidad.
- Según la matriz C, el costo unitario por “x” es S/. 60 y por “y” es S/. 70.
- Según la matriz A x C el costo total máximo por mes fue de S/. 320.
- Según la matriz E, el número de impresiones realizadas mensualmente
por “x” es 400 y por “y” es 300.
- Según la matriz G, el rendimiento mensual esperado de impresiones es
1500.
Restricciones:
𝑋 ≥ 1
𝑋 ≤ 3
𝑌 ≥ 1
𝑌 ≤ 2
60𝑋 + 70𝑌 ≤ 320
400𝑋 + 300𝑌 ≥ 1500
FEBRERO
MARZO
ABRIL
MAYO
JUNIO
16. MATEMÁTICA BÁSICA pág. 16
Para las variables “p” y “q” se tiene en cuenta:
- Según la matriz B, el número de “p” máximo fue de 4 unidades.
- Según la matriz B, el número de “q” máximo fue de 15 unidades.
- Según la matriz B, el número de “p” mínimo fue de 2 unidades.
- Según la matriz B, el número de “q” mínimo fue de 7 unidades.
- Según la matriz D, el costo unitario por “p” es S/. 40 y por “q” es S/. 15.
- Según la matriz B x D, el costo total máximo por mes fue de S/. 385.
- Según la matriz F, el número de fotocopias realizadas mensualmente por
“p” es 1500 y por “q” es 500.
- Según la matriz G, el rendimiento mensual esperado de fotocopias es
9000.
Restricciones:
𝑝 ≥ 2
𝑝 ≤ 4
𝑞 ≥ 7
𝑞 ≤ 15
40𝑝 + 15𝑞 ≤ 385
1500𝑝 + 500𝑞 ≥ 9000
A partir de las restricciones obtenidas, podemos graficar:
17. MATEMÁTICA BÁSICA pág. 17
Según la gráfica Nº 1 los puntos de intersección son:
A (2,3; 2)
B (2,8; 2)
C (3; 1,8)
D (3,1)
Según la gráfica Nº 2 los puntos de intersección son:
A (2; 15)
B (3,9; 15)
C (4; 14,5)
D (4,7)
E (3,15; 7)
F (2,12)
18. MATEMÁTICA BÁSICA pág. 18
Reemplazar en Función Objetivo:
A (2,3; 2) = 60(2,3) + 70(2) = 278
B (2,8; 2) = 60(2,8) + 70(2) = 308
C (3; 1,8) = 60(3) + 70(1,8) = 306
A (2,15) = 40(2) + 15(15) = 305
B (3,9; 15) = 40(3,9) + 15(15) = 381
C (4; 14,8) = 40(4) + 15(14,8) = 382
D (4,7) = 40(4) + 15(7) = 204,55 = 265
Suma de los Costos Mínimos:
Costo Mínimo (x, y) = 250 nuevos soles
Costo Mínimo (p, q) = 260 nuevos soles
510 nuevos soles==>
C (p, q) = 40p + 15q
C (x, y) = 60x + 70y
D (3; 1) = 60(3) + 70(1) = 250
E (2; 12) = 40(2) + 15(12) = 260
COSTO MÍNIMO
TOTAL
19. MATEMÁTICA BÁSICA pág. 19
RESULTADOS
Se halló que se deberá comprar 3 cartuchos de tinta negra y 1 cartucho
de tinta a color para obtener un costo mínimo de S/. 250 en el mes de
Julio.
Se mostró que se deberá comprar 2 tóneres de tinta negra para
fotocopiadora y 12 paquetes de ½ millar de papel bond A4 para obtener
un costo mínimo de S/. 260 en el mes de Julio.
Se halló que se deberá comprar 3 cartuchos de tinta negra, 1 cartucho de
tinta a color, 2 tóneres de tinta negra para fotocopiadora y 12 paquetes de
½ millar de papel bond A4 para obtener un costo mínimo total de S/ .510
en el mes de Julio.
20. MATEMÁTICA BÁSICA pág. 20
CONCLUSIONES
Con la ayuda de los temas: Matrices y Programación Lineal, nos damos
cuenta que son herramientas para reducir (en el proyecto) costos que
afectan a la empresa.
Se comprobó nuestra hipótesis de la empresa, reduciendo el costo total a
510 nuevos soles.
21. MATEMÁTICA BÁSICA pág. 21
RECOMENDACIONES
La empresa deberá apostar por nuestra investigación y nuestros
resultados; pues, Danielita puede mejorar en sus gastos con la ayuda de
esto dos temas realizados a través del proyecto.
Ya que el proyecto empezó a mediados del presente mes (Julio), este
sistema ayuda no solo al mes actual si no a los siguientes.
22. MATEMÁTICA BÁSICA pág. 22
BIBLIOGRAFIA Y/O LINKOGRAFIA
Miller, Ch.; Heeren, V. y Hornsby, J. (2006). Matemática: Razonamiento y
aplicaciones.
Haeussler, E. (2003). Matemática para administración y economía.
http://www.uv.es/~perezsa/docencia/material/IMEE/Matrices.pdf
http://www.vitutor.com/algebra/pl/a_2.html
http://fernandohn.galeon.com/aficiones1476102.html
