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《 工程數學 第九版 》
Erwin Kreyszig
Advanced Engineering Mathematics, 9E
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第 5 章 拉氏轉換
5.1 拉氏轉換,逆轉換,線性,s-偏移
5.2 微分及積分的拉氏轉換,常微分方程
5.3 單位步階函數,t-偏移
5.4 短脈沖,狄拉克德耳塔函數,部分分式
5.5 卷積,積分方程
5.6 微分及積分轉換,變係數常微分方程
5.7 常微分方程系統
5.8 拉氏轉換:一般公式
5.9 拉氏轉換表
P.190
第5章 拉式轉換
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單位步階函數(亥維賽函數)u (t -a)
P.197
第5章 拉式轉換
單位步階函數或者亥維賽函數 u (t -a) 取值為 0 當 t < a,
在 t = a 時有一個單位 1 的跳躍(可以不定義),以及取值
為 1 當 t >a 時,表成式子如下:
(1)
圖 92 描述 u(t) 這個特例,它在 t = 0 有一個跳躍。圖 93 表
示 u (t -a) 的一般情形,其中 a 為任意正數(有關亥維賽見
5.1 節)。
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圖92,圖93
P.197
第5章 拉式轉換
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歐亞書局 P.197
第5章 拉式轉換
根據 5.1 節定義的積分, u (t -a) 的拉氏式轉換可以推導如
下:
此處的積分由 t = a (a ≧0) 開始,並因為 u (t -a) = 0 對於 t
< a ,因此我們有
(2)
單位步階函數是一個典型的工程函數,適合於大量的工程
應用,在有開或者關的機械或電機控制函數時尤其如此。一
般的函數 f (t) 乘以 u (t -a) 時就可以製造諸如此類的效果。
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歐亞書局 P.197
第5章 拉式轉換
這個簡單而基本的想法可以用圖 94 及 95 來說明。在圖 94
給定的函數表示在(A)。在(B) 該函數在 t = 0 及 t = 2 之間被
關掉 [因為 u (t -2) = 0 當 t < 2],並在 t = 2 時打開。在 (C)
該函數被向右偏移 2 個單位,譬如 2 秒,以致於該函數在 2
秒時才開始以原先的方式啟動。
令 f (t) = 0 對所有負 t,則 f (t -a) u (t -a) ,a > 0,是
f (t) 以 a 的量向右偏移(shifted;平移)。
圖 95 呈現很多單位步階函數時的效果,(A) 有三個,以及
當以週期性繼續向右延長時,(B) 則有無限多個;這正是以整
流器截去正弦電壓負半波的一種手法。注意!確定你完全了
解那些圖的意義,特別是圖 94(B) 與 (C) 的區別。以下我們
將應用圖 94(C)。
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圖94
P.198
第5章 拉式轉換
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圖95
P.198
第5章 拉式轉換
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時間域的偏移(t-偏移):將 f (t) 中的 t 以 t
- a 取代
5.1 節中的第一偏移定理,關心的是轉換 F (s) = L { f (t)}
及 f (s-a) = L { eat f (t) },第二偏移定理則將關心函數 f (t) 及
f (t -a) 。單位步階函數是很好的工具,這個定理將應用在它
們以及其它相關的函數上面。
P.198
第5章 拉式轉換
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定理 1 第二偏移定理;時間域的偏移
P.198
第5章 拉式轉換
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定理 1 證明
我們證明定理 1。在 (4) 式的右邊我們使用拉氏轉換的定義,
以 代替 t(稍後 t 別有它用)。然後將 e -as 置入積分內,得
出
將 Ƭ +a = t, Ƭ = t - a,dƬ = dt 代入積分內(注意:下
積分極限已被改變),我們得出
P.199
第5章 拉式轉換
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定理 1 證明
要使得右邊項為一個拉氏轉換,積分要從 0 到∞,而非 a
到∞ ,這很容易克服,只要將被積分項乘以 u (t - a),因此0
到 a 的積分為零,類似於 (3) 式的 f,我們寫成
[現在你是否可以看出 u (t - a) 為什麼出現?] 以上的積分正
是 (4) 式的左邊項,也就是 f (t) 的拉氏轉換 (3) 式。以上完成
證明。
P.199
第5章 拉式轉換
~
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將下列函數以單位步階函數表示,並找出其轉換,
步驟1. 以單位步階函數表出
事實上,2(1-u(t-1)) 給出 f (t) 當 0< t < 1,等等。
步驟2. 在應用定理 2 時,我們必須將f (t)的各項寫成 f (t -a)
u (t -a) 。其中 2(1-u(t-1)) 維持不變,且有轉換為
2(1-e-s)/s。然後,
範例 1 定理1 的應用,使用單位步階函數
P.191
第5章 拉式轉換
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範例 1 (續)
總結為
P.199
第5章 拉式轉換
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範例 1 (續)
如果要將 f (t) 轉成 f (t -a)不是很方便,則以下式取代
(4**)
上式可從 (4) 式得到,只要代入 f (t -a) = g (t) 即可,因此有
f (t) = g (t +a) , 再以 f 表成 g,以致於有如前之下式
 同樣地,以相同方法求 ,最後,由(4**) 式
得出
P.200
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範例 1 (圖96)
P.200
第5章 拉式轉換
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找出以下式子的逆轉換 f (t)
解 暫不考慮 F (s) 式子中三個分子中的指數函數, 則其逆轉
換分別為 sinπt/π、sinπt/π 以及 te-2t,並因為 1/s2 的逆轉換
為 t,根據 5.1 節的第一偏移定理,1/(s+2)2 的逆轉換為
te-2t。然後再根據第二偏移定理(t-偏移)可得
範例 2 兩個偏移定理的應用,逆轉換
P.200
第5章 拉式轉換
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現在利用 sin (πt-π) = -sinπt 及 sin (πt-2π) =sinπt ,當
t >2 時可將第 2 及第 3 項消去。所以我們得出
f (t) = 0 若 0 < t < 1,- (sin πt)/π若 1 < t < 2, f (t) = 0
若 2 < t < 3,以及 (t -3)e-2(t-3) 若 t > 3,見圖 97。
範例 2 (圖97)
P.200
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範例 3 RC-電路在單個方波下的反應
找出圖 98 的 RC-電路在電壓為 V0 的單個方波下的電流i(t)。
在方波輸入之前電路假設為靜止的。
P.201
第5章 拉式轉換
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範例 3 (續)
解 輸入可以表成 V0 [u (t-a) - u (t-b)]。因此電路可以用積
分-微分方程式模擬(見 2.9 節及圖 98),
 利用 5.2 節定理 3 及本節 (1) 式,我們得出輔助方程式為
用代數方法解出 I (s),
P.201
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 其中最後一個表示得自 5.1 節表 5.1。因此,由定理 1 給出
解(圖98)
此即,i(t) = 0 若 t < a,以及下式
其中 K1 = V0ea/(RC)/R 以及 k2 = V0eb/(RC)/R 。
範例 3 (續)
P.201
第5章 拉式轉換
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範例 4 在一段時間區間正弦波輸入下
RLC 電路的反應
找出圖 99 的 RLC—電路的反應電流,其中 E (t) 是只作用
一小段時間的正弦波,
電流及電荷剛開始假設為零。
P.201
第5章 拉式轉換
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範例 4 (續)
P.201
第5章 拉式轉換
解 電動力 E (t)可以表成 (100 sin 400 t)(1 -u(t -2π))。電路
中電流 i (t)的模式可以用積分 微分方程式表現(見2.9 節)
一小段時間的正弦波,
 從 5.2 節定理 2 及 3 我們得出有關 I (s) = L (i) 的輔助方程
式
 用代數方法解上個式子並記下 s2+110s+1000 =
(s+ 10)(s+100),得出
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範例 4 (續)
P.201
第5章 拉式轉換
 我們用部分分式展開括弧內的第一項及其乘子為
 利用你個人方便的方法或者 CAS 決定 A、B、D、K。上式
乘以共同的分母得出
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範例 4 (續)
P.202
第5章 拉式轉換
 令 s = -10 及 s =-100,並使 s3 及 s2 前面的係數之和為
零,得出
 因為 K = 258.66 = 0.6467.400,我們因此得出 I 的第 1
項 I1 = I1 - I2 如下
 從 5.1 節表 5.1 我們可以看出其逆轉換為
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範例 4 (續)
P.202
第5章 拉式轉換
上式表示當 0<t < 2π時的電流 i (t),它與 2.9 節範例 1 當 0
< t < 2π時的結果一致(除了符號外),該範例也是關心
RLC—電路,並在 2.9 節的圖 62 顯示出指數項快速遞減。記
住,現在的求解工作量顯然少許多。
I 中的第 2 項 I1 與第1 項只差了一個因子 e-2πs。因為 cos
400(t-2π) = cos 400t 及 sin 400(t-2π) = sin 400t,利用第二
偏移定理(定理 1)給出逆為 I2(t) = 0 如果 0<t < 2π,而且
對於 t >2π 它給出
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範例 4 (續)
P.202
第5章 拉式轉換
以致於 i (t)中的 cos 及 sin 的項可以消去,且在 t >2π時電
流為
電流很快地在0.5 秒內就趨近於零。

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