3. Высказыванием называется любое повествовательное предложение, о котором можно сказать, истинно оно или ложно. Например, предложения «Все люди голубоглазы», «Существуют одногорбые верблюды» – являются высказываниями, первое из которых ложно, а второе истинно. Высказываниями не считаются: вопросительные и восклицательные предложения (например, «Как пройти в библиотеку?», «С Днем рожденья!»), а также предложения, содержащие переменные, которые могут принимать различные значения (например, «х + 3 = 5», «Поэт х написал поэму у»). Высказывания обычно обозначают заглавными буквами латинского алфавита, например А, В, С, D, …
4. Из заданных высказываний А и В можно составить новые высказывания, используя связки «и», «или», «если ..., то...», «тогда и только тогда, когда», а также частицу «не». Полученные высказывания называют составными , а входящие в них высказывания A и B – элементарными высказываниями. Например: А: «Сегодня полнолуние», В: «Я буду петь» - элементарные высказывания; «Если сегодня полнолуние, то я буду петь» - составное. Два составных высказывания A и B называются равносильными (или эквивалентными), если они одновременно истинны или одновременно ложны при любых предположениях об истинности входящих в них элементарных высказываний. Записывают : A=В .
6. Конъюнкция высказываний Пусть A и B – два элементарных высказывания. Конъюнкцией данных высказываний называется высказывание «A и B» и обозначается A B. Например. А : «4 делится на 2», В : «4 больше 2», тогда A B : «4 делится на 2 и 4 больше 2». Конъюнкция двух высказываний истинна тогда и только тогда, когда оба высказывания истинны одновременно. В остальных случаях конъюнкция ложна. Свойства конъюнкции: Коммутативность: A B= В А, для любых двух высказываний А и В. Ассоциативность: (A B) С =A (B C), для любых А, В и С
7. Дизъюнкция высказываний Пусть A и B – два элементарных высказывания. Дизъюнкцией данных высказываний называется высказывание «A или B» и обозначается A B. Например, А: «4 больше 2», В: «4 равно 2», A B: «4 больше 2 или 4 равно 2». Дизъюнкция двух высказываний ложна тогда и только тогда, когда оба высказывания ложны одновременно. В остальных случаях дизъюнкция истинна . Свойства дизъюнкции: Коммутативность: A B= В А, для любых двух высказываний А и В. Ассоциативность: (A B) С= A (B C), для любых А, В и С. Дистрибутивность: а)(A B) С=(A С) (B С); б)(A B) C=(A C) (B C), для любых А, В и С.
8. Импликация высказываний Пусть A и B – два элементарных высказывания. Импликацией данных высказываний называется высказывание «Если A, то B» и обозначается А В. Например, А: «Сейчас 8 утра», В: «Я иду в институт», А В: «Если сейчас 8 утра, то я иду в институт». Условились считать, импликация двух высказываний ложна тогда и только тогда, когда первое высказывание (посылка) - истинно, а второе (заключение) - ложно. В остальных случаях импликация истинна.
9. Эквиваленция высказываний Пусть A и B – два элементарных высказывания. Эквиваленцией данных высказываний называется высказывание «A тогда и только тогда, когда B» и обозначается А В. Например, А: «Я не хожу в школу», В: «Сегодня выходной день», А В: «Я не хожу в школу тогда и только тогда, когда выходной». Эквиваленция двух высказываний истинна тогда и только тогда, когда оба высказывания одновременно истинны или одновременно ложны. В остальных случаях эквиваленция ложна.
10. Составные высказывания, истинные при любых предположениях о входящих в них элементарных высказываниях, называют тавтологиями. Например, A B B A и A B B A - тавтологии. Логические операции делятся по старшинству , что позволяет избегать большого количество скобок при записи составных высказываний. Наибольший приоритет имеет отрицание, затем конъюнкция и дизъюнкция, затем импликация, и самый низкий приоритет имеет эквиваленция. При составлении таблиц истинности составных высказываний применяют следующее правило : перебирают все возможные варианты значений истинности элементарных высказываний, входящих в составное. Число таких вариантов (т.е. число строк таблицы) равно 2n, где n – количество элементарных высказываний. Например, число строк таблицы истинности для формулы A B B A равно 4 (2 ² ).
11. Пример 2.А. Составьте таблицу истинности для формулы: A ( B C) + = Значения истинности итоговой формулы Исходные значения истинности Л Л Л Л Л Л И И Л Л Л И Л И Л Л И И И Л Л Л Л Л И И И И Л И И И Л И И И И И И И A (B C) B C C B A Л Л Л И Л Л Л И Л И И Л Л Л И И Л И Л И И И И И C B A Л И И И Л И И И B C Исходные значения истинности Значения истинности итоговой формулы Промежуточные значения истинности
12. Пример 2.Б. Докажите следующее равенство: (A B) С =A (B C). Значения истинности формул слева и справа совпадают Значения истинности формул слева и справа совпадают Л Л Л Л Л Л Л Л Л Л Л И Л Л Л Л Л Л Л И Л Л И Л Л И И Л Л Л Л Л Л Л И Л Л Л Л И Л И Л Л Л И Л И И И И И И И И И A (B C) В С (A B) C A B C B A Значения истинности формул слева и справа совпадают
13. Пример 2.В. Докажите следующую тавтологию: A B B A Итоговые значения истинности: ИСТИНА И Л Л Л Л И Л Л И Л И И Л Л И И И И И И A B B A В А A B B A
15. Одноместные предикаты Пусть предложение содержит переменную, которая может принимать различные значения, причем подстановка любого из значений переменной превращает предложение в истинное или ложное высказывание. Тогда это предложение называют одноместным предикатом . Для каждого одноместного предиката надо указать множество значений, которые может принимать переменная х. Его называют областью определения предиката Х. Множество Х должно быть определено однозначно.
16.
17. Предикаты, заданные на конечных множествах, можно задавать таблицами, в первой строке которых указывается элемент множества, а во второй - истинно или ложно высказывание, получаемое из предиката, если заменить переменную этим элементом. Например, пусть задан предикат А(х): «х - четное число» на множестве Х={1; 2; 3; 4; 5; 6). Так как высказывание «1 - чётное число» ложно, то числу 1 соответствует значение предиката «Л» (ложь), числу же 2 соответствует истинное высказывание «2 - четное число». Получаем такую таблицу:
18. Два предиката А (х) и В (х), заданные на одном и том же множестве Х, имеющие одинаковые множества истинности, называют эквивалентными. Например, эквивалентны предикаты «Натуральное число х делится на 3» и «Сумма цифр десятичной записи натурального числа х делится на 3». Оба предиката заданы на множестве натуральных чисел и одновременно истинны или ложны. Если предикаты А (х) и В (х) эквивалентны, то пишут А(х) ~В(х).
19. Кванторы Пусть на множестве Х простых чисел задан предикат Р(х): «Простое число х — нечетно». Поставим перед этим предикатом слово «всякое». Получим ложное высказывание: «Всякое простое число х нечетно» (это высказывание ложно, так как 2—простое четное число). Поставив перед данным предикатом Р (х) слово «существует», получим истинное высказывание: «Существует простое число х, являющееся нечетным» (например, х=3). Таким образом, обратить предикат в высказывание можно не только, подставив вместо переменной её значение, но и поставив перед предикатом слова: «все», «существует» и др., называемые в логике кванторами.
20. Пусть Р (х) — некоторый предикат, заданный на множестве Х. Поставив перед ним квантор общности, получим высказывание: «Для всех х ϵ Х выполняется предикат Р (х)». Оно истинно в том и только том случае, если для всех элементов а из множества Х высказывания Р(а) истинны.
21. Приведем пример употребления кванторов. Пусть на множестве N натуральных чисел задан предикат Р(х): «Число х кратно 5». Используя кванторы, из данного предиката можно получить, например, следующие высказывания: 1) любое натуральное число кратно 5; 2) каждое натуральное число кратно 5; З) все натуральные числа кратны 5; 4) существуют натуральные числа, кратные 5; 5) найдется натуральное число, кратное 5; 6) хотя бы одно натуральное число кратно 5.
22. Операции над предикатами Предикаты, так же как и высказывания, бывают элементарными и составными . Составные предикаты образуются из элементарных при помощи логических связок: «и», «или», «неверно, что», «если..., то...» и др., смысл которых тот же, что и в логике высказываний. Например, составными являются следующие предикаты на множестве R действительных чисел: «Число х четно и кратно 3»; «х>2 и х=2»; «х>3 или х<-2». При оперировании с составными предикатами надо находить их множества истинности. Установим правила, которые позволяют найти множество истинности составного предиката, если известны множества истинности составляющих его элементарных предикатов.
23. Пусть на множестве Х задан предикат А (х). Его отрицанием называют предикат А (х), определенный на том же множестве Х, причем предикат А (х) истинен при тех значениях х из множества Х, при которых предикат А (х) ложен, и наоборот.
27. Импликация предикатов Например, из предикатов «Натуральное число х делится на 3» и «Натуральное число х делится на 4» можно составить предикат: «Если натуральное число х делится на 3, то оно делится и на 4». Этот предикат истинен при некоторых натуральных значениях х и ложен при других. Например, при х=12 этот предикат принимает вид «Если число 12 делится на 3, то оно делится и на 4». Здесь истинны и условие («Число 12 делится на 3») и следствие («Число 12 делится на 4»). А тогда, как мы знаем, истинна и импликация этих высказываний. Истинное высказывание получается и при замене х на 14: «Если натуральное число 14 делится на 3, то оно делится и на 4». Дело в том, что 14 не делится на 3, а потому в этом случае не выполняется условие и импликация истинна. Но при х=15 получается ложное высказывание «Если 15 делится на 3, то оно делится и на 4» — ведь в этом случае условие выполнено (15 делится на 3), а следствие не выполняется (15 не делится на 4).
28.
29. Многоместные предикаты Пусть, вообще, некоторое предложение Р (х, у) содержит две переменные, причем переменная х принимает значения из множества Х, а переменная у — из множества У (эти множества могут и совпадать). Пусть для любой пары (а; b ) при замене в предложении Р(х,у) переменной х её значением а, а переменной у значением b получается высказывание Р (а, b ). Тогда говорят, что Р (х,у) — двухместный предикат , заданный на Х×У. Совокупность Т пар (а; b ), при подстановке которых в двухместный предикат Р (х, у) получается истинное высказывание, называют множеством истинности этого предиката . Это множество является подмножеством Х×У. Точно так же определяются трёхместные, четырёхместные и т. д. предикаты.
30. Например, предложение «Математик х родился в году у, а диссертацию защитил в году х» является трёхместным предикатом, а предложение «Сумма чисел х и у равна произведению чисел и и v » — четырёхместным предикатом. Как и в случае одноместных предикатов, многоместные предикаты называются эквивалентными , если области определения и множества истинности этих предикатов совпадают. Например, предикат «Треугольник х подобен треугольнику у» эквивалентен предикату «Углы треугольника х имеют ту же величину, что и соответствующие углы треугольника у». А предикат «Дом х находится на пересечении улиц у и х» эквивалентен предикату «Дом х находится на улице у в дом х находится на улице х». Мы будем обозначать эквивалентность предикатов знаком ~ : А(х,у) ~ В(х,у) и т.д.
31. Уравнения х+2у=5 и 2х+4у= 10 являются эквивалентными предикатами. Например, пара (1; 2) удовлетворяет уравнению х+2у=5 и эта же пара удовлетворяет уравнению 2х+4у=10. Такие уравнения называют эквивалентными. Эквивалентны и неравенства 2х+4у>10 и х+2у>5.
