φεκ 162 β

ΕΦΗΜΕΡΙΣ ΤΗΣ ΚΥΒΕΡΝΗΣΕΩΣ
ΤΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗΣ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑΣ
ΤΕΥΧΟΣ ΔΕΥΤΕΡΟ Αρ. Φύλλου 162
22 Ιανουαρίου 2015
1937
ΑΠΟΦΑΣΕΙΣ
Αριθμ. 8622/Δ2
Πρόγραμμα Σπουδών του μαθήματος «Μαθηματικά» της
Α΄ και Β΄ τάξης Γενικού Λυκείου και της ομάδας προ−
σανατολισμού των Θετικών Σπουδών της Β΄ και Γ΄ τά−
ξης Γενικού Λυκείου και του μαθήματος «Μαθηματικά
και Στοιχεία Στατιστικής» της Γ΄ τάξης της ομάδας
προσανατολισμού των Οικονομικών−Πολιτικών−Κοι−
νωνικών και Παιδαγωγικών Σπουδών Γενικού Λυκείου.
Ο ΥΠΟΥΡΓΟΣ
ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ
Έχοντας υπόψη:
1. Τις διατάξεις του άρθρου 42 παρ. 2 περ. α του
ν. 4186/ 2013 (Α’ 193) «Αναδιάρθρωση της Δευτεροβάθ−
μιας Εκπαίδευσης και λοιπές διατάξεις».
2. Τις διατάξεις του άρθρου 2 παρ. 3 περ. α υποπ. ββ
του ν. 3966/2011 (Α΄ 118) «Θεσμικό πλαίσιο των Πρότυπων
Πειραματικών Σχολείων, Ίδρυση Ινστιτούτου Εκπαιδευτι−
κής Πολιτικής, Οργάνωση του Ινστιτούτου Τεχνολογίας
Υπολογιστών και Εκδόσεων ’’ΔΙΟΦΑΝΤΟΣ’’ και λοιπές
διατάξεις».
3. Το π.δ. 89/2014 (Α΄ 134) «Διορισμός Υπουργών, Ανα−
πληρωτών Υπουργών και Υφυπουργών».
4. Τις διατάξεις του άρθρου 90 του κώδικα Νομοθεσί−
ας για την Κυβέρνηση και τα Κυβερνητικά όργανα που
κυρώθηκε με το άρθρο πρώτο του Π.Δ. 63/2005 (Α΄ 98).
5. Την με αριθμ. 3/14−01−2015 πράξη του Δ.Σ. του Ινστι−
τούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής.
6. Το γεγονός ότι από την απόφαση αυτή δεν προκα−
λείται δαπάνη σε βάρος του κρατικού προϋπολογισμού,
αποφασίζουμε:
Άρθρο μόνον
Καθορίζουμε το Πρόγραμμα Σπουδών του μαθήματος
«Μαθηματικά» της Α΄ και Β΄ τάξης Γενικού Λυκείου και
της ομάδας προσανατολισμού των Θετικών Σπουδών
της Β΄ και Γ΄ τάξης Γενικού Λυκείου και του μαθήματος
«Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής» της Γ΄ τάξης
της ομάδας προσανατολισμού των Οικονομικών−Πολι−
τικών−Κοινωνικών και Παιδαγωγικών Σπουδών Γενικού
Λυκείου ως εξής:
Digitally signed by
THEODOROS MOUMOURIS
Date: 2015.01.23 13:16:56
EET
Reason: Signed PDF
(embedded)
Location: Athens, Ethniko
Typografio
Signature Not
Verified

1938 ΕΦΗΜΕΡΙΣ ΤΗΣ ΚΥΒΕΡΝΗΣΕΩΣ (ΤΕΥΧΟΣ ΔΕΥΤΕΡΟ)

ΕΦΗΜΕΡΙΣ ΤΗΣ ΚΥΒΕΡΝΗΣΕΩΣ (ΤΕΥΧΟΣ ΔΕΥΤΕΡΟ) 1939
1.2.ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΑΠΟΔΕΙΞΗ

καλνδκαττακτικνεναι·πολγρδιαφέρειστράτευματεταγμένοντάκτου,σπερλίθοιτεκαπλίνθοικαξύλακακέραμοςτάκτως
μνρριμμέναοδνχρήσιμάστιν,πειδνδταχθκάτωμνκαπιπολςτμήτεσηπόμεναμήτετηκόμενα,οτελίθοικακέραμος,νμέσδατεπλίνθοικατξύλα,σπερνοκοδομί
συντίθεται,τότεγίγνεταιπολλοξιονκτμα,οκία.»

⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠

Υπάρχουνφυσικέςδιαδικασίεςπου(σεδεδομένοεπίπεδογνώσηςτουανθρώπου)έχουν(πρακτικώς)προβλέψιμηεξέλιξη.Π.χ.οικινήσειςτωνπλανητώντου
πλανητικούμαςσυστήματος,φαινόμεναεκλείψεων,τοφαινόμενοτουβρασμούύδατοςκατάτηνθέρμανσητουστους1000
,κλπ.Προφανώςηδυνατότητααυτήςτηςπρόβλεψης
εξαρτάταιαπότοεπίπεδογνώσηςτουπαρατηρητή19
.Υπάρχουνόμωςκαιάλλεςδιαδικασίες,πουπαρ’όλονότιενδεχομένωςεξηγούνταιμεαιτιοκρατικέςθεωρίες,εντούτοις
λόγωτηςπολυπλοκότηταςτων,ΔΕΝμπορούμεναπροβλέψουμεμεακρίβειατηνεξέλιξήτους.Π.χ.Τοφαινόμενοτηςβροχήςκατάτιςεπόμενεςημέρεςήτωνσεισμικών
δονήσεωνκατάταεπόμεναέτη,ήτηνεπιβίωσηδιαγνωσθέντοςκαρκινοπαθούςκλπ.Μεάλλαλόγια,στηνμεγάληπλειοψηφίατωνφαινομένωνπουπρακτικώςεξετάζουμε,η
έννοιατηςτύχηςσυναρτάταιμετοεπίπεδογνώσεωνπουέχουμετηνδεδομένηστιγμή.Εάναυτέςοιδιαδικασίες(γιατιςοποίεςσήμερατουλάχιστον)δενέχουμεδυνατότητα
ακριβούςπρόβλεψης,ικανοποιούνόμωςκάποιεςκανονικότητες,τότεηθεωρίατωνπιθανοτήτωνμπορείναμαςδώσεικάποιο«μέτρο»πρόβλεψης,πουυστερείβεβαίωςτης
βεβαίαςπρόβλεψης,όμωςεξακολουθείναέχειχρησιμότητακαιναμαςοδηγήσειστηνλήψηεπωφελώνπροφυλακτικώνμέτρωνκλπ.Π.χ.
«Υπάρχειπιθανότητα0,7±0.1,νασυμβείσεισμόςτουλάχιστον7,6ρίχτερ,στηνπεριοχήτουΑγίουΦραγκίσκου(ΗΠΑ),μέχριτο2030».Μίατέτοιαπρόβλεψηθαεπηρεάσειτα
νομοθετικάμέτραπουαφορούντηνανθεκτικότητατωνκτιρίων.
«Υπάρχειπιθανότητα40%ναβρέξειαύριοστηνΑθήνα».Μίατέτοιαπρόβλεψημπορείναοδηγήσεικάποιουςναπάρουνομπρέλαηκάποιουςάλλουνααναβάλουντηνεκδρομή
τους.
«στηνκατηγορίααυτούτουασθενούςτοπροσδόκιμοεπιβίωσηςείναιπερίπου6χρόνια»¨Έναςτέτοιοςισχυρισμόςμπορείναοδηγήσεικάποιονασθενήναοργανώσειτηνζωή
τουέτσιώστεναξεπεράσειτοπροσδοκώμενο.κλπκλπ
Ταστοχαστικάμαθηματικά(δηλ.ΠιθανότητεςκαιΣτατιστική),(στηνάμεσηπροοπτική),έχουντηνμεγαλύτερηεφαρμοσιμότητααπόταλοιπάμαθηματικάκαιτιςφυσικές
επιστήμεςπουδιδάσκουμεστολύκειο.Έχουνόμωςκαικάποιεςδιαφορέςαπόταλοιπάμαθηματικάκαιαυτόαπαιτείιδιαίτερηπροσοχήστηνσυνολικήυποστήριξηπουτο
ΥΠΑΙΘθαπρέπειναδώσειστηνδιδασκαλίατους.Π.χ.Είναιδύσκολονααξιολογηθούνσωστάμεεξετάσειςκλειστέςμεθέματακλειστούτύπου.Επίσηςησωστήδιδασκαλία
καιαξιολόγησησυχνάθααπαιτήσειυπολογιστικάμέσα.κλπ

•
•
•

•
•
•
•
•
•
•
•
•

Ειδικότερακάνουμεταπαρακάτωσχόλια.
•
•
•

•
•
•∈
•
•
•0A≠
•
•

•
•
•
•
•
•
•
•

•
•

•
•
•
1.1.1.Εξετάζουνανένααντικείμενοανήκειήόχισεένα
σύνολοκαιεκφράζουναυτήτησχέσησυμβολικά.
1.1.2.Αναπαριστούντασύνολαμεδιάφορουςτρόπους

(αναγραφή,περιγραφήστοιχείων,διαγράμματαVenn).
1.1.3.Αναγνωρίζουνκαιεφαρμόζουνσχέσειςκαιπράξεις
μεταξύσυνόλωνμεχρήσηδιαφορετικών
αναπαραστάσεων(καιλεκτικάμεκατάλληληχρήση
τωνσυνδέσμων«ή»και«και»).
2.1.Πραγματικοίαριθμοί
(1ώρα)
2.1.1.Διακρίνουντουςρητούςαπότουςάρρητουςαριθμούς
μέσααπότιςδιάφορεςαναπαραστάσειςτουςκαι
ταξινομούνσυγκεκριμένουςαριθμούςσταβασικά
υποσύνολατωνπραγματικώναριθμών(Ν,Ζ,Q,R-Q).
2.1.2.Διερευνούντηνέννοιατης«πυκνότητας»καιτης
«διαδοχικότητας»σταβασικάυποσύνολατων
πραγματικώναριθμών.
2.2.Πράξειςστους
πραγματικούςαριθμούς
(8ώρες)
2.2.1.Χρησιμοποιούντιςιδιότητεςτωνπράξεωντων
πραγματικώναριθμώνστηναπόδειξηπροτάσεων.
2.2.2.Χρησιμοποιούντιςιδιότητεςτωνπράξεωντων
πραγματικώναριθμώνστηνεπίλυσηεξισώσεων1ου
βαθμού.Επιλύουνπροβλήματαμεεξισώσεις1ου
βαθμού.
2.2.3.Εφαρμόζουνδιάφορεςαποδεικτικέςμεθόδους(ευθεία
απόδειξη,απαγωγήσεάτοπο,αντιπαράδειγμα)γιανα
δείξουντηνισχύαλγεβρικώνπροτάσεων.
⇒

2.3.Διάταξηστους
πραγματικούςαριθμούς
(5ώρες)
2.3.1.Διερευνούντιςιδιότητεςτηςδιάταξηςκαιεντοπίζουν
ομοιότητεςκαιδιαφορέςτωνιδιοτήτωντηςισότητας
καιτηςανισότητας.Αναπαριστούνστονάξονατων
πραγματικώναριθμώνσύνολαπουπροσδιορίζονται
απόανισοτικέςσχέσειςκαιτασυμβολίζουν
χρησιμοποιώνταςδιαστήματα.
+
<⇒<<
2.3.2.Χρησιμοποιούντηδιάταξηκαιτιςιδιότητέςτηςγιανα
επιλύσουνανισώσεις1ουβαθμού.Επιλύουν
προβλήματαμεανισώσεις1ουβαθμού.
2.4.Απόλυτητιμήπραγματικού
αριθμού(5ώρες)
2.4.1.Συνδέουντοναλγεβρικόορισμότηςαπόλυτηςτιμήςμε
τηγεωμετρικήτηςερμηνεία.
2.4.2.Διερευνούντιςβασικέςιδιότητεςτηςαπόλυτηςτιμής
καιτιςερμηνεύουνγεωμετρικά(όσεςείναιδυνατόν).
⋅=⋅=+≤+
⇔⇔
⇔

2.4.3.Χρησιμοποιούντιςιδιότητεςτηςαπόλυτηςτιμήςστην
επίλυσηαπλώνεξισώσεων,ανισώσεωνκαι
προβλημάτων.
−=−<
2.5.Ρίζεςπραγματικώναριθμών
(3ώρες)
2.5.1.Αναγνωρίζουντην-οστήρίζαμηαρνητικούαριθμού
ωςτημοναδικήμηαρνητικήλύσητηςεξίσωσηςxν
=α.
2.5.2.Χρησιμοποιούντιςιδιότητεςγινομένουκαιπηλίκουν-
οστώνριζών.
Είναισημαντικόοιμαθητέςναεμπλακούνστηδιαδικασία
απόδειξηςτωνιδιοτήτωντωνριζών:
⋅=⋅ννναβαβ,=
ν
ν
ν
αα
ββ
και
⋅
=
μμνν
αα
2.5.3.Επιλύουναπλέςεξισώσειςτηςμορφήςxν
=α(α∈)
=
=
3.1.Γενικάπερίσυναρτήσεων
(6ώρες)
3.1.1.Αναγνωρίζουντηνέννοιατηςσυνάρτησηςμέσααπό
καταστάσειςσυμμεταβολήςκαιαντιστοίχισης
διαφόρωνειδώνκαιαποδίδουννόημαστονορισμότης
συνάρτησης.
3.1.2.Επιχειρηματολογούνανμίασχέσηήαντιστοιχίαείναι
συνάρτησηήόχι.Χρησιμοποιούνκατάλληλατο
συμβολισμόκαιτηνορολογία.

3.1.3.Μοντελοποιούνκαιεπιλύουνπροβλήματαμετη
βοήθειασυναρτήσεων.
3.1.4.Συνδέουνδιαφορετικέςαναπαραστάσειςμιας
συνάρτησης(τύπος,πίνακαςτιμώνκαιγραφική
παράσταση).
3.1.5.Αντλούνπληροφορίεςαπότηγραφικήπαράστασημιας
συνάρτησηςγιατοπεδίοορισμού,τοπλήθοςτων
ριζών,τοπρόσημοτωντιμώντης.Ερμηνεύουν
αλγεβρικάτασημείατομήςτηςμετουςάξονες.
3.1.6.Ερμηνεύουνμίαδεδομένηγραφικήπαράσταση
συνάρτησηςγιαναεπιλύσουνέναπρόβλημα.
3.2.Μελέτηβασικών
συναρτήσεων.
=+
3.2.1.Διερευνούντορόλοτωνπαραμέτρωνακαιβστη
γραφικήπαράστασητης=+.
3.2.2.Διερευνούνκαιδιατυπώνουνσυμπεράσματαπου
αφορούνστημονοτονίασυναρτήσεωντης
μορφής=+.
3.2.3.Χρησιμοποιούντην=+στημοντελοποίηση
καιεπίλυσηπροβλημάτων.

=
3.2.4.Αναπαριστούνγραφικάκαιδιερευνούντιςσυναρτήσεις
=και=−ωςπροςτημονοτονία,τα
ακρότατακαιτιςσυμμετρίες.Γενικεύουντα
συμπεράσματάτουςγιατησυνάρτηση=.=
=
3.2.5.Αναπαριστούνγραφικάσυγκεκριμένεςσυναρτήσειςτης
μορφής=++μέσωμετατοπίσεωντης
=.Mέσωτηςγραφικήςπαράστασης
διερευνούνσυγκεκριμένεςσυναρτήσειςτηςμορφής
=++ωςπροςτημονοτονία,ταακρότατα
καιτιςσυμμετρίες.
()=−
=+
=−+()=−+
()=
4.1.Εξισώσεις2ουβαθμού
(5ώρες)
4.1.1.Αναγνωρίζουνότιοιτετμημένεςτωνσημείωντομής
τηςγραφικήςπαράστασηςτηςσυνάρτησης
=++μετονάξοναx΄xείναιοιρίζεςτης
εξίσωσης++=≠.
4.1.2.Επιλύουνεξισώσεις2ουβαθμούμετημέθοδοτης
συμπλήρωσηςτετραγώνουκαιμετοντύποτωνλύσεων.
4.1.3.Παραγοντοποιούντοτριώνυμοεφόσονγνωρίζουντις

1958 ΕΦΗΜΕΡΙΣ ΤΗΣ ΚΥΒΕΡΝΗΣΕΩΣ (ΤΕΥΧΟΣ ΔΕΥΤΕΡΟ)ρίζεςτου.
4.1.4.Επιλύουναπλέςεξισώσειςπουανάγονταισεεξισώσεις
2ουβαθμού.
4.1.5.Μοντελοποιούνκαιεπιλύουνπροβλήματαμεχρήση
εξισώσεων2ουβαθμού.
4.2.Ανισώσεις2ουβαθμού
(5ώρες)
4.2.1.Χρησιμοποιούντηγραφικήπαράστασητης
συνάρτησης=++στηνεπίλυσητης
ανίσωσης++>(ήτης++<).
4.2.2.Διερευνούναλγεβρικάτοπρόσημοτουτριωνύμουκαι
χρησιμοποιούντασυμπεράσματαστηνεπίλυση
ανισώσεων2ουβαθμούκαιαπλώνανισώσεωνπου
ανάγονταισεανισώσεις2ουβαθμού.
4.2.3.Μοντελοποιούνκαιεπιλύουνπροβλήματαμεχρήση
ανισώσεων2ουβαθμού.
5.1.Γραμμικάσυστήματα2×2
(3ώρες)
5.1.1.Αναγνωρίζουνότιηγραμμικήεξίσωση
+=≠ή≠είναιεξίσωσηευθείας.
Αναγνωρίζουνότιοιλύσειςτηςείναιτασημείατης
ευθείας.Αναγνωρίζουνότιτοπλήθοςλύσεωντου
γραμμικούσυστήματος
+=⎧
⎨
+=⎩
εξαρτάταιαπότησχετικήθέσητωνδυοευθειών.
Μέσωπροβλημάτωννοηματοδοτείταιτοάπειροπλήθος
λύσεωντηςεξίσωσης.
Αναγνωρίζουναλγεβρικάκαιγραφικάότιηγραμμική
εξίσωση+=≠ή≠έχειάπειρεςλύσεις.
Αντιστοιχίζουντιςλύσειςμετασημείατηςευθείας.
5.1.2.Επιλύουνγραμμικάσυστήματα2x2γραφικάκαι
αλγεβρικά.
=+

5.1.3.Αναγνωρίζουνκαικατασκευάζουνγραμμικά
συστήματα2x2μεμία,καμίαήάπειρεςλύσεις.
5.2.Συστήματα3×3(1ώρα)5.2.1.Επιλύουνγραμμικάσυστήματατριώνεξισώσεωνμε
τρειςαγνώστους.
5.3.Μηγραμμικάσυστήματα
2×2(1ώρα)
5.3.1.Επιλύουνμηγραμμικάσυστήματαμεδύοαγνώστους,
αλγεβρικάκαιγραφικά.
5.4.Επίλυσηπροβλημάτωνμε
συστήματα(2ώρες)
5.4.1.Μεταφράζουνέναπρόβλημαστημαθηματικήγλώσσα
χρησιμοποιώνταςσυστήματα.Επιλύουντοσύστημακαι
ερμηνεύουντηλύσηστοπλαίσιοτουπροβλήματος
5.4.2.Κατασκευάζουνδικάτουςπροβλήματαπουεπιλύονται
μεσύστημα.
6.1.Δειγματικόςχώροςκαι
ενδεχόμενα(2ώρες)
6.1.1.Αναγνωρίζουνανέναπείραμαείναιπείραματύχης.
6.1.2.Προσδιορίζουντοδειγματικόχώροενόςπειράματος
τύχηςκαιενδεχόμενααυτούμεδιάφορουςτρόπους
(π.χ.δενδροδιαγράμματα,διαγράμματαVenn,πίνακες
διπλήςεισόδου).
6.2.Πράξειςμεενδεχόμενα
(1ώρα)
6.2.1.Μεταφράζουνδιάφορεςσχέσειςενδεχομένωνπουείναι
διατυπωμένεςσεφυσικήγλώσσα,στηγλώσσατων
συνόλωνκαιαντίστροφα.
6.3.Εισαγωγήστηνέννοιατης
Πιθανότητας(3ώρες)
6.3.1.Εκτιμούντηνπιθανότηταπραγματοποίησηςενός
ενδεχομένουμετηβοήθειατηςσχετικήςσυχνότητας.

6.3.2.Επιλύουνπροβλήματαχρησιμοποιώνταςτονκλασικό
ορισμό.
6.4.ΛογισμόςΠιθανοτήτων
(2ώρες)
6.4.1.Διατυπώνουντουςκανόνεςλογισμούτωνπιθανοτήτων
τουςαιτιολογούνμεδιαγράμματαVennκαιτους
χρησιμοποιούνστηνεπίλυσηπροβλημάτων.
7.1.Τριγωνομετρικοίαριθμοί
γωνίας-Τριγωνομετρικός
κύκλος(4ώρες)
7.1.1.Επιλύουνπροβλήματαχρησιμοποιώνταςτους
τριγωνομετρικούςαριθμούςοξειώνγωνιών.
7.1.2.Ορίζουντουςτριγωνομετρικούςαριθμούςγωνίαςμ°,
∈,τοποθετώνταςτηνκατάλληλαστοσύστημα
συντεταγμένων.
()⋅+=∈
7.1.3.Ορίζουντουςτριγωνομετρικούςαριθμούςγωνίαςμετη
βοήθειατουτριγωνομετρικούκύκλου.−≤≤

25
7.2.Βασικέςτριγωνομετρικές
ταυτότητες(2ώρες)
+===
+=
7.3.Νόμοςημιτόνων-Νόμος
συνημιτόνων(4ώρες)
∩∩∩∩∩

∩∩∩∩
∩∩∩∩∩
∈−∈∈⊄∈−∈⊆−⊆∪=∩=∅
i)Tοάθροισματωνδύοαριθμώνείναισίγουραάρτιος.
ii)Τοάθροισματωνδύοαριθμώνείναισίγουραπεριττός.

iii)Δενείναισίγουροαντοάθροισμαείναιπεριττόςήάρτιοςμέχριναμάθουμεποιοιείναιοιαριθμοί.
32
5
9
+C
i)+
ii)−
++−
=++−
+⋅−⋅+

()=−

∈

−−<
−+−
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
−−
=−−
=+
+=
⎧
⎨
⎩

∩
°
=
°+°
≅
−

−
−

1.ΒασικέςΑρχέςτηςΕυκλείδειαςΓεωμετρίαςωςΑξιωματικόΣύστημα(2ώρες)
1.1.Εισαγωγήστουςσκοπούςτης
ΕυκλείδειαςΓεωμετρίας
(1ώρα)
1.1.1.Εξηγούντηνανάγκηαποδεικτικώνδιαδικασιών.

1.2.ΟικατάΕυκλείδηΌροι,
ΚοινέςΈννοιες,Αιτήματα,
Προτάσειςκαιημεταγραφή
τουςστησύγχρονη
επιστημολογία(1ώρα)
1.2.1.Αναγνωρίζουντορόλοκαιτηναναγκαιότητατων
ορισμώνκαιτωναξιωμάτωνγιατηθεμελίωσητης
Γεωμετρίας.
2.ΤαΒασικάΓεωμετρικάΣχήματα(4ώρες)
2.1.Σχεδίασηκαισυμβολισμοί
βασικώνγεωμετρικών
σχημάτων(1ώρα)
2.1.1.Σχεδιάζουν,ονομάζουνκαιορίζουνταβασικά
γεωμετρικάσχήματα.
2.1.2.Χρησιμοποιούντουςσυμβατικούςσυμβολισμούςγια
νααναφερθούνσεγεωμετρικάσχήματα.
2.2.Υποθέσειςκαι
Συμπεράσματα(3ώρες)
2.2.1.Εντοπίζουντιςυποθέσειςκαιτασυμπεράσματα
θεωρημάτων,λημμάτων,πορισμάτωνκ.λπ.
2.2.2.Αποδεικνύουναπλέςπροτάσειςχρησιμοποιώνταςτη
μέθοδοτηςευθείαςαπόδειξης.
2.2.3.Ανατρέπουνεικασίεςμεχρήσηαντιπαραδειγμάτων.
2.2.4.Σχηματίζουνκαιδιαφοροποιούναντίστροφεςκαι
αντιθετοαντίστροφεςπροτάσεωνπουέχουνυποθέσεις
καισυμπεράσματα.
3.Παράλληλεςευθείες(8ώρες)

3.1.Το5οαίτηματουΕυκλείδηή
αξίωματωνπαραλλήλων
(1ώρα)
3.1.1.ΓνωρίζουντηνύπαρξηάλλωνΓεωμετριώνπληντης
Ευκλειδείου.
3.2.Θεωρήματα-κριτήρια
παραλληλίας(3ώρες)
3.2.1.Αποφαίνονταιγιατηνπαραλληλίαήμηδύοευθειών
τουεπιπέδουαπότιςσχέσειςτωνγωνιώνπου
σχηματίζουναυτέςόταντέμνονταιαπόΤρίτη.
3.3.Άθροισμαγωνιώντριγώνου
(3ώρες)
3.3.1.Χρησιμοποιούντοθεώρημαγιατοάθροισμαγωνιών
τριγώνου,στηναπόδειξηπροτάσεων.
3.3.2.Αποδεικνύουντοντύπογιατοάθροισμαγωνιών
κυρτούν-γώνου.
3.4.Γωνίεςμεπλευρές
παράλληλες-κάθετες
(1ώρα)
3.4.1.Αναγνωρίζουνγωνίεςμεπλευρέςκάθετεςή
παράλληλες.
4.Τρίγωνα(12ώρες)
4.1.Ορισμόςισότηταςτριγώνων
καικριτήριαισότητας
τριγώνων(3ώρες)
4.1.1.Διακρίνουντονορισμόαπότακριτήριαισότητας
τριγώνων.

4.1.2.Διακρίνουνπότεσχέσειςμεταξύπλευρώνκαιγωνιών
τριγώνωναποτελούνκριτήριοισότηταςαυτώνκαιπότε
όχι.
4.2.Προτάσειςσταισοσκελή
τρίγωνα(2ώρες)
4.2.1.Αξιοποιούνσεένατρίγωνοτηνταύτισηδύοεκτων
στοιχείωντου(διχοτόμος,ύψος,διάμεσος,
μεσοκάθετος)ωςικανήςκαιαναγκαίαςσυνθήκης,ώστε
ναείναιισοσκελές.
4.3.Γεωμετρικοίτόποι,η
περίπτωσητηςδιχοτόμου
γωνίαςκαιτηςμεσοκαθέτου
ευθυγράμμουτμήματος
(2ώρες)
4.3.1.Κατασκευάζουνμεκανόνακαιδιαβήτητηδιχοτόμο
γωνίαςκαιτημεσοκάθετοευθυγράμμουτμήματος.
4.3.2.Αξιοποιούντιςιδιότητεςτηςδιχοτόμουγωνίαςκαιτης
μεσοκαθέτουευθυγράμμουτμήματοςστηνεπίλυση
4.4.Ανισοτικέςσχέσειςστα
τρίγωνα(2ώρες)
4.4.1.Διαπιστώσουντηναναγκαιότητατηςτριγωνικής
ανισότηταςστηνκατασκευήτριγώνου.

4.4.2.Εφαρμόζουνστηνεπίλυσηπροβλημάτωντιςανισοτικές
σχέσειςπουδιέπουνπλευρέςκαιγωνίεςτριγώνου.
4.5.Προτάσειςσεχορδές,τόξα,
αποστήματακαιεφαπτομένη
κύκλου(3ώρες)
4.5.1.α)Διχοτομούντόξοκαι
5.Παραλληλόγραμμα–Τραπέζια(18ώρες)
5.1.Παραλληλόγραμμα:ορισμός,
ιδιότητες,κριτήρια(3ώρες)
5.1.1.Διακρίνουντονορισμόαπότιςιδιότητες
παραλληλογράμμωνκαιαπότακριτήριαπου
εξασφαλίζουνότιένατετράπλευροείναι
παραλληλόγραμμο.
5.1.2.Πιστοποιούντοισοδύναμομεταξύδοθέντοςορισμού
καιενόςεκτωνπροηγουμένωνκριτηρίων.
5.2.Ειδικάπαραλληλόγραμμα:
Ορθογώνιο,Ρόμβος,
Τετράγωνο(3ώρες)
5.2.1.Ταξινομούνταπαραλληλόγραμμαμεβάσητις
ιδιότητέςτους.
5.2.2.Ελέγχουνμεαντιπαραδείγματατηναλήθεια
αντιστρόφωνπροτάσεωνσχετικέςμετιςιδιότητεςτων
παραλληλογράμμων.
5.2.3.Διαπιστώνουνσυμμετρίες(κεντρικές,αξονικές)σε
παραλληλόγραμμα.
5.3.Εφαρμογέςτων
παραλληλογράμμων(5ώρες)
5.3.1.Χρησιμοποιούντιςιδιότητεςτωνπαραλληλογράμμων
στηνεπίλυσηπροβλημάτων.

5.4.Χαρακτηριστικάσημεία
τριγώνου:Έγκεντρο,
Περίκεντρο,Ορθόκεντρο,
Βαρύκεντρο(5ώρες)
5.4.1.Εντοπίζουντιςθέσειςτουπερικέντρουκαιτου
ορθοκέντρουανάλογαμετοείδοςτουτριγώνου.
5.5.Τραπέζια(2ώρες)5.5.1.Αξιοποιούντηνιδιότητατηςδιαμέσουτουτραπεζίου
στηνεπίλυσηπροβλημάτων.

6.ΕυθείεςκαιΕπίπεδαστοχώρο(6ώρες)
6.1.Ευθείεςκαιεπίπεδαστοχώρο
(3ώρες)
6.1.1.Σχεδιάζουνταβασικάστοιχείατουχώρου.
6.1.2.Αναγνωρίζουνσχετικέςθέσειςευθειών,επιπέδων,
ευθειώνκαιεπιπέδωνστοχώρο.
6.2.Θεωρήματαπαραλληλίας-
καθετότηταςευθειώνκαι
επιπέδων(3ώρες)
6.2.1.Διακρίνουν:
6.2.2.Αναγνωρίζουντηνκαθετότητα:
6.2.3.Διαφοροποιούν:

•
•
•

0
2
≤≤
π
x

>

yαx
α
yx
x
yα

=
=
=+
=−=
=

()
22
1
1
=
=−∑iisxx

=∈

×

=−=−
=−=−
[3,)+∞

[3,0]−(,3]−∞−
(0)0≠f
+
==
+
>
+
=

=+−−
=−=−
=−++
=−+
+=+
+=+

+++=
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
+=
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
+=
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠

+
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
−
()−
⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
()()()⋅
−=−=−====
⎡⎤⎛⎞⎡⎤⎡⎤
⎜⎟⎢⎥⎜⎟⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎝⎠
()()()⋅
−=−=−=−
⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
()()+−

==⋅=−⋅=⋅
==⋅
==+
−
=−
=+
==
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
=

=
I
LI
LI=⋅0I
12
10−
0I

=

•
•
•
•
•
•22×

•
•
•
•

()()11
22
//det,0,μεdet,⇔==
xy
αβαβαβ
xy
()11
,xy()22
,xyβ

x'x
ε
()000
Mx,yλ
()1//=δ,λε
0
MMM
()000
,Mxyy'y
()01//=δ,ε
0
MMM

ΑΒΓ+=xy
Α0≠Β0≠
()000
Mx,y()Α,Β=n
ΑΒΓ+=xyΑ0≠Β0≠
ΓΑΒ=+oo
xy
()Α,Β=n

ΑΒΓ+=xyΑ0≠Β0≠
ΑΒΓ+=xy
Α0≠Β0≠
×
22×
ΑΒΓ
ΑΒΓ
+=
′′′+=
⎧
⎨
⎩
xy
xy
Α0≠Β0≠Α0′≠
Β0′≠
()Α,Β
()Α,Β′′

ν
∗
∈
()()222121
12...
6
⋅+⋅+
+++=
ννν
ν
()11με1+≥+>−
ν
ανα,α
()ν
α
()()Μν
ν,fν
Αyf(x),x=∈Α
∗
⊆

1
=,και
(1)
1
−
=+
∈l()
l
==21=−+
()+∞
()−∞

+∞
−∞
νν
1
0καιανk
k
limlimν,k
ν
∗
→+∞→+∞
==+∞∈
με1=>−ν
ν
αα,αν
ν
limα
→+∞
1>−α
νν
0αν1καιαν1
νν
limα,αlimα,α
→+∞→+∞
=<=+∞>
1λ<

30/=E
ums
50/=H
ums

ΡΣΦΛΠΜΚΘΗΔΓΝΚΝΥΘ,,,,,,,
ΠΡ=xΠΦ=y

ΑΒΓΑΒΑΓΑΟΔΑΟΕΑΒ
1
ΑΕΑΒ
3
=
()()ΟΑκαιΟΒαβ==

ΓΔκαιΓΕ
pF20N=30
ακαιβαβ⋅αβ⋅
ακαιβ
αβαβαβ⋅≤⋅α//β
αβ()
222
αβαβ⋅≤⋅α//β
()()()22222
12121122
+≤++xxyyxyxy1122
∈x,y,x,y
11
22
0
xy
xy
=
ο
30=φ
5hm=

W
wx
W//KΛ⊥y
WKΛ
x'xy'y
x'x12
ΜκαιΜ
11
x,y22
x,y21
21
Δ
Δ
yyy
xxx
12
ΝΝ=δ
α,βδ
β
λ
α
12
ΝΝ=δεφω
Δ
Δ
y
xδ
λδ

()000
Mx,y()=δα,β
()Mx,y00
=rOM=rOM0
MM
0
=+⋅∈rrtδ,t
0
0
=+⋅
∈
=+⋅
⎧
⎨
⎩
xxtα
,t
yytβ
0≠α
()00
όπου−=⋅−===δε
β
yyλxx,λλλ
α
()00
−=⋅−yyλxx
0
0
1=+⋅
∈
=+⋅
⎧
⎨
⎩
xxt
,t
yytλ
()000
Mx,y()1=δ,λ

0=α0
=xx
0
0
0
1
=+⋅
∈
=+⋅
⎧
⎨
⎩
xxt
,t
yyt
()000
Mx,y()01=δ,
()ΑΒ=n,()ΒΑ=−δ,
ΑΒΓ+=xynδn
nδ

()22
:3−⋅−⋅=−∈λ
ελλxλyλλ,λ

λε
λ
ε0≠λ0=λ
λ==1
ε2
ε
λ
ελλ
ε∈λ
1
2
:37
:333
−=−
−=
⎧⎪
⎨
⎪⎩
εxy
εxy
1
2=
=n
n
1
2=
=δ
δ
1
2
λ
λ

1
2
:613
:531
−=
+=−
⎧
⎨
⎩
εxy-
εxy
1
2=
=n
n
1
2=
=δ
δ
1
2
λ
λ
1
2
:8610
:435
+=
+=−
⎧
⎨
⎩
εxy-
εxy
1
2=
=n
n
1
2=
=δ
δ
1
2
λ
λ
=
⋅
+=
⋅⋅
++=
⋅⋅⋅

ν
ε
Ε
Εε−νν

09999,...
123409099099909999====α.,α.,α.,α.,...
1
1
10
νν
α=−

Εισαγωγή

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
(Σύνολοωρών80)
ΣΤΟΧΟΙ
Οιμαθητέςναμπορούννα:
ΣΧΟΛΙΑ-ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ
•Είναισημαντικόοιμαθητέςνααναγνωρίζουντιςμεταβλητές
καιτιςπαραμέτρουςσεμιασυνάρτηση.
•Θασυμπεριληφθούνοιτριγωνομετρικέςκαιοιεκθετικές
συναρτήσειςκαθώςκαιοιλογαριθμικέςσυναρτήσεις
καιylnxylogx==πουθαδιδαχθούνεδώγιαπρώτηφορά.
•ΠροτείνεταιναγίνειηδραστηριότηταΔ1.
yαxβ=+
2
yαx=
3
yαx=α
y
x
=yx=
α,β∈
•Ημοντελοποίησηπρέπεινααφοράσεαπλάπροβλήματαώστε
οιμαθητέςναεστιάσουνστηναναγνώρισητωνμεταβλητών
καιστησχέσηανεξάρτητηςκαιεξαρτημένηςμεταβλητής.
•ΠροτείνεταιναγίνουνοιδραστηριότητεςΔ2,Δ3.

•ΠροτείνεταιναγίνειηδραστηριότηταΔ4.
()(),yfxyfx=−=
()=yfx
•
0∈x
0∈x•
0∈x
0
x∈
•
+∞
−∞
•
•

•
•
•
•
•
(),fxcc=∈()fxx=()2
fxx=()fxx=
•yx=yσυνx=
=x
yeylnx=
•
•
•
0
x
•

•Νααποδειχθούνοιτύποιτωνπαραγώγωντωνσυναρτήσεων:
=yx,=yx,,01
x
y=<≠και,με=∈yx
•
•
•
•
•
•Ναδοθείέμφασηστησχέσηπουσυνδέεισυναρτήσειςπου
είναισυνεχείςσεέναδιάστημακαιέχουνίσεςπαραγώγουςστο
εσωτερικόαυτού.
•
•
•Στηδιεύθυνση:
http://webspace.ship.edu/msrenault/GeoGebraCalculus/
derivative_app_opt_wire.html

οιμαθητέςμπορούνναεμπλακούνδιαδραστικάστη
μεγιστοποίησητουεμβαδούορθογωνίουμεσταθερή
περίμετρο.
•
•
•
•
()()()′=yfgxgx
f
•
•()()()
β
α
fxdxGβGα=−∫G
f
•
•
•

ΕνδεικτικέςΔραστηριότητες
Δ1(αντιστοιχείστουςστόχους1.2.1)
α)β)
γ)δ)

ε)στ)
ζ)η)

θ)
Δ2(αντιστοιχείστουςστόχους1.2.1,1.2.2,1.2.3και1.2.5)
Στοπαρακάτωσχήματοσημείοκινείταιπάνωστηδιαγώνιοενόςτετραγώνουμεμήκοςπλευράς.
xx

x
Δ3(αντιστοιχείστονστόχο1.2.3)
Έναςκατασκευαστήςπουλάέναπροϊόν110ευρώανάτεμάχιο.Τοσυνολικόκόστοςαποτελείταιαπότοπάγιοκατασκευής7500ευρώκαιαπότοκόστοςπαραγωγήςμονάδας
πουείναι60ευρώ,ανάτεμάχιο.
Μιαπεριβαλλοντικήμελέτηπροτείνειότιημέσηημερήσιαπεριεκτικότητατουαέρασεμονοξείδιοτουάνθρακαθαείναι()0.51=+cpp,μέρηανάεκατομμύριο,ότανο
πληθυσμόςείναιpχιλιάδες.Εκτιμάταιότισεtχρόνιααπόσήμερα,οπληθυσμόςθαείναι()2
100,1=+ptt.
6,8
()2
1fxx=−

x
()fx
()−fx
()=−yfx()yfx=
()=−yfx
()=−yfx
x
()fx
()fx
()yfx=()=yfx
()yfx=
()yfx=

[Μέρος...][Μέρος...]
Δ6(αντιστοιχείστουςστόχους1.6.2,1.6.3)
()
2
2
1
1
x
gx
x
+
=
−
g
Ναβρεθούν,ανυπάρχουνοιοριζόντιεςασύμπτωτεςτηςσυνάρτησης()2
1
1
=
+
fx
x
.
Δ8(αντιστοιχείστουςστόχους1.8.1)

Ναβρεθούνκαινασχεδιασθούνοιεφαπτόμενεςτηςγραφικήςπαράστασηςτηςσυνάρτησης()42
2=−fxxxστασημεία0
1=−x,10=xκαι21=x.
Μιαπεριβαλλοντικήμελέτηαναφέρειότιημέσηημερήσιαπεριεκτικότητατουαέρασεμονοξείδιοτουάνθρακαθαείναι()2
0,517cpp=+,μέρηανάεκατομμύριο,ότανο
πληθυσμόςείναιpχιλιάδες.Εκτιμάταιότισεtχρόνιααπόσήμερα,οπληθυσμόςθαείναι()2
3,10,1=+ptt.Μεποιορυθμόθαμεταβάλλεταιτομονοξείδιοτουάνθρακα,ως
προςτοχρόνο,σε3χρόνιααπόσήμερα;
Δ11(αντιστοιχείστονστόχο2.3.2):
Υπολογίζεταιότισεμήνεςαπόσήμεραοπληθυσμόςμιαςκοινότηταςθαείναι()2
208000=++Pxxx.
Δ12(αντιστοιχείστουςστόχους2.3.2,2.3.1και2.3.3):
Ότανπετάμεέναβότσαλοσεμιαλίμνη,δημιουργούμεκυματισμόμετημορφήομόκεντρωνκύκλων.Ηακτίνατουεξωτερικούκύκλουαυξάνεταιμεσταθερόρυθμό1μέτροτο
δευτερόλεπτο.Ότανηακτίναείναι4μέτρα,ναβρείτεμεποιορυθμόαυξάνεταιτοεμβαδόντηςταραγμένηςεπιφάνειαςτουνερού.
Ότανπέφτεικατακόρυφαένααντικείμενο,τούψοςτου(σεμέτρα)μετάαπόtδευτερόλεπταείναι()2
0016=−++HttStH,όπου0
Hτοαρχικόύψοςκαι0Sηαρχικήταχύτητα
τουαντικειμένου.

Δ14(αντιστοιχείστουςστόχους2.3.1,2.3.2):
Τηχρονικήστιγμή0t=έναςαθλητήςκαταδύσεωνπηδάειαπότοβατήρα,οοποίοςβρίσκεταισεύψος32μέτρωνπάνωαπότονερό.Ηθέσητουδίνεταιαπότηνεξίσωση:
()2
161632=−++sttt,όπουτοsμετράταισεμέτρακαιτοtσεδευτερόλεπτα.
Ναβρείτετους,∈αβώστεησυνάρτηση()2
=++fxxαxβναέχειελάχιστοστοσημείο2,το21f()=
Δ16(αντιστοιχείστονστόχο3.3.3):
Υποθέτουμεότιότανπαραχθούνqτεμάχιαενόςπροϊόντος,τοολικόκόστοςπαραγωγήςείναι()2
3575=++Cqqq,σεευρώ.Πόσατεμάχιαπρέπειναπαραχθούν,ώστετομέσο
κόστοςανάτεμάχιοναείναιταμικρότερο;
[Σημείωση:Τομέσοκόστοςανάτεμάχιο,()Aq,είναιτοολικόκόστοςδιάτουπλήθουςτωντεμαχίων,δηλαδή()
()Cq
Aq
q
=]
Ναμελετηθούνοισυναρτήσεις:
α)()
()
1
1
fx
xx
=
−
καιβ)()0x
gxxe,x−
=≥

Έναςκατασκευαστήςέχειοριακόκόστος+−σεευρώ,ανάτεμάχιο,ότανκατασκευάζειqτεμάχια.Ανγνωρίζουμεότιτοσυνολικόκόστοςκατασκευήςδύο
τεμαχίωνείναι900ευρώ,ναβρείτετοσυνολικόκόστοςκατασκευής5τεμαχίων.
[Υπόδειξη:Τοοριακόκόστοςείναιηπαράγωγοςτουσυνολικούκόστους())
Ητιμήμεταπώλησηςμιαςσυγκεκριμένηςβιομηχανικήςμηχανήςμειώνεταιμετάαπόμιαδεκαετία,μερυθμόπουεξαρτάταιαπότηνηλικίατηςμηχανής.Ότανημηχανήείναιx
ετών,ορυθμόςμεταβολήςτηςτιμήςτηςείναι()10x220−,σεευρώανάέτος.
()
Μιαέρευνααναφέρειότισεxμήνεςαπότώρα,οπληθυσμός,(),μιαπόληςθααυξάνεταιμερυθμόx62+.Ανσήμεραοπληθυσμόςτηςπόληςείναι5000κάτοικοι,να
βρείτεπόσοθαείναισε9μήνεςαπόσήμερα.
Υποθέτουμεότισεxχρόνιααπότώραέναεπενδυτικόσχέδιοθαείναικερδοφόρομερυθμό()2
1x50xR+=,ευρώτοχρόνο,ενώέναδεύτεροεπενδυτικόσχέδιοθαείναι
κερδοφόρομερυθμό()x5200xR2+=,ευρώτοχρόνο.Αφούσχεδιάσετετιςαντίστοιχεςγραφικέςπαραστάσεις,νααπαντήσετεστιςερωτήσεις:
Δ22(αντιστοιχείστουςστόχους4.2.1,4.3.1,4.4.1)
x΄x2=yx1=x3=x
3
1
2=∫Ixdx
Δ23(αντιστοιχείστουςστόχους4.2.1,4.3.1,4.4.1)
x΄x41=−−yxy΄y3=x
3
0
(41)=−−∫Ixdx
ΟΝόμοςτηςΠαγκόσμιαςΈλξηςτουΝεύτωνααναφέρειότιδύοσώματαεμάζες12
,mm,έλκονταιμεταξύτουςμεδύναμη12
2
⋅
=⋅
mm
FG
R
,όπουRηαπόστασημεταξύτων
σωμάτωνκαιGησταθεράβαρύτητας.Αντοένασώμαείναισταθερό,ναυπολογίσετετοέργοπουαπαιτείταιγιαναμετακινήσουμετοάλλοσώμααπότηθέσηόπου=Ra
στηθέση=Rb.

Β΄μέρος(ΠιθανότητεςκαιΣτατιστική)
Εισαγωγή

•
•
•
•
•

•
•
•
•
•
•
•
⋅⋅
⋅

•
•
•
••
•Νααποδειχθείμεχρήσητηςπολλαπλασιαστικήςαρχήςότι
•τοπλήθοςτωνδιατάξεωννδιαφορετικώνστοιχείων
ανάκείναι:
•τοπλήθοςτωνδιατάξεωνμεεπανάληψηνδιαφορετικών
στοιχείωνανάκ,είναινκ
.
•Γιατιςδιατάξειςμεεπανάληψηδεθαεισαχθεί
συμβολισμός.
•
••
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
•

•
•
•
•
•
•
•
•

•
•
•
•
•
•
•
•
()()()()∪∩
()()
()()()∩∩
⊆⇒≤
•
•

•
•
∩
•
•
•
•
•
⋅⋅
•

⋅
⋅⋅
•
•
•
•
•
•
•
()≥()∑∑
•
()≤
•≤

•
•
•
•
•
•
•ΝατονισθείησημασίατηςδοκιμασίαςBernoulliως
βασικήδιαδικασίαγιατημελέτητουαπλούστερουπειράματος
τύχηςμεδύοπιθανάενδεχόμενα.
•
•
•
∼
•∼

•
•
•
•
∼
•
•
•
•
•∼

•
•
•
•
•
•
•

•
•
•
•
()≤

•
•
o
o()≤
o≤≤≤≤
•
•

•
•
•
•
•
∼
•
•
•

•
()2
2
x-μ
-
2σ
1
f(x)=e
σ2π
∈
•

•
•

•∼
•
•
∼∼
•
•

≤≤
•
≤
•
•
•

•
•
•
•
•

•()()
2
22
Sxx=−
•
•Νααποδειχθεί,ωςεφαρμογή,ότι:
ΑνγιατιςτιμέςxiκαιyiδύομεταβλητώνXκαιYισχύειyi=αxi+β,
τότεγιατημέσητιμήκαιτηντυπικήαπόκλισητωνμεταβλητώνX
καιYθαισχύει:
⋅
•ΠροτείνεταιηΔ33.

•Οιμαθητέςπαροτρύνονταιναεμπλακούνσεστατιστικά
προβλήματατουκοινωνικούτουςπερίγυρουταοποίασυνδέονται
μετονπροσανατολισμότωνσπουδώντους.Παρουσιάζουνστην
τάξημικρέςδιερευνητικέςεργασίεςμεκύριοάξονατηΣτατιστική,
στιςοποίεςδιατυπώνουνστατιστικάερωτήματα,συλλέγουνκαι
αναλύουνδεδομένακαιερμηνεύουντααποτελέσματα.
•ΠροτείνεταιηΔ34.
4.3.1.νααποκτήσουνμιαπρώτηγνωριμία
μετηνέννοιατηςτυχαίαςδειγματοληψίας.•ΠροτείνετεηΔ35.
•Γιατουςστόχουςτουςκεφαλαίου4προτείνεταιηδραστηριότητα
Δ36μετηνυπόδειξηναεκπονηθείπαράλληλαμετους
αντίστοιχουςδιδακτικούςστόχους.
•Ότανέχουμεζεύγηπαρατηρήσεωνπουαντιστοιχούνσεδύο
μεταβλητέςτότετοδιάγραμμαδιασποράςαποτελείένα
οπτικόμέσομετοοποίομπορούμεναεξερευνήσουμετην
ύπαρξηήόχισυσχέτισης.

•Ότανδύομεταβλητέςσχετίζονται,στατιστικά,μεταξύτους
σημαίνειότιοιαλλαγέςστιςτιμέςτηςμιαςμεταβλητήςοδηγούν
σεαλλαγέςκαιστιςτιμέςτηςάλλης,ανάλογαμετοείδοςτης
συσχέτισης.Οιμεταβλητέςδεδιέπονταιαπαραίτητααπόμια
σχέσηαιτίας–αποτελέσματος.
•Ανηαύξησητηςμιαςμεταβλητήςοδηγείστηναύξησητηςάλλης,
τότεησυσχέτισηείναιθετική.Στηναντίθετηπερίπτωσηθα
ονομάζεταιαρνητική.Γιαπαράδειγμα,τούψοςτηςπαραγωγής
ενόςεργοστασίουείναιθετικάσυσχετισμένομετοσύνολοτων
ωρώνπουεργάζονταιοιυπάλληλοι.Αντίστοιχα,ηαπόστασησε
χιλιόμετραπουθαδιανύσειένααυτοκίνητοανάλίτροβενζίνης
είναιαρνητικάσυσχετισμένομετοβάροςτουαυτοκινήτου.
•ΟσυντελεστήςσυσχέτισηςτουPearsonαποτελείέναμέτροτου
βαθμούτηςγραμμικήςσυσχέτισηςμεταξύδύομεταβλητών.
•Ηυπόθεσηότιησχέσηαυτήείναιμιαευθείαγραμμήοδηγείστη

μελέτητουαπλούγραμμικούμοντέλου.
•Γιατουςστόχους5.1.1.,5.1.2και5.2.1προτείνεταιηΔ29.
•Οιμαθητέςθαπρέπειναμπορούννασχεδιάζουντηνευθεία
παλινδρόμησηςείτεεμπειρικά(μετομάτι)είτεμεχρήσηΤΠΕκαι
ναγνωρίζουνότιαυτήδιέρχεταιπάντααπότοσημείοM().
•Νατονισθείότιαπότηνευθείαπαλινδρόμησηςy=α+βxδεν
προκύπτειότιηευθείαx=είναιεπίσηςηευθεία
παλινδρόμησηςτουxπάνωστοy.
•Οιεκτιμήσειςτουyμετηνευθείαπαλινδρόμησηςy=α+βxείναι
αποδεκτέςότανχρησιμοποιήσουμετιμέςτουxμεταξύτης
ελάχιστηςκαιμέγιστηςτιμήςαπότοσύνολοτωνπαρατηρήσεων
(xi,yi)

•Γιατουςστόχους5.3.1.,5.3.2.5.3.3προτείνονταιηΔ30καιΔ31.
•Οιμαθητέςθαπρέπειναεκπονούνδιερευνητικέςδιεργασίες,να
κάνουνστατιστικέςαναλύσειςκαινασυντάσσουνμιασύντομη
αναφοράόπουθαπεριγράφουντιςμεθόδουςπουχρησιμοποίησαν
καιτααποτελέσματατους.
•Γιατοσκοπότουστόχου5.3.3.προτείνεταιηΔ32.

−⎧
=⎨
⎩

Α1Α2Α3Α4Α5Α6Α7Α8Α9Α10
Αριθμός
εβδομαδιαίων
πωλήσεωνCD(x)
1251722201869590176255163262
Αριθμόςμαθητών(y)50711028641387012071122

ΗδιδασκαλίατηςΜαθηματικήςΑνάλυσηςστοΛύκειοαποτελείτηνεισαγωγήτωνμαθητώνσεμιασημαντικήπεριοχήτωνΜαθηματικώνμεπλήθοςεφαρμογώνσεπολλούς
τομείςτωνμαθηματικώνκαθώςκαισεάλλεςεπιστήμες.
ΗΑνάλυσηαπαιτείτηνανάπτυξηενόςτρόπουσκέψηςποιοτικάδιαφορετικούαπόαυτόνπουγνώρισανοιμαθητέςστηνΆλγεβρακαιστηΓεωμετρία.Οπυρήναςαυτούτου
διαφορετικούτρόπουσκέψηςείναιοιάπειρεςδιαδικασίεςκαιοπροσδιορισμόςαγνώστωνποσοτήτωνμέσααπότηνπροσέγγισητουςοσοδήποτεκοντάαπόγνωστέςποσότητες.
ΜιαπρώτηεπαφήμετέτοιουτύπουδιαδικασίεςείχανοιμαθητέςστηνΕυκλείδειαΓεωμετρίαμετονυπολογισμότουεμβαδούκύκλου.Σεαντίθεσημετονυπολογισμότου
εμβαδούπολυγώνων,οοποίοςγίνεταιμεπεπερασμένεςδιαδικασίες(χωρισμόςτουπολυγώνουσεπεπερασμένατοπλήθοςπολύγωναγνωστούεμβαδού),στηνπερίπτωσητου
κύκλου,επειδήτέτοιουτύπουδιαδικασίαδενείναιαποτελεσματική,προσεγγίζουμετονκύκλοοσοδήποτεκοντάαπόκανονικάπολύγωνακαιέτσιυπολογίζουμετοεμβαδόντου.
Αυτήηδιαδικασίαυπολογισμούέχειωςβάσητηνέννοιατουορίου,ηοποίααποτελείτηνθεμελιώδηέννοιατηςΑνάλυσης.Ωστόσο,επειδήείναιμιαιδιαίτεραλεπτήέννοιακαι
οτυπικός«ε-δ»ορισμόςαντικειμενικάείναιδύσκολονακατανοηθείαπόμαθητέςτηςΔευτεροβάθμιαςΕκπαίδευσης,ηδιδασκαλίατηςΑνάλυσηςστοΛύκειοσυνήθως
περιορίζεταισεαπλήεφαρμογήτύπωνμεαξιοποίησηκυρίωςαλγεβρικώνδεξιοτήτωνκαιδενπεριλαμβάνειμιαουσιαστικήεισαγωγήστοντρόποσκέψηςαυτήςτηςμαθηματικής
περιοχής.Αποτέλεσμαμιαςτέτοιαςδιδασκαλίας,όπωςέχειπροκύψειαπόέρευνεςστηνΕλλάδακαιστοεξωτερικό,είναιέναμεγάλοποσοστόμαθητώνναδημιουργεί
παρανοήσειςκαινασχηματίζειλανθασμένεςαντιλήψειςκαιεικόνεςγιατιςέννοιεςκαιταθεωρήματατηςΑνάλυσης,μεσυνέπειανααντιμετωπίζουνσοβαράεμπόδιαστη
μετέπειταπορείατουςστηντριτοβάθμιαεκπαίδευση.
ΣκοπόςτηςδιδασκαλίαςτηςΜαθηματικήςΑνάλυσηςστοΛύκειοείναιναπροετοιμάσειτοέδαφοςγιαμιαπιοπροχωρημένημελέτητηςστοΠανεπιστήμιο.Μεδεδομένοότιο
τυπικόςορισμόςτουορίουκαιοιπερισσότερεςαποδείξειςτωνπροτάσεωνκαιτωνθεωρημάτωντηςΑνάλυσηςείναιεκτόςτουπλαισίουτωνμαθηματικώντουΛυκείου,γιανα
αποτελέσειηδιδασκαλίατηςμιαπραγματικήεισαγωγήστηνπεριοχήαυτή,πρέπεινασυμβάλλειστηνανάπτυξησωστώνδιαισθητικώναντιλήψεωναπότουςμαθητέςγιατις
έννοιες,τιςιδιότητεςτουςκαιταθεωρήματατηςΑνάλυσηςμέσααπότηνουσιαστικήχρήσηοπτικώναναπαραστάσεων.Γι’αυτόπρέπειναυπάρξειμιαισορροπίακαισύνδεση
τωντυπικώνλύσεωνκαιτωναντίστοιχωνοπτικώναναπαραστάσεωνμεστόχοτηνκατανόησητωνιδιοτήτωντηςΑνάλυσηςσεέναπρώτοδιαισθητικόεπίπεδο.
ΤονέοΠΣγιατηΜαθηματικήΑνάλυσηέχειωςκύριοστόχοτηνεννοιολογικήκατανόησησεένααρχικόεπίπεδο,μέσααπότηνανάπτυξησωστήςδιαισθητικήςαντίληψηςτων
βασικώνεννοιώνκαιθεωρημάτωντηςΜαθηματικήςΑνάλυσης,σεσυνδυασμόμετηνανάπτυξηδεξιοτήτωνγιατηλύσηπροβλημάτων.Γιατολόγοαυτό,ηεφαρμογήχωρίς
κατανόησηθεωρημάτωνγιαμηχανιστικούςυπολογισμούς,ηδιδασκαλίαεννοιώντωνοποίωνηκατανόησηδενείναιεύκοληαπότουςμαθητές(π.χ.αόριστοολοκλήρωμα),
καθώςκαιηανάπτυξητεχνικώνγιατηναντιμετώπισηδύσκολωνασκήσεων,χωρίςαυτόνασυνδυάζεταιμεκάποιαβαθύτερηκατανόηση,δενπροσφέρονταιγιατην
εξυπηρέτησητωνπαραπάνωστόχων.
ΟιβασικέςυποπεριοχέςτηςΜαθηματικήςΑνάλυσηςείναιοΔιαφορικόςΛογισμόςκαιοΟλοκληρωτικόςΛογισμός,ενώτακεντρικάστοιχείατηςπεριοχήςτηςΑνάλυσηςείναι
ταεξής:
Κεφάλαιο1:ΌριοκαιΣυνέχειασυνάρτησης
Στηνενότητααυτήγίνεταιαρχικάσύντομηανασκόπησητωνβασικώνστοιχείωντωνσυναρτήσεων(Ορισμός,Ισότητα,Πράξεις,Σύνθεση,Μονοτονία,Ακρότατα).Ακολούθως
γίνεταιεισαγωγήστοόριοσυνάρτησηςτοοποίοαποτελείτηβάσηγιατηνΑνάλυση.Μέσααπόκατάλληλαπαραδείγματαοιμαθητέςπρέπεινααναπτύξουνπλούσιες
αναπαραστάσειςγιατοόριοκαιτησυνέχεια.Οιτυπικέςαποδείξειςσειδιότητεςκαιασκήσεις,σεσυνδυασμόμετιςαντίστοιχεςαναπαραστάσεις,θασυμβάλουνουσιαστικά
στουςστόχουςπουαναφέρθηκανπαραπάνω.
Κεφάλαιο2:Παράγωγος

2100 ΕΦΗΜΕΡΙΣ ΤΗΣ ΚΥΒΕΡΝΗΣΕΩΣ (ΤΕΥΧΟΣ ΔΕΥΤΕΡΟ)Ηενότητατηςπαραγώγουείναιμίααπόαυτέςόπου,εκτόςαπότηνκατανόησητωνεννοιών,οιμαθητέςπρέπειναδουνκαινααντιμετωπίσουνεφαρμογέςσεπροβλήματα.Μέσα
απόπροβλήματαπουαφορούνστηνστιγμιαίαταχύτητα,στηνεπιτάχυνσηκινητού,στονρυθμόμεταβολής,κ.α.θαφανείηαποτελεσματικότητατωνεργαλείωντηςΑνάλυσηςσε
περιπτώσειςοιοποίεςδενμπορούννααντιμετωπιστούνμεάλλαεργαλεία.
Κεφάλαιο3:ΜελέτηΣυνάρτησης
Ησυγκεκριμένηενότηταξεκινάμεταβασικάθεωρήματατηςσυνέχειας,ταοποίαθαερμηνευθούνκαιγεωμετρικά.Ησημασίατωνσυμπερασμάτωντωνθεωρημάτωναυτώνθα
αναδειχθεί,μέσωεπιλογήςτωνκατάλληλωνεφαρμογών.Ακολουθείημελέτησυνάρτησηςμεχρήσητηςπαραγώγου,οπότεθαπροκύψουνταβασικάαποτελέσματασεσχέσημε
τημονοτονία,ταακρότατα,τηνκυρτότητα,τασημείακαμπήςκαι,τελικά,τηγραφικήπαράστασηςμιαςσυνάρτησης.Στηνκατεύθυνσηαυτήθαδίνονταιπραγματικά
προβλήματα,απόδιάφορεςεπιστημονικέςπεριοχές,σταοποίαθαζητείταιτομέγιστοήτοελάχιστομιαςσυνάρτησης.Έτσι,μέσωτηςμελέτηςσυνάρτησης,υλοποιείταιο
σημαντικότεροςστόχοςτηςδιδασκαλίαςτωνπαραγώγων.
Κεφάλαιο4:Τριγωνομετρικές,ΕκθετικέςκαιΛογαριθμικέςΣυναρτήσεις
Στηνενότητααυτήγίνεταιητελικήκαιολοκληρωμένηπαρουσίασητωντριγωνομετρικών,τωνεκθετικώνκαιτωνλογαριθμικώνσυναρτήσεων,πουοιμαθητέςέχουν
συναντήσεισεπροηγούμεναέτηστοΛύκειο.Οιπαραπάνωσυναρτήσειςμελετώνταιαναλυτικά,ωςπροςτησυνέχειακαιτηνπαραγωγισιμότητα,γιανααποτελέσουνένα
εξαιρετικάχρήσιμοεργαλείογιατονεμπλουτισμόπαραδειγμάτων,αλλάκαιτηνεπίλυσηπροβλημάτωντηςΑνάλυσης,καθώςβρίσκονταιστοσταυροδρόμιόπουσυναντώνται
διάφορεςεπιστημονικέςπεριοχές.
Κεφάλαιο5:ΟλοκληρωτικόςΛογισμός
Ηενότητατουολοκληρώματος(όπωςκαιτηςπαραγώγου)είναιμίααπόαυτέςόπου,εκτόςαπότηνκατανόησητωνεννοιών,οιμαθητέςπρέπειναδουνκαινααντιμετωπίσουν
εφαρμογέςσεπροβλήματα.Μέσααπόπροβλήματαπουαφορούνστηνεύρεσηεμβαδού,όγκουκ.α.θαφανείηαποτελεσματικότητατωνεργαλείωντουΑπειροστικούΛογισμού
σεπεριπτώσειςοιοποίεςδενμπορούννααντιμετωπιστούνμεάλλαεργαλεία.ΑξιοποιώνταςτιςΤΠΕ,θαγίνουναντιληπτέςέννοιες,όπωςτηςπαράγουσαςμιαςσυνάρτησης(και
κατ’επέκτασηόλωντωνβασικώνσυναρτήσεων),τουορισμένουολοκληρώματοςκαιεφαρμογώντουστονυπολογισμόεμβαδώνεπίπεδωνχωρίωνκαιόγκωνστερεώνεκ
περιστροφής.
Στηνενότητααυτή,αλλάκαισεόλεςτιςπροηγούμενες,θαπρέπεινααποφευχθείημηχανιστικήεφαρμογήδιαδικασιώνκαιτεχνικών,καθώςκαιασκήσεωνπουουσιαστικά
αφορούνενότητεςτηςΑνάλυσης,οιοποίεςδενπεριλαμβάνονταιστηνύλητηςΓ΄Λυκείου.Αυτάόχιμόνοδεσυμβάλουν,αλλάδημιουργούνσοβαράχρονικάεμπόδιαστην
επίτευξητωνουσιαστικώνστόχωντουμαθήματος.
Σεόλαταπαραπάνωκεφάλαιαεξετάζονταισυναρτήσειςπουορίζονταισεδιάστημαήσεένωσηδιαστημάτων.Επιπλέον,σταπρώτατρίακεφάλαιαταπαραδείγματα,οι
δραστηριότητεςκαιταπροβλήματααφορούνσεπολυωνυμικέςκαιρητέςσυναρτήσεις,σεσυναρτήσειςμεαπλάριζικά,καθώςκαισεσυναρτήσειςπουπροκύπτουναπόαυτέςμε
πράξειςήσύνθεση.Παραδείγματα,δραστηριότητεςκαιπροβλήματαπουαφορούνσετριγωνομετρικές,εκθετικέςκαιλογαριθμικέςσυναρτήσειςθαγίνουνγιαπρώτηφοράστο
τέταρτοκεφάλαιο,όπουμελετώνταιοισυναρτήσειςαυτές.
ΣτηδιδασκαλίατηςΑνάλυσηςουσιαστικόρόλομπορείναπαίξειηαξιοποίησητηςψηφιακήςτεχνολογίαςκαιιδιαίτεραταπαρεχόμεναλογισμικάΔυναμικήςΓεωμετρίας.
Έρευνεςέχουνδείξειότιηχρήσητέτοιωνλογισμικώνμπορείνασυμβάλλειουσιαστικάστηνανάπτυξητηςικανότηταςτωνμαθητώνναδιερευνούν,ναδημιουργούνεικασίεςκαι
γενικότεραστηνκατανόησητηςΑνάλυσηςκαιστηνικανότηταανάπτυξηςμαθηματικώνσυλλογισμών.Ωστόσο,ηεπιλογήαπότονκαθηγητήτουτρόπουεφαρμογήςτων
δυναμικώνεργαλείωνστηντάξη,καθώςκαιηεπιλογήτωνκατάλληλωνμαθηματικώνδραστηριοτήτων,καθορίζειτηναποτελεσματικότητααυτώντωνεργαλείωνστημάθηση.
Γιατησωστήεπιλογήμιαςδραστηριότηταςεπισημαίνεταιότι:
Μιαδραστηριότηταπρέπει:
•Ναείναικατανοητήαπόόλουςτουςμαθητέςκαιναμηνεπιτρέπειπαρανοήσειςκαιυπονοούμενα.
•Νααφήνειπεριθώριαγιαέρευνακαιαυτενέργεια.

•Ναενθαρρύνειτησυνεργατικότητακαιτηνομαδικήεργασία,προτρέπονταςτουςμαθητέςκαιτιςομάδεςσενοητικόανταγωνισμό.
•Ναμηνεπιτρέπειάμεσηπροσέγγισηστηλύση.
•Τοπρόβλημααπότοοποίοπροκύπτειηδραστηριότητα,ναείναιπλούσιοσεεμπλεκόμενεςέννοιες,ναείναισημαντικό,αλλάόχιδύσκολο,ώστεναμπορείομαθητήςνα
ανταπεξέλθει.
•Ηεργασίατουπροβλήματοςναμπορείναγίνει(όπουαυτόείναιδυνατό)σεδύοτουλάχιστονπλαίσια(π.χ.αριθμητικό,γραφικό),μεταξύτωνοποίωνομαθητήςθαμπορεί
νακάνειτιςκατάλληλεςαντιστοιχίσεις.
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
(Σύνολοωρών125)
ΣΤΟΧΟΙ
Οιμαθητέςναμπορούννα:
ΣΧΟΛΙΑ-ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ
•Είναισημαντικόοιμαθητέςνααναγνωρίζουντιςμεταβλητές
καιτιςπαραμέτρουςσεμιασυνάρτηση.
•ΠροτείνεταιηδραστηριότηταΔ1.
καιfg
=f(x)g(x)
>f(x)g(x)<f(x)g(x)
•ΠροτείνεταιηδραστηριότηταΔ2

=+yαxβ
2
=yαx
3
=yαx
α
y
x
=yx=
∈α,β
•Ημοντελοποίησηπρέπεινααφοράσεαπλάπροβλήματα,
ώστεοιμαθητέςναεστιάσουνστηναναγνώρισητων
μεταβλητώνκαιστησχέσηανεξάρτητηςκαιεξαρτημένης
μεταβλητής.
f
yf(x)=−,yf(x)=,()yfxc=+,
()yfxc=+,ycf(x)=,yf(cx)=,c∈
0
∈x•Ηεισαγωγήτηςέννοιαςτουορίουναγίνειμεεποπτικό
τρόπο,ώστεοιμαθητέςναοδηγηθούνστηδιατύπωσηενός
«διαισθητικού»ορισμούτουορίου.
0
x∈•Νατονισθείότι,γιαναέχεινόημαηαναζήτησητουορίου
μιαςσυνάρτησηςfσεσημείο0
∈xδεναπαιτείταιηfνα
είναιορισμένηστο0
x,αλλάναορίζεται«όσοθέλουμεκοντά
στο0
x»,δηλαδήηfναείναιορισμένησεένασύνολοτης
μορφής:
()()00
α,xx,β∪ή()0
α,xή()0
x,β
•Οιμαθητέςπρέπει,μέσααπόκατάλληλεςδραστηριότητες,να

αντιληφθούνότιτοόριομιαςσυνάρτησηςστο0
x∈δεν
εξαρτάταιαπότηντιμήτηςσυνάρτησηςστο0
x(ότανη
συνάρτησηορίζεταιστο0
x),αλλάαπότιςτιμέςτης«κοντά
στο0
x»
0
x∈
•Νατονισθείότιμιασυνάρτησηf,πουείναιορισμένησεένα
σύνολοτηςμορφής()()00
α,xx,β∪δενέχειόριοστο0
x,
στιςακόλουθεςδύοπεριπτώσεις:
α)υπάρχουνταδύοπλευρικάόριατηςfστο0
xκαιείναι
διαφορετικάμεταξύτους
β)ένατουλάχιστοναπόταδύοπλευρικάόριατηςfστο0
x
δενυπάρχει.
0
x∈
•Μετηβοήθειακατάλληλωναντιπαραδειγμάτωνοιμαθητές
ναδιαπιστώσουνότιηύπαρξητουορίουσυνάρτησηςπου
έχειπροκύψειαπόπράξειςσυναρτήσεωνδενσυνεπάγεταικαι
τηνύπαρξητουορίουτωνεπιμέρουςσυναρτήσεων.
0
x∈
0
x
0
∈x
0
x∈
•Είναισημαντικόοιμαθητέςναξεκαθαρίσουνότιτο+∞και
το−∞δενείναιπραγματικοίαριθμοίκαινακατανοήσουντη
λογικήμέσωτηςοποίαςκάποιεςπράξειςείναιεπιτρεπτέςκαι
κάποιεςάλλεςδενείναι.
0
x∈

•Ναγίνεισυσχέτισητουορίουσυνάρτησηςστο+∞μετοόριο
ακολουθίας.
∞+−∞
•Νατονισθείότιηασύμπτωτηστο+∞(αντιστοίχωςστο−∞)
τηςγραφικήςπαράστασηςμιαςσυνάρτησηςfμπορείναέχει
καικοινάσημείαμετηνf
C
http://webspace.ship.edu/msrenault/geogebracalculus/derivati
ve_at_a_point.html
οιμαθητέςμπορούνναεμπλακούνδιαδραστικάμετηνέννοια
τηςπαραγώγουσυνάρτησηςσεσημείο.
•Ναγίνειαναφοράστοορισμό:
()
()()
0h
fxhfx
fx
h
lim
→
+−
′=

()
()()
→
−
′=
−
()
()()
→
+−
′=
καινατονισθείορόλοςτωνxκαιhστονπαραπάνωτύπο.
Ναγίνει,επιπλέον,αναφοράκαιστοσυμβολισμότουLeibniz
•Μεχρήσηπαραδειγμάτωνσταοποίαηεφαπτομένηείτε
διαπερνάείτεέχειπερισσότερααπόένακοινάσημείαμετη
γραφικήπαράστασησυνάρτησης,νατονισθείητοπικήέννοια
τηςεφαπτομένης.
•Ναδιδαχθείκαιηπερίπτωσηκατακόρυφηςεφαπτομένης.
•Νααποδειχθείότιανμιασυνάρτησηείναιπαραγωγίσιμησε
ένασημείο0
xτότεείναικαισυνεχήςστοσημείοαυτό.
ve_as_a_function.html
οιμαθητέςμπορούνναεμπλακούνδιαδραστικάμετηνέννοια
τηςπαραγώγουσυνάρτησης.
•Ναβρεθούν,μεχρήσητουορισμού,οιπαράγωγοιτων
συναρτήσεων:
,fxcc,()fxx=,()2
fxx=και()fxx=.
ve_elementary_functions.html
οιμαθητέςμπορούνναεμπλακούνδιαδραστικάμετον
υπολογισμότωνπαραγώγωντωνβασικώνσυναρτήσεων.
•Ναμηδιδαχθείηαπόδειξητηςπαραγώγουπηλίκου.
•Νατονισθείότιτοπρόσημοτουρυθμούμεταβολήςστο

0
xφανερώνειτην«τάση»πουέχειτομέγεθος()yfx=να
μεταβληθείστηθέση0
x.Έτσι:
1.Θετικόςρυθμόςμεταβολήςδηλώνειαύξηση.
2.Αρνητικόςρυθμόςμεταβολήςδηλώνειμείωση.
3.Μηδενικόςρυθμόςμεταβολήςδηλώνειστασιμότητα.
Μετηλογικήαυτήεμφανίζονταιταπρόσημαστους
αλγεβρικούςτύπουςπουπροκύπτουνκατάτηνεπίλυση
•ΠροτείνονταιοιδραστηριότητεςΔ11,Δ12.
3.1.1.•ΝαδιατυπωθείτοθεώρημαBolzanoκαιστησυνέχειανααποδειχθ
τοθεώρημαενδιάμεσωντιμών,κατάτηναπόδειξητουοποίου
αναφερθείότιησυνάρτησημετατοπίζεταικατάλληλαώστε
εφαρμόζεταιτοθεώρημαBolzano.
•Μέσωκατάλληλωνδραστηριοτήτωνναδοθούνωςσυμπεράσμα
τουθεωρήματοςενδιάμεσωντιμώνοιπροτάσειςμετιςοπο
βρίσκουμετοσύνολοτιμώνμιαςσυνεχούςκαιγνησίωςμονότονης
διάστημασυνάρτησης.
3.1.2.ΧρησιμοποιούντοΘεώρημαBolzanoκαιτοθεώρημα
ΕνδιάμεσωνΤιμώνγιαναλύνουνπροβλήματα(π.χ.
πρόσημοσυνάρτησηςκαιύπαρξηρίζαςσεδιαστήματατου
πεδίουορισμούτης,σύνολοτιμώνμιαςσυνεχούςκαι
γνησίωςμονότονηςσυνάρτησηςσεδιαστήματατουπεδίου
ορισμούτης).
3.2.1.Αποφαίνονταιγιατοανμίασυνάρτησηείναιγνησίως
αύξουσαήγνησίωςφθίνουσαήσταθερή,σεέναδιάστημα
Δ,χρησιμοποιώνταςτοαντίστοιχοκριτήριομονοτονίας,
καιπροσδιορίζουντοσύνολοτιμώντηςκαιτιςρίζεςτης.
•Τακριτήριαμονοτονίαςσυνάρτησης,δηλαδήτακριτήριαγιαγνησί
αύξουσες,γνησίωςφθίνουσεςκαισταθερέςσυναρτήσεις,ναδοθο
χωρίςαπόδειξη,αλλάναυποστηριχθούνδιαισθητικάμεχρήσητω
ΤΠΕ
•Μετηβοήθειακατάλληλωναντιπαραδειγμάτωνοιμαθητές
διαπιστώσουνότιδενισχύειτοαντίστροφοτωνκριτηρίωνγια
γνησίωςμονότονεςσυναρτήσεις.
3.2.2.Χρησιμοποιούντημονοτονίασυναρτήσεωνγιαναλύνουν•Γιατουςστόχους3.2.1.και3.2.2.προτείνεταιηδραστηριότηταΔ14

εξισώσειςκαιανισώσειςτηςμορφής
()()()()fgxfhx=,()()fgx=και
()()()()fgxfhx>,()()fgx>.
3.2.3.Αποφαίνονταιγιατοανδύοσυναρτήσειςδιαφέρουνκατά
σταθερήποσότητασεέναδιάστημαΔ,χρησιμοποιώντας
τοαντίστοιχοκριτήριο.
•Ναδοθείέμφασηστησχέσηπουσυνδέεισυναρτήσειςπουείν
συνεχείςσεέναδιάστημακαιέχουνίσεςπαραγώγουςστοεσωτερι
αυτού..
•ΝααποδειχθείτοθεώρημαFermatκαιναυποστηριχθείδιαισθητι
μεχρήσητωνΤΠΕ.
•Νααποδειχθείησχέσηπουσυνδέειτημονοτονίακαιτην
παράγωγομετατοπικάακρότατα.
•Ηεισαγωγήτηςέννοιαςτηςγνήσιαςκυρτής/κοίληςσυνάρτησης
γίνειγεωμετρικάκαιστησυνέχειαναδοθεί,χωρίςαπόδειξη,
συνθήκηκυρτότηταςσυνάρτησηςσεδιάστημα(Μονοτονίατης1
παραγώγου),ηοποίαόμωςναυποστηριχθείδιαισθητικάμεχρή
τωνΤΠΕ.
•Ναμελετηθούνσυναρτήσειςοιοποίεςείναιδύοφορέςπαραγωγίσιμ
στοπεδίοορισμούτους.
(4ώρες]
1.Τριγωνομετρικέςσυναρτήσεις
(7ώρες)
•Κριτήριασύγκρισηςγιαταόρια4.1.1.Εφαρμόζουντακριτήριασύγκρισηςγιαταόριαστον
υπολογισμόορίωνσυναρτήσεων.
•Ναδιατυπωθούν,αλλάναμηναποδειχθούν,ταπαρακάτωτρ
κριτήριασύγκρισηςγιαταόρια:
i)Τοκριτήριοπαρεμβολής

ii)Τοκριτήριοεύρεσηςτουορίουστο{0
x,∈∪−∞+∞
συνάρτησηςf,πουείναικάτωφραγμένηκοντάστο0
xα
συνάρτησηgηοποίαέχειστο0
xόριοτο+∞.
iii)Τοκριτήριοεύρεσηςτουορίουστο{0
x,∈∪−∞+∞
συνάρτησηςf,πουείναιάνωφραγμένηκοντάστο0
xα
συνάρτησηgηοποίαέχειστο0
xόριοτο−∞.
Γιατηνπαρουσίασητωνπαραπάνωκριτηρίωνπροτείνεταιναγίν
χρήσητωνΤΠΕ.
•Συνέχειατριγωνομετρικών
συναρτήσεων
•Νααποδειχθείησυνέχειατωντριγωνομετρικώνσυναρτήσεων..
•Παράγωγοςτριγωνομετρικών
συναρτήσεων
4.1.3.Υπολογίζουνπαραγώγουςσυναρτήσεωνπουείναι
αποτέλεσμαπράξεωνήκαισυνθέσεωντριγωνομετρικών
συναρτήσεωνμεάλλεςσυναρτήσεις
•Ναυπολογισθούνοιπαράγωγοιτωντριγωνομετρικώνσυναρτήσεων
i)Γιατονυπολογισμότηςπαραγώγουτηςσυνάρτησηςyημx=
γίνειχρήσητουορίου:
0
lim1
x
ημx
x→
=,
τοοποίοθαδοθείχωρίςαπόδειξη.
ii)Γιατονυπολογισμότηςπαραγώγουτηςσυνάρτησηςyσυ=
προτείνεταιναγίνειχρήσητηςταυτότητας:
γιακάθε
2
π
συνxημx,x=−∈
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
.
•ΠροτείνεταιηδραστηριότηταΔ18,μεσκοπόνακατανοήσουν
μαθητέςότι:
1.Ηπαράγωγοςμιασυνάρτησηςδενείναιπάντασυνεχής.
2.Ενδέχεταιμιασυνάρτησηfναπαρουσιάζειακρότατοσεκάπο
εσωτερικόσημείο0
xτουπεδίουορισμούτης,χωρίςνααλλάζει
μονοτονίατηςσυνάρτησηςεκατέρωθεντου0
x,όσοκοντάκαι
βρεθούμεστοσημείοαυτό.

•Μελέτηκαιχάραξητων
γραφικώνπαραστάσεωντων
τριγωνομετρικώνσυναρτήσεων.
4.1.4.Βρίσκουντηνπερίοδο,τοείδοςμονοτονίαςκαιταολικά
ακρότατα(ανυπάρχουν)τωντριγωνομετρικών
συναρτήσεωνκαιείναισεθέσηναχαράξουντηγραφική
τουςπαράστασησεδιάστημαπλάτουςμιαςπεριόδου
•Ναμελετηθούνκαιναπαρασταθούνγραφικάοισυναρτήσ
yημx=,yσυνx=,yεφx=καιyσφx=.
•Ησυνάρτηση
f(t)αημ(ωtφ)β=⋅++
4.1.5.Μετατρέπουνκάθεσυνάρτησητηςμορφής:
f(t)αημ(ωtφ)β=⋅++
σεκατάλληλημορφή,ώστεναμπορούνναβρίσκουντην
περίοδότηςκαιχαράσσουντηγραφικήτηςπαράστασημε
κατάλληλημετατόπισητηςγραφικήςπαράστασηςτης
f(t)αημωt=⋅.
•Ναδοθούνπαραδείγματαόπως:
2f(t)ημt=,2
3
π
g(t)ημt=−
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
και32
6
π
h(t)συνt=+
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
•Ναγίνειαναφοράσεκυκλώματαήταλαντώσεις.Ωςεφαρμο
προτείνεταιηδραστηριότηταΔ19
2.ΕκθετικέςΣυναρτήσεις(6ώρες)
•
α01α<≠
−∞+∞
α
()0,+∞
•Παράγωγοςτηςεκθετικής
συνάρτησης(=
x
ye).
4.2.1.Υπολογίζουνπαραγώγουςσυναρτήσεωνπουείναι
αποτέλεσμαπράξεωνήκαισυνθέσεωντηςεκθετικής
συνάρτησηςμεάλλεςσυναρτήσεις.
•Ναδοθείχωρίςαπόδειξη,αλλάναυποστηριχθείδιαισθητικά
χρήσητωνΤΠΕ,ηανισότητα
1γιακάθε
x
ex,x≥+∈
Μετηνβοήθειατηςπαραπάνωανισότηταςνααποδειχθείότι:
0
1
1
x
x
e
lim
x→
−
=
καιστησυνέχειαότιηεκθετικήσυνάρτησηείναιπαραγωγίσιμηκ
ναυπολογισθείηπαράγωγόςτης.
•Μελέτηκαιχάραξητης
γραφικήςπαράστασηςτης
εκθετικήςσυνάρτησης
4.2.2.Μελετούνκαιναχαράσσουντιςγραφικέςπαραστάσεις
συναρτήσεωνπουείναιαποτέλεσμαπράξεωνήκαι
συνθέσεωντηςεκθετικήςσυνάρτησηςμεάλλες
συναρτήσεις.

2110 ΕΦΗΜΕΡΙΣ ΤΗΣ ΚΥΒΕΡΝΗΣΕΩΣ (ΤΕΥΧΟΣ ΔΕΥΤΕΡΟ)4.2.3.Λύνουνπροβλήματαεκθετικήςμεταβολής(αύξησης&
απόσβεσης).
•Νααποδειχθείότι:
«Ησυνάρτηση
x
ye=είναιημοναδικήσυνάρτησηfγιατηνοπο
ισχύειffκαι()01f=»
καιγενικότεραότι:
«Αν∈kείναιμιασταθερά,τότεοισυναρτήσειςαυτήςμορφής:
kx
yce=,μεc∈,
είναιοιμοναδικέςσυναρτήσειςfγιατηνοποίεςισχύει:
()(),γιακάθεfxkfxx′=⋅∈».
•Ωςεφαρμογήαυτήςπρότασηςαυτήςπροτείνεταιηδραστηριότη
Δ20
•Μελέτηκαιχάραξητης
γραφικήςπαράστασηςτης
εκθετικήςσυνάρτησηςμεβάση
α,όπου01<≠α
4.2.4.Χαράσσουντηγραφικήπαράστασητης
συνάρτησηςμε01
x
yα,α=<≠,σεκάθεμίααπότις
παρακάτωπεριπτώσεις:
α)όταν1α>και
β)όταν01α<<
καιναανακαλούνστημνήμητιςιδιότητέςτης.
3.Ηλογαριθμικήσυνάρτηση
(=ylnx)(6ώρες)
•Ηέννοιατηςλογαριθμικής
συνάρτησης
•Ναορισθείωςλογαριθμικήσυνάρτησηησυνάρτησηπουκάθεθετι
πραγματικόαριθμότοναπεικονίζειστονφυσικότουλογάριθμ
δηλαδήησυνάρτηση:
()0+∞→g:,,μεg(x)lnx=.
•Νααποδειχθείότιηγραφικήπαράστασητηςλογαριθμικ
συνάρτησης,g(x)lnx=,είναισυμμετρικήτηςγραφικ
παράστασηςτηςεκθετικήςσυνάρτησης,
x
f(x)e=,ωςπρος
διχοτόμο,yx=,της1ης
και3ης
γωνίαςτωναξόνων.
•Παράγωγοςτηςλογαριθμικής
συνάρτησης.
4.3.1.Υπολογίζουνόριακαιπαραγώγουςσυναρτήσεωνπουείναι
αποτέλεσμαπράξεωνήκαισυνθέσεωντηςλογαριθμικής
συνάρτησηςμεάλλεςσυναρτήσεις.
•Νααποδειχθείότι:
1
1
1x
lnx
lim
x→
=
−
καιστησυνέχειαότιηλογαριθμικήσυνάρτησηείναιπαραγωγίσι

φεκ 162 β

Recommended

Recommended

More Related Content

Viewers also liked

Viewers also liked (11)

More from Lia Papapetrou-2nd Geniko Lykeio Echedorou

More from Lia Papapetrou-2nd Geniko Lykeio Echedorou (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (20)

φεκ 162 β