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1. 11 Le deformazioni elastiche 11.2 Travi isostatiche: il calcolo della deformazione 1
11.2.2 Travi appoggiate
E S E R C I Z I S V O LT I
La trave rappresentata in figura a è gravata di un carico uniformemente ripartito q = 18 kN/m ed è realizzata con il pro-
1 filato IPE 200.
Si richiedono i calcoli della rotazione sugli appoggi e della freccia in mezzeria.
Considerando la simmetria strutturale e di carico risulta:
q ⋅ (l + 2 ⋅ a) 147,60
RA = RB = = = 73,80 kN
2 2
2. Calcolo della sollecitazione di sforzo di taglio
Considerando la simmetria strutturale e di carico si ha:
V1 = V2 = 0
VA = − VB = − q ⋅ a = − 18 × 1,80 = − 32,40 kN
s d
VA = − VB = VA + RA = − 32,40 + 73,80 = 41,40 kN
d s s
Lo sforzo di taglio si annulla in mezzeria della campata e sugli
appoggi.
3. Calcolo della sollecitazione di momento flettente
Momento flettente sugli appoggi
q ⋅ a2 18 ×1,802
MA = MB = − =− = − 29,16 kN m
2 2
Momento flettente in campata
⎛ l ⎞2
⎜a+ ⎟
l ⎝ 2⎠ =
M l = RA ⋅ − q ⋅
2 2 2
q ⋅(l + 2 ⋅ a) l q ⋅(l + 2 ⋅ a)2 q ⋅ l 2 q ⋅ a2
= ⋅ − = −
2 2 8 8 2
Ciò significa che l’ordinata massima del momento flettente
positivo è data dal valore del momento che si ha sulla trave
considerata priva di sbalzi, dalla quale viene dedotto il mo-
mento negativo sugli appoggi:
18 × 4,602
Ml = − 29,16 = 18,45 kN m
2 8
a
4. Calcolo della rotazione sugli appoggi
Dal sagomario si ricava il momento d’inerzia del profilato
1. Calcolo delle reazioni vincolari
Ix = 1943 cm4.
Σ Px = 0 Si immagina di sopprimere gli sbalzi alle estremità sostituen-
quindi: doli con i relativi momenti uguali MA ed MB; la rotazione sugli
appoggi, uguale per entrambi, si ottiene come somma alge-
HA = 0 brica [fig. b] della rotazione αq determinata dal solo carico q, e
Σ Py = 0 da quella αm prodotta sulla trave, considerata scarica, dai mo-
RA + RB − q ⋅ (l + 2 ⋅ a) = 0 menti MA ed MB agenti alle estremità, ossia:
RA + RB = 18 × (4,60 + 2 × 1,80) = 147,60 kN α = αq + αm
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2. 11 Le deformazioni elastiche 11.2 Travi isostatiche: il calcolo della deformazione 2
11.2.2 Travi appoggiate
In base alle formule [7] e [12] prima ricavate si ha: 0e quindi sostituendo le formule si ha:
q⋅l 3
M ⋅l q⋅l 3
q ⋅a2
l 5 q ⋅ l4 M A ⋅ l2 5 q ⋅ l 4 q ⋅ a2 l2
α= + A = − ⋅ = f= ⋅ + = ⋅ − ⋅ =
24 ⋅ E ⋅ I 2 ⋅ E ⋅ I 24 ⋅ E ⋅ I 2 2⋅E⋅I 384 E ⋅ I 8⋅ E ⋅ I 384 E ⋅ I 2 8⋅ E ⋅ I
q⋅l 180 × 460 q ⋅ l2
= ⋅(l 2 − 6 ⋅ a2 ) =
0
× = ⋅(5⋅ l 2 − 24 ⋅ a2 ) =
24 ⋅ E ⋅ I 24 × 21 × 106 × 1943 384 ⋅ E ⋅ I
× (4602 − 6 × 1802) ≈ 0,0014543 rad 180 × 4602
= × (5 × 4602 − 24 × 1802) ≈
384 × 21 × 10 × 1943
6
5. Calcolo dell’abbassamento in mezzeria
Con ragionamento uguale a quello seguito per il calcolo della ≈ 0,6816 cm = 6,816 mm
rotazione, l’abbassamento in mezzeria è dato da [fig. b]:
f = fq + fm
b
Una trave continua su tre appoggi con luci uguali l = 5,00 m è gravata di un carico ripartito uniforme q = 30 kN/m.
2 Si richiede il valore della reazione vincolare RB.
Si immagina di sopprimere l’appoggio B sostituendolo con la
forza RB, che rappresenta la reazione incognita.
a
Poiché in B non si deve avere alcuna traslazione verticale, la
somma algebrica dell’abbassamento fq [fig. b], dovuto al ca-
rico q agente sulla trave considerata appoggiata in A e C, e
dell’innalzamento [fig. c], che la stessa trave scarica avrebbe
per l’azione della forza RB, deve essere nulla, ossia:
fq − fB = 0
Sostituendo le relative formule:
b 5 q ⋅ (2 ⋅ l) 4 RB ⋅ (2 ⋅ l)3
⋅ − =0
384 E⋅I 48⋅ E ⋅ I
10 ⋅ q ⋅ l − 8 ⋅ RB = 0
10 10
c RB = ⋅q⋅l = × 30 × 5,00 = 187, 50 kN
8 8
osservazione
Le relazioni come fq − fB = 0 vengono definite equazioni di elasticità o equazioni di congruenza in quanto impongono che le deforma-
zioni elastiche della trave siano compatibili con lo schema strutturale della trave stessa.
Mentre nelle strutture isostatiche si hanno le equazioni della statica che mettono in relazione le forze o i momenti, le equazioni di elasticità
mettono in relazione fra loro le deformazioni in modo da rispettare lo schema iniziale della trave.
Le equazioni di elasticità verranno trattate con sufficiente approfondimento nelle prossime Unità in quanto, con quelle della statica, consen-
tiranno di risolvere i problemi iperstatici.
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3. 11 Le deformazioni elastiche 11.2 Travi isostatiche: il calcolo della deformazione 3
11.2.2 Travi appoggiate
La trave riportata in figura, semplicemente appoggiata agli estremi, è soggetta a un carico ripartito uniforme q = 25 kN/m
3 0
parziale, disposto nel tratto centrale in posizione simmetrica, ed è prevista in profilato IPE 360.
Si richiede:
■ calcolo delle reazioni vincolari;
■ calcolo degli sforzi di taglio e del momento flettente massimo;
■ calcolo delle rotazioni massime e della freccia in mezzeria.
3. Calcolo della sollecitazione di momento flettente
MA = MB = 0
q ⋅ b ⋅ a 25 × 4, 00 ×1, 50
M C = M D = RA ⋅ a = = = 75 kN m
2 2
a l b b q ⋅ b l q ⋅ b2 q ⋅ b
M l = RA ⋅ − q ⋅ ⋅ = ⋅ − = ⋅(2 ⋅ l − b) =
2 2 2 4 2 2 8 8
25 × 4,00
= × (2 × 7,00 − 4,00) = 125 kN m
8
Dalla tabella dei profilati si ricava il valore del momento d’i-
nerzia Ix = 16 270 cm4.
4. Calcolo delle rotazioni massime
b Il diagramma dei momenti presenta un andamento rettilineo
in corrispondenza dei tratti AC e DB e parabolico nel tratto
centrale CD sul quale insiste il carico ripartito [fig. c].
Per il calcolo delle reazioni fittizie A* = B*, il diagramma si
può considerare formato dal trapezio EFGH, la cui altezza è
costituita dal momento MC = MD, e dalla parabola FLG con
altezza h:
q ⋅ b2
h = PL =
8
c Le reazioni fittizie risultano quindi:
b + l q ⋅b ⋅a l 2 q ⋅b2 l
A *⋅ l − ⋅ ⋅ − ⋅b ⋅ ⋅ =0
2 2 2 3 8 2
0Dividendo per l, sviluppando e semplificando si ha:
Essendo la trave simmetrica e simmetricamente caricata, le
q ⋅ b ⋅ a⋅(b + l) q ⋅ b3
rotazioni delle sezioni estreme A e B sono uguali, mentre la A* = +
freccia massima si verifica nella sezione di mezzeria [fig. a]. 8 24
e per la simmetria strutturale e di carico:
1. Calcolo delle reazioni vincolari
q⋅b
Per la doppia simmetria strutturale e di carico, si ha: A* = B* = ⋅(3⋅ l 2 − b2 )
48
q ⋅ b 25 × 4, 00
RA = R B = = = 50 kN Pertanto le rotazioni valgono:
2 2
mentre: A* q⋅b
α=β= = ⋅(3⋅ l 2 − b2 )
0
HA = 0 E ⋅ I 48⋅ E ⋅ I
2. Calcolo della sollecitazione di sforzo di taglio e con i valori numerici:
VA = VB = 0
s d 250 × 400
α=β= × (3 × 7002 − 4002) ≈
V = − V = RA = 50 kN
d
A
s
B
48 × 21 × 106 × 16 270
VC = − VD = VA = 50 kN
d α = β ≈ 0,00799 rad
Lo sforzo di taglio si annulla nella sezione di mezzeria [fig. b].
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4. 11 Le deformazioni elastiche 11.2 Travi isostatiche: il calcolo della deformazione 4
11.2.2 Travi appoggiate
5. Calcolo della freccia massima
Il momento flettente fittizio viene calcolato rispetto alla sezione di mezzeria della trave dove si verifica il momento massimo
reale.
Pertanto si considera metà del diagramma dei momenti che risulta formato dal triangolo EFN, dal rettangolo NOPF e dalla se-
miparabola FLP [fig. c]. Si ha quindi:
q⋅b⋅a ⎛ a + b⎞ ⎤ − ⎡b ⋅ q⋅b⋅a ⋅ b + 2 ⋅ q⋅b ⋅ b ⋅ 3 ⋅ b ⎤
2
M* = ⎛ A* ⋅ ⎞ − ⎡ ⋅ a ⋅
l 1
⎝ 2 ⎠ ⎢2
⎣ 2
⎥ ⎢
⎝ 3 2⎠ ⎦ ⎣2 2 4 3 8 2 8 2⎦
⎥
l−b
e ponendo a = , sviluppando e semplificando si ottiene:
2
q⋅b ⎛ 3
⋅ 2 ⋅ l − b2 ⋅ l + ⎞
b3
M* =
96 ⎝ 4⎠
Pertanto la freccia è data da:
q⋅b ⎛ 3
⋅ 2 ⋅ l − b2 ⋅ l + ⎞
M* b3
f= =
E ⋅ I 96 ⋅ E ⋅ I ⎝ 4⎠
e sostituendo i valori numerici:
250 × 400 4003 ⎞
f= × ⎛ 2 × 7003 − 4002 × 700 + ≈ 1,80 cm > fmax = 1,40 cm
96 × 21 × 10 × 16 270
6 ⎝ 4 ⎠
valore superiore del 31% rispetto a quello ammissibile; come si è già fatto rilevare, specie nelle strutture in acciaio, la trave è
verificata a flessione, ma non a deformazione, in funzione della quale deve essere nuovamente dimensionata in quanto occorre
una sezione maggiore.
Ricavando il momento d’inerzia dalla formula che fornisce la freccia e ponendo quella ammissibile si ha:
q⋅b
⋅ ⎛ 2 ⋅ l3 − b2 ⋅ l + ⎞ =
b3
I=
96 ⋅ E ⋅ fam ⎝ 4⎠
250 × 400
× ⎛ 2 × 7003 − 4002 × 700 +
4003 ⎞
= ≈ 20 904,20 cm4
0
96 × 21 × 10 × 1,40 ⎝
6
4 ⎠
per cui occorre un profilato IPE 400 con Wx = 1160 cm3 e Ix = 23 130 cm4, superiore a quello previsto.
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