1. Рекуррентные последовательности второго порядка

2. Рекуррентные последовательности второго порядка
αb (0) = 0 αb (1) = 1 αb (n+2) = bαb (n+1)−αb (n) b≥2

3. Рекуррентные последовательности второго порядка
αb (0) = 0 αb (1) = 1 αb (n+2) = bαb (n+1)−αb (n) b≥2
0 < 1 < αb (2) < · · · < αb (n) < αb (n + 1) < . . .

4. Диофантовость последовательности αb (k)
Основная лемма. Существует многочлен Q(x, b, k, x1 , . . . , xm )
такой что
b ≥ 4 & x = αb (k) ⇐⇒ ∃x1 . . . xm {Q(x, b, k, x1 , . . . , xm ) = 0}

5. Диофантовость последовательности αb (k)
Основная лемма. Существует многочлен Q(x, b, k, x1 , . . . , xm )
такой что
b ≥ 4 & x = αb (k) ⇐⇒ ∃x1 . . . xm {Q(x, b, k, x1 , . . . , xm ) = 0}
(b − 1)n ≤ αb (n + 1) ≤ bn ≤ αb+1 (n + 1) ≤ (b + 1)n

6. Матричное представление
αb (0) = 0 αb (1) = 1 αb (n + 2) = bαb (n + 1) − αb (n)

7. Матричное представление
αb (0) = 0 αb (1) = 1 αb (n + 2) = bαb (n + 1) − αb (n)
αb (n + 1) −αb (n)
Ab (n) =
αb (n) −αb (n − 1)

8. Матричное представление
αb (0) = 0 αb (1) = 1 αb (n + 2) = bαb (n + 1) − αb (n)
αb (n + 1) −αb (n)
Ab (n) =
αb (n) −αb (n − 1)
Ab (n + 1) = Ab (n)Ψb

9. Матричное представление
αb (0) = 0 αb (1) = 1 αb (n + 2) = bαb (n + 1) − αb (n)
αb (n + 1) −αb (n)
Ab (n) =
αb (n) −αb (n − 1)
Ab (n + 1) = Ab (n)Ψb
b −1
Ψb =
1 0

10. Матричное представление
αb (0) = 0 αb (1) = 1 αb (n + 2) = bαb (n + 1) − αb (n)
αb (n + 1) −αb (n)
Ab (n) =
αb (n) −αb (n − 1)
Ab (n + 1) = Ab (n)Ψb
b −1
Ψb =
1 0

11. Матричное представление
αb (0) = 0 αb (1) = 1 αb (n + 2) = bαb (n + 1) − αb (n)
αb (n + 1) −αb (n)
Ab (n) =
αb (n) −αb (n − 1)
Ab (n + 1) = Ab (n)Ψb
b −1
Ψb =
1 0
Ab (n + 1) = Ab (n)Ψ

12. Характеристическое уравнение
2
det(Ab (n)) = αb (n) − αb (n + 1)αb (n − 1)

13. Характеристическое уравнение
2
det(Ab (n)) = αb (n) − αb (n + 1)αb (n − 1)
2 2
= αb (n + 1) − bαb (n + 1)αb (n) + αb (n)

14. Характеристическое уравнение
2
det(Ab (n)) = αb (n) − αb (n + 1)αb (n − 1)
2 2
= αb (n + 1) − bαb (n + 1)αb (n) + αb (n)
2 2
= αb (n − 1) − bαb (n − 1)αb (n) + αb (n)
= det(Ψn )
b

15. Характеристическое уравнение
2
det(Ab (n)) = αb (n) − αb (n + 1)αb (n − 1)
2 2
= αb (n + 1) − bαb (n + 1)αb (n) + αb (n)
2 2
= αb (n − 1) − bαb (n − 1)αb (n) + αb (n)
= det(Ψn )
b
= (det Ψb )n

16. Характеристическое уравнение
2
det(Ab (n)) = αb (n) − αb (n + 1)αb (n − 1)
2 2
= αb (n + 1) − bαb (n + 1)αb (n) + αb (n)
2 2
= αb (n − 1) − bαb (n − 1)αb (n) + αb (n)
= det(Ψn )
b
= (det Ψb )n

17. Характеристическое уравнение
2
det(Ab (n)) = αb (n) − αb (n + 1)αb (n − 1)
2 2
= αb (n + 1) − bαb (n + 1)αb (n) + αb (n)
2 2
= αb (n − 1) − bαb (n − 1)αb (n) + αb (n)
= det(Ψn )
b
= (det Ψb )n

18. Характеристическое уравнение
2
det(Ab (n)) = αb (n) − αb (n + 1)αb (n − 1)
2 2
= αb (n + 1) − bαb (n + 1)αb (n) + αb (n)
2 2
= αb (n − 1) − bαb (n − 1)αb (n) + αb (n)
= det(Ψn )
b
= (det Ψb )n
= 1

19. Характеристическое уравнение
2
det(Ab (n)) = αb (n) − αb (n + 1)αb (n − 1)
2 2
= αb (n + 1) − bαb (n + 1)αb (n) + αb (n)
2 2
= αb (n − 1) − bαb (n − 1)αb (n) + αb (n)
= det(Ψn )
b
= (det Ψb )n
= 1
x 2 − bxy + y 2 = 1

20. Характеристическое уравнение
2
det(Ab (n)) = αb (n) − αb (n + 1)αb (n − 1)
2 2
= αb (n + 1) − bαb (n + 1)αb (n) + αb (n)
2 2
= αb (n − 1) − bαb (n − 1)αb (n) + αb (n)
= det(Ψn )
b
= (det Ψb )n
= 1
x 2 − bxy + y 2 = 1
x = αb (n + 1) x = αb (n − 1)
y = αb (n) y = αb (n)

21. Характеристическое уравнение
Лемма. Если x 2 − bxy + y 2 = 1, то найдется число n такое, что
x = αb (n + 1) x = αb (n)
или же
y = αb (n) y = αb (n + 1)

22. Характеристическое уравнение
Лемма. Если x 2 − bxy + y 2 = 1, то найдется число n такое, что
x = αb (n + 1) x = αb (n)
или же
y = αb (n) y = αb (n + 1)
Лемма. Если x 2 − bxy + y 2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n
такое, что x = αb (n + 1), y = αb (n).

23. Свойства делимости
Лемма.
2
αb (k) | αb (m) ⇔ kαb (k) | m

24. Свойства делимости
Лемма.
2
αb (k) | αb (m) ⇔ kαb (k) | m

25. Сравнение последовательностей
αb (0) = 0 αb (1) = 1 αb (n + 2) = b αb (n + 1) − αb (n)
αb (0) = 0 αb (1) = 1 αb (n + 2) = b αb (n + 1) − αb (n)
b ≡ b (mod b − b )

26. Сравнение последовательностей
αb (0) = 0 αb (1) = 1 αb (n + 2) = b αb (n + 1) − αb (n)
αb (0) = 0 αb (1) = 1 αb (n + 2) = b αb (n + 1) − αb (n)
b ≡ b (mod b − b )
αb (n) ≡ αb (n) (mod b − b )

27. Функции rem и arem
z = rem(y , x) ⇐⇒ y ≡ z (mod x)&z ≤ x − 1

28. Функции rem и arem
z = rem(y , x) ⇐⇒ y ≡ z (mod x)&z ≤ x − 1
z = arem(y , x) ⇐⇒ y ≡ z (mod x) or y ≡ −z (mod x) &2z ≤ x

29. Сравнение последовательностей
b ≡ b (mod b − b )

30. Сравнение последовательностей
b ≡ b (mod b − b )
αb (n) ≡ αb (n) (mod b − b )

31. Сравнение последовательностей
b ≡ b (mod b − b )
αb (n) ≡ αb (n) (mod b − b )

32. Сравнение последовательностей
b ≡ b (mod b − b )
αb (n) ≡ αb (n) (mod b − b )
rem(αb (n), b − b ) = rem(αb (n), b − b )

33. Сравнение последовательностей
b ≡ b (mod b − b )
αb (n) ≡ αb (n) (mod b − b )
rem(αb (n), b − b ) = rem(αb (n), b − b )

34. Сравнение последовательностей
b ≡ b (mod b − b )
αb (n) ≡ αb (n) (mod b − b )
rem(αb (n), b − b ) = rem(αb (n), b − b )
αb (n) = rem(αb (n), b − b ) provided αb (n) < b − b
αb (n) = arem(αb (n), b − b ) provided 2αb (n) < b − b

35. Основная лемма. Для любого числа b, такого что b ≥ 4, и
любых чисел x и k, равенство x = αb (k) имеет место тогда и
только тогда, когда существуют числа B, r , s, t, u, v , X , Y такие,
что
u 2 − but + t 2 = 1,
s 2 − bsr + r 2 = 1,
r < s,
u 2 | s,
v = bs − 2r ,
v | B − b,
u | B − 2,
B ≥ 4,
X − BXY + Y 2 = 1,
2
2x < u,
x = arem(X , v ),
k = arem(X , u).

36. Часть “тогда”
Если b ≥ 4 и числа x, k, B, r , s, t, u, v , X , Y удовлетворяют
условиям
u 2 − but + t 2 = 1,
s 2 − bsr + r 2 = 1,
r < s, v = bs − 2r ,
2
u | s,
B ≥ 4, X 2 − BXY + Y 2 = 1,
v | B − b,
u | B − 2,
2a < u,
x = arem(X , v ),
k = arem(X , u).
то x = αb (k).

37. Часть “тогда”
u 2 − but + t 2 = 1

38. Часть “тогда”
u 2 − but + t 2 = 1 ⇒ u = αb ( )

39. Часть “тогда”
u 2 − but + t 2 = 1 ⇒ u = αb ( )
s 2 − bsr + r 2 = 1, r <s

40. Часть “тогда”
u 2 − but + t 2 = 1 ⇒ u = αb ( )
s 2 − bsr + r 2 = 1, r <s ⇒ s = αb (m), r = αb (m − 1)

41. Часть “тогда”
u 2 − but + t 2 = 1 ⇒ u = αb ( )
s 2 − bsr + r 2 = 1, r <s ⇒ s = αb (m), r = αb (m − 1)
v = bs − 2r

42. Часть “тогда”
u 2 − but + t 2 = 1 ⇒ u = αb ( )
s 2 − bsr + r 2 = 1, r <s ⇒ s = αb (m), r = αb (m − 1)
v = bs − 2r ⇒ v = bαb (m) − 2αb (m − 1)

43. Часть “тогда”
u 2 − but + t 2 = 1 ⇒ u = αb ( )
s 2 − bsr + r 2 = 1, r <s ⇒ s = αb (m), r = αb (m − 1)
v = bs − 2r ⇒ v = bαb (m) − 2αb (m − 1)
⇒ v = αb (m + 1) − αb (m − 1)

44. Часть “тогда”
u 2 − but + t 2 = 1 ⇒ u = αb ( )
s 2 − bsr + r 2 = 1, r <s ⇒ s = αb (m), r = αb (m − 1)
v = bs − 2r ⇒ v = bαb (m) − 2αb (m − 1)
⇒ v = αb (m + 1) − αb (m − 1)
u2 | s

45. Часть “тогда”
u 2 − but + t 2 = 1 ⇒ u = αb ( )
s 2 − bsr + r 2 = 1, r <s ⇒ s = αb (m), r = αb (m − 1)
v = bs − 2r ⇒ v = bαb (m) − 2αb (m − 1)
⇒ v = αb (m + 1) − αb (m − 1)
u2 | s ⇒ (αb ( ))2 | αb (m)

46. Часть “тогда”
u 2 − but + t 2 = 1 ⇒ u = αb ( )
s 2 − bsr + r 2 = 1, r <s ⇒ s = αb (m), r = αb (m − 1)
v = bs − 2r ⇒ v = bαb (m) − 2αb (m − 1)
⇒ v = αb (m + 1) − αb (m − 1)
u2 | s ⇒ (αb ( ))2 | αb (m)
⇒ u|m

47. Часть “тогда”
B ≥ 4&X 2 − BXY + Y 2 = 1

48. Часть “тогда”
B ≥ 4&X 2 − BXY + Y 2 = 1 ⇒ X = αB (n)

49. Часть “тогда”
B ≥ 4&X 2 − BXY + Y 2 = 1 ⇒ X = αB (n)
⇒ X ≡ αb (n) (mod B − b)

50. Часть “тогда”
B ≥ 4&X 2 − BXY + Y 2 = 1 ⇒ X = αB (n)
⇒ X ≡ αb (n) (mod B − b)
v |B −v

51. Часть “тогда”
B ≥ 4&X 2 − BXY + Y 2 = 1 ⇒ X = αB (n)
⇒ X ≡ αb (n) (mod B − b)
v |B −v ⇒ X ≡ αb (n) (mod v )

52. Часть “тогда”
B ≥ 4&X 2 − BXY + Y 2 = 1 ⇒ X = αB (n)
⇒ X ≡ αb (n) (mod B − b)
v |B −v ⇒ X ≡ αb (n) (mod v )
Пусть j = arem(n, 2m), то есть
n = 2 m ± j, j ≤m

53. Часть “тогда”
B ≥ 4&X 2 − BXY + Y 2 = 1 ⇒ X = αB (n)
⇒ X ≡ αb (n) (mod B − b)
v |B −v ⇒ X ≡ αb (n) (mod v )
Пусть j = arem(n, 2m), то есть
n = 2 m ± j, j ≤m
Ab (n)

54. Часть “тогда”
B ≥ 4&X 2 − BXY + Y 2 = 1 ⇒ X = αB (n)
⇒ X ≡ αb (n) (mod B − b)
v |B −v ⇒ X ≡ αb (n) (mod v )
Пусть j = arem(n, 2m), то есть
n = 2 m ± j, j ≤m
Ab (n) = Ψn
b

55. Часть “тогда”
B ≥ 4&X 2 − BXY + Y 2 = 1 ⇒ X = αB (n)
⇒ X ≡ αb (n) (mod B − b)
v |B −v ⇒ X ≡ αb (n) (mod v )
Пусть j = arem(n, 2m), то есть
n = 2 m ± j, j ≤m
Ab (n) = Ψn
b
= Ψ2
b
m±j

56. Часть “тогда”
B ≥ 4&X 2 − BXY + Y 2 = 1 ⇒ X = αB (n)
⇒ X ≡ αb (n) (mod B − b)
v |B −v ⇒ X ≡ αb (n) (mod v )
Пусть j = arem(n, 2m), то есть
n = 2 m ± j, j ≤m
Ab (n) = Ψn
b
= Ψ2
b
m±j
= [Ψm ]2 Ψ±j
b b

57. Часть “тогда”
B ≥ 4&X 2 − BXY + Y 2 = 1 ⇒ X = αB (n)
⇒ X ≡ αb (n) (mod B − b)
v |B −v ⇒ X ≡ αb (n) (mod v )
Пусть j = arem(n, 2m), то есть
n = 2 m ± j, j ≤m
Ab (n) = Ψn
b
= Ψ2
b
m±j
= [Ψm ]2 Ψ±j
b b
= [Ab (m)]2 [Ab (j)]±1

58. Часть “тогда”
Ab (n) = [Ab (m)]2 [Ab (j)]±1

59. Часть “тогда”
Ab (n) = [Ab (m)]2 [Ab (j)]±1
v=

60. Часть “тогда”
Ab (n) = [Ab (m)]2 [Ab (j)]±1
v= αb (m + 1) − αb (m − 1)
αb (m + 1) −αb (m)
Ab (m) =
αb (m) −αb (m − 1)

61. Часть “тогда”
Ab (n) = [Ab (m)]2 [Ab (j)]±1
v= αb (m + 1) − αb (m − 1)
αb (m + 1) −αb (m)
Ab (m) =
αb (m) −αb (m − 1)
−αb (m − 1) αb (m)
≡ − (mod v )
−αb (m) αb (m + 1)

62. Часть “тогда”
Ab (n) = [Ab (m)]2 [Ab (j)]±1
v= αb (m + 1) − αb (m − 1)
αb (m + 1) −αb (m)
Ab (m) =
αb (m) −αb (m − 1)
−αb (m − 1) αb (m)
≡ − (mod v )
−αb (m) αb (m + 1)
= −[Ab (m)]−1
[Ab (m)]2 ≡ −E (mod v )
Ab (n) ≡ ±[Ab (j)]±1 (mod v )

63. Часть “тогда”
Ab (n) ≡ ±[Ab (j)]±1 (mod v )

64. Часть “тогда”
Ab (n) ≡ ±[Ab (j)]±1 (mod v )
±1
αb (n + 1) −αb (n) αb (j + 1) −αb (j)
≡± (mod v )
αb (n) −αb (n − 1) αb (j) −αb (j − 1)

65. Часть “тогда”
Ab (n) ≡ ±[Ab (j)]±1 (mod v )
±1
αb (n + 1) −αb (n) αb (j + 1) −αb (j)
≡± (mod v )
αb (n) −αb (n − 1) αb (j) −αb (j − 1)
αb (n) ≡ ±αb (j) (mod v )

66. Часть “тогда”
Ab (n) ≡ ±[Ab (j)]±1 (mod v )
±1
αb (n + 1) −αb (n) αb (j + 1) −αb (j)
≡± (mod v )
αb (n) −αb (n − 1) αb (j) −αb (j − 1)
αb (n) ≡ ±αb (j) (mod v )
X = αB (n)

67. Часть “тогда”
Ab (n) ≡ ±[Ab (j)]±1 (mod v )
±1
αb (n + 1) −αb (n) αb (j + 1) −αb (j)
≡± (mod v )
αb (n) −αb (n − 1) αb (j) −αb (j − 1)
αb (n) ≡ ±αb (j) (mod v )
X = αB (n) ≡ αb (n) (mod B − b)

68. Часть “тогда”
Ab (n) ≡ ±[Ab (j)]±1 (mod v )
±1
αb (n + 1) −αb (n) αb (j + 1) −αb (j)
≡± (mod v )
αb (n) −αb (n − 1) αb (j) −αb (j − 1)
αb (n) ≡ ±αb (j) (mod v )
X = αB (n) ≡ αb (n) (mod B − b)
= ≡ αb (n) (mod v )

69. Часть “тогда”
Ab (n) ≡ ±[Ab (j)]±1 (mod v )
±1
αb (n + 1) −αb (n) αb (j + 1) −αb (j)
≡± (mod v )
αb (n) −αb (n − 1) αb (j) −αb (j − 1)
αb (n) ≡ ±αb (j) (mod v )
X = αB (n) ≡ αb (n) (mod B − b)
= ≡ αb (n) (mod v )
≡ ±αb (j) (mod v )

70. Часть “тогда”
X ≡ ±αb (j) (mod v )
2αb (j)

71. Часть “тогда”
X ≡ ±αb (j) (mod v )
2αb (j) ≤ 2αb (m)

72. Часть “тогда”
X ≡ ±αb (j) (mod v )
2αb (j) ≤ 2αb (m) ≤ (b − 2)αb (m)

73. Часть “тогда”
X ≡ ±αb (j) (mod v )
2αb (j) ≤ 2αb (m) ≤ (b − 2)αb (m) < bαb (m) − 2αb (m − 1)

74. Часть “тогда”
X ≡ ±αb (j) (mod v )
2αb (j) ≤ 2αb (m) ≤ (b − 2)αb (m) < bαb (m) − 2αb (m − 1) = v

75. Часть “тогда”
X ≡ ±αb (j) (mod v )
2αb (j) ≤ 2αb (m) ≤ (b − 2)αb (m) < bαb (m) − 2αb (m − 1) = v
arem(X , v ) = αb (j)

76. Часть “тогда”
X ≡ ±αb (j) (mod v )
2αb (j) ≤ 2αb (m) ≤ (b − 2)αb (m) < bαb (m) − 2αb (m − 1) = v
arem(X , v ) = αb (j) = x

77. Часть “тогда”
x = αb (j)

78. Часть “тогда”
x = αb (j)
2j

79. Часть “тогда”
x = αb (j)
2j ≤ 2αb (j)

80. Часть “тогда”
x = αb (j)
2j ≤ 2αb (j) = 2x

81. Часть “тогда”
x = αb (j)
2j ≤ 2αb (j) = 2x < u

82. Часть “тогда”
x = αb (j)
2j ≤ 2αb (j) = 2x < u
±j ≡ n (mod m)

83. Часть “тогда”
x = αb (j)
2j ≤ 2αb (j) = 2x < u
±j ≡ n (mod m)
≡ n (mod u)
X = αB (n)
≡ α2 (n) (mod B − 2)
≡ n (mod B − 2)
≡ n (mod u)

84. Часть “тогда”
x = αb (j)
2j ≤ 2αb (j) = 2x < u
±j ≡ n (mod m)
≡ n (mod u)
X = αB (n)
≡ α2 (n) (mod B − 2)
≡ n (mod B − 2)
≡ n (mod u)
±j ≡ X (mod u)

85. Часть “тогда”
x = αb (j)
2j ≤ 2αb (j) = 2x < u
±j ≡ n (mod m)
≡ n (mod u)
X = αB (n)
≡ α2 (n) (mod B − 2)
≡ n (mod B − 2)
≡ n (mod u)
±j ≡ X (mod u) j = arem(X , u)

86. Часть “тогда”
x = αb (j)
2j ≤ 2αb (j) = 2x < u
±j ≡ n (mod m)
≡ n (mod u)
X = αB (n)
≡ α2 (n) (mod B − 2)
≡ n (mod B − 2)
≡ n (mod u)
±j ≡ X (mod u) j = arem(X , u) = k

87. Часть “тогда”
x = αb (j)
2j ≤ 2αb (j) = 2x < u
±j ≡ n (mod m)
≡ n (mod u)
X = αB (n)
≡ α2 (n) (mod B − 2)
≡ n (mod B − 2)
≡ n (mod u)
±j ≡ X (mod u) j = arem(X , u) = k

88. Часть “тогда”
x = αb (j)
2j ≤ 2αb (j) = 2x < u
±j ≡ n (mod m)
≡ n (mod u)
X = αB (n)
≡ α2 (n) (mod B − 2)
≡ n (mod B − 2)
≡ n (mod u)
±j ≡ X (mod u) j = arem(X , u) = k x = αb (k)

89. Часть “только тогда”
Если b ≥ 4 и if x = αb (k), то найдутся числа
x, k, B, r , s, t, u, v , X , Y такие, что
u 2 − but + t 2 = 1,
s 2 − bsr + r 2 = 1, r < s,
v = bs − 2r ,
u 2 | s,
B ≥ 4, X 2 − BXY + Y 2 = 1,
v | B − b,
u | B − 2,
2x < u,
x = arem(X , v ),
k = arem(X , u).

90. Часть “только тогда”
u = αb ( ), t = αb ( + 1) ⇒ u 2 − but + t 2 = 1

91. Часть “только тогда”
u = αb ( ), t = αb ( + 1) ⇒ u 2 − but + t 2 = 1
велико ⇒ 2x < u

92. Часть “только тогда”
u = αb ( ), t = αb ( + 1) ⇒ u 2 − but + t 2 = 1
велико ⇒ 2x < u
u ≡ 1 (mod 2)

93. Часть “только тогда”
u = αb ( ), t = αb ( + 1) ⇒ u 2 − but + t 2 = 1
велико ⇒ 2x < u
u ≡ 1 (mod 2)
s = αb (m + 1), r = αb (m) ⇒ s 2 − bsr + r 2 = 1
⇒ r <s

94. Часть “только тогда”
u = αb ( ), t = αb ( + 1) ⇒ u 2 − but + t 2 = 1
велико ⇒ 2x < u
u ≡ 1 (mod 2)
s = αb (m + 1), r = αb (m) ⇒ s 2 − bsr + r 2 = 1
⇒ r <s
m = u ⇒ u2 | s

95. Часть “только тогда”
u = αb ( ), t = αb ( + 1) ⇒ u 2 − but + t 2 = 1
велико ⇒ 2x < u
u ≡ 1 (mod 2)
s = αb (m + 1), r = αb (m) ⇒ s 2 − bsr + r 2 = 1
⇒ r <s
m = u ⇒ u2 | s
v = bs − 2r

96. Часть “только тогда”
u = αb ( ), t = αb ( + 1) ⇒ u 2 − but + t 2 = 1
велико ⇒ 2x < u
u ≡ 1 (mod 2)
s = αb (m + 1), r = αb (m) ⇒ s 2 − bsr + r 2 = 1
⇒ r <s
m = u ⇒ u2 | s
v = bs − 2r ≥ 4αb (m) − 2αb (m − 1)

97. Часть “только тогда”
u = αb ( ), t = αb ( + 1) ⇒ u 2 − but + t 2 = 1
велико ⇒ 2x < u
u ≡ 1 (mod 2)
s = αb (m + 1), r = αb (m) ⇒ s 2 − bsr + r 2 = 1
⇒ r <s
m = u ⇒ u2 | s
v = bs − 2r ≥ 4αb (m) − 2αb (m − 1)
> 2αb (m) ≥ 0

98. Часть “только тогда”
B ≥ 4, v | B − b, u |B −2
B ≡ b (mod v ), B ≡ 2 (mod u)

99. Часть “только тогда”
B ≥ 4, v | B − b, u |B −2
B ≡ b (mod v ), B ≡ 2 (mod u)
d |u
d |v

100. Часть “только тогда”
B ≥ 4, v | B − b, u |B −2
B ≡ b (mod v ), B ≡ 2 (mod u)
d |u
d |v
2
u |s ⇒ d |s

101. Часть “только тогда”
B ≥ 4, v | B − b, u |B −2
B ≡ b (mod v ), B ≡ 2 (mod u)
d |u
d |v
2
u |s ⇒ d |s
v = bs − 2r ⇒ d | 2r

102. Часть “только тогда”
B ≥ 4, v | B − b, u |B −2
B ≡ b (mod v ), B ≡ 2 (mod u)
d |u
d |v
2
u |s ⇒ d |s
v = bs − 2r ⇒ d | 2r
u ≡ 1 (mod 2) ⇒ d | r

103. Часть “только тогда”
B ≥ 4, v | B − b, u |B −2
B ≡ b (mod v ), B ≡ 2 (mod u)
d |u
d |v
2
u |s ⇒ d |s
v = bs − 2r ⇒ d | 2r
u ≡ 1 (mod 2) ⇒ d | r
s − bsr + r 2 = 1 ⇒ d | 1
2

104. Часть “только тогда”
B ≥ 4, v | B − b, u |B −2
B ≡ b (mod v ), B ≡ 2 (mod u)
d |u
d |v
2
u |s ⇒ d |s
v = bs − 2r ⇒ d | 2r
u ≡ 1 (mod 2) ⇒ d | r
s − bsr + r 2 = 1 ⇒ d | 1
2
⇒ d =1

105. Часть “только тогда”
X = αB (k), Y = αB (k + 1) ⇒ X 2 − BXY + Y 2 = 1

106. Часть “только тогда”
X = αB (k), Y = αB (k + 1)
x = arem(X , v )

107. Часть “только тогда”
X = αB (k), Y = αB (k + 1)
x = arem(X , v )
αB (k) ≡ αb (k) (mod B − b)
X ≡ x (mod B − b)
v |B −b ⇒X ≡ x (mod v )

108. Часть “только тогда”
X = αB (k), Y = αB (k + 1)
x = arem(X , v )
αB (k) ≡ αb (k) (mod B − b)
X ≡ x (mod B − b)
v |B −b ⇒X ≡ x (mod v )
v = bs − 2r ≥ 4αb (m) − 2αb (m − 1)
> αb (m) = αb ( u)
≥ αb ( ) = u > 2x

109. Часть “только тогда”
X = αB (k), Y = αB (k + 1)
k = arem(X , u)

110. Часть “только тогда”
X = αB (k), Y = αB (k + 1)
k = arem(X , u)
αB (k) ≡ α2 (k) (mod B − 2)
X ≡ k (mod B − 2)
u |B −2⇒ X ≡ k (mod u)
2k ≤ 2x < u

111. Диофантова альтернатива
D(x1 , . . . , xm ) = 0
либо
∃x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0}
либо
∀x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0}

112. Вещественные неизвестные
D(χ1 , . . . , χm ) = 0

113. Вещественные неизвестные
D(χ1 , . . . , χm ) = 0
sin(πχ1 ) = 0
.
.
.
sin(πχm ) = 0

114. Вещественные неизвестные
D(χ1 , . . . , χm ) = 0
sin(πχ1 ) = 0
.
.
.
sin(πχm ) = 0
π = 3.14159...

115. Вещественные неизвестные
D(χ1 , . . . , χm ) = 0
sin(πχ1 ) = 0
.
.
.
sin(πχm ) = 0
π = 3.14159...
D 2 (χ1 , . . . , χm )+ sin2 (πχ1 ) + · · · + sin2 (πχm ) = 0

116. Следствие DPRM-теоремы
Пусть F0 обозначает класс функций многих вещественных
переменных, которые могут быть заданы выражениями,
построены из переменных, конкретных натуральных чисел и
числа π при помощи композиции операций сложения,
вычитания и умножения и функции sin в произвольном
порядке. Не существует алгоритма, который по произвольной
фунции Φ(χ1 , . . . , χm ) из класса F0 распознавал, имеет ли
уравнение
Φ(χ1 , . . . , χm ) = 0
решение в вещественных числах.

117. Только натуральные коэффициенты
sin(ψ) = 0

118. Только натуральные коэффициенты
sin(ψ) = 0 2≤ψ≤4

119. Только натуральные коэффициенты
sin(ψ) = 0 2≤ψ≤4
D 2 (χ1 , . . . , χm )+
sin2 (ψχ1 ) + · · · + sin2 (ψχm ) +
sin2 (ψ) + (1 − (ψ − 3)2 − ζ 2 )2 = 0

120. Следствие DPRM-теоремы
Пусть F1 обозначает класс функций многих вещественных
переменных, которые могут быть заданы выражениями,
построены из переменных, конкретных натуральных чисел при
помощи композиции операций сложения, вычитания и
умножения и функции sin в произвольном порядке. Не
существует алгоритма, который по произвольной
фунции Φ(χ1 , . . . , χm ) из класса F1 распознавал, имеет ли
уравнение
Φ(χ1 , . . . , χm ) = 0
решение в вещественных числах.

121. Альтернативы
D(x1 , . . . , xm )
либо
∃x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0}
либо
∀x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0}

122. Альтернативы
D(x1 , . . . , xm )
либо
∃x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0}
либо
∀x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0}
Φ(χ1 , . . . , χm )
либо
∃χ1 . . . χm {Φ(χ1 , . . . , χm ) = 0}
либо
∀χ1 . . . χm {Φ(χ1 , . . . , χm ) = 0}

123. Альтернативы
либо
∃x1 . . . xm {2D 2 (x1 , . . . , xm ) = 0}
либо
∀x1 . . . xm {2D 2 (x1 , . . . , xm ) > 1}

124. Альтернативы
либо
∃x1 . . . xm {2D 2 (x1 , . . . , xm ) = 0}
либо
∀x1 . . . xm {2D 2 (x1 , . . . , xm ) > 1}
либо
∃χ1 . . . χm {Φ(χ1 , . . . , χm ) = 0}
либо
∀χ1 . . . χm {Φ(χ1 , . . . , χm ) > 1}

125. Альтернативы
либо
∃x1 . . . xm {2D 2 (x1 , . . . , xm ) = 0}
либо
∀x1 . . . xm {2D 2 (x1 , . . . , xm ) > 1}
либо
∃χ1 . . . χm {Φ(χ1 , . . . , χm ) = 0}
либо
∀χ1 . . . χm {Φ(χ1 , . . . , χm ) > 1}
Φ(χ1 , . . . , χm ) = (B 2 (χ1 , . . . , χm ) + 1)(D 2 (χ1 , . . . , χm )+
sin2 (πχ1 ) + · · · + sin2 (πχm ))

126. Следствие DPRM-теоремы
Пусть F0 по-прежнему обозначает класс функций многих
вещественных переменных, которые могут быть заданы
выражениями, построены из переменных, конкретных
натуральных чисел и числа π при помощи композиции
операций сложения, вычитания и умножения и функции sin в
произвольном порядке. Не существует алгоритма, который по
произвольной фунции Φ(χ1 , . . . , χm ) из класса F0 распознавал,
имеет ли неравенство
Φ(χ1 , . . . , χm ) < 1
решение в вещественных числах.

127. Случай одной переменной
χ → χ sin(χ), χ sin(χ3 ), . . . , χ sin(χ2m−1 )

128. Случай одной переменной
χ → χ sin(χ), χ sin(χ3 ), . . . , χ sin(χ2m−1 )
Ψ(χ) = Φ(χ sin(χ), χ sin(χ3 ), . . . , χ sin(χ2m−1 ),

129. Случай одной переменной
χ → χ sin(χ), χ sin(χ3 ), . . . , χ sin(χ2m−1 )
Ψ(χ) = Φ(χ sin(χ), χ sin(χ3 ), . . . , χ sin(χ2m−1 ),
либо
∃χ1 . . . χm {Φ(χ1 , . . . , χm ) = 0}
либо
∀χ1 . . . χm {Φ(χ1 , . . . , χm ) > 1}

130. Случай одной переменной
χ → χ sin(χ), χ sin(χ3 ), . . . , χ sin(χ2m−1 )
Ψ(χ) = Φ(χ sin(χ), χ sin(χ3 ), . . . , χ sin(χ2m−1 ),
либо
∃χ1 . . . χm {Φ(χ1 , . . . , χm ) = 0}
либо
∀χ1 . . . χm {Φ(χ1 , . . . , χm ) > 1}
либо
∀ > 0 ∃χ{Ψ(χ) < }
либо
∀χ{Ψ(χ) ≥ 1}

131. Следствие DPRM-теоремы
1
Пусть F0 обозначает класс функций одной вещественной
переменной, которые могут быть заданы выражениями,
построены из переменной, конкретных натуральных чисел и
числа π при помощи композиции операций сложения,
вычитания и умножения и функции sin в произвольном
порядке. Не существует алгоритма, который по произвольной
1
фунции Φ(χ1 , . . . , χm ) из класса F0 распознавал, имеет ли
неравенство
Φ(χ) < 1
решение в вещественных числах.

132. Следствие DPRM-теоремы
1
Пусть F0 обозначает класс функций одной вещественной
переменной, которые могут быть заданы выражениями,
построены из переменной, конкретных натуральных чисел и
числа π при помощи композиции операций сложения,
вычитания и умножения и функции sin в произвольном
порядке. Не существует алгоритма, который по произвольной
1
фунции Φ(χ1 , . . . , χm ) из класса F0 распознавал, имеет ли
уравнение
2Φ(χ) = 1
решение в вещественных числах.

133. Тождества
либо
∀ > 0 ∃χ{Ψ(χ) < }
либо
∀χ{Ψ(χ) ≥ 1}

134. Тождества
либо
∀ > 0 ∃χ{Ψ(χ) < }
либо
∀χ{Ψ(χ) ≥ 1}
либо
∃χ{1 − Ψ(χ) + |1 − Ψ(χ)| = 0}
либо
∀χ{1 − Ψ(χ) + |1 − Ψ(χ)| = 0}

135. Следствие DPRM-теоремы
1
Пусть F2 обозначает класс функций одной вещественной
переменной, которые могут быть заданы выражениями,
построены из переменной, конкретных натуральных чисел и
числа π при помощи композиции операций сложения,
вычитания и умножения и функций sin и | | (абсолютная
величина) в произвольном порядке. Не существует алгоритма,
1
который по произвольной фунции Φ(χ1 , . . . , χm ) из класса F2
распознавал, справедливо ли равенство
2Φ(χ) = 1
при всех вещественных значениях χ.

136. Снова полиномиальные уравнения
τ ∈ [0, 1]
Υ (τ ) = 0

137. Снова полиномиальные уравнения
τ ∈ [0, 1]
Υ (τ ) = 0
Π (τ ) = 0, Ξ (τ ) + Π2 (τ )Ξ(τ ) = 0

138. Снова полиномиальные уравнения
τ ∈ [0, 1]
Υ (τ ) = 0
Π (τ ) = 0, Ξ (τ ) + Π2 (τ )Ξ(τ ) = 0
3 ≤ Π(0) ≤ 4

139. Снова полиномиальные уравнения
τ ∈ [0, 1]
Υ (τ ) = 0
Π (τ ) = 0, Ξ (τ ) + Π2 (τ )Ξ(τ ) = 0
3 ≤ Π(0) ≤ 4
Ξ(0) = 0 Ξ(1) = 0 Ξ (0) = 1

140. Снова полиномиальные уравнения
τ ∈ [0, 1]
Υ (τ ) = 0
Π (τ ) = 0, Ξ (τ ) + Π2 (τ )Ξ(τ ) = 0
3 ≤ Π(0) ≤ 4
Ξ(0) = 0 Ξ(1) = 0 Ξ (0) = 1
Π(τ ) = π

141. Снова полиномиальные уравнения
Υ (τ ) = 0,

142. Снова полиномиальные уравнения
Υ (τ ) = 0, Ψ (τ ) + Π2 (τ )Υ2 (τ )Ψ(τ ) = 0

143. Снова полиномиальные уравнения
Υ (τ ) = 0, Ψ (τ ) + Π2 (τ )Υ2 (τ )Ψ(τ ) = 0
Ψ(0) = Ψ(1) = 0, Ψ (0) = Π(0)Υ(0),

144. Снова полиномиальные уравнения
Υ (τ ) = 0, Ψ (τ ) + Π2 (τ )Υ2 (τ )Ψ(τ ) = 0
Ψ(0) = Ψ(1) = 0, Ψ (0) = Π(0)Υ(0),
Υ(τ ) является константой – каким-то целым числом y

145. Снова полиномиальные уравнения
Π (τ ) = 0, Ξ (τ ) + Π2 (τ )Ξ(τ ) = 0,
Υ1 (τ ) = 0, Ψ1 (τ ) + Π2 (τ )Υ2 (τ )Ψ1 (τ ) = 0,
1
.
.
.
Υm (τ ) = 0, Ψm (τ ) + Π2 (τ )Υ2 (τ )Ψm (τ ) = 0,
m
D Υ1 (τ ), . . . , Υm (τ ) = 0
3 ≤ Π(0) ≤ 4,
Ξ(0) = Ξ(1) = 0, Ξ (0) = 1,
Ψ1 (0) = Ψ1 (1) = 0, Ψ1 (0) = Π(0)Υ1 (0),
.
. .
.
. .
Ψm (0) = Ψm (1) = 0, Ψm (0) = Π(0)Υm (0).

146. Снова полиномиальные уравнения
3 ≤ Π(0) ≤ 4 ⇐⇒ 3 + ∆2 (0) = Π(0) &
1 Π(0) + ∆2 (0) = 4
2
∆(α) = β ⇐⇒ ∆(τ ) − β = (τ − α)Ω(τ )

147. Следствие DPRM-теоремы
Не существует алгоритма, который позволял бы по
произвольной системе дифференциальных уравнений вида
P1 τ, Ξ1 (τ ), . . . , Ξk (τ ), Ξ1 (τ ) =0
.
.
.
Pk τ, Ξ1 (τ ), . . . , Ξk (τ ), Ξk (τ ) = 0,
где P1 , . . . , Pk – многочлены с целыми коэффициентами,
узнавать, имеет ли эта система решение на интервале [0, 1].

148. Следствие (трудное) DPRM-теоремы
Не существует алгоритма, который позволял бы по
дифференциальному уравнению вида
n
P1 τ, Ξ(τ ), Ξ (τ ), . . . , Ξ (τ ) =0
где P – многочлен с целыми коэффициентами, узнавать, имеет
ли это уравнение решение на интервале [0, 1].

149. Формальные степенные ряды
∞
Ψ(τ ) = ψk τ k
k=0

150. Формальные степенные ряды
∞
Ψ(τ ) = ψk τ k
k=0
Ψ (τ ) = 0, τ Φ (τ ) = Ψ(τ )Φ(τ )

151. Формальные степенные ряды
∞
Ψ(τ ) = ψk τ k
k=0
Ψ (τ ) = 0, τ Φ (τ ) = Ψ(τ )Φ(τ )
∞ ∞
k
τ Φ (τ ) = kφk τ = ψ0 φk τ k
k=0 k=0

152. Формальные степенные ряды
∞
Ψ(τ ) = ψk τ k
k=0
Ψ (τ ) = 0, τ Φ (τ ) = Ψ(τ )Φ(τ )
∞ ∞
k
τ Φ (τ ) = kφk τ = ψ0 φk τ k
k=0 k=0
kφk = ψ0 φk k = 0, 1, 2, . . .

153. Формальные степенные ряды
∞
Ψ(τ ) = ψk τ k
k=0
Ψ (τ ) = 0, τ Φ (τ ) = Ψ(τ )Φ(τ )
∞ ∞
k
τ Φ (τ ) = kφk τ = ψ0 φk τ k
k=0 k=0
kφk = ψ0 φk k = 0, 1, 2, . . .
Вырожденное решение: ψ1 = ψ2 = · · · = 0,
φ0 = φ1 = · · · = 0

154. Формальные степенные ряды
∞
Ψ(τ ) = ψk τ k
k=0
Ψ (τ ) = 0, τ Φ (τ ) = Ψ(τ )Φ(τ )
∞ ∞
k
τ Φ (τ ) = kφk τ = ψ0 φk τ k
k=0 k=0
kφk = ψ0 φk k = 0, 1, 2, . . .
Вырожденное решение: ψ1 = ψ2 = · · · = 0,
φ0 = φ1 = · · · = 0
Невырожденное решение: ψ0 = y , ψ1 = ψ2 = · · · = 0,
φ0 = · · · = φy −1 = φy +1 = · · · = 0

155. Формальные степенные ряды
Ψ1 (τ ) = 0,
τ Φ1 (τ ) = Ψ1 (τ )Φ1 (τ ),
.
.
.

156. Формальные степенные ряды
Ψ1 (τ ) = 0,
τ Φ1 (τ ) = Ψ1 (τ )Φ1 (τ ),
.
.
.
Ψm (τ ) = 0,
τ Φm (τ ) = Ψm (τ )Φ1 (τ ),

157. Формальные степенные ряды
Ψ1 (τ ) = 0,
τ Φ1 (τ ) = Ψ1 (τ )Φ1 (τ ),
.
.
.
Ψm (τ ) = 0,
τ Φm (τ ) = Ψm (τ )Φ1 (τ ),
D(Ψ1 (τ ), . . . , Ψm (τ )) = 0

158. Формальные степенные ряды
Ψ1 (τ ) = 0,
τ Φ1 (τ ) = Ψ1 (τ )Φ1 (τ ),
.
.
.
Ψm (τ ) = 0,
τ Φm (τ ) = Ψm (τ )Φ1 (τ ),
D(Ψ1 (τ ), . . . , Ψm (τ )) = 0
Φ1 (τ ) . . . Φm (τ ) ≡ 0

159. Следствие DPRM-теоремы
Не существует алгоритма, который позволял бы по
произвольной системе дифференциальных уравнений вида
P1 τ, Ξ1 (τ ), . . . , Ξk (τ ), Ξ1 (τ ) = 0,
.
.
.
Pk τ, Ξ1 (τ ), . . . , Ξk (τ ), Ξk (τ ) = 0,
где Pm – многочлены с целыми коэффициентами узнавать,
имеет ли эта система решение в виде формального степенного
ряда, удовлетворяющего также условию
Ξ1 (τ ) ≡ 0.

160. Сходящиеся степенные ряды

161. Сходящиеся степенные ряды
Ψ (τ ) = 0,
τ 2Φ (τ ) − (Ψ(τ )τ + 1)Φ(τ ) + 1 = 0

162. Сходящиеся степенные ряды
Ψ (τ ) = 0,
τ 2Φ (τ ) − (Ψ(τ )τ + 1)Φ(τ ) + 1 = 0
−φ0 + 1 = 0

163. Сходящиеся степенные ряды
Ψ (τ ) = 0,
τ 2Φ (τ ) − (Ψ(τ )τ + 1)Φ(τ ) + 1 = 0
−φ0 + 1 = 0
−ψ0 φ0 − ψ1 = 0

164. Сходящиеся степенные ряды
Ψ (τ ) = 0,
τ 2Φ (τ ) − (Ψ(τ )τ + 1)Φ(τ ) + 1 = 0
−φ0 + 1 = 0
−ψ0 φ0 − ψ1 = 0
φk−2 − ψ0 φk−1 − ψk = 0, k >2

165. Сходящиеся степенные ряды
Ψ (τ ) = 0,
τ 2Φ (τ ) − (Ψ(τ )τ + 1)Φ(τ ) + 1 = 0
−φ0 + 1 = 0
−ψ0 φ0 − ψ1 = 0
φk−2 − ψ0 φk−1 − ψk = 0, k >2
ψ0 = 1, . . . , ψn = −ψ0 (1 − φ0 )(2 − φ0 ) . . . (n − φ0 ), . . . .

166. Следствие DPRM-теоремы
Не существует алгоритма, который позволял бы по
произвольной системе дифференциальных уравнений вида
P1 τ, Ξ1 (τ ), . . . , Ξk (τ ), Ξ1 (τ ) = 0,
.
.
.
Pk τ, Ξ1 (τ ), . . . , Ξk (τ ), Ξk (τ ) = 0,
где Pm – многочлены с целыми коэффициентами узнавать,
имеет ли эта система решение в виде сходящихся степенных
рядов

167. Уравнения в частных производных

168. Уравнения в частных производных
D(y1 , . . . , ym ) = 0

169. Уравнения в частных производных
D(y1 , . . . , ym ) = 0
∞
y y
Ψ(τ1 , . . . , τm ) = ψy1 ,...,ym τ1 1 . . . τmm
y1 ,...,ym =0

170. Уравнения в частных производных
D(y1 , . . . , ym ) = 0
∞
y y
Ψ(τ1 , . . . , τm ) = ψy1 ,...,ym τ1 1 . . . τmm
y1 ,...,ym =0
∂ y y
τk τk k = yk τk k
∂τk

171. Уравнения в частных производных
D(y1 , . . . , ym ) = 0
∞
y y
Ψ(τ1 , . . . , τm ) = ψy1 ,...,ym τ1 1 . . . τmm
y1 ,...,ym =0
∂ y y
τk τk k = yk τk k
∂τk
∂ ∂
D τ1 , . . . , τm Ψ(τ1 , . . . , τm ) =
∂τ1 ∂τm
= ∞,...,ym =0 D(y1 , . . . , ym )ψy1 ,...,ym τ1 1 . . . τmm
y1
y y

172. Уравнения в частных производных
∞
∂ ∂ y y
D τ1 , . . . , τm Ψ(τ1 , . . . , τm ) = τ1 1 . . . τmm (∗)
∂τ1 ∂τm
y1 ,...,ym =0

173. Уравнения в частных производных
∞
∂ ∂ y y
D τ1 , . . . , τm Ψ(τ1 , . . . , τm ) = τ1 1 . . . τmm (∗)
∂τ1 ∂τm
y1 ,...,ym =0
∂ ∂
D τ1 , . . . , τm Ψ(τ1 , . . . , τm ) =
∂τ1 ∂τm
= ∞,...,ym =0 D(y1 , . . . , ym )ψy1 ,...,ym τ1 1 . . . τmm
y1
y y

174. Уравнения в частных производных
∞
∂ ∂ y y
D τ1 , . . . , τm Ψ(τ1 , . . . , τm ) = τ1 1 . . . τmm (∗)
∂τ1 ∂τm
y1 ,...,ym =0
∂ ∂
D τ1 , . . . , τm Ψ(τ1 , . . . , τm ) =
∂τ1 ∂τm
= ∞,...,ym =0 D(y1 , . . . , ym )ψy1 ,...,ym τ1 1 . . . τmm
y1
y y
1
ψy1 ,...,ym =
D(y1 , . . . , ym )

175. Уравнения в частных производных
∞
∂ ∂ y y
D τ1 , . . . , τm Ψ(τ1 , . . . , τm ) = τ1 1 . . . τmm (∗)
∂τ1 ∂τm
y1 ,...,ym =0
∂ ∂
D τ1 , . . . , τm Ψ(τ1 , . . . , τm ) =
∂τ1 ∂τm
= ∞,...,ym =0 D(y1 , . . . , ym )ψy1 ,...,ym τ1 1 . . . τmm
y1
y y
1
ψy1 ,...,ym =
D(y1 , . . . , ym )
Дифференциальное уравнение (*) имеет решение в том и
только том случае, когда диофантово уравнение
D(y1 , . . . , ym ) = 0 решений не имеет

176. Уравнения в частных производных
∞
∂ ∂ y y
D τ1 , . . . , τm Ψ(τ1 , . . . , τm ) = τ1 1 . . . τmm (∗)
∂τ1 ∂τm
y1 ,...,ym =0

177. Уравнения в частных производных
∞
∂ ∂ y y
D τ1 , . . . , τm Ψ(τ1 , . . . , τm ) = τ1 1 . . . τmm (∗)
∂τ1 ∂τm
y1 ,...,ym =0
∂ ∂
(1 − τ1 ) . . . (1 − τm )D τ1 , . . . , τm Ψ(τ1 , . . . , τm ) = 1 (∗∗)
∂τ1 ∂τm

178. Уравнения в частных производных
∞
∂ ∂ y y
D τ1 , . . . , τm Ψ(τ1 , . . . , τm ) = τ1 1 . . . τmm (∗)
∂τ1 ∂τm
y1 ,...,ym =0
∂ ∂
(1 − τ1 ) . . . (1 − τm )D τ1 , . . . , τm Ψ(τ1 , . . . , τm ) = 1 (∗∗)
∂τ1 ∂τm
Дифференциальные уравнения (*) и (**) имеют решения в том
и только том случае, когда диофантово уравнение
D(y1 , . . . , ym ) = 0 решений не имеет

179. Следствие DPRM-теоремы
Не существует алгоритма, который позволял бы по
произвольному многочлену Q с целыми коэффициентами
узнавать, имеет ли дифференциальное уравнение в частных
производных
∂ ∂
Q τ1 , . . . , τm , ∂τ1 , . . . , ∂τm Ψ(τ1 , . . . , τm ) = 1
решение в виде формального степенного ряда.

180. Уравнения в частных производных
a ∈ M ⇐⇒ ∃x2 . . . xm {D(a, x2 , . . . , xm ) = 0}

181. Уравнения в частных производных
a ∈ M ⇐⇒ ∃x2 . . . xm {D(a, x2 , . . . , xm ) = 0}
∂ ∂ ∂
(1 − τ2 ) . . . (1 − τm ) D τ1 , τ2 , . . . , τm Ψ(τ1 , τ2 , . . . , τm ) =
∂τ1 ∂τ2 ∂τm
= Φ(τ1 , τ2 , . . . , τm ),

182. Уравнения в частных производных
a ∈ M ⇐⇒ ∃x2 . . . xm {D(a, x2 , . . . , xm ) = 0}
∂ ∂ ∂
(1 − τ2 ) . . . (1 − τm ) D τ1 , τ2 , . . . , τm Ψ(τ1 , τ2 , . . . , τm ) =
∂τ1 ∂τ2 ∂τm
= Φ(τ1 , τ2 , . . . , τm ),
∂ ∂
Φ(τ1 , τ2 , . . . , τm ) = · · · = Φ(τ1 , τ2 , . . . , τm ) = 0
∂τ2 ∂τm

183. Уравнения в частных производных
a ∈ M ⇐⇒ ∃x2 . . . xm {D(a, x2 , . . . , xm ) = 0}
∂ ∂ ∂
(1 − τ2 ) . . . (1 − τm ) D τ1 , τ2 , . . . , τm Ψ(τ1 , τ2 , . . . , τm ) =
∂τ1 ∂τ2 ∂τm
= Φ(τ1 , τ2 , . . . , τm ),
∂ ∂
Φ(τ1 , τ2 , . . . , τm ) = · · · = Φ(τ1 , τ2 , . . . , τm ) = 0
∂τ2 ∂τm
∞
k
Φ(τ1 , τ2 , . . . , τm ) = φk τ1
k=0

184. Уравнения в частных производных
a ∈ M ⇐⇒ ∃x2 . . . xm {D(a, x2 , . . . , xm ) = 0}
∂ ∂ ∂
(1 − τ2 ) . . . (1 − τm ) D τ1 , τ2 , . . . , τm Ψ(τ1 , τ2 , . . . , τm ) =
∂τ1 ∂τ2 ∂τm
= Φ(τ1 , τ2 , . . . , τm ),
∂ ∂
Φ(τ1 , τ2 , . . . , τm ) = · · · = Φ(τ1 , τ2 , . . . , τm ) = 0
∂τ2 ∂τm
∞
k
Φ(τ1 , τ2 , . . . , τm ) = φk τ1
k=0
∂ ∂ Φ(τ1 , τ2 , . . . , τm )
D τ1 , . . . , τm Ψ(τ1 , . . . , τm ) =
∂τ1 ∂τm (1 − τ2 ) . . . (1 − τm )

185. Уравнения в частных производных
∂ ∂
D τ1 , . . . , τm Ψ(τ1 , . . . , τm ) =
∂τ1 ∂τm

186. Уравнения в частных производных
∂ ∂
D τ1 , . . . , τm Ψ(τ1 , . . . , τm ) =
∂τ1 ∂τm
Φ(τ1 , τ2 , . . . , τm )
=
(1 − τ2 ) . . . (1 − τm )

187. Уравнения в частных производных
∂ ∂
D τ1 , . . . , τm Ψ(τ1 , . . . , τm ) =
∂τ1 ∂τm
Φ(τ1 , τ2 , . . . , τm )
=
(1 − τ2 ) . . . (1 − τm )
∞
k y y
= φk τ1 τ2 1 . . . τmm
k=0 y2 ,...,ym

188. Уравнения в частных производных
∂ ∂
D τ1 , . . . , τm Ψ(τ1 , . . . , τm ) =
∂τ1 ∂τm
Φ(τ1 , τ2 , . . . , τm )
=
(1 − τ2 ) . . . (1 − τm )
∞
k y y
= φk τ1 τ2 1 . . . τmm
k=0 y2 ,...,ym
∞
y y
= D(y1 , . . . , ym )ψy1 ,...,ym τ1 1 . . . τmm
y1 ,...,ym =0

189. Уравнения в частных производных
∂ ∂
D τ1 , . . . , τm Ψ(τ1 , . . . , τm ) =
∂τ1 ∂τm
Φ(τ1 , τ2 , . . . , τm )
=
(1 − τ2 ) . . . (1 − τm )
∞
k y y
= φk τ1 τ2 1 . . . τmm
k=0 y2 ,...,ym
∞
y y
= D(y1 , . . . , ym )ψy1 ,...,ym τ1 1 . . . τmm
y1 ,...,ym =0
D(y1 , . . . , ym )ψy1 ,...,ym = φy1

190. Уравнения в частных производных
D(y1 , . . . , ym )ψy1 ,...,ym = φy1

191. Уравнения в частных производных
D(y1 , . . . , ym )ψy1 ,...,ym = φy1
a ∈ M =⇒ φa = 0

192. Уравнения в частных производных
D(y1 , . . . , ym )ψy1 ,...,ym = φy1
a ∈ M =⇒ φa = 0
0, если y1 ∈ M
ψy1 ,...,ym = φy 1
D(y1 ,...,ym ) , в противном случае

193. Уравнения в частных производных
a ∈ M0 ⇐⇒ ∃x2 . . . xm {D0 (a, x2 , . . . , xm ) = 0}
a ∈ M1 ⇐⇒ ∃x2 . . . xm {D1 (a, x2 , . . . , xm ) = 0}

194. Уравнения в частных производных
a ∈ M0 ⇐⇒ ∃x2 . . . xm {D0 (a, x2 , . . . , xm ) = 0}
a ∈ M1 ⇐⇒ ∃x2 . . . xm {D1 (a, x2 , . . . , xm ) = 0}
∂ ∂ ∂
(1 − τ2 ) . . . (1 − τm ) D0 τ1 ∂τ1 , τ2 ∂τ2 , . . . , τm ∂τm Ψ(τ1 , τ2 , . . . , τm ) =
= Φ0 (τ1 , τ2 , . . . , τm ),
∂ ∂
∂τ2 Φ0 (τ1 , τ2 , . . . , τm ) = ··· = ∂τm Φ0 (τ1 , τ2 , . . . , τm ) = 0,
∂ ∂ ∂
(1 − τ2 ) . . . (1 − τm ) D1 τ1 ∂τ1 , τ2 ∂τ2 , . . . , τm ∂τm Ψ1 (τ1 , τ2 , . . . , τm ) =
= Φ1 (τ1 , τ2 , . . . , τm ),
∂ ∂
∂τ2 Φ1 (τ1 , τ2 , . . . , τm ) = ··· = ∂τm Φ1 (τ1 , τ2 , . . . , τm ) =0

195. Уравнения в частных производных
a ∈ M0 ⇐⇒ ∃x2 . . . xm {D0 (a, x2 , . . . , xm ) = 0}
a ∈ M1 ⇐⇒ ∃x2 . . . xm {D1 (a, x2 , . . . , xm ) = 0}
∂ ∂ ∂
(1 − τ2 ) . . . (1 − τm ) D0 τ1 ∂τ1 , τ2 ∂τ2 , . . . , τm ∂τm Ψ(τ1 , τ2 , . . . , τm ) =
= Φ0 (τ1 , τ2 , . . . , τm ),
∂ ∂
∂τ2 Φ0 (τ1 , τ2 , . . . , τm ) = ··· = ∂τm Φ0 (τ1 , τ2 , . . . , τm ) = 0,
∂ ∂ ∂
(1 − τ2 ) . . . (1 − τm ) D1 τ1 ∂τ1 , τ2 ∂τ2 , . . . , τm ∂τm Ψ1 (τ1 , τ2 , . . . , τm ) =
= Φ1 (τ1 , τ2 , . . . , τm ),
∂ ∂
∂τ2 Φ1 (τ1 , τ2 , . . . , τm ) = ··· = ∂τm Φ1 (τ1 , τ2 , . . . , τm ) =0
∞
Φ0 (τ1 , τ2 , . . . , τm ) = φ0,k τ k a ∈ M0 =⇒ φ0,a = 0
k=0
∞

196. Уравнения в частных производных
∞
Φ0 (τ1 , τ2 , . . . , τm ) = φ0,k τ k a ∈ M0 =⇒ φ0,a = 0
k=0
∞
Φ1 (τ1 , τ2 , . . . , τm ) = φ1,k τ k a ∈ M1 =⇒ φ1,a = 0
k=0

197. Уравнения в частных производных
∞
Φ0 (τ1 , τ2 , . . . , τm ) = φ0,k τ k a ∈ M0 =⇒ φ0,a = 0
k=0
∞
Φ1 (τ1 , τ2 , . . . , τm ) = φ1,k τ k a ∈ M1 =⇒ φ1,a = 0
k=0
(1 − τ1 ) Φ0 (τ1 , τ2 , . . . , τm ) + Φ1 (τ1 , τ2 , . . . , τm ) = 1

198. Уравнения в частных производных
∞
Φ0 (τ1 , τ2 , . . . , τm ) = φ0,k τ k a ∈ M0 =⇒ φ0,a = 0
k=0
∞
Φ1 (τ1 , τ2 , . . . , τm ) = φ1,k τ k a ∈ M1 =⇒ φ1,a = 0
k=0
(1 − τ1 ) Φ0 (τ1 , τ2 , . . . , τm ) + Φ1 (τ1 , τ2 , . . . , τm ) = 1
φ0,a + φ1,a = 1, a = 0, 1, . . .

199. Уравнения в частных производных
∞
Φ0 (τ1 , τ2 , . . . , τm ) = φ0,k τ k a ∈ M0 =⇒ φ0,a = 0
k=0
∞
Φ1 (τ1 , τ2 , . . . , τm ) = φ1,k τ k a ∈ M1 =⇒ φ1,a = 0
k=0
(1 − τ1 ) Φ0 (τ1 , τ2 , . . . , τm ) + Φ1 (τ1 , τ2 , . . . , τm ) = 1
φ0,a + φ1,a = 1, a = 0, 1, . . .
M = {a | φ0,a = 0}

200. Уравнения в частных производных
∞
Φ0 (τ1 , τ2 , . . . , τm ) = φ0,k τ k a ∈ M0 =⇒ φ0,a = 0
k=0
∞
Φ1 (τ1 , τ2 , . . . , τm ) = φ1,k τ k a ∈ M1 =⇒ φ1,a = 0
k=0
(1 − τ1 ) Φ0 (τ1 , τ2 , . . . , τm ) + Φ1 (τ1 , τ2 , . . . , τm ) = 1
φ0,a + φ1,a = 1, a = 0, 1, . . .
M = {a | φ0,a = 0}
a ∈ M0 =⇒ φ0,a = 0 =⇒ a ∈ M

201. Уравнения в частных производных
∞
Φ0 (τ1 , τ2 , . . . , τm ) = φ0,k τ k a ∈ M0 =⇒ φ0,a = 0
k=0
∞
Φ1 (τ1 , τ2 , . . . , τm ) = φ1,k τ k a ∈ M1 =⇒ φ1,a = 0
k=0
(1 − τ1 ) Φ0 (τ1 , τ2 , . . . , τm ) + Φ1 (τ1 , τ2 , . . . , τm ) = 1
φ0,a + φ1,a = 1, a = 0, 1, . . .
M = {a | φ0,a = 0}
a ∈ M0 =⇒ φ0,a = 0 =⇒ a ∈ M
a ∈ M1 =⇒ φ1,a = 0 =⇒ φ0,a = 1 =⇒ a ∈ M