Imo38013802 istatistik-1

ĠSTATĠSTĠK

Yrd. Doç. Dr. Serkan ARIKAN







Ġstatistik verilerin kendisini ya da verilerden
elde edilen ortalama gibi rakamları ifade
etmek için kullanılır.
Ġstihdam istatistikleri
Kaza istatistikleri




Ġstatistik verilerin
◦
◦
◦
◦
◦

Toplanması
Düzenlenmesi
Özetlenmesi
SunuluĢu
Analizi

ile ilgili bilimsel yöntemlerle ilgilidir.








Bir üniversitedeki öğrencilerin boy ve
ağırlıkları
Bir günde bir fabrikada üretilen hatalı cıvata
sayısı

Bu gibi durumlara tüm gruba Popülasyon veya
Evren deriz.






Grup çok büyük ise tüm grubu gözlemek
mümkün olmayabilir
Bu durumda örnek veya örneklem denilen
grubun küçük bir parçası incelenir.






Örneklem popülasyonu temsil edici ise
örneklem verisinden elde edilen sonuçlar
popülasyon için de kullanılır.
Böyle bir çıkarımın sonuçları mutlak kesin
olmayacağından, sonuçlar ifade edilirken
olasılıklı ifadeler kullanılır.




Daha büyük bir grup hakkında sonuç
çıkarmadan daha küçük bir grup veriyi
yalnızca betimleme (tanımlama) ve
çözümlemeye yönelen istatistiksel tekniklere
betimsel istatistik denir.




Ġstatistikte, verilerin doğasına ve grafikte
verilmek istenen amaca bağlı olarak, birçok
grafik türü kullanılır.
◦
◦
◦
◦

Çubuk grafikleri (bar chart)
Çizgi grafiği
(line graph)
Daire grafikleri (pie chart)
Resimli grafikler, v.b.


Tablo 1.1
YIL

Buğday Kile Sayısı

Mısır Kile Sayısı

1987

200

75

1988

185

90

1989

225

100

1990

250

85

1991

240

80

1992

195

100

1993

210

110

1994

225

105

1995

250

95

1996

230

110

1997

235

100

a) En az buğday üretilen yıl
b) En fazla mısır üretilen
c) Buğday üretiminde en büyük düĢüĢün meydana geldiği


Tablo 1.1
YIL



1987

200

75

1988

185

90

1989

225

100

1990

250

85

1991

240

80

1992

195

100

1993

210

110

1994

225

105

1995

250

95

1996

230

110

1997

235

100

d) Önceki yıla göre buğday üretimi artarken, mısır
üretiminin düĢtüğü
e) Aynı miktarda buğday üretilen
f) Buğday ve mısır üretiminin birlikte en fazla olduğu

300

250

200

150


100

50

0
1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997




EXCEL programını kullanarak çizim yapma


Tablo 1.4: HIV tanısıyla taburcu edilen hastalar
YIL

1990

1991

1992

1993

1994

HIV Tanısı ile Taburcular

146

165

194

225

234


YIL

1990

1991

1992

1993

1994


146

165

194

225

234

250
200
150
HIV Tanısı ile

100

Taburcular

50
0
1990

1991

1992

1993

1994


YIL

1990

1991

1992

1993

1994


146

165

194

225

234

250
200
150

100
50
0
1990

1991

1992

1993

1994


YIL

1990

1991

1992

1993

1994


146

165

194

225

234

1994
1993

1992
1991
1990
0

50

100

150

200

250


Tablo 1.6: Birleşik Devletler denetimindeki beş büyük gölün alanları
Büyük Göller

Alan (mil kare)

Michigan

22,342

Superior

20,557

Huron

8,800

Erie

5,033

Ontario

3,446

Alan (mil kare)
Ontario
Erie

Huron
Alan (mil kare)
Superior
Michigan
0.000

5.000

10.000 15.000 20.000 25.000


Büyük Göller

Alan (mil kare)

Michigan

22,342

Superior

20,557

Huron

8,800

Erie

5,033

Ontario

3,446


Büyük Göller

Alan (mil kare)

Michigan

22,342

Superior

20,557

Huron

8,800

Erie

5,033

Ontario

3,446

Alan (mil kare)
Michigan

Superior

8%

Huron

Erie

Ontario

6%
37%

15%

34%




FREKANS DAĞILIMLARI






ToplanmıĢ, henüz sayısal olarak
düzenlenmemiĢ verilerdir.
Örneğin, Üniversitenin alfabetik kayıt
listesinden elde edilen 100 erkek öğrencinin
boy uzunlukları kümesidir.








Ham sayısal verilerin, artan veya azalan
büyüklük sırasına konulmuĢ durumudur.
En büyük ve en küçük sayılar arasındaki farka
verilerin açıklığı (range) denir.
Örneğin, 100 öğrencinin en uzun boylusu
1,90 cm ve en kısa boylusu 1,62 cm ise
Açıklık: 1,90 – 1,62 = 28 cm dir.


ÖRNEK
 17, 45, 38, 27, 6, 48, 11, 57, 34, 22
sayılarının açıklığını bulunuz.






Ham veriler özetlenirken, verilerin sınıflara
veya kategorilere ayrılması ve her sınıfa ait
birey sayılarının belirlenmesi sınıf frekansı
olarak isimlendirilir.

Verilerin sınıflara göre ve ilgili sınıfın
frekansları ile birlikte bir tablo halinde
düzenlenmesine frekans dağılımı veya
frekans tablosu adı verilir.


XYZ Üniversitesinde 100 Erkek
Öğrencinin Boy Uzunlukları
Boy (inç)

Öğrenci Sayısı

60-62

5

63-65

18

66-68

42

69-71

27

72-74

8
Toplam:100




Verileri gruplama süreci genellikle verilerin
orijinal ayrıntılarını tahrip ederse de, bu yolla
elde edilen “kapsayıcı” görünüm ve bu
görünümün ortaya koyduğu iliĢkiler önemli
yarar sağlar.






Sınıf Aralığı: Sınıfı belirlemede kullanılan 6062 gibi semboldür.
Sınıf Limitleri: Ġlk ve son sayılar olan 60 ve 62
gibi sayılardır.



Alt Sınıf Limiti: Küçük olan 60 gibi sayı.



Üst Sınıf Limiti: Büyük olan 62 gibi sayı




Açık Sınıf Aralığı: alt veya üst limiti
gösterilmeyen, “65 yaĢ ve yukarısı” gibi
aralıklardır.




Sınıf Sınırları
◦ 60-62 sınıf aralığı, 59,5’dan 62,5’a kadar olan
bütün ölçümleri içerir.
◦ 59,5 ve 62,5 sayılarına sınıf sınırları denir.
◦ Bir önceki sınıf aralığının üst limitiyle, sonraki sınıf
aralığının alt limitinin toplanıp 2 ye bölünmesi ile
bulunur. (62+63)/2=62,5 gibi.








Ham verilerdeki en büyük ve en küçük sayılar
belirlenerek açıklık (en büyük ve en küçük
sayı arasındaki fark) bulunur.
Açıklık uygun bir sınıf aralığına bölünür. (520 arası sınıf aralığı olabilir)
Sınıf aralığına giren gözlem sayısı belirlenir.






AĢağıdaki tabloda Devlet Üniversitesinde 40
öğrencinin ağırlıkları en yakın pound’a
yuvarlanarak verilmiĢtir. Bir frekans dağılımı
düzenleyiniz.

138
140
163
140

164
147
119
135

150
136
154
161

132
148
165
145

144
152
146
135

125
144
173
142

149
168
142
150

157
126
147
156


146
138
135
145

158
176
153
128



En küçük: 119



En büyük: 176



Açıklık: 176-119=57



Sınıf aralığı: 5-20, biz 5 seçelim


Ağırlık
118-122
123-127
128-132
133-137
138-142
143-147
148-152
153-157
158-162
163-167
168-172
173-177

Dar Yaprak Frekans
*
1
**
2
**
2
***
4
******
6
********
8
*****
5
****
4
**
2
***
3
*
1
**
2
Toplam
40




Histogramlar ve frekans poligonları, frekans
dağılımlarının grafikle gösteriliĢ biçimidir.
Boy (inç)

Öğrenci Sayısı

60-62

5

63-65

18

66-68

42

69-71

27

72-74

8
Toplam:100






Tabanları yatay eksende
Sınıf iĢaretlerine merkezleri gelecek
Uzunlukları sınıf frekansları ile orantılı




Histogramlardaki dikdörtgenlerin üst kenar
orta noktalarının birleĢtirilmesi ile elde edilir.
BaĢlangıçtan bir önceki ve en sondan bir
sonraki sınıf frekansları sıfıra uzatılır.



Verilen bir sınıf aralığının üst sınıf sınırı
altında kalan bütün değerlerin toplam
frekansına, bu sınıfın birikimli frekansı denir.
Boy (inç)

Öğrenci Sayısı

Boy (inç)

Öğrenci Sayısı

60-62

5

59.5'den az

0

63-65
66-68
69-71
72-74

18
42
27
8
Toplam:100

62.5'den
65.5'den
68.5'den
71.5'den
74.5'den

az
az
az
az
az


5
23
65
92
100



Birikimli frekansı gösteren grafiktir.
Öğrenci Sayısı
120
100
80
60

Öğrenci Sayısı

40
20
0
59.5

62.5

65.5

68.5

71.5

74.5


Ücretler ($)
250.00 - 259.99
260.00 - 269.99
270.00 - 279.99
280.00 - 289.99
290.00 - 299.99
300.00 - 309.99
310.00 - 319.99

Çalışan Sayısı
8
10
16
14
10
5
2
Toplam 65









1) Altıncı sınıfın alt limiti?
2) Dördüncü sınıfın üst
limiti
3) Üçüncü sınıfın frekansı
4) Haftada 280.00 $’dan
az kazanan çalıĢanların
yüzdesini
5) Haftada 300.00 $’dan
az , fakat en az 260.00 $
kazanan çalıĢanların
sayısı?


Ücretler ($)
250.00 - 259.99
260.00 - 269.99
270.00 - 279.99
280.00 - 289.99
290.00 - 299.99
300.00 - 309.99
310.00 - 319.99

Çalışan Sayısı
8
10
16
14
10
5
2
Toplam 65








1) Histogramını çiziniz
2) Frekans Poligonunu
çiziniz
3) Birikimli Frekans
tablosunu oluĢturunuz
4) Birikimli Frekans
Poligonunu Çiziniz.


18
16
14

Frekans

12
10
8
6
4
2
0
255.00

265.00

275.00

285.00

295.00

305.00

Ücretler


315.00

18
16

14
12

10
Series1

8
6
4
2
0

245.00

255.00

265.00

275.00

285.00

295.00

305.00

315.00

325.00


Ücretler ($)

Çalışan
Sayısı

250.00'den az

0

260.00 'den az

8

270.00'den az

18

280.00'den az

34

290.00'den az

48

300.00'den az

58

310.00'den az

63

320.00'den az

65


70
60
50
40
30
Series1
20
10
0


Ücretler ($)

Çalışan Sayısı

250.00 - 259.99

8

260.00 - 269.99

10

270.00 - 279.99

16

280.00 - 289.99

14

290.00 - 299.99

10

300.00 - 309.99

5

310.00 - 319.99

Göreli Frekans
(Yüzde Olarak)

2
Toplam 65

Toplam 100.00


Ücretler ($)

Göreli Frekans
(Yüzde Olarak)

Çalışan Sayısı

250.00 - 259.99

8

12,3

((8/65)*100)

260.00 - 269.99

10

15,4

((10/65)*100)

270.00 - 279.99

16

24,6

((16/65)*100)

280.00 - 289.99

14

21,5

((14/65)*100)

290.00 - 299.99

10

15,4

((10/65)*100)

300.00 - 309.99

5

7,7

((5/65)*100)

310.00 - 319.99

2

3,1

((2/65)*100)

Toplam 65

Toplam 100.00


Ücretler ($)

Çalışan
Sayısı

250.00'den az

0

260.00 'den az

8

270.00'den az

18

280.00'den az

34

290.00'den az

48

300.00'den az

58

310.00'den az

63

320.00'den az

Yüzdelik Birikimli
Dağılım

65


Ücretler ($)

Çalışan
Sayısı

Yüzdelik Birikimli
Dağılım

250.00'den az

0

0

260.00 'den az

8

12,3

((8/65)*100)

270.00'den az

18

27,7

((18/65)*100)

280.00'den az

34

52,3

((34/65)*100)

290.00'den az

48

73,8

((48/65)*100)

300.00'den az

58

89,2

((58/65)*100)

310.00'den az

63

96,9

((63/65)*100)

320.00'den az

65

100

((65/65)*100

((0/65)*100)




Ortalama, Medyan, Mod ve Diğer Merkezi
Eğilim Ölçüleri











Bir ortalama bir veri kümesinin tipik değeri
veya kümeyi temsil eden bir değerdir.
Aritmetik Ortalama
Ağırlıklı Aritmetik Ortalama
Medyan
Mod
Geometrik ve Harmonik Ortalama




ÖRNEK: 8, 3, 5, 12 ve 10 sayılarının aritmetik
ortalamasını hesaplayınız.




ÖRNEK: Bir sınıftaki öğrenciler aĢağıdaki
notları almıĢlardır. Aritmetik ortalamasını
hesaplayınız
Not

Öğrenci Sayısı
(frekans)

5

3

8

2

6

4

2

1




CEVAP: 5,7

Not

Öğrenci Sayısı
(frekans)

5

3

8

2

6

4

2

1




Bazen X1, X2, …., Xk sayıları anlam ve önemine
göre belirlenmiĢ sayılar olan w1, w2, …, wk
ağırlıklandırma faktörleri (veya) ağırlıkları ile
iliĢkilendirilir.




Eğer bir dersin final sınavı ara sınavına göre 3
kez daha fazla ağırlıklandırılmıĢ ise, final
sınavından 85 ve ara sınavlardan 70 ve 90
almıĢ bir öğrencinin ortalama notu kaç olur?






Eğer bir dersin final sınavı ara sınavına göre 3
kez daha fazla ağırlıklandırılmıĢ ise, final
sınavından 85 ve ara sınavlardan 70 ve 90
almıĢ bir öğrencinin ortalama notu kaç olur?

YANIT: 83




Alttaki tabloya göre boy ortalaması kaçtır?
Boy (inç)

Öğrenci Sayısı

60-62

5

63-65

18

66-68

42

69-71

27

72-74

8
Toplam:100




1. YÖNTEM
Boy (inç)

Sınıf Değeri

Öğrenci
Sayısı
(frekans)

60-62

61

5

63-65

64

18

66-68

67

42

69-71

70

27

72-74

71

8

Toplam:100




1. YÖNTEM
Boy (inç)

Sınıf Değeri

Öğrenci Sayısı
(frekans)

Sınıf Değeri X
frekans

60-62

5

61x5=305

63-65

64

18

64x18=1152

66-68

67

42

67x42=2814

69-71

70

27

70x27=1890

72-74

71

8

71x8=584

Toplam:100



61

Toplam:
6745

Sonuç: 6745/100 = 67,45



2. YÖNTEM
Boy (inç)

Sınıf Değeri

Öğrenci
Sayısı
(frekans)

60-62

61

5

63-65

64

18

66-68

67

42

69-71

70

27

72-74

73

8

Toplam:100




2. YÖNTEM
Sınıf Değeri
61

-6

5

-6x5=-30

64

-3

18

-3x18=-54

67

0

42

0x42=0

70

3

27

3x27=81

73

6

8

6x8=48

Toplam:100



SAPMA
(67’den)

Öğrenci Sayısı
(frekans)

Toplam: 45

Sonuç: 67+(45/100)=67,45

Sınıf Değeri X
frekans



Medyan büyüklük sıralarına göre düzenlenmiĢ
sayılar kümesinin (sıralanıĢtaki) ortadaki
değer veya iki ortalama değerin aritmetik
ortalamasıdır.




3, 4, 4, 5, 6, 8, 8, 8, 10 sayılarının medyanı ?



5, 5, 7, 8, 11, 12, 15, 18 sayılarının medyanı ?




ÖRNEK: Büyük bir Ģehrin 15 yerinde ATM
makinelerinin günlük iĢlem sayıları
kaydedilmiĢtir. Bu sayılar, 35, 49, 225, 50, 30,
65, 40, 55, 52, 76, 48, 325, 47, 32, 60 ise
medyanını bulunuz.




Alttaki tabloya göre medyan kaçtır?
Ağırlık (lb)

Öğrenci Sayısı
(frekans)

118-126

3

127-135

5

136-144

9

145-153

12

154-162

5

163-171

4

172-180

2
Toplam: 40




Toplam 40 olduğu için, 20 aĢağıda 20
yukarıda olmalıdır. 40/2 = 20 alınır



3+5+9 =17
20 olması için 3 adet daha lazım



GeniĢlik (153,5-144,5=9)



144,5 + (3/12)*(153,5 – 144,5) = 146,75







Alttaki tabloya göre medyan kaçtır?
Siz Hesaplayınız.
Ücretler ($)

Çalışan Sayısı

250.00 - 259.99

8

260.00 - 269.99

10

270.00 - 279.99

16

280.00 - 289.99

14

290.00 - 299.99

10

300.00 - 309.99

5

310.00 - 319.99

2
Toplam 65



65 olduğu için 32,5 olanı alacağız.



8+10 = 18



Geriye 32,5-18 = 14,5 kalıyor



GeniĢlik 10



269,995+(14,5/16)*10 =279,06






Bir sayı kümesinin modu en büyük frekansa
sahip, yani en çok rastlanan değerdir.
Mod var olmayabilir veya var ise tek
olmayabilir.




2, 2, 5, 7, 9, 9, 9, 10, 10, 11, 12, 18 modu ?



3, 5, 8, 10, 12, 15, 16 modu ?



2, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 7, 7, 9 modu ?




Neden sadece ortalama değil de, medyan ve
modu da kullanırız?



2, 3, 4, 5, 6



2, 3, 4, 5, 600




ORTALAMA?
MEDYAN?




ġARKI




N tane pozitif sayının geometrik ortalaması,
bu sayıların çarpımlarının N. dereceden
köküdür.




2, 4 ve 8 sayılarının geometrik ortalaması




N tane sayının harmonik ortalaması, bu
sayıların terslerinin aritmetik ortalamasının
tersidir.




2, 4 ve 8 sayılarının harmonik ortalaması


2, 4 ve 8 sayılarının
Aritmetik ortalaması: 4,67
Geometrik ortalaması: 4
Harmonik ortalaması: 3,43 tür.







Eğer bir veri kümesi büyüklüklerine göre
düzenlenirse, kümeyi eĢit iki parçaya bölen
orta değer medyandır.
Kümeyi dört eĢit parçaya bölen değerler, Q1,
Q2 ve Q3, sırasıyla, birinci, ikinci ve üçüncü
çeyrekler olarak adlandırılır.






Veriyi 10 eĢit parçaya ayıran değerler
ondabirlikler olarak adlandırılır.
Veriyi 100 eĢit parçaya bölen değerler
yüzdebirlikler olarak adlandırılır.




Hangi çeyreklik medyana eĢittir?



Hangi ondabirlik medyana eĢittir?



Hangi yüzdebirlik medyana eĢittir?




SPSS




Alttaki tabloya göre ĠġLEM YAPMADAN
çeyreklikleri tahmin ediniz. (Sayfa 87)
Puan

Öğrenci Sayısı

90-100

9

80-89

32

70-79

43

60-69

21

50-59

11

40-49

3

30-39

1
Toplam 120



Alttaki tabloya göre çeyreklikleri bulunuz.
(Sayfa 87)
Puan

Öğrenci Sayısı

90-100

9

80-89

32

70-79

43

60-69

21

50-59

11

40-49

3

30-39

1
Toplam 120







Alttaki tabloya göre çeyreklikleri bulunuz.
(Sayfa 87)
66,64
75,08
82,93




66,64
75,08
82,93



BU DEĞERLER NE ANLAMA GELĠYOR?







Standart Sapma ve Diğer Yayılım Ölçüleri




10 10 10 10 10



8 9 10 11 12



0 5 10 15 20




ORTALAMA?
DAĞILIM?











Sayısal verinin bir ortalama değer etrafındaki
yayılma eğiliminin derecesine o verinin
yayılımı denir.
Açıklık
Ortalama Sapma
Yarı çeyrekler arası açıklık
10-90 yüzdebirlik açıklık
Standart Sapma








Açıklık
Kümedeki en büyük ve en küçük sayılar arası
farktır.

2, 3, 4, 5, 5, 5, 8, 10, 12 sayılarının açıklığı




Ortalama Sapma




2, 3, 6, 8, 11 kümesinin ortalama sapmasını
bulunuz.






2, 3, 6, 8, 11 kümesinin ortalama sapmasını
bulunuz.

2,8




Yarı Çeyreklikler Arası Açıklık




10-90 Yüzdebirlik Açıklık


Standart Sapma
N tane X1, X2, X3…, Xn sayının standart sapması
s ile gösterilir





9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18 sayıları için standart
sapmayı hesaplayınız.




12, 6, 7, 3, 15, 10, 18, 5 sayıları için standart
sapmayı hesaplayınız.






Standart Sapma
Tanımlanan grubun tüm verisi yerine bir
örneklem seçildiğinde, standart sapma
hesaplanırken formüldeki N yerine N-1
kullanılır.









Varyans
Bir veri kümesinin varyansı standart sapmanın
karesi olarak tanımlanır

Bir örneklemden elde edilmiĢ ise s2
Tüm veriden (popülasyondan) elde edilmiĢ ise
σ2 olarak gösterilir.




Varyans





Standart Sapmanın Özellikleri
S.S. alttaki gibi de tanımlanabilinir. Burada a
aritmetik ortalamadan baĢka bir ortalama
olabilir. a = x̄ olduğunda S.S. minimum
değerini alır.









Normal dağılım var ise,
◦ Durumların %68’i ortalamanın bir standart sapma
sağında ve solunda
◦ Durumların %95’i ortalamanın iki standart sapma
sağında ve solunda
◦ Durumların %99’u ortalamanın üç standart sapma
sağında ve solunda yer alır.








Ortalama=50,
Standart Sapma=10 ve dağılım normal ise,
????






Standart Puanlar
Standart sapma birimleri cinsinden
ortalamadan sapmayı ölçen değiĢkenlere
standart puan veya z puanı denir.





Örnek:
Bir öğrenci ortalama notun 76 ve standart
sapmanın 10 olduğu bir matematik final
sınavından 84 notunu almıĢtır.
Ortalama notun 82 ve standart sapmanın 16
olduğu fizik final sınavından 90 notunu
almıĢtır.
Hangi derste göreli olarak daha iyi
durumdadır?






Örnek:
2, 4, 6, 8, 10 kümesindeki sayılar için z
değerlerini hesaplayınız









Örnek:
2, 4, 6, 8, 10 kümesindeki sayılar için z
değerlerini hesaplayınız

Ortalama=6
Standart sapma=2,8




Z puanının pozitif olması ne anlama geliyor?



Z puanının negatif olması ne anlama geliyor?



Z puanının sıfır olması ne anlama geliyor?




Alttaki tabloya göre boyların standart sapması
kaçtır?
Boy (inç)

Öğrenci Sayısı

60-62

5

63-65

18

66-68

42

69-71

27

72-74

8
Toplam:100




Alttaki tabloya göre boyların standart sapması
kaçtır?


Alttaki tabloya göre S.S. Hesaplayınız
serkanarikan@mu.edu.tr


Puan

Öğrenci Sayısı

90-100

9

80-89

32

70-79

43

60-69

21

50-59

11

40-49

3

30-39

1
Toplam 120





Örnek:
Ortalamanın 55, Standart sapmanın 15
olduğu normal dağılım gösteren bir sınavda
öğrencilerin sınav sonuçlarının %68’i hangi
puan aralığındadır?






Örnek:
Ortalamanın 55, Standart sapmanın 15
olduğu normal dağılım gösteren bir sınavda
öğrencilerin sınav sonuçlarının %80’i hangi
puan aralığındadır?


Imo38013802 istatistik-1

Recommended

Recommended

More Related Content

Featured

Featured (20)

Imo38013802 istatistik-1