MATRICES Y DETERMINANTES

UNIVERSIDAD ESTATAL PENÍNSULA
DE SANTA ELENA
SISTEMA NACIONAL DE NIVELACIÓN Y ADMISIÓN
PROYECTO DE AULA DE MATEMATICAS
“MANUAL Y VIDEO TUTORIAL SOBRE MATRICES Y DETERMINANTES”
AUTORES:
Carvajal Panchana Jenny Carolina.
Pichiná Lozano Harrison Jordan.
Mackliff Jaya Domenica Ivanova.
Viche Aguilar Jorge Andrés.
CARRERA:
INGENIERÍA EN PETRÓLEO
PET 20
DOCENTE:
Ing. Carlos Malavé Carrera.
SANTA ELENA
Agosto 2015

ÍNDICE GENERAL
INTRODUCCIÓN............................................................................................ 4
OBJETIVOS ................................................................................................... 4
1. MATRIZ.................................................................................................... 6
1.1 Tipos de matrices............................................................................... 7
1.1.1 Matriz fila........................................................................................ 7
1.1.2 Matriz columna............................................................................... 7
1.1.3 Matriz rectangular .......................................................................... 7
1.1.4 Matriz cuadrada ............................................................................. 8
1.1.5 Matriz traspuesta ........................................................................... 8
1.1.6 Matriz simétrica.............................................................................. 8
1.1.7 Matriz anti simétrica. ...................................................................... 9
1.1.8 Matriz Identidad. .......................................................................... 10
1.1.9 Matriz nula. ............................................................................... 10
1.1.10 Matriz Triangular superior ............................................................ 10
1.1.11 Matriz Triangular inferior ............................................................. 10
1.1.12 Matriz Escalar ............................................................................. 11
1.1.13 Matriz inversa. ......................................................................... 11
1.2 Operaciones con matrices................................................................................. 13
1.2.1 Suma de matrices y resta de matrices......................................... 13
1.2.2 Producto de matrices ................................................................... 14
1.2.3 División de matrices..................................................................... 15
2. DETERMINANTES. ............................................................................... 15
2.1 Tipos de determinantes.................................................................... 16
2.1.1 Determinantes de matriz de orden ........................................ 16
2.1.2 Determinantes de matriz de orden ........................................ 17
2.2 Propiedades de las determinantes................................................... 18

3. EJERCICIOS PROPUESTOS DE MATRICES Y DETERMINANTES ... 20
3.1 Producto de matrices. ...................................................................... 20
3.2 Sistema de ecuaciones.................................................................... 21
3.3 Ejercicio de matriz identidad............................................................ 22
3.4 Matrices con incógnitas. .................................................................. 23
CONCLUSIÓN.............................................................................................. 25
ANEXOS....................................................................................................... 26
BIBLIOGRAFÍA............................................................................................ 26

4
INTRODUCCIÓN
Las matrices y los determinantes son herramientas del álgebra que facilitan
el ordenamiento de cada uno de los datos, así como su manejo. Los
conceptos de matriz que se conocen y todos los relacionados hasta la
actualidad fueron desarrollados aproximadamente en el siglo XIX por los
siguientes matemáticos como los ingleses J.J. Sylvester y Arthur Cayley y el
irlandés William Hamilton. Las matrices se encuentran principalmente en
aquellos ámbitos en los que se trabaja con datos que son regularmente
ordenados y aparecen en situaciones propias de las Ciencias Sociales,
Económicas y Biológicas muy útiles hasta la actualidad.
La matriz es un conjunto rectangular de elementos que se representan
encerrándolos dentro de un paréntesis. Las determinantes es una función
exclusiva de las matrices cuadradas y son demasiado útiles para estudiar
más a profundidad las matrices, un determinante es principalmente un
número real asociado mediante la función determinante. Las matrices tiene
una amplia gama de utilidades, entre las que destacan está la resolución de
sistemas de ecuaciones lineales, la propiedad de estas de despejar
incógnitas mediante razonamiento necesario para cada estudiante y
profesional que desee aprender o mejorar sus conocimientos sobre aquello,
las matrices tienen una aplicación de matemáticas elementales las ha hecho
meritorias de su ampliado uso en diferentes áreas, como economía,
arquitectura, ingeniería, construcción, etc.
OBJETIVOS
 Identificar una matriz y su utilización en las matemáticas.
 Conocer propiedades de las determinantes, para su respectivo
desarrollo.
 Conocer las principales operaciones con matrices.
 Resolver ejercicios de matrices y determinantes dentro de un mismo
ejercicio, mediante los tipos de matrices y propiedades de las
determinantes

5
ESQUEMA DE CONTENIDOS.
Ejercicios
Resueltos
Matrices y
determinantes
Matrices
Definicion
Tipos de
matrices
Operaciones
con matrices
Determinantes
Definicion
Tipos de
determinantes
Propiedades
de las
determinantes

6
1. MATRIZ
¿Qué es una matriz? Siempre que colocamos un elemento en filas y
columnas realizamos el uso de una estructura matricial.
Por ejemplo, cualquier espectáculo en el que las entradas estén numeradas
hace uso de este tipo de estructuras. Lo que se hace es dividir la Platea en lo
que se tiene de filas y columnas. Si en nuestra entrada pone Fila 23,
asiento 12 nos está indicando está en la fila 23 y columna 12.
Cualquier de las tablas de las que utilizamos en los editores de texto no deja
de ser una matriz, ya que se puede observar que se encuentra
principalmente organizada por filas y columnas.
Ejemplo
Por ejemplo, la tabla
2 1 5 8
3 2 2 0
2 1 6 4
Tiene 3 filas y 4 columnas. El número que ocupa la fila 2 y columna 4 es el
cero.
Para que una tabla sea una matriz representativa de algún objeto
matemático basta con que en cada celda pongamos algún valor numérico, le
quitemos la cuadrícula y la encerremos entre dos grandes paréntesis
( )
Y de esta manera podemos decir que tenemos una matriz de las que se
utilizan habitualmente en matemática

7
 Elemento de una matriz
Cada uno de los números de que consta la matriz se denomina elemento.
Un elemento se distingue de otro por la posición en la que se encuentra, es
decir, la fila y la columna a la que principalmente pertenece.
 Dimensión de una matriz
El número de filas y columnas de una matriz se denomina dimensión de una
matriz. Así, una matriz de dimensión es una matriz que tiene m filas y n
columnas.
De este modo, una matriz puede ser de dimensión: (2 filas y 4
columnas), (3 filas y 2 columnas), (2 filas y 5 columnas) y así
respectivamente...
Sí la matriz tiene el mismo número de filas que de columnas, se dice que es
de orden: 2, 3, 4,...
 Matrices iguales
Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y los elementos
que ocupan el mismo lugar en ambas, son iguales.
1.1 Tipos de matrices.
1.1.1 Matriz fila
Una matriz fila está constituida por una sola fila.
( )
1.1.2 Matriz columna
La matriz columna tiene una sola columna
( )
1.1.3 Matriz rectangular
La matriz rectangular tiene distinto número de filas que de columnas, siendo
su dimensión

8
( )
1.1.4 Matriz cuadrada
La matriz cuadrada tiene el mismo número de filas que de columnas.
La diagonal principal: aparece una diagonal principal en tipo de matrices que
son cuadradas es decir que tienen un mismo número de filas y columnas,
empezando por el elemento fila 1 columna 1 y terminando por el elemento
fila 3 columna 3.
( )
1.1.5 Matriz traspuesta
Dada una matriz A, se llama matriz traspuesta de A a la matriz que se
obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas.
( ) ( )
1.1.6 Matriz simétrica.
Son todas aquellas que cumplen se usan únicamente en matrices
cuadradas.
Matriz diagonal o principal.

9
i: filas
j: columnas
( )
1.1.7 Matriz anti simétrica.
La matriz diagonal principal tiene que ser cero para que se cumpla la
condición de:
i: filas
j: columnas
( )
Diagonal Principal.
Columna.
Fila.
Matriz Diagonal o Principal
Fila.
Columna.

10
1.1.8 Matriz Identidad.
Es aquella cuya diagonal principal es igual a 1, también es denominada
matriz inútil porque al multiplicar por ella no se hace nada es decir multiplicar
los números por 1.
( )
1.1.9 Matriz nula.
En una matriz nula todos los elementos son ceros.
( )
1.1.10 Matriz Triangular superior
En una matriz triangular superior los elementos situados por debajo de la
diagonal principal son ceros.
( )
1.1.11 Matriz Triangular inferior
En una matriz triangular inferior los elementos situados por encima de la
diagonal principal son ceros
Matriz diagonal o
principal.
Matriz Diagonal o PrincipalMatriz Triangular
Superior

11
( )
1.1.12 Matriz Escalar
Una matriz escalar es una matriz diagonal en la que los elementos de la
diagonal principal son iguales.
( )
1.1.13 Matriz inversa.
El producto de una matriz por su inversa es igual a la matriz identidad.
Se puede calcular la matriz inversa por dos métodos:
1º Cálculo por determinantes
( )
Matriz inversa.
Determinante de la matriz.
Matriz Triangular Inferior
Matriz Diagonal o
principal
Matriz diagonal y
escalar.

12
Matriz Adjunta
( ) Matriz traspuesta de la adjunta
Ejemplo
( )
1. Calculamos el determinante de la matriz, en el caso que el
determinante sea nulo la matriz no tendrá inversa.
| |
2. Hallamos la matriz adjunta, que es aquella en la que cada
elemento se sustituye por su adjunto.
(
| | | | | |
| | | | | |
| | | | | |)
( )
3. Calculamos la traspuesta de la matriz adjunta.
( ) ( )

13
4. La matriz inversa es igual al inverso del valor de su determinante
por la matriz traspuesta de la adjunta.
( )
( )
1.2 Operaciones con matrices
1.2.1 Suma de matrices y resta de matrices
Para poder sumar o restar matrices, éstas deben tener el mismo número de
filas y de columnas. Es decir, si una matriz es de orden y otra de ,
no se pueden sumar ni restar. Esto es así ya que, tanto para la suma como
para la resta, se suman o se restan los términos que ocupan el mismo lugar
en las matrices.
 Suma:
Sean las matrices ( ) y ( ) Entonces:
( ) ( ) ( )

14
 Resta:
Sean las matrices ( ) y ( ) Entonces:
( ) ( ) ( )
 Suma y Resta
Para sumar o restar más de dos matrices se procede igual. No
necesariamente para poder sumar o restar matrices, éstas tienen que ser
cuadradas.
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
1.2.2 Producto de matrices
Para poder multiplicar dos matrices, la primera debe tener el mismo número
de columnas que filas la segunda. La matriz resultante del producto quedará
con el mismo número de filas de la primera y con el mismo número de
columnas de la segunda.
Es decir, si tenemos una matriz ( ) y la multiplicamos por otra de orden
( ), la matriz resultante será de orden( ).
( ) ( ) ( )
Se puede observar que el producto de matrices
s no cumple la propiedad conmutativa, ya que en el ejemplo anterior, si
multiplicamos la segunda por la primera, no podríamos efectuar la operación.
( ) ( ), puesto que la primera matriz no tiene el mismo número de
columnas que filas la segunda.

15
( ) ( ) ( )
1.2.3 División de matrices
La división de matrices se define como el producto del numerador
multiplicado por la matriz inversa del denominador. Es decir, sean las
matrices A y B tal que A/B = AB-1:
Si una matriz está dividida entre un escalar, todos los términos de la matriz
quedarán divididos por ese escalar.
( )
( )
( )
( ) ( )
2. DETERMINANTES.
El término determinantes siempre va a estar asociada a las matrices,
especialmente a las matrices cuadradas, se asocia la determinante a un
número.

16
2.1 Tipos de determinantes.
2.1.1 Determinantes de matriz de orden
Una matriz cuadrada de dos filas y dos columnas cuya dimensión es 2x2 los
elementos que van a constituir una matriz van a estar ubicados por el
número de filas y numero de columnas.
( )
La definición se va a dar como:
( )
La determinante de A va a ser un cálculo numérico es decir va a estar
asociado a un número ese cálculo numérico sale de la siguiente manera
( )
Ejemplo:
( )
( )

17
2.1.2 Determinantes de matriz de orden
Matrices cuadradas de 3 filas y 3 columnas.
Los elementos a son de la primera columna.
Los elementos b son de la segunda columna.
Los elementos c son de la segunda columna.
( )
Esta matriz se va ampliar agregándoles las dos primeras filas.
A partir de esa disposición se calcula con el método de la diagonal principal y
secundaria.
( )
Diagonales principales:
( )
( )
Diagonales secundarias:
( )

18
El cálculo de determinante de matriz A de orden será igual a la suma de
las diagonales principales, menos la suma de los productos de las
diagonales secundarias.
( )
2.1 Propiedades de las determinantes.
 |A| = 0 Si:
Posee dos filas (o columnas) iguales.
| |
Todos los elementos de una fila (o una columna) son nulos.
| |
Los elementos de una fila (o una columna) son combinación lineal
de las otras.
| |
F3 = F1 + F2

19
 Un determinante triangular es igual al producto de los elementos de la
diagonal principal.
| |
Si en un determinante se cambian entre sí dos filas (o dos columnas),
su valor sólo cambia de signo.
↔ | | | |
 Si a los elementos de una fila (o una columna) se le suman los
elementos de otra multiplicados previamente por un número real, el
valor del determinante no varía.
Es decir, si una fila (o una columna) la transformamos en una
combinación lineal de las demás, el valor del determinante no varía.
| | | |
 Si se multiplica un determinante por un número real, queda
multiplicado por dicho número cualquier fila (o cualquier columna),
pero sólo una.
| | | | | |
 Si todos los elementos de una fila (o columna) están formados por dos
sumandos, dicho determinante se descompone en la suma de dos

20
determinantes en los que las demás filas (o columnas) permanecen
invariantes.
| | | | | |

El determinante de un producto es igual al producto de los
determinantes.
3. Ejercicios propuestos de matrices y determinantes
3.1 Producto de matrices.
A B C
( ) ( ) ( )
( )

21
3.2 Sistema de ecuaciones.
( )
( )
( ( ))
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ( ))
( )
( )
( )
Métodos para resolver un
Sistema de Ecuación
Matricial:
-Sustitución
-Igualación
-Reducción.
-

22
( )
3.3Ejercicio de matriz identidad.
( )
( ) ( ) ( )
Se pueden sumar y restar matrices del mismo número de filas y de
columnas, por esa razón la matriz identidad será del mismo número de filas y
de columnas que la matriz dada al principio (Matriz A).
( ) ( )
Tenemos la matriz A elevada al cuadrado menos la matriz A.
( ) ( ) ( )

23
𝐌𝐀𝐓𝐑𝐈𝐙 𝐍𝐔𝐋𝐀
Resultado del ejercicio.
( ) ( ) ( )
( )
3.4Matrices con incógnitas.
( ) ( ) ( )
Factor común.
( )
Multiplicamos por la inversa la adicción entre la matriz A y B.
( ) ( )
Tenemos que la inversa de aquellas matrices es igual a una matriz identidad
y si multiplicamos la matriz identidad, en este caso por x tendremos como
resultado la x.
Aquella inversa se colocara en ambos mientras de la igualdad tanto a la
derecha como a la izquierda.
( ) ( )
( )
( )

24
Para hallar la matriz inversa de ( ) usaremos lo siguiente:
( )
Determinante:
| |
Determinamos: ( )
( )
( )
Matriz Inversa:
( )
( )

25
( ) ( ) ( )
Matriz Resultante
( )
CONCLUSIÓN.
Luego de haber elaborado el presente proyecto de aula podemos sacar las
conclusiones más importantes como:
- Una matriz es un arreglo rectangular de números colocados entre
paréntesis, la determinante es un arreglo rectangular igual a la matriz,
en donde se deben colocar líneas dobles.
- La teoría de matrices fue introducida en 1858, tiene hoy aplicaciones
en campos diversos como el control de inventarios en las fábricas;
teoría cuántica, en física; análisis de costo de transporte entre otros
campos que existen y es necesario que se sepan, de esta manera
tendremos más importancia y sobre todo conocimiento acerca de en
qué campos se pueden usar las matrices y determinantes.
- Entre las principales clases de matrices están: Fila, columna,
rectangular, nula, cuadrada, diagonal, escalar, simétrica, etc.
- Entre las propiedades de las determinantes todas son muy
importantes para poder resolver ejercicios de todo tipo de
determinantes.

26
- Mediantes el uso de matrices también es necesario saber que se
pueden resolver, sistema de ecuaciones lineales, además se peude
resaltar la importancia que tiene en la resolución de problemas de la
vida cotidiana con lo que se llega a dar una solución exacta y mejores
resultados en un determinado proceso.
ANEXOS.
Video.
https://www.youtube.com/watch?v=8Z6uyrD7Qx4&feature=youtu.be
BIBLIOGRAFÍA.
MatematicasXV. (2009). Recuperado el 28 de Julio del 2015 de
http://sureyma.blogspot.com/2009/10/33-clasificacion-de-la-
matrices.html
Parra, S. (2007). WSL WeblogsSL . Obtenido de Weblogs SL:
http://www.xatakaciencia.com/matematicas/definicion-y-algunos-tipos-
de-matrices
Vitutor, SLU. (2010). Vitutor. Obtenido de Vitutor:
http://www.vitutor.com/algebra/matrices/las_matrices.html
ESPOL Instituto de Ciencias Matematicas - ICM. (2006). Fundamentos De
Matemáticas Para Bachillerato - ESPOL. Guayas - Ecuador:
Poligrafica C.A.

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