体の同値命題

1. Rを単位元をもつ可換環とし,R ̸= {0} とする. 次の命題 (1), (2) を証明せよ.
(1) 任意の元 a ∈ R に対して,単項イデアル (a) が素イデアルであるか,または R に
一致するならば,R は体である.
[谷崎俊之]環と体1
(2) R が有限個の元からなる整域であるならば,R は体である.
証明
aをRの0以外の任意の元とする。
{a^n∈R｜nは正整数}は、有限集合Rの部分集合だから、有限集合なので
a^m＝a^nとなる異なる正整数m, n（m＜n）が存在する。
よって、a^m{1－a^(n-m)}＝1
ここで、Rは整域で、a≠0なので
1－a^(n-m)＝0
a^(n-m)＝1
そして、n＞mだから、n－m＋1は0以上の整数なので
a^(n-m-1)∈Rでa*a^(n-m-1)＝1となり
a^(n-m-1)がaの乗法の逆元。
よって、Rの0以外の元はすべて乗法の逆元を持つ。
よってRは体。