1. MID Masalah Nilai Awal dan Syarat Batas
Nama : Sebastianus Sumardin
N I M : 211 11 020
Prodi : Matematika
Soal !
Lewis F. Richardson merencanakan suatu model matematika dari perlombaab senjata anara dua
negara. Dalam model ini, dibuat pemisalan yang disederhanakan :
a) Hanya dua negara yang terlibat, katakan negara 1 dan 2,
b) hanya ada satu macam senjata atau peluru yang tersedia.
Andaikan ( ) dan ( )x t y t berturut-turut menyatakan jumlah senjata yang tersedia untuk negara 1 dan 2.
Model Richardson untuk perlombaan senjata antara dua negara diberikan oleh sistem persamaan
diferensial linear tak homogenn berikut :
1 2 3
1 2 3
dx
a x a y a
dt
dy
b x b y b
dt
Dengan 1 2 3 1 2 3, , , , , 0a a a b b b
Konstanta 2 1,a b menyatakan koefisien pertahanan dari masing-masing negara. Konstanta 1 2,a b
menyatakan konstanta kelelahan dan biaya; sedangkan 3 3,a b adalah koefisien keluhan. Tentukan
solusi dari model Richardson di atas.
Penyelesaian !
1 2 3
1 2 3
dx
a x a y a
dt
dy
b x b y b
dt
Misalkan persentasi kemenangan untuk masing-masing negara adalah 50%. Karena
1 2 3 1 2 3, , , , , 0a a a b b b maka kita tetapkan : 1 2 2a b
2 1 1a b
3 3 3a b
2. Dimana 2 1 3a a a dan 1 2 3b b b karena kelelahan dan biaya dari masing-masing negara harus
lebih besar dari pertahanan negara lawan dan keluhan yang muncul atau masuk adalah total dari
besarnya pertahanan lawan ditambah kelelahan dan biaya yang di keluarkan.
2 3
2 3
dx
x y
dt
dy
x y
dt
2 1 3
1 2 3
( ) ( )
Misalkan : t
xdx
ydt
dx
A t x F t
dt
x u e
1
2
1 1
2 2
;
;
t
t t
t t
ux
e
uy
dx
x u e u e
dt
dy
y u e u e
dt
1
2
( )
t
t
dx dt u edx
dy dtdt u e
dx
A t x
dt
1 1
2 2
1 1
2 2
2 1
1 2
2 1 0
1 2 0
t t
t t
t t
t t
u e u e
u e u e
u e u e
u e u e
1
2
1
2
2 1 0 0
1 2 0 0
2 1 0
1 2 0
t
t
t
u e
u e
u
e
u
1
2
0
karena
0
2 1 0
maka :
1 2 0
t
u
e
u
2 1 0 0
1 2 0 0
3. 2 1 1 0 0
1 2 0 1 0
( ) 0A I
Solusi non-trivialnya di peroleh jika :
2
2
1,2
1 2
0
2 1 1 0
1 2 0 1
2 1
0
1 2
( 2 ) ( 2 ) 1 0
( 2 ) 1
( 2 ) 1
2 1
2 1
1 dan 3
A I
Vektor eigen yang bersesuaian untuk 1 1
1 1
11
21
11
21
11 21 21 11
11 21
( ) 0
2 ( 1) 1 0
1 2 ( 1) 0
1 1 0
1 1 0
0
0
A I u
u
u
u
u
u u u u
u u
1
11
21
11
1
21
11
Tetapkan
Pilih k =1
1
maka
1
1
1
t
t
t
t
u k
u k
u
u
u
x u e
e
e
e
4. Vektor eigen yang bersesuaian untuk 2 3
2 2
12
22
12
22
11 22 12 22
( ) 0
2 ( 3) 1 0
1 2 ( 3) 0
1 1 0
1 1 0
0
A I u
u
u
u
u
u u u u
2
22
12
12
2
22
22
3
3
3
Tetapkan
Pilih k =1
1
maka
1
1
1
t
t
t
t
u k
u k
u
u
u
x u e
e
e
e
Sehingga :
2
1 1 2 2
1
3
1 2 3
i
t t
t t
x a x a x
e e
a a
e e
Solusi dari sistem persamaan diferensial ini adalah :
1 1
0
( ) ( ) ( )
( ) (0) (0) ( ) ( ) ( )
c p
t
x t x t x t
t x t u F u du
3
3
3 3
1
4 4
3 3
4
( )
1
( )
1
2
t t
t t
t t
t t t t
t t
t t t
e e
t
e e
e e
t
e e e e
e e
e e e
5.
3 3
1
1 1
2 2
1 1
2 2
1 1
2 2
(0)
1 1
2 2
0
0
0
t t
t t
e e
e e
x
Maka solusi dari sistem persamaan diferensial ini adalah :
1
0
3 3
3 3
3 3
3
3
3 3
0 0
1 1 1 1
0 32 2 2 2
1 1 0 1 1 3
2 2 2 2
3 3
2 2
0
3 3
2 2
t
u
tt t t t
t t t t
u uo
u u
t t
t t
u u
x t t x t u F u du
e e
e e e e
du
e e e e
e e
e e
e e
d
e e
e e
t
o
u
3
3
3 3
0
0 0
3
3
3 3 0 0
3
3
3 3
2 2
1 1
2 2
3 3 3 3
2 2 2 2
1 1 1 1
2 2 2 2
3 3
3
2 2
t
u u
t t
t t
u u
t t
t t
t t
t t
t t
t t
t t
e e
e e
e e
e e
e e e e
e e
e e
e e e e
e e
e e
e e
(0) dan (0) 0 dimana pada saat awal pertandingan belum ada senjata atau peluru yang
digunakan untuk menyerang.
x y
6.
3
3
0
0 3
3
3
3 3
0
3 3
3 3
3 3
3 3
3 3
3 3
t t t
t t
t
t
t
t
t
t
e e e
e e
e e
e e
e
e
x t e
y t e
Kesimpulan :
Jadi jumlah senjata yang di gunakan dalam perlombaan bersenjata tersebut paling sedikit adalah
3 senjata
