Mom09-2014
- 2. © 2014 R. Robert Gajewski2/54
Trójwymiarowość
Wszystkie rzeczywiste problemy są
trójwymiarowe.
Nie zawsze możliwe jest modelowanie zjawiska z
wykorzystaniem elementów jednowymiarowych.
Tego typu podejście jest dopuszczalne na
przykład w przypadku przegrody o
nieskończonych wymiarach.
Mówiąc bardziej precyzyjny przegroda
może być niejednorodna tylko w jednym
kierunku – w dwóch pozostałych musi być
jednorodna.
- 3. © 2014 R. Robert Gajewski3/54
Dwuwymiarowość
Jeśli strumienie ciepła, temperatura i
charakterystyki materiałowe nie zależą od
jednej ze współrzędnych to ciało
trójwymiarowe może być modelowane
obszarem dwuwymiarowym.
Odpowiada to typowym zastosowaniom z
dziedziny budownictwa – możemy na
przykład analizować przekrój poziomy
budynku
- 4. © 2014 R. Robert Gajewski4/54
Typy elementów
Gdy stosujemy metodę elementów
skończonych obszar dwuwymiarowy
dyskretyzujemy elementami skończonymi
trójkątnymi lub czworokątnymi o
brzegach prostoliniowych lub
krzywoliniowych.
Dla tego typu zadań najczęściej
stosowane są
czterowęzłowe elementy prostokątne,
elementy trójkątne oraz
czterowęzłowe elementy izoparametryczne.
- 5. © 2014 R. Robert Gajewski5/54
Elementy prostokątne
Zakres stosowanie tych elementów jest
ograniczony jedynie do obszarów
prostokątnych, ale omówimy je ze
względu na proste wyznaczanie macierzy.
Sposób postępowania jest w dużej mierze
analogiczny do przedstawionego dla
elementów jednowymiarowych.
Do aproksymacji pola temperatury i
funkcji wagowych stosujemy ten sam
zestaw funkcji kształtu
(interpolacyjnych).
- 6. © 2014 R. Robert Gajewski6/54
Element prostokątny
- 7. © 2014 R. Robert Gajewski7/54
Funkcje kształtu
uN
yxyxT
T
T
T
T
yxNyxNyxNyxNyxT
TyxNTyxNTyxNTyxNyxT
,,
,,,,,
,,,,,
4
3
2
1
4321
44332211
- 8. © 2014 R. Robert Gajewski8/54
Funkcje kształtu
N(x,y) to wektor znanych funkcji kształtu a
u to wektor nieznanych parametrów
węzłowych.
W podobny sposób postępujemy z v(x,y)
Po utworzeniu słabego sformułowania i
wykonaniu podobnych operacji jak w
zadaniu 1D otrzymujemy układ równań MES
vN yxvyxNvyxNvyxNvyxNyxv ,,,,,, 44332211
- 9. © 2014 R. Robert Gajewski9/54
Wzory…
fuKK
tqd
dAt
T
blb
T
A
T
Nfffff
NNKDBBK
,
,
- 10. © 2014 R. Robert Gajewski10/54
Określenie funkcji kształtu
Funkcje kształtu będą iloczynami funkcji
liniowych
b
yb
a
xa
yxN
b
yb
a
xa
yxN
b
yb
a
xa
yxN
b
yb
a
xa
yxN
22
,,
22
,
22
,,
22
,
43
21
- 11. © 2014 R. Robert Gajewski11/54
Funkcje kształtu
Zauważmy, że na krawędziach elementu
funkcja będzie liniowa
4321 NNNNN
b
yb
b
yb
a
a
yaN
222
2
,1
- 12. © 2014 R. Robert Gajewski12/54
Cecha funkcji kształtu
Funkcje kształtu mają następujące cechy: są
równe jeden w swoim węźle a zero w
pozostałych i ich suma jest równa jeden.
4
1
1,,
i
iijjji NyxN
- 13. © 2014 R. Robert Gajewski13/54
Strumień
W przypadku dwuwymiarowym nieco
bardziej złożony jest wzór na strumień
ciepła – zależy on w ogólnym przypadku od
dwóch parametrów λ
y
xT
y
T
x
T
q
q
y
x
y
x
,
0
0
Dq
- 14. © 2014 R. Robert Gajewski14/54
Krok 1: pochodne funkcji
kształtu
y
N
y
N
y
N
y
N
x
N
x
N
x
N
x
N
4321
4321
B
- 15. © 2014 R. Robert Gajewski15/54
Krok 2: podstawiamy wzory na
funkcje kształtu
xaxaxaax
ybybybby
ab4
1
B
- 16. © 2014 R. Robert Gajewski16/54
Krok 3: obliczamy całkę z
iloczynów macierzy
a
a
b
b
y
x
dxdy
xaxaxaax
ybybybby
xayb
xayb
xayb
axby
0
0
K
- 17. © 2014 R. Robert Gajewski17/54
Macierz sztywności elementu
prostokątnego
2112
1221
1221
2112
6
2211
2221
1122
1122
6
a
b
b
a
y
x
K
- 18. © 2014 R. Robert Gajewski18/54
Elementy trójkątne
Nie każdy obszar może zostać pokryty
elementami prostokątnymi, stąd
konieczność używania elementów
trójkątnych.
Jest to element typu stałego strumienia.
- 19. © 2014 R. Robert Gajewski19/54
Współrzędne
W budowie tego elementu wykorzystamy
współrzędne naturalne zwane także
powierzchniowymi.
Punkt P znajdujący się wewnątrz trójkąta
definiuje trzy pola A1, A2 i A3.
- 20. © 2014 R. Robert Gajewski20/54 ©2012 R. Robert RoG@j Gajewski20/54
Współrzędne trójkatne
- 21. © 2014 R. Robert Gajewski21/54
Współrzędne
Pola te z kolei definiują współrzędne
Mamy następujące zależności
A
A
A
A
A
A 3
3
2
2
1
1 ,,
1321321 AAAA
- 22. © 2014 R. Robert Gajewski22/54
Relacja między współrzędnymi
332211
332211
yyyy
xxxx
y
x
y
x
1
,
1
1
3
2
1
3
2
1
AA
- 23. © 2014 R. Robert Gajewski23/54
Gdzie…
321
321
111
yyy
xxxA
21121221
13313113
32232332
1
2
1
xyyxyx
xyyxyx
xyyxyx
A
A
kjjkkjjk yyyxxx ,
21313121det2 yxyxA A
- 24. © 2014 R. Robert Gajewski24/54
Różniczkowanie
y
N
y
N
y
N
y
N
x
N
x
N
x
N
x
N
3
3
2
2
1
1
3
3
2
2
1
1
- 25. © 2014 R. Robert Gajewski25/54
Zależność lokalne-globalne
y
x
xyyxyx
xyyxyx
xyyxyx
A
1
2
1
21121221
13313113
32232332
3
2
1
kmi
mki
kmmki
xxc
yyb
yxyxa
- 26. © 2014 R. Robert Gajewski26/54
Pochodne po x i y
A
x
yA
x
yA
x
y
A
y
xA
y
xA
y
x
2
,
2
,
2
2
,
2
,
2
123312231
123312231
- 27. © 2014 R. Robert Gajewski27/54
Całkowanie
Funkcja wielomianowa wyrażona we
współrzędnych naturalnych może być z
łatwością scałkowana z wykorzystaniem
formuły
!2
!!!
2321
mlk
mlk
AdA
A
mlk
- 28. © 2014 R. Robert Gajewski28/54
Element trójkątny
Dla elementu trójkątnego funkcje kształtu to
332111 ,, NNN
3
2
1
321321 ,,
T
T
T
NNNT
- 29. © 2014 R. Robert Gajewski29/54 ©2012 R. Robert RoG@j Gajewski29/54
Funkcje kształtu dla elementu
trójkątnego
- 30. © 2014 R. Robert Gajewski30/54
Macierze B i D
y
x
y
N
y
N
y
N
x
N
x
N
x
N
0
0
,
321
321
DB
- 31. © 2014 R. Robert Gajewski31/54
Mnożenie i podstawienia
2
32313
32
2
212
3121
2
1
2
32313
32
2
212
3121
2
1
44
ccccc
ccccc
ccccc
bbbbb
bbbbb
bbbbb
yx
K
- 32. © 2014 R. Robert Gajewski32/54
Przypadek izotropii
2
3
2
323231313
3232
2
2
2
21212
31312121
2
1
2
1
4
cbccbbccbb
ccbbcbccbb
ccbbccbbcb
K
- 33. © 2014 R. Robert Gajewski33/54
Tarcza
q=30
q=30
q=0 T=10
22 m
h=1 m
k=4 J/oCms
f=45 J/m2s
- 34. © 2014 R. Robert Gajewski34/54
Analizowane zadanie
q=30
q=0 T=10
q=0
1 2
4 3
- 35. © 2014 R. Robert Gajewski35/54
Macierze elementowe
Element 1
440
451
011
220
011
2
1
1,2,0,2,0
1,3,2,1
1
1
1
K
B
kkjjii yxyxyx
Akji
- 36. © 2014 R. Robert Gajewski36/54
Macierze elementowe
Element 2
514
110
404
202
110
2
1
1,0,1,2,0
1,3,2,1
1
1
2
K
B
kkjjii yxyxyx
Akji
- 37. © 2014 R. Robert Gajewski37/54
Wektor F
30
30
0
1
0
30
,2
,2
0
11115111
3
2
0
2
2
2
1
0 1
3
1
2
1
21
dx
dy
yxN
yxNq
A
f
x
x
CD
nCB
e
P
P
ff
- 38. © 2014 R. Robert Gajewski38/54
Wektor F
15
15
15
3015
3015
15
,215
,215
15
222
1
0
1
3
1
0
1
2
111
CD
n
nCB
dyyxNq
dyyxNq
PfF
PfF
- 39. © 2014 R. Robert Gajewski39/54
Agregacja
15
,2
,215
30
5104
1540
0451
4015
1
0
1
3
1
0
1
2
4
3
2
1
dyyxNq
dyyxNq
T
T
T
T
n
n
- 40. © 2014 R. Robert Gajewski40/54
Układ równań
15
,2
,215
30
10
10
5104
1540
0451
4015
1
0
1
3
1
0
1
2
4
1
dyyxNq
dyyxNq
T
T
n
n
- 41. © 2014 R. Robert Gajewski41/54
Rozwiązanie układu
1
0
1
3
1
0
1
2
4
1
2
1
5,2
,25,2
15
20
5
40
1510
3010
54
45
dyyxNq
dyyxNq
C
T
T
T
T
n
n
o
- 42. © 2014 R. Robert Gajewski42/54
Kontrola
Funkcje kształtu N2 i N3 są dodatnie, co
oznacza, że q jest dodatnie wzdłuż brzegu
BC
Aby na tym brzegu była utrzymana
temperatura T=10oC to wzdłuż tego
brzegu musi być wydzielane ciepło
Równanie bilansu cieplnego jest
spełnione, ponieważ suma F jest zerowa
- 43. © 2014 R. Robert Gajewski43/54
Intensywność strumienia
smJ
smJ
kTkT eeeeeeee
22
2
21
1
20
10
15
10
20
202
110
2
5
0
20
10
10
20
220
011
2
101020
q
T
q
T
TBDq
- 44. © 2014 R. Robert Gajewski44/54
Zadanie
Dany jest nieskończenie długi pręt o
przekroju kwadratowym .
Górna i dolna powierzchnia są izolowane
cieplnie.
Lewa jest nagrzewana strumieniem
ciepła, przeciwległa chłodzona wodą o
danej temperaturze i współczynniku
wnikania ciepła.
- 45. © 2014 R. Robert Gajewski45/54
Rysunek
α
T∞
λx λy
q
a
a
- 46. © 2014 R. Robert Gajewski46/54
Dane
q=200 000 W/m2
T∞= 20 0C = 293 0K
α=1 000 W/(m2K)
a=0.02 m
λ=50 W/(mK)
- 47. © 2014 R. Robert Gajewski47/54 ©2012 R. Robert RoG@j Gajewski47/54
Dyskretyzacja
1 2
34
5
- 48. © 2014 R. Robert Gajewski48/54
Macierze elementowe
2
1
44
2
3
2
332323131
3232
2
2
2
22121
31312121
2
1
2
1
01.002.04
200000
4
000
021
012
6
02.01000
,
000
021
012
6
4
KK
K
a
cbccbbccbb
ccbbcbccbb
ccbbccbbcb
- 49. © 2014 R. Robert Gajewski49/54
Macierze elementów
5.05.00
5.015.0
05.05.0
50
15.05.0
5.05.00
5.005.0
50
2
1
K
K
- 50. © 2014 R. Robert Gajewski50/54
Macierze elementów
15.05.0
5.05.00
5.005.0
50
5.05.00
5.015.0
05.05.0
50
4
3
K
K
- 51. © 2014 R. Robert Gajewski51/54
Globalna macierz przewodności
Km
W
20050505050
5050000
5006.563.30
5003.36.560
5000050
K
- 52. © 2014 R. Robert Gajewski52/54
Prawe strony
2
4
2
02000293029302000
029302930011
2
200002000101
2
2930
2
02.02931000
2
,2000
2
02.0200000
2
m
W
aT
aq
aT
aq
T
TT
TT
f
f
f
- 53. © 2014 R. Robert Gajewski53/54
Układ równań i rozwiązanie
CTCTTCTT
T
T
T
T
T
260,220,300
0
2000
2930
2930
2000
20050505050
5050000
5006.563.30
5003.36.560
5000050
53241
5
4
3
2
1
- 54. © 2014 R. Robert Gajewski54/54
Rozwiązanie
