analisis kompleks

1. Tugas analisis komplek
Sifat – sifat fungsi trigonometri dan hiperbolik
D
I
S
U
S
U
N
Oleh
Nama : Julia rahma nasution
Fakultas : Tarbiyah dan ilmu keguruan
Prodi : TMM – 2
INSTITUT AGAMA ISLAM NEGERI
( IAIN )
PADANG SIDIMPUAN

2. Sifat – sifat fungsi trigonometri
a) Sin z = 0 jika dan hanya jika z = kп, k є Z
Bukti :
1
2𝑖
( 𝑒 𝑖𝑧
− 𝑒−𝑖𝑧
) = 0
𝑒 𝑖 ( 𝑥+𝑖𝑦 )
= 𝑒−𝑖 ( 𝑥+𝑖𝑦 )
𝑒−𝑦+𝑖𝑥
= 𝑒 𝑦− 𝑖𝑥
𝑒−𝑦
𝑐𝑖𝑠 𝑥 = 𝑒 𝑦
𝑐𝑖𝑠 ( −𝑥)
𝑒−𝑦
= 𝑒 𝑦
atau y = 0 dan x = -x + 2kп, k є Z
Maka, jika sin z = 0 diperoleh z = kп, k є Z
Jika z = kп, diperoleh sin z =
1
2𝑖
(𝑒 𝑖𝑘𝜋
− 𝑒−𝑖𝑘𝜋
)
=
1
2𝑖
(cos𝑘𝜋 + 𝑖 sin 𝑘𝜋 − cos 𝑘𝜋 + 𝑖 sin 𝑘𝜋)
= sin kп
= 0
b) Cos z = 0 jika dan hanya jika z =
𝜋
2
+ 𝑘𝜋, k є Z
Bukti :
1
2
( 𝑒 𝑖𝑧
+ 𝑒−𝑖𝑧
) = 0
𝑒 𝑖 ( 𝑥+𝑖𝑦 )
= − 𝑒−𝑖 ( 𝑥+𝑖𝑦 )
𝑒−𝑦+𝑖𝑥
= −𝑒 𝑦− 𝑖𝑥
𝑒−𝑦
𝑐𝑖𝑠 𝑥 = −𝑒 𝑦
𝑐𝑖𝑠 ( −𝑥)
𝑒−𝑦
= −𝑒 𝑦
atau y = 0 dan x = -x + 2kп, k є Z
Maka, jika sin z = 0 diperoleh z = kп, k є Z
Jika z = kп, diperoleh sin z =
1
2
(𝑒 𝑖𝑘𝜋
+ 𝑒−𝑖𝑘𝜋
)
=
1
2
(cos 𝑘𝜋 + 𝑖 sin 𝑘𝜋 + cos 𝑘𝜋 − 𝑖 sin 𝑘𝜋)
= cos
1
2
kп
= 0

3. c) cos ( - z ) = cos z
Bukti :
cos ( − z ) =
1
2
= ( 𝑒−𝑖𝑧
+ 𝑒 𝑖𝑧
) =
1
2
( 𝑒 𝑖𝑧
+ 𝑒−𝑖𝑧
) = cos 𝑧
d) sin ( - z ) = -sin z
Bukti :
Sin (-z) =
1
2𝑖
( 𝑒−𝑖𝑧
− 𝑒 𝑖𝑧
) = −
1
2𝑖
( 𝑒 𝑖𝑧
− 𝑒−𝑖𝑧
) = −sin 𝑧
e) 𝑠𝑖𝑛2
𝑧 + 𝑐𝑜𝑠2
𝑧 = 1
Bukti :
𝑠𝑖𝑛2
𝑧 = (
1
2𝑖
(𝑒 𝑖𝑧
− 𝑒−𝑖𝑧
))
2
= −
1
4
(𝑒2𝑖𝑧
− 2𝑒 𝑖𝑧
𝑒−𝑖𝑧
+ 𝑒−2𝑖𝑧
) = −
1
4
(𝑒2𝑖𝑧
− 2 + 𝑒−2𝑖𝑧
)
𝑐𝑜𝑠2
𝑧 = (
1
2
(𝑒 𝑖𝑧
− 𝑒−𝑖𝑧
))
2
=
1
4
(𝑒2𝑖𝑧
+ 2𝑒 𝑖𝑧
𝑒−𝑖𝑧
+ 𝑒−2𝑖𝑧
) =
1
4
(𝑒2𝑖𝑧
+ 2+ 𝑒−2𝑖𝑧
)
Maka, 𝑠𝑖𝑛2
𝑧 + 𝑐𝑜𝑠2
𝑧 = −
1
4
(𝑒2𝑖𝑧
− 2 + 𝑒−2𝑖𝑧
) +
1
4
(𝑒2𝑖𝑧
+ 2 + 𝑒−2𝑖𝑧
) = 1
f) Sin (z + w ) = sin z cos w + sin w cos z
Bukti :
Sin (z + w ) =
1
2𝑖
( 𝑒 𝑖 ( 𝑧+𝑤 )
− 𝑒− ( 𝑧+𝑤)
)
=
1
2𝑖
( 𝑒 𝑖𝑧
𝑒 𝑖𝑤
− 𝑒−𝑖𝑧
𝑒−𝑖𝑤
)
=
1
4𝑖
(2 𝑒 𝑖𝑧
𝑒 𝑖𝑤
− 2 𝑒−𝑖𝑧
𝑒−𝑖𝑤
)
=
1
4𝑖
( 𝑒 𝑖𝑧
𝑒 𝑖𝑤
+ 𝑒 𝑖𝑧
𝑒−𝑖𝑤
− 𝑒−𝑖𝑧
𝑒−𝑖𝑤
+ 𝑒 𝑖𝑧
𝑒 𝑖𝑤
− 𝑒 𝑖𝑧
𝑒−𝑖𝑤
+ 𝑒−𝑖𝑧
𝑒 𝑖𝑤
−
𝑒−𝑖𝑧
𝑒−𝑖𝑤
)
=
1
4𝑖
( 𝑒 𝑖𝑧
𝑒𝑖𝑤
+ 𝑒 𝑖𝑧
𝑒−𝑖𝑤
− 𝑒−𝑖𝑧
𝑒−𝑖𝑤
− 𝑒−𝑖𝑧
𝑒−𝑖𝑤
) +
1
4𝑖
(𝑒 𝑖𝑧
𝑒 𝑖𝑤
− 𝑒 𝑖𝑧
𝑒−𝑖𝑤
+
𝑒−𝑖𝑧
𝑒 𝑖𝑤
− 𝑒−𝑖𝑧
𝑒−𝑖𝑤
)
= (
1
2𝑖
(𝑒 𝑖𝑧
− 𝑒−𝑖𝑧
)
1
2
(𝑒 𝑖𝑤
+ 𝑒−𝑖𝑤
)) + (
1
2𝑖
(𝑒 𝑖𝑤
− 𝑒−𝑖𝑤
)
1
2𝑖
(𝑒 𝑖𝑧
+ 𝑒−𝑖𝑧
))
= sin z cos w + sin w cos z
g) Cos ( z + w ) = cos z cos w – sin z sin w
Bukti :
Cos ( z + w ) =
1
2
( 𝑒 𝑖 ( 𝑧+𝑤 )
+ 𝑒− ( 𝑧+𝑤)
)

4. =
1
2
( 𝑒 𝑖𝑧
𝑒 𝑖𝑤
+ 𝑒−𝑖𝑧
𝑒−𝑖𝑤
)
=
1
4
(2 𝑒 𝑖𝑧
𝑒 𝑖𝑤
+ 2 𝑒−𝑖𝑧
𝑒−𝑖𝑤
)
=
1
4
( 𝑒 𝑖𝑧
𝑒 𝑖𝑤
+ 𝑒 𝑖𝑧
𝑒−𝑖𝑤
+ 𝑒−𝑖𝑧
𝑒−𝑖𝑤
+ 𝑒 𝑖𝑧
𝑒 𝑖𝑤
+ (𝑒 𝑖𝑧
𝑒−𝑖𝑤
− 𝑒 𝑖𝑧
𝑒−𝑖𝑤
−
𝑒−𝑖𝑧
𝑒 𝑖𝑤
+ 𝑒−𝑖𝑧
𝑒−𝑖𝑤
)
=
1
4
( 𝑒 𝑖𝑧
𝑒 𝑖𝑤
+ 𝑒 𝑖𝑧
𝑒−𝑖𝑤
+ 𝑒−𝑖𝑧
𝑒−𝑖𝑤
+ 𝑒−𝑖𝑧
𝑒−𝑖𝑤
) +
1
4𝑖
(𝑒 𝑖𝑧
𝑒 𝑖𝑤
− 𝑒 𝑖𝑧
𝑒−𝑖𝑤
−
𝑒−𝑖𝑧
𝑒 𝑖𝑤
+ 𝑒−𝑖𝑧
𝑒−𝑖𝑤
)
= (
1
2𝑖
(𝑒 𝑖𝑧
+ 𝑒−𝑖𝑧
)
1
2
(𝑒 𝑖𝑤
+ 𝑒−𝑖𝑤
)) − (
1
2𝑖
(𝑒 𝑖𝑤
− 𝑒−𝑖𝑤
)
1
2𝑖
(𝑒 𝑖𝑧
− 𝑒−𝑖𝑧
))
= cos z cos w – sin z sin w
h) Ι sin 𝑧Ι2
= 𝑠𝑖𝑛2
𝑥 + 𝑠𝑖𝑛ℎ2
𝑦 𝑑𝑖𝑚𝑎𝑛𝑎, 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦
Bukti :
Ι sin 𝑧Ι2
= ( √(sin 𝑥 cosh 𝑦) 2 + (cos 𝑥𝑠𝑖𝑛ℎ 𝑦) 2 )2
= 𝑠𝑖𝑛2
𝑥 𝑐𝑜𝑠ℎ2
𝑦 + 𝑐𝑜𝑠2
𝑥 𝑠𝑖𝑛ℎ2
𝑦
= 𝑠𝑖𝑛2
𝑥 𝑐𝑜𝑠ℎ2
𝑦 + ( 1 – (𝑠𝑖𝑛2
𝑥 ) 𝑠𝑖𝑛ℎ2
𝑦
= 𝑠𝑖𝑛2
𝑥 𝑐𝑜𝑠ℎ2
𝑦 − 𝑠𝑖𝑛2
𝑥 𝑠𝑖𝑛ℎ2
𝑦 + 𝑠𝑖𝑛ℎ 2
𝑦
= 𝑠𝑖𝑛2
𝑥 ( 𝑐𝑜𝑠ℎ2
𝑦 − 𝑠𝑖𝑛ℎ 2
𝑦 )+ 𝑠𝑖𝑛ℎ2
𝑦
= 𝑠𝑖𝑛2
𝑥 + 𝑠𝑖𝑛ℎ2
𝑦
i) Ι cos 𝑧Ι2
= 𝑐𝑜𝑠2
𝑥 + 𝑠𝑖𝑛ℎ2
𝑦 𝑑𝑖𝑚𝑎𝑛𝑎, 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦
Bukti :
Ι sin 𝑧Ι2
= ( √(cos𝑥 cosh 𝑦) 2 + ( −sin 𝑥𝑠𝑖𝑛ℎ 𝑦) 2 )2
= 𝑐𝑜𝑠2
𝑥 𝑐𝑜𝑠ℎ2
𝑦 + 𝑠𝑖𝑛2
𝑥 𝑠𝑖𝑛ℎ2
𝑦
= 𝑐𝑜𝑠2
𝑥 𝑐𝑜𝑠ℎ2
𝑦 + ( 1 – (𝑐𝑜𝑠2
𝑥 ) 𝑠𝑖𝑛ℎ2
𝑦
= 𝑐𝑜𝑠2
𝑥 ( 𝑐𝑜𝑠ℎ2
𝑦 − 𝑠𝑖𝑛ℎ 2
𝑦 )+ 𝑠𝑖𝑛ℎ2
𝑦
= 𝑐𝑜𝑠2
𝑥 + 𝑠𝑖𝑛ℎ2
𝑦

5. Sifat-sifat hiperbolik
Bukti:
1. Sin h(-z) = - sin h z
𝑒−𝑧
− 𝑒 𝑧
2
=
𝑒−𝑥−𝑖𝑦
− 𝑒 𝑥+𝑖𝑦
2
=
𝑒−𝑥(cos 𝑦−𝑖 sin 𝑦)−𝑒 𝑥 (cos 𝑦+𝑖 sin 𝑦)
2
= − cos 𝑦
(𝑒 𝑥−𝑒−𝑥)
2
− 𝑖 sin 𝑦
(𝑒 𝑥+𝑒−𝑥)
2
= − cos 𝑦 sinh 𝑥 − 𝑖 sin 𝑦 cosh 𝑥
= − (cos 𝑦 sinh 𝑥 + 𝑖 sin 𝑦 cosh 𝑥)
= −sinhz
2. Cos h (-z) = cozh z
Cos h (-z) = 𝑒−𝑧
+𝑒 𝑧
2
=
𝑒−𝑥−𝑖𝑦
+ 𝑒 𝑥+𝑖𝑦
2
=
𝑒−𝑥(cos 𝑦−𝑖 sin 𝑦)+𝑒 𝑥(cos 𝑦+𝑖 sin 𝑦)
2
= − cos 𝑦
(𝑒 𝑥−𝑒−𝑥)
2
+ 𝑖 sin 𝑦
(𝑒 𝑥+𝑒−𝑥)
2
= (cos 𝑦 cosh 𝑥 + 𝑖 sin 𝑦 sinh 𝑥)
= coshz
3. Sin h (𝑧1 + 𝑧2) = sin ℎ 𝑧1 cosℎ 𝑧2 + cosℎ 𝑧1 sin ℎ 𝑧2
= (
𝑒 𝑧1 − 𝑒−𝑧1
2
) (
𝑒 𝑧2 + 𝑒−𝑧2
2
) + (
𝑒 𝑧1 + 𝑒−𝑧1
2
) (
𝑒 𝑧2 − 𝑒−𝑧2
2
)
= (
𝑒 𝑧1+𝑧2 − 𝑒−𝑧1+𝑧2 + 𝑒 𝑧1−𝑒 𝑧2 − 𝑒−𝑧1−𝑧2
4
) + (
𝑒 𝑧1+𝑧2 + 𝑒−𝑧1+𝑧2 − 𝑒−𝑧1+𝑧2 − 𝑒−𝑧1−𝑧2
4
)
=
2𝑒 𝑧1+𝑧2 − 2𝑒−𝑧1−𝑧2
4
=
2(𝑒 𝑧1+𝑧2 − 𝑒−𝑧1−𝑧2 )
4
=
(𝑒 𝑧1+𝑧2 − 𝑒−𝑧1−𝑧2 )
2

6. = sin ℎ (𝑧1 + 𝑧2)
4. Cos h (𝑧1 + 𝑧2) = cosℎ 𝑧1 cosℎ 𝑧2 + sin ℎ 𝑧1 sin ℎ 𝑧2
= (
𝑒 𝑧2 + 𝑒−𝑧2
2
)(
𝑒 𝑧2 + 𝑒−𝑧2
2
) + (
𝑒 𝑧2 − 𝑒−𝑧2
2
)(
𝑒 𝑧2 − 𝑒−𝑧2
2
)
= (
𝑒 𝑧1+𝑧2 + 𝑒−𝑧1+𝑧2 + 𝑒 𝑧1− 𝑧2 + 𝑒−𝑧1−𝑧2
4
) + (
𝑒 𝑧1+𝑧2 − 𝑒 𝑧1_𝑧2 − 𝑒−𝑧1+𝑧2 + 𝑒−𝑧1−𝑧2
4
)
=
2𝑒 𝑧1+𝑧2 + 2𝑒−𝑧1−𝑧2
4
=
2(𝑒 𝑧1+𝑧2 + 𝑒−𝑧1−𝑧2 )
4
=
(𝑒 𝑧1+𝑧2 + 𝑒−𝑧1−𝑧2)
2
= 𝑐𝑜 s ℎ (𝑧1 + 𝑧2)
5. Sin z = sin h x cos y + I cos x sin y
Sin z =
𝑒 𝑧−𝑒−𝑧
2
=
𝑒
𝑥+𝑖𝑦
−𝑒
−𝑥−𝑖𝑦
2
=
𝑒 𝑥 (cos 𝑦+𝑖 sin 𝑦)−𝑒−𝑥(cos 𝑦−𝑖 sin 𝑦)
2
= cos 𝑦
(𝑒 𝑥−𝑒−𝑥)
2
− 𝑖 sin 𝑦
(𝑒 𝑥+𝑒−𝑥)
2
= (cos 𝑦 sinh 𝑥 + 𝑖 sin 𝑦 cosh 𝑥)
6. Cos h z = cos h x cos y + sin h x sin y
cos ℎ𝑥 = (
𝑒 𝑧2 + 𝑒−𝑧2
2
)
=
𝑒 𝑥+𝑖𝑦
+𝑒−𝑥−𝑖𝑦
2
=
𝑒 𝑥 (cos 𝑦+𝑖 sin 𝑦)+𝑒−𝑥(cos 𝑦−𝑖 sin 𝑦)
2
= − cos 𝑦
(𝑒 𝑥+𝑒−𝑥)
2
+ 𝑖 sin 𝑦
(𝑒 𝑥−𝑒−𝑥)
2
= (cos 𝑦 cosh 𝑥 + 𝑖 sin 𝑦 sinh 𝑥)

7. 7. ǀ sin ℎ 𝑧ǀ2
= sin ℎ 2
𝑥 + 𝑠𝑖𝑛2
𝑦
Sin h z = cos y sin h x + i sin y cos h x
ǀ sin ℎ 𝑧ǀ2
= cos2
𝑦 sinℎ2
𝑥 + sin2
𝑦cos ℎ 2
𝑥
= sin ℎ2
𝑥cos
2
𝑦 +sin2
𝑦 cosℎ 2
𝑥
= sin ℎ2
𝑥 (1 − sin2
𝑦) + sin2
𝑦 cos ℎ 2
𝑥
= sin ℎ2
𝑥 − sin2
𝑦sinℎ2
𝑥 + sin2
𝑦 cos ℎ 2
𝑥
= sinh2
𝑥 + sin2
𝑦(−sin2
𝑥 + cos ℎ 2
𝑥)
= sinh2
𝑥 + sin2
𝑦(cosh2
𝑥 − sin 2
𝑥)
= sinh2
x + sin2
y (1)
= sinh2
x+ sin2
y
8. ǀ cos ℎ 𝑧ǀ2
= sin ℎ 2
𝑥 + 𝑐𝑜𝑠2
𝑦
cos h z = cos y cos h x + i sin y sin h x
ǀ cos ℎ 𝑧ǀ2
= cos2
𝑦 cos ℎ2
𝑥 + sin2
𝑦sin ℎ 2
𝑥
= 𝑐𝑜𝑠2 𝑥(1− sinh2
𝑥) +sin2
𝑦sinℎ 2
𝑥
= (𝑐𝑜𝑠2 𝑥 −sinh2
𝑥𝑐𝑜𝑠2 𝑥) +sin2
𝑦sinℎ 2
𝑥
= cos2
𝑦 + sin2
ℎ 𝑥 ( −cos2
𝑦 + sin2
𝑦)
= cos2
𝑦 + sin2
ℎ 𝑥 (sin2
𝑦 − cos2
𝑦)
= cos2
𝑦 + sin2
ℎ 𝑥 (1)
= cos2
𝑦 + sin2
ℎ 𝑥

8. 9. Tan h z =
sin ℎ 𝑧
cos ℎ 𝑧
Tan h z =
𝑒 𝑧−𝑒−𝑧
2
𝑒 𝑧+𝑒−𝑧
2
=
𝑒 𝑧 − 𝑒−𝑧
2
𝑒 𝑧 + 𝑒−𝑧
2
×
2
2
=
𝑒−𝑧
− 𝑒 𝑧
2
×
2
𝑒 𝑧 + 𝑒−𝑧
=
𝑒 𝑧
− 𝑒−𝑧
2
𝑒 𝑧 + 𝑒−𝑧
2
=
sinℎ 𝑧
cos ℎ 𝑧
10. Tan h (-z) = - tan h z
Tan h (-z) =
𝑠𝑖𝑛 ℎ (−𝑧)
cos ℎ (−𝑧)
=
𝑒−𝑧
– 𝑒 𝑧
2
𝑒−𝑧 + 𝑒 𝑧
2
=
𝑒−𝑥−𝑖𝑦
− 𝑒 𝑥+𝑖𝑦
2
𝑒−𝑥−𝑖𝑦 + 𝑒 𝑥+𝑖𝑦
2
=
𝑒−𝑥(cos𝑦−𝑖 sin𝑦)−𝑒 𝑥(cos 𝑦+𝑖sin 𝑦)
2
𝑒−𝑥(cos𝑦−𝑖 sin𝑦)+𝑒 𝑥(cos 𝑦+𝑖sin 𝑦)
2
=
−cos 𝑦
(𝑒 𝑥 − 𝑒−𝑥)
2
− 𝑖sin 𝑦
(𝑒 𝑥 + 𝑒−𝑥)
2
cos 𝑦
(𝑒 𝑥 − 𝑒−𝑥)
2
+ 𝑖sin 𝑦
(𝑒 𝑥 + 𝑒−𝑥)
2
=
−cos 𝑦 𝑒 𝑥 − 𝑒−𝑥 − 𝑖 sin 𝑦 𝑒 𝑥 + 𝑒−𝑥
cos 𝑦 𝑒 𝑥 − 𝑒−𝑥 + 𝑖 sin 𝑦 𝑒 𝑥 + 𝑒−𝑥
=
−(cos 𝑦 𝑒 𝑥 − 𝑒−𝑥 + 𝑖sin 𝑦 𝑒 𝑥 + 𝑒−𝑥)
cos 𝑦 𝑒 𝑥 − 𝑒−𝑥 + 𝑖sin 𝑦 𝑒 𝑥 + 𝑒−𝑥

9. = −
sin ℎ 𝑧
cos ℎ 𝑧
= −tan ℎ 𝑧
11. 𝐶𝑜𝑠2
h z – 𝑠𝑖𝑛2
h z = 1
= (
𝑒 𝑧
+ 𝑒−𝑧
2
)(
𝑒 𝑧
+ 𝑒−𝑧
2
) − (
𝑒 𝑧
− 𝑒−𝑧
2
)(
𝑒 𝑧
− 𝑒−𝑧
2
)
=
( 𝑒 𝑧
)2
+ 𝑒0
+ 𝑒0
+ ( 𝑒 𝑧
)2
4
−
( 𝑒 𝑧
)2
− 𝑒0
− 𝑒0
+ ( 𝑒 𝑧
)2
4
=
2 − (−2)
4
= 1