ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน

1. 116
บทที่ 9
ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน
ในบทนี้จะกล่าวถึงแนวคิดพื้นฐานที่สาคัญมากอย่างหนึ่งในการศึกษาสาขาคณิตศาสตร์ นั่นคือแนวคิด
เกี่ยวกับ ฟังก์ชัน (function) คาว่า “ฟังก์ชัน” ได้ถูกนามาใช้ในสาขาคณิตศาสตร์ราวปลายคริสต์ศตวรรษที่ 17
โดยนักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมันชื่อ ไลบ์นิตช์ (Gottfried Wilhelm von Leibnitz , คศ.1646-1716) ซึ่งเป็นผู้
หนึ่งที่ให้กาเนิดวิชาแคลคูลัส สาหรับเนื้อหาในบทนี้จะได้กล่าวถึงผลคูณคาร์ทีเซียน ความสัมพันธ์และกราฟของ
ความสัมพันธ์ ฟังก์ชันและกราฟของฟังก์ชัน โดยจะเน้นสมบัติที่สาคัญเป็นลาดับไป
9.1ผลคูณคาร์ทีเซียน
แรกสุดนี้ เราจะพิจารณาคาว่า คู่อันดับ (ordered pair) ของจานวนจริงเสียก่อนระหว่างจานวนจริง
สองจานวนใดๆ ถ้าเราถือเอาอันดับที่เป็นสาคัญ เราะจะเรียกกรณีอย่างนี้ว่าคู่อันดับ สาหรับ จะ
ใช้ สัญลักษณ์ ( ) แทนคู่อันดับที่มี a เป็นส่วนประกอบที่ 1 (first component) และมี b เป็นส่วนประกอบ
ที่ 2 (second component) ถึงแม้ว่าเราจะใช้สัญลักษณ์ ( ) แทนทั้งคู่อันดับ ( ) และช่วงเปิด ( )ก็
จะไม่ทาให้สับสนเพราะเนื้อหาที่เกี่ยวข้องเมื่อกล่าวถึง ( ) จะทาให้เกิดความชัดเจนในตัวเอง
คู่อันดับ (1,4) มี 1 เป็นตัวประกอบที่ 1 และมี 4 เป็นตัวประกอบที่ 2 ซึ่งมีความแตกต่างกับคู่อันดับ (4,1)
ซึ่งมี 4 เป็นตัวประกอบที่ 1 และมี 1 เป็นตัวประกอบที่ 2 ในกรณีทั่วไป จะได้ว่าสาหรับ ถ้า
แล้ว ( ) ( ) ดังนั้นเราอาจกล่าวได้ว่า ( ) ( ) ก็ต่อเมื่อ และ
ดังตัวอย่าง เช่น
ถ้า ( ) ( ) แล้วจะได้ และ นั่นคือ
เราจะใช้แนวคิดเกี่ยวกับคู่อันดับเพื่อนิยามผลคูณคาร์ทีเซียนของเซตสองเซต ดังต่อไปนี้
บทนิยาม 9.1 ให้ A และ B เป็นเซตที่ไม่เป็นเซตว่าง ผลคูณคาร์ทีเซียน (Cartesian product) ของ A และ B
ซึ่งเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ หมายถึงเซตที่ประกอบด้วยคู่อันดับ ( ) โดยที่
และ
นั่นคือ ( )

2. 117
ตัวอย่าง 9.1 ถ้า และ เพราะฉะนั้น
วิธีทา ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
เราจะเห็นว่า ( ) แต่ ( )
ตัวอย่าง 9.2 ให้ และ จงหา และ
วิธีทา ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
ข้อสังเกต จากตัวอย่าง 9.2 จะเห็นว่า
ในกรณีทั่วไป ถ้า แล้ว
ในหนังสือเล่มนี้เราจะกล่าวถึงผลคูณคาร์ทีเซียน และผลคูณคาร์ทีเซียนของเซตที่เป็นเซตย่อย
ของ เป็นส่วนใหญ่ ในบางครั้งผลคูณคาร์ทีเซียน จะเขียนแทนด้วย ซึ่งก็คือเซตของคู่อันดับของ
จานวนจริงทั้งหมด นั่นคือ ( ) และ
9.2 ความสัมพันธ์
ประโยคต่อไปนี้ “วิภูเป็นพี่ของภูผา” “กรรณิการ์เป็นคุณแม่ของแหวนพลอย” “ ”“3 น้อยกว่า 5”
เป็นตัวอย่างของ ความสัมพันธ์ (relations) คาว่า “เป็นพี่ของ” “เป็นคุณแม่ของ” “=” “น้อยกว่า” เป็นคาที่ใช้
แสดงความสัมพันธ์ ซึ่งจะเห็นว่าความสัมพันธ์จะเกี่ยวข้องกับของสองสิ่ง (ซึ่งอาจเหมือนกันหรือเท่ากัน) สมการ
หรืออสมการที่แสดงความสัมพันธ์ระหว่างจานวน และ ใดๆ ก็เป็นตัวอย่างความสัมพันธ์เช่นเดียวกัน
บทนิยาม 9.2 ถ้า และ เป็นเซตย่อย (subset) ของ จะเรียก ว่าเป็น ความสัมพันธ์จาก
ไป (relation from to )
ถ้า ( ) เราจะกล่าวว่า “ สัมพันธ์กับ กับ ” และเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์

3. 118
ตัวอย่าง 9.3 ให้ และ และให้
( )
จะได้ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
หรือถ้า ( )
จะได้ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
จะพบว่า และ
ดังนั้นจะได้ว่าทั้ง และ จะเป็นความสัมพันธ์จาก ไปยัง
ตัวอย่าง 9.4 ให้ และ และให้
{( ) จะเป็นจานวนเต็ม}
เพราะฉะนั้น ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
สามารถเขียนรูปแสดงความสัมพันธ์ ได้ดังรูป 9.1
A B
1 1
2 2
3 3
4 4
5
6
รูป 9.1

4. 119
บทนิยาม 9.3 ถ้า เป็นความสัมพันธ์จาก ไป จะเรียกว่า เป็น ความสัมพันธ์ใน A (relation in A)
ข้อตกลง เมื่อ A เป็นเซตใดๆ ในบางครั้งจะเขียน แทน และ
ตัวอย่าง 9.5 ถ้าให้ และให้ ( )
ดังนั้น ( ) ( ) ( ) ( )
ในที่นี้ จะเป็นความสัมพันธ์ใน
ตัวอย่าง 9.6 ให้ เป็นเซตของจานวนจริง และ
( ) และ
( ) และ
จะพบว่า และ เป็นความสัมพันธ์ใน
บทนิยาม 9.4 ให้ เป็นความสัมพันธ์จาก ไป
โดเมน (domain) ของ ความสัมพันธ์ หมายถึงเซตของส่วนประกอบที่หนึ่งของทุกคู่อันดับที่อยู่ใน
จะเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์
นั่นคือ จะมี บางตัวใน ที่ทาให้ ( )
เรนจ์ (range) ของความสัมพันธ์ หมายถึงเซตของส่วนประกอบที่สองของทุกคู่อันดับที่อยู่ใน จะเขียน
แทนด้วยสัญลักษณ์
นั่นคือ จะมี บางตัวใน ที่ทาให้ ( )
จะเห็นว่า และ ดังตัวอย่าง 9.3 จะได้ว่า
โดเมนของ เรนจ์ของ
โดเมนของ เรนจ์ของ
ตัวอย่าง 9.7 ให้ เป็นเซตของจานวนธรรมชาติ และให้ ( ) และ
เพราะฉะนั้น ( ) ( )( ) ( )
ดังนั้นจะได้ ,

5. 120
การหาโดเมนและเรนจ์จากตัวอย่างที่กล่าวมาข้างต้น เป็นการหาโดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์ที่มี
จานวนสมาชิกจากัดจึงทาให้สามารถหาได้ง่าย แต่ในกรณีที่เป็นความสัมพันธ์ใน ซึ่งมีจานวนสมาชิกไม่จากัด จะ
ไม่สามารถใช้วิธีหาโดเมนและเรนจ์ด้วยวิธีการดังที่กล่าวได้สะดวก แต่จะใช้วิธีการต่อไปนี้
วิธีหาโดเมน เขียน ในเทอมของ แล้วพิจารณาว่าค่า เป็นจานวนจริงอะไรได้บ้าง จึงจะทาให้
คานวณค่า ได้เป็นจานวนจริง เซตของค่าของ ทั้งหมดคือ โดเมน
วิธีหาเรนจ์ เขียน ในเทอมของ แล้วพิจารณาว่าค่า เป็นจานวนจริงอะไรได้บ้าง จึงจะทาให้คานวณ
ค่า ได้เป็นจานวนจริง เซตของค่าของ ทั้งหมดคือ เรนจ์
ตัวอย่าง 9.8 จงหาโดเมนและเรนจ์ของ ( ) และ
วิธีทา พิจารณาสมการ
ถ้า แล้วจะทาให้ ซึ่งเป็นไปไม่ได้
ดังนั้นจานวนจริง จึงไม่อยู่ในโดเมนของ จานวนจริงนอกนั้นอยู่ในโดเมนของ
เพราะฉะนั้น ( ) ( )
และจากสมการ เขียน ในเทอมของ จะได้
จะเห็นว่า ถ้า แล้วจะไม่สามารถหาค่าของ ได้
ดังนั้น ( ) ( )
ตัวอย่าง 9.9 จงหาโดเมนและเรนจ์ของ ( )
วิธีทา จากสมการ จะได้ √ และ √
ดังนั้น

6. 121
หมายเหตุ มีสมการบางสมการที่ไม่สามารถเขียน ในเทอมของ และเขียน ในเทอมของ
ในกรณีเช่นนี้จะใช้วิธีการหาโดเมนและเรนจ์ดังที่กล่าวมาไม่ได้ ต้องใช้วิธีการอื่น
9.3 ความสัมพันธ์ผกผัน
สมมติให้ และ และให้ เป็นความสัมพันธาก ไป โดยกาหนด
ความสัมพันธ์ ดังนี้ ( )
ซึ่งจะได้ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
และ และ
ถ้าเราสลับที่กันระหว่างส่วนประกอบที่หนึ่งและส่วนประกอบที่สองของแต่ละคู่อันดับที่อยู่ใน จะได้
ความสัมพันธ์อันใหม่ สมมติให้เป็น นั่นคือ
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
ซึ่งจะได้ว่า เป็นความสัมพันธ์จาก ไป ซึ่งสามารถเขียนความสัมพันธ์ ได้ดังนี้
( ) หรือ
( )
จะพบว่า และ
เรียกความสัมพันธ์ ที่เกิดขึ้นนี้ว่าเป็น ความสัมพันธ์ผกผัน (inverse relation) ของ
ความสัมพันธ์

7. 122
บทนิยาม 9.5 ความสัมพันธ์ผกผันของ จาก ไป คือความสัมพันธ์จาก ไป ซึ่งเกิดจากการสลับที่กัน
ระหว่างส่วนประกอบที่หนึ่งกับส่วนประกอบที่สองของแต่ละคู่อันดับใน และเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์
(อ่านว่าความสัมพันธ์ผกผันของ หรืออินเวอร์สของ ) นั่นคือ ( ) ( )
ตัวอย่าง 9.10 กาหนดให้ และ ( )
จงหา
วิธีทา ในที่นี้ ( ) ( ) ( ) ( )
เพราะฉะนั้น ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
ตัวอย่าง 9.11 ถ้า ( ) และ
วิธีทา เพราะว่า ( ) และ
( ) และ
( ) และ
แบบฝึกหัด 9.1
1. จงหาค่าของ และ ถ้า ( ) ( )
2. จงหาค่าของ และ ถ้า ( ) ( )
3. ให้ ตุ้ม แตง ตาล และ แหวน หว้า จงหา
( ) ( )
( ) ( )
4. ให้ และ จงหา
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )

8. 123
ตั้งแต่ข้อ 5 ถึงข้อ 6 จงหาความสัมพันธ์ผกผันของ พร้อมทั้งหาโดเมนและเรนจ์ของ และของ
ความสัมพันธ์ผกผันของ ด้วย
5. ถ้า เป็นความสัมพันธ์ในเซตของจานวนจริง ซึ่ง ( ) และ
6. ถ้า เป็นความสัมพันธ์ในเซตของจานวนธรรมชาติ ซึ่ง ( ) และ
7. ถ้าให้ และ เป็นความสัมพันธ์ในเซตของจานวนจริง ซึ่งกาหนดดังนี้
( ) และ และ
( ) และ
จะเขียนกราฟของความสัมพันธ์ และหาโดเมนและเรนจ์ด้วย
9.4 ฟังก์ชัน
โดยทั่วไปเราสนใจความสัมพันธ์ที่มีลักษณะชนิดหนึ่ง ซึ่งเรียกว่า ฟังก์ชัน (function) เราอาจทาความ
เข้าใจง่ายๆว่า “จานวน ”เป็นฟังก์ชันของจานวน ถ้าสาหรับแต่ละ มีวิธีการ(กฎหรือสูตร) เพื่อหาค่าของ
ได้เพียงหนึ่งค่าเท่านั้นที่สมนัยกับค่าของ “ตัวอย่างเช่น สมการ ” เป็นฟังก์ชัน เพราะว่าค่าแต่ละ
ค่าของ จะหาค่า ได้เพียงหนึ่งค่าเท่านั้น
บทนิยาม 9.6 ฟังก์ชัน คือ ความสัมพันธ์ซึ่งสองคู่อันดับใดๆ ที่มีส่วนประกอบที่หนึ่งเหมือนกันแล้ว
ส่วนประกอบที่สองจะต้องเหมือนกันด้วย นั่นคือ เป็นฟังก์ชัน ก็ต่อเมื่อ ถ้า ( ) และ
( ) แล้ว
ตัวอย่าง 9.12 กาหนดให้
และ ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
จะได้ว่า ไม่เป็นฟังก์ชัน เพราะว่า ( ) และ ( ) แต่
เป็นฟังก์ชัน

9. 124
ตัวอย่าง 9.13 ( ) และ เป็นฟังก์ชัน
( ) และ ไม่เป็นฟังก์ชัน
เพราะว่า ( ) และ ( ) โดยที่
เนื่องจากฟังก์ชันเป็นความสัมพันธ์ ดังนั้นจึงมีโดเมนและเรนจ์และมีวิธีการหาโดเมนและเรนจ์เช่นเดียวกับ
การหาโดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์ ถ้า เป็นฟังก์ชัน จะเขียน และ แทนโดเมนและเรนจ์ของ
ตามลาดับ
ตัวอย่างที่ 9.14 กาหนดให้ ( ) และ จงหาโดเมนและเรนจ์ของ
พร้อมทั้งเขียนกราฟ
วิธีทา จะเห็นได้ว่า สามารถหาค่าได้เสมอ ไม่ว่า จะเป็นจานวนจริงใด
ดังนั้น
และจากสมการ จะได้ว่า
จะเห็นว่า ไม่ว่า จะเป็นจานวนจริงใดๆ จะหาค่า ได้เสมอ
ดังนั้น กราฟของ ดังรูป 9.2
รูป 9.2 กราฟของ

10. 125
ตัวอย่าง 9.15 กาหนดให้ ( ) และ √ จงหาโดเมนและเรนจ์ของ พร้อม
ทั้งเขียนกราฟ
วิธีทา เพราะว่าสาหรับจานวนจริง จะได้ว่า √ จะเป็นจานวนจริงก็ต่อเมื่อ
นั่นคือ √ จะหาค่าได้ต่อเมื่อ
ถ้า จะได้
ดังนั้น และ
เพราะว่า √ ดังนั้น
นั่นคือ และ กราฟของ ดังรูป 9.3
รูป 9.3 กราฟของ √
บทนิยาม 9.7 ถ้า เป็นความสัมพันธ์จาก ไป ที่เป็นฟังก์ชัน และ จะเรียกว่า เป็นฟังก์ชัน จาก
ไป (function from to ) จะเขียนแทนด้วย
ถ้า ( ) เรียกว่า เป็นภาพ (image) ของ ภายใต้ หรือ เป็นค่าของฟังก์ชัน ที่

11. 126
เขียนแทนด้วย ( ) ดังรูป 9.4
( )
( )
( )
( )
รูป 9.4
จากบทนิยาม 9.7 เซต และเซต อาจเป็นเซตเดียวกัน นั่นคือ และสาหรับในหนังสือเล่มนี้
กล่าวเฉพาะกรณีที่เซต และเซต เป็นเซตย่อยของ
โดยทั่วไปนิยมใช้ตัวอักษร และ แทนฟังก์ชัน และจากนิยามจะเห็นว่าแต่ละ จะ
สมนัยกับ ( ) ได้เพียงตัวเดียวเท่านั้น จึงจะได้ เป็นฟังก์ชัน แต่ไม่ได้กาหนดว่าสมาชิกที่ต่างกันของ
เซต จะมีภาพเป็นตัวเดียวกันไม่ได้ นั่นคือสมาชิกที่ต่างกันของเซต อาจมีภาพเป็นตัวเดียวกันได้ ดังรูป 9.4 จะ
เห็นว่า มีภาพเป็นตัวเดียวกันใน คือ ( )(หรือ ( ))
บทนิยาม 9.8 ถ้า เป็นฟังก์ชันจากเซตย่อยของ ไป จะเรียกว่า เป็นฟังก์ชันค่าจริง (real-value
function of real variable) และถ้า ( ) และ ( ) นิยมเขียนโดยย่อว่า
( )
เช่น จากตัวอย่าง 9.15 ที่กาหนดให้ {( )| และ √ }
จะเขียนโดยย่อว่า ( ) √

12. 127
ตัวอย่าง 9.16 กาหนดให้ ( ) และ ( )
จงหา ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( )) ( ) ( ( ))
วิธีทา ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
เพราะว่า ( ) ดังนั้น ( ( )) ( )
เพราะว่า ( ) ดังนั้น ( ( ) ( )
บทนิยาม 9.9 ให้ และ เป็นฟังก์ชัน เท่ากับ (เขียนแทนด้วย ) ก็ต่อเมื่อ และ
( ) ( ) สาหรับทุกๆ ค่า ที่อยู่ในโดเมน (หรือโดเมน )
ตัวอย่าง 9.17 ให้ และ กาหนดให้ ( ) และ ( )
จะเห็นว่า และ ( ) ( ) สาหรับทุกค่า ใน ดังนั้น
บทนิยาม 9.10 ให้ และถ้า จะเรียกว่า เป็นฟังก์ชันจาก ไปทั่วถึง (function from
onto ) เขียนแทนด้วย →
บทนิยาม 9.11 ให้ เรียกว่า เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง (one to one function)
ก็ต่อเมื่อ ถ้า ( ) ( ) แล้ว เท่านั้น เขียนแทนด้วย →
บทนิยาม 9.12 ถ้า เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งจาก ไปทั่วถึง เขียนแทนด้วย
จะเรียก ว่าเป็นการสมนัยหนึ่งต่อหนึ่ง (one to one correspondence) และเรียกว่า
เซต กับเซต มีการสมนัยแบบหนึ่งต่อหนึ่ง

13. 128
ตัวอย่าง 9.18 ถ้าให้
และกาหนด เป็นฟังก์ชันจาก ไป ซึ่งมีลักษณะดังรูป 9.5 ต่อไปนี้
(ก) (ข)
รูป 9.5
จะพบว่า ไม่เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งจาก ไปทั่วถึง
ทั้งนี้เพราะ ( ) ( )
และเรนจ์ของ
ในขณะเดียวกัน เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง แต่ ยังคงเป็นฟังก์ชันจาก ไป
ทั้งนี้เพราะเรนจ์ของ

14. 129
ตัวอย่าง 9.19 ถ้าให้ และ กาหนดให้
เป็นฟังก์ชันจาก ไป ดังรูป 9.6
จะพบว่า เป็นทั้งฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง จาก ไปทั่วถึง
การพิจารณาว่าความสัมพันธ์ที่กาหนดให้เป็นฟังก์ชันหรือไม่ และถ้าเป็นฟังก์ชันแล้วเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อ
หนึ่งหรือไม่ นอกจากจะอาศัยนิยามโดยตรงแล้วอาจทาได้อีกวิธีหนึ่งโดยการพิจารณาจากกราฟของความสัมพันธ์
ซึ่งทาได้ดังนี้
การพิจารณาว่าเป็นฟังก์ชัน ลากเส้นตรงขนานแกน ให้ตัดกราฟของความสัมพันธ์เป็นแห่งๆไป ถ้ามี
เส้นตรงขนานแกน เส้นใดตัดกราฟของความสัมพันธ์มากกว่าหนึ่งจุด แสดงว่าจุด หนึ่งค่าตรงจุดนั้นให้ค่า
ได้มากกว่าหนึ่งค่า ดังนั้นความสัมพันธ์นั้นไม่เป็นฟังก์ชัน ถ้าไม่มีเส้นตรงขนานแกน เส้นใดตัดกราฟของ
ความสัมพันธ์มากกว่าหนึ่งจุด แสดงว่าความสัมพันธ์นั้นเป็นฟังก์ชัน
การพิจารณาว่าเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง ลากเส้นตรงขนานแกน ให้ตัดกราฟของความสัมพันธ์เป็น
แห่งๆไป ถ้ามีเส้นตรงขนานแกน เส้นใดตัดกราฟของความสัมพันธ์มากกว่าหนึ่งจุด แสดงว่ามีค่า หลายค่าที่ให้
ค่า หนึ่งค่า ดังนั้นความสัมพันธ์นั้นไม่เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง ถ้าไม่มีเส้นตรงขนานแกน เส้นใดตัดกราฟของ
ความสัมพันธ์มากกว่าหนึ่งจุด แสดงว่าความสัมพันธ์นั้นเป็นฟังก์ชัน

15. 130
9.5 ฟังก์ชันผกผัน
ในหัวข้อ 9.3 เราทราบแล้วว่าเมื่อให้ความสัมพันธ์ใดๆมา เราจะหาความสัมพันธ์ผกผันของความสัมพันธ์
นั้นได้เสมอและเนื่องจากว่าถ้า เป็นฟังก์ชันแล้ว จะต้องเป็นความสัมพันธ์ด้วย ดังนั้น จึงสามารถหาความ
สัมพันธ์ผกผันของ ได้เสมอ เช่นกัน ซึ่งความสัมพันธ์ผกผันของฟังก์ชัน อาจจะเป็นหรือไม่เป็นฟังก์ชันก็ได้
ตัวอย่าง 9.20 ถ้าให้ ( ) ( ) ( ) ( )
ดังนั้นจะได้ ( ) ( ) ( ) ( )
โดยบทนิยาม 9.6 จะเห็นว่า ทั้ง และ เป็นฟังก์ชัน
ตัวอย่าง 9.21 กาหนดให้ ( ) และ
เพราะฉะนั้น ( )
จากการสังเกต จะพบว่าถ้า เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง แล้ว จะเป็นฟังก์ชัน และ ถ้า เป็นฟังก์ชัน
หนึ่งต่อหนึ่งและทั่วถึง แล้ว จะเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งและทั่วถึงด้วย กล่าวคือ ถ้า เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง
จาก ไปทั่วถึง แล้ว เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งจาก ไปทั่วถึง นั่นคือ ถ้า แล้วจะได้
บทนิยาม 9.13 ให้ เป็นฟังก์ชัน ฟังก์ชันผกผัน (inverse function) ของ คือความสัมพันธ์ผกผันของ
ที่เป็นฟังก์ชัน
ถ้า เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง กาหนดโดย ( ) สามารถหาฟังก์ชันผกผันของ ได้โดยเขียน ให้
อยู่ในเทอมของ เพราะฉะนั้น ( ) และ ( )
ตัวอย่าง 9.22 กาหนดให้ ( ) และ
วิธีทา จากที่กาหนดให้ เพราะฉะนั้น ( )
จะเห็นว่า เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งและทั่วถึง
ดังนั้น จึงสามารถหาฟังก์ชันผกผันของ ได้
จาก จะได้

16. 131
นั่นคือ ( ) และ
หรือ ( ) และ
9.6 พีชคณิตของฟังก์ชัน
พีชคณิตของฟังก์ชัน (algebra of functions) จะเป็นการกล่าวถึงการสร้างฟังก์ชันขึ้นใหม่จากฟังก์ชัน
ค่าจริงที่ให้มาตั้งแต่สองฟังก์ชันขึ้นไป โดยการนาฟังก์ชัน (ค่าของฟังก์ชัน) เหล่านั้นมาบวก ลบ คูณ หรือหารกัน ดัง
บทนิยามต่อไปนี้
บทนิยาม 9.14 ให้ และ เป็นฟังก์ชันค่าจริง จะกาหนดผลบวก ผลต่าง ผลคูณและผลหารของฟังก์ชัน
และ ดังนี้
(1) ผลบวกของฟังก์ชัน กับ เขียนแทนด้วย จะเป็นฟังก์ชันที่กาหนดโดย
( )( ) ( ) ( ) เมื่อ
หรือ ( ) ( ) ( ) เมื่อ
(2) ผลต่างของฟังก์ชัน กับ เขียนแทนด้วย จะเป็นฟังก์ชันที่กาหนดโดย
( )( ) ( ) ( ) เมื่อ
หรือ ( ) ( ) ( ) เมื่อ
(3) ผลคูณของฟังก์ชัน กับ เขียนแทนด้วย จะเป็นฟังก์ชันที่กาหนดโดย
( )( ) ( ) ( ) เมื่อ
หรือ ( ) ( ) ( ) เมื่อ
(4) ผลหารของฟังก์ชัน กับ เขียนแทนด้วย จะเป็นฟังก์ชันที่กาหนดโดย
( ) ( )
( )
( )
เมื่อ และ ( )
หรือ ( ) ( )
( )
( )
เมื่อ และ ( )

17. 132
ตัวอย่าง 9.23 ให้ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
จงหา
วิธีทา เพราะว่า ดังนั้น จะนิยามเฉพาะบน
เพราะฉะนั้น ( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( ) ( )
ดังนั้น ( ) ( ) ( ) ( )
ตัวอย่าง 9.24 ให้ ( ) และ
( ) และ
จงหา ( ) ( ) ( ) ( )
วิธีทา ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )
หรือ ( ) และ
( ) ( )( ) ( ) ( )
( )
หรือ ( ) และ
( ) ( )( ) ( ) ( )
หรือ ( ) และ

18. 133
( ) ( )( )
( )
( )
หรือ ( ) และ
ตัวอย่าง 9.25 ให้ ( ) และ ( ) จงหาบทนิยาม ( ) ( ) ( )
วิธีทา จากบทนิยาม 9.14 ดังนั้น
( ) จะนิยามว่า ( )( )
และ โดเมนของ คือ
( ) จะนิยามว่า ( )( )
และ โดเมนของ คือ
( ) จะนิยามว่า ( )( )
และ โดเมนของ คือ
9.7 ฟังก์ชันประกอบ
พิจารณาฟังก์ชัน ( ) ( ) จะเห็นว่าในการดาเนินการหรือคานวณเกี่ยวกับ
ฟังก์ชันนี้โดยตรงอาจจะไม่สะดวก แต่ถ้าเราให้ ( ) และ ( ) ดังนั้นจะได้
( ) ( ) ( ( )) ซึ่งจะเรียกว่า เป็นฟังก์ชันประกอบ (composite function)
ระหว่างฟังก์ชัน กับฟังก์ชัน ซึ่งจะทาให้การคานวณหรือการดาเนินกานในบางครั้งกระทาได้สะดวกและ
รวดเร็วยิ่งขึ้น กระบวนการเพื่อให้ได้ผลดังกล่าวอาจเขียนเป็นแผนผังได้ดังรูป 9.7
( ) ( ( ))
รูป 9.7

19. 134
บทนิยาม 9.15 ให้ และ แล้ว การประกอบของ และ (composition of and )
จะเขียนแทนด้วย ( อ่านว่า คอมโพสิท ) คือฟังก์ชันจาก ไป
นั้นคือ โดยที่ ( )( ) ( ( )) สาหรับ
รูป 9.8
จากรูป 9.8 ถ้าให้ และ แล้ว
เป็นฟังก์ชันจาก ไป โดยที่ ( ) หรือ ( )
เป็นฟังก์ชันจาก ไป โดยที่ ( ) หรือ ( ) ( ( ))
ดังนั้น เป็นฟังก์ชันจาก ไป โดยที่ ( ) หรือ ( ) ( ( ))
ซึ่งจะเห็นว่า ( )( ) ( ( )) กล่าวคือ ค่าของฟังก์ชัน ที่
เท่ากับค่าของฟังก์ชัน ที่ ( ) ซึ่งมีค่าเท่ากับ นั่นเอง
ข้อสังเกต ฟังก์ชันประกอบ จะหาค่าได้ก็ต่อเมื่อ เรนจ์ของ เป็นเซตย่อยของโดเมนของ

20. 135
ตัวอย่าง 9.26 ให้ และ กาหนดดังในรูป 9.9
รูป 9.9
จากรูป 9.9 จะเห็นว่า เป็นฟังก์ชันจาก ไป โดยที่
( )( ) ( ( )) ( )
( )( ) ( ( )) ( )
( )( ) ( ( )) ( )
ดังนั้น ( ) ( ) ( ) ( )
ตัวอย่าง 9.27 กาหนดให้ และ เป็นฟังก์ชันที่กาหนดดังนี้
( ) และ ( ) สาหรับ จะหา และ ได้หรือไม่
วิธีทา เพราะว่า ) และ จะเห็นว่า ดังนั้นหา ได้ ดังนี้
( )( ) ( ( ))
( )
( )

21. 136
ดังนั้น ( ) และ
เพราะว่า และ
จะเห็นชัดว่า ดังนั้น สามารถหาได้ ดังนี้
( )( ) ( ( ))
( )
( )
ดังนั้น ( ) และ
บทนิยาม 9.16 ให้ ที่กาหนดโดย ( ) สาหรับทุก แล้ว จะเรียกว่า
เป็นฟังก์ชันเอกลักษณ์ (identity function) ในเซต เขียนแทนด้วย
จากบทนิยาม 9.16 จะได้ เป็นฟังก์ชันเอกลักษณ์ใน นั่นคือ ซึ่งกราฟ
ดังรูป 9.10
รูป 9.10

22. 137
ตัวอย่าง 9.28 ให้ ที่กาหนดโดย ( ) จงหา และ
วิธีทา เนื่องจาก เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง ดังนั้นสามารถหาฟังก์ชันผกผันได้
จาก ( ) จะได้
นั่นคือ ( )
เนื่องจากโดเมนและเรนจ์ของ และ เป็นเซตของจานวนจริง
ดังนั้น และ สามารถหาได้ โดยที่
( )( ) ( ( )) ( ) ( )
และ ( )( ) ( ( )) ( )
( )
เนื่องจาก และ ต่างก็เป็นฟังก์ชันจาก ไป ที่มีโดเมนเท่ากัน
และ ( )( ) ( )( )
เพราะฉะนั้น
ข้อสังเกต 1. หรือ อาจจะหาได้หรือไม่ได้ แต่ถ้าหาได้ กับ อาจจะไม่เท่ากัน เช่นใน
ตัวอย่าง 9.27
2. ถ้า แล้วจะได้
9.8 ฟังก์ชันชนิดต่างๆ
ฟังก์ชัน อาจมีชื่อเรียกได้หลายชื่อตามลักษณะของเงื่อนไขหรือการนิยามของ ( ) นั่นคือจะมีแบบของฟังก์ชัน
(type of functions) ได้มากมายตามลักษณะของเงื่อนไข ที่ใช้กาหนดค่าของฟังก์ชัน โดยทั่วไปจะแบ่งฟังก์ชัน
ออกเป็น 2 ประเภท คือ
1.ฟังก์ชันพีชคณิต (algebraic function) เป็นฟังก์ชันที่ค่าของฟังก์ชันจัดอยู่ในรูปของจานวนจริง และ
ตัวแปร เครื่องหมาย(การดาเนินการ)ในทางพีชคณิต ซึ่งมีดังนี้

23. 138
(1) ฟังก์ชันพหุนาม (polynomial function) เป็นฟังก์ชันที่จัดอยู่ในรูป
( )
โดยที่ เป็นจานวนค่าคงตัว ซึ่งจะเรียกว่า สัมประสิทธิ์
(coefficients) ของฟังก์ชันพหุนาม ซึ่ง
เป็นจานวนเต็มที่มากกว่าหรือเท่ากับศูนย์ เรียกว่า ระดับขั้น(degree) ของฟังก์ชันพหุนาม
ตัวอย่างเช่น
( ) เป็นฟังก์ชันพหุนาม ระดับขั้น 4
( ) เป็นฟังก์ชันพหุนาม ระดับขั้น 3
ถ้า จะได้ ( ) จะเรียกว่า เป็น ฟังก์ชันเชินเส้น (linear
function) ตัวอย่างเช่น ( ) ( ) ( ) เป็นต้น
ถ้า จะได้ ( ) จะเรียกว่า เป็นฟังก์ชัน
กาลังสอง (quadratic function) ตัวอย่างเช่น ( ) ( ) เป็นต้น
ในกรณีที่ ( ) โดยที่ เป็น ค่าคงตัว (constant) จะเรียกว่า เป็น ฟังก์ชันคงตัว
(constant function) ตัวอย่างเช่น ( ) ( ) ( )
แต่ถ้าฟังก์ชัน มีค่าของฟังก์ชันเป็นค่าคงที่ในแต่ละช่วงของโดเมนของ แล้วจะเรียกว่า เป็น
ฟังก์ชันขั้นบันได (step- function)
(2) ฟังก์ชันตรรกยะ (rational function) เป็นฟังก์ชันที่อยู่ในรูปผลหารของพหุนาม กล่าวคือ
( )
( )
( )
โดยที่ ( ) ( ) เป็นฟังก์ชันพหุนาม และ ( ) ตัวอย่างเช่น
( )
( )
( )

24. 139
จะเห็นว่าฟังก์ชันพหุนามก็เป็นฟังก์ชันตรรกยะ โดยที่ ( ) เมื่อ เป็นค่าคงตัว ดังนั้นจึงเรียก
ฟังก์ชันพหุนามได้อีกอย่างว่า ฟังก์ชันตรรกยะชนิดจานวนเต็ม (rational integral function)
(3) ฟังก์ชันอตรรกยะ (irrational function) เป็นฟังก์ชันพีชคณิตที่ไม่ใช่ฟังก์ชันตรรกยะ ตัวอย่างเช่น
( )
√
( )
√
2. ฟังก์ชันอดิสัย (transcendental functions) คือฟังก์ชันใดๆที่ไม่ใช่ฟังก์ชันพีชคณิต เช่นฟังก์ชัน
ตรีโกณ (trigonometric functions) ฟังก์ชันตรีโกณผกผัน (inverse trigonometric functions) ฟังก์ชันชี้กาลัง
(exponential functions) ฟังก์ชันลอการิทึม (logarithmic functions) ฟังก์ชันไฮเพอร์โบลิก (hyperbolic
functions) และฟังก์ชันไฮเพอร์โบลิกผกผัน (inverse hyperbolic functions) ตัวอย่างเช่น
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
แบบฝึกหัด 9.2
1. กาหนดให้ จงพิจารณา ความสัมพันธ์จาก ไป ต่อไปนี้เป็นฟังก์ชัน
หรือไม่เพราะเหตุใด
(1) ( ) ( )
(2) ( ) ( ) ( )
(3) ( ) ( ) ( )
(4) ( ) ( ) ( )
(5) ( ) ( ) ( ) ( )
2. กาหนดให้ และ จงหาฟังก์ชันจาก ไป มาทั้งหมด

25. 140
3. ให้ กาหนดโดย ( ) จงหา
(1) ( ) (2) ( ) ( )
(3) ( ) (4) ( ( ))
(5) ( ) (6)
( ) ( )
4. ให้ กาหนดโดย
( ) {
จงหา (1) ( ) (2) ( )
(3) ( ) (4) ( ( ))
5. กาหนดความสัมพันธ์ในเซตของจานวนจริงดังต่อไปนี้
( ) และ
( ) และ
{( )| และ √ }
จงพิจารณาว่า
(1) เป็นฟังก์ชันหรือไม่ (2) เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งหรือไม่
(3) เป็นฟังก์ชันจาก ไปทั่วถึง หรือไม่ (4) ถ้าเป็นฟังก์ชันจงหาโดเมนและเรนจ์ของฟังก์ชัน
(5) ถ้าเป็นฟังก์ชัน จงหาฟังก์ชันผกผัน
6. จงหาโดเมนและเรนจ์ พร้อมทั้งเขียนกราฟของแต่ละฟังก์ชันที่กาหนดให้ต่อไปนี้
(1) ( )
(2) ( )
(3) ( )

26. 141
(4) ( )
(5) ( ) {
ถ้า
ถ้า
(6) ( ) {
ถ้า
ถ้า
ถ้า
7. จากฟังก์ชัน และ ที่กาหนดให้ดังต่อไปนี้ จงหา และ
พร้อมทั้งหาโดเมนและเรนจ์ของฟังก์ชันที่เป็นผลลัพธ์ด้วย
(1) ( ) ( )
(2) ( ) ( )
(3) ( ) ( ) √
(4) ( ) ( )
(5) ( ) ( ) √
8. จงหา และ พร้อมโดเมนและเรนจ์ของฟังก์ชันที่เป็นผลลัพธ์ด้วย ถ้า
( ) {
ถ้า
ถ้า
ถ้า
( ) {
ถ้า
ถ้า
ถ้า
9. ให้ ( ) และ ( )
(1) ( )( ) (2) ( )( )
(3) ( )( ) (4) ( )( )
(5) ( )( ) (6) ( )( )

27. 142
10. ให้ ( ) ( ) และ ( ) จงหา
(1) (2)
(3) (4)
(5) (6)
(7) ( ) (8) ( )
(9) ( ) (10) ( )
(11) ( ) (12) ( )
(13) ( ) (14) ( )