1. FUNÇÃO MODULAR

2. MÓDULO
 x se x ≥ 0
| x |= 
 − x se x < 0

3. Ex.:
 | 9 |= 9 , pois 9>0
| − 8 |= − (− 8) = 8 , pois -8<0
| 7 − 2 |= 7 − 2 , pois 7− 2> 0
 | 7 − 5 |= − ( 7 − 5) = 5 − 7 , pois 7− 5< 0

4. FUNÇÃO MODULAR
Uma função f : R → R , com f (x ) = | x | é
chamada função modular ou função valor
absoluto.
 x se x ≥ 0
f (x ) = | x |⇔ f (x ) = 
 − x se x < 0

5. EXEMPLOS
a) f (x) = x b) f ( x ) = | x |
y
y
4
4
3
3
2
2
1
1
x
x
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−1
−1
−2
−2
−3
−3
−4
−4

6. c) f (x ) = x 2 − 3x − 5 d) f ( x ) = | x 2 − 3x − 5 |
y y
9 9
8 8
7 7
6 6
5 5
4 4
3 3
2 2
1 x 1 x
−9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
−1 −1
−2 −2
−3 −3
−4 −4
−5 −5
−6 −6
−7 −7
−8 −8
−9 −9
−10 −10

7. 4 2
e) f (x ) = x 4 − 4 x 2 + 3 f) f (x) = | x − 4x + 3 |
y y
4 4
3 3
2 2
1 1
x x
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−1 −1
−2 −2
−3 −3
−4 −4
−5 −5

8. g) f ( x ) = | x | h) f (x) = | x | + 4
y y
9 9
8 8
7 7
6 6
5 5
4 4
3 3
2 2
1 1
x x
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−1 −1

9. i) f (x) = | x | j) f ( x ) = | x − 2 |
y y
9 9
8 8
7 7
6 6
5 5
4 4
3 3
2 2
1 1
x x
−9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
−1 −1

10. m) f (x) = | x 2 + 2 x | n) f (x) = | x 2 + 2x | + 3
y y
9 9
8 8
7 7
6 6
5 5
4 4
3 3
2 2
1 1
x x
−9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
−1 −1

11. Construção de gráficos de funções do tipo
f (x) = | x − 4 | + 2 x − 6
1º) Encontramos a raiz da função | x − 4 |, que é
x=4.
2º) Estudamos o sinal da função | x − 4|

12. Da definição de função modular
 x se x ≥ 0
f (x ) = | x |⇔ f (x ) = 
 − x se x < 0
podemos observar que a função acima ficará:
 − (x − 4) + 2 x − 6 se x < 4
f (x) = 
 x − 4 + 2 x − 6 se x ≥ 4
 x − 2 se x < 4
⇒ f (x) = 
 3x − 10 se x ≥ 4

13. f ( x ) = x − 2 se x < 4 f ( x ) = 3x − 10 se x ≥ 4
y y
9 9
8 8
7 7
6 6
5 5
4 4
3 3
2 2
1 1
x x
−9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
−1 −1
−2 −2
−3 −3
−4 −4
−5 −5

14.  x − 2 se x ≤ 4
f (x) = 
 f ( x ) = 3x − 10 se x ≥ 4
y
9
8
7
6
5
4
3
2
1
x
−9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
−1
−2
−3
−4
−5

15. Exercícios
Páginas: 182, 187
2, 3, 7, 8, 10, 13