17. ปญหาทางกลศาสตรของแข็ง(Solid-Mechanics)
Analysis of solids
Static Dynamics
Behavior of Solids
Linear Nonlinear
Material
Fracture
Geometric
Large Displacement
Instability
Plasticity
Viscoplasticity
Geometric
Classification of solids
Skeletal Systems
1D Elements
Plates and Shells
2D Elements
Solid Blocks
3D Elements
Trusses
Cables
Pipes
Plane Stress
Plane Strain
Axisymmetric
Plate Bending
Shells with flat elements
Shells with curved elements
Brick Elements
Tetrahedral Elements
General Elements
Elementary Advanced
Stress Stiffening
21. การสรางเอลิเมนต 1 มิติ (1D element or Line element)
วิธีการสรางเอลิเมนต 1 มิติโดย
1. Direct stiffness method (เราจะใชอันนี้)
2. Weighted residual method
3. Minimum potential energy method (เราจะใชอันนี้)
4. Variational method
22. การสรางเอลิเมนต 1 มิติโดยวิธี Direct stiffness
‰ วิธีการสรางเอลิเมนต 1 มิติ (Spring element or bar element)
รูปขางลางแสดงสปริงในพิกัดสามมิติ
ˆˆˆ
xyz Global coordinate system
xyz Local coordinate system
−
−
27. ขั้นตอนที่ 2 การกําหนดฟงกชันของการกระจัด(ตอ)
จากนั้นทําการแทนคาเงื่อนไขดังกลาวลงในสมการที่ (2) จะได
1 1
2 2 1
ˆ
ˆ ˆ
( 0) (3)
ˆ ˆ
ˆ ˆ
( ) (4)
x
x x
u x d a
u x L d a L d
= = =
= = = +
หรือได a2 ดังนี้
2 1
2
ˆ ˆ
(5)
x x
d d
a
L
−
=
นํากลับไปแทนในสมการที่ (2) ได
[ ]
2 1
1
1 1
1 2
2 2
ˆ ˆ
ˆ
ˆ ˆ ˆ
( )
ˆ ˆ
ˆ
ˆ
1 (6)
ˆ ˆ
x x
x
x x
x x
d d
u x x d
L
d d
x
x N N
L d d
⎛ ⎞
−
= +
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎧ ⎫ ⎧ ⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎡ ⎤
= − =
⎨ ⎬ ⎨ ⎬
⎢ ⎥
⎣ ⎦⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎩ ⎭ ⎩ ⎭
30. ขั้นตอนที่ 4 การพิสูจนหา Element stiffness matrix
จากรูปแรงที่โนด 1 และ 2
1 2
ˆ ˆ (9)
x x
f T f T
= − =
จากสมการที่ (8) และ (9) เราสรุปได
1 2 1
2 2 1
ˆ ˆ ˆ
( ) (10)
ˆ ˆ ˆ
( ) (11)
x x x
x x x
T f k d d
T f k d d
= − = −
= = −
เราสามารถเขียนสมการ (10) และ (11) ในรูปเมตริกดังนี้
1 1
2 2
ˆ ˆ
(12)
ˆ ˆ
x x
x x
f d
k k
k k
f d
⎧ ⎫ ⎧ ⎫
−
⎡ ⎤
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
=
⎨ ⎬ ⎨ ⎬
⎢ ⎥
−
⎣ ⎦
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎩ ⎭ ⎩ ⎭
Local stiffness matrix หรือ Element stiffness matrix
33. ตัวอยาง
(1)
1 1 1 1
(1)
1 1 3
3
ˆ
( )
ˆ
x x
x
x
f k k d
a
k k d
f
⎧ ⎫ − ⎧ ⎫
⎡ ⎤
⎪ ⎪
=
⎨ ⎬ ⎨ ⎬
⎢ ⎥
−
⎣ ⎦ ⎩ ⎭
⎪ ⎪
⎩ ⎭
(2)
3 2 2 3
(2)
2 2 2
2
ˆ
( )
ˆ
x x
x
x
f k k d
b
k k d
f
⎧ ⎫ − ⎧ ⎫
⎡ ⎤
⎪ ⎪
=
⎨ ⎬ ⎨ ⎬
⎢ ⎥
−
⎣ ⎦⎩ ⎭
⎪ ⎪
⎩ ⎭
เอลิเมนต 1
เอลิเมนต 2
Compatibility conditions
(1) (2)
3 3 3 ( )
x x x
d d d c
= =
34. (1) (2)
3 3 3
(2)
2 2
(1)
1 1
( )
( )
( )
x x x
x x
x x
F f f d
F f e
F f f
= +
=
=
Free body diagram แสดง Nodal forces
นําคาสมการ (a) และ (b) ลงในสมการ (d), (e) และ (f) จะได
3 1 1 1 3 2 3 2 2
2 2 3 2 2
1 1 1 1 3
( ) ( )
( )
x x x x x
x x x
x x x
F k d k d k d k d
F k d k d g
F k d k d
= − + + −
= − +
= −
35. นําสมการ (g) มาเขียนเปนเมตริก
3 1 2 2 1 3
2 2 2 2
1 1 1 1
0 ( )
0
x x
x x
x x
F k k k k d
F k k d h
F k k d
+ − −
⎧ ⎫ ⎡ ⎤⎧ ⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎢ ⎥
= −
⎨ ⎬ ⎨ ⎬
⎢ ⎥
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎢ ⎥
−
⎩ ⎭ ⎣ ⎦⎩ ⎭
1 1 1 1
2 2 2 2
3 1 2 1 2 3
0
0 ( )
x x
x x
x x
F k k d
F k k d i
F k k k k d
−
⎧ ⎫ ⎡ ⎤⎧ ⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎢ ⎥
= −
⎨ ⎬ ⎨ ⎬
⎢ ⎥
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎢ ⎥
− − +
⎩ ⎭ ⎣ ⎦⎩ ⎭
(13)
F K d
=
นําสมการ (h) มาเขียนใหมเปน
หรือ
F Global nodal force matrix
d Global nodal displacement matrix
K Total or global system stiffness matrix
=
=
=
36. การหา Global equations โดย Superposition
เราสามารถหาไดโดยใชหลักการของ Superposition ดังนี้
(1) (1)
1 1 1
(1) (1)
1 2 2 2
(1) (1)
3 3 3
1 0 1
0 0 0 ( )
1 0 1
x x x
x x x
x x x
d d f
k d d f j
d d f
⎧ ⎫ ⎧ ⎫
− =
⎡ ⎤
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎢ ⎥ = =
⎨ ⎬ ⎨ ⎬
⎢ ⎥
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎢ ⎥
− =
⎣ ⎦⎩ ⎭ ⎩ ⎭
เอลิเมนต 1 จากสมการ (a) ในตัวอยางที่แลวสามารถเขียนใหมได
เอลิเมนต 2 จากสมการ (b) ในตัวอยางที่แลวสามารถเขียนใหมได
(2) (2)
1 1 1
(2) (2)
2 2 2 2
(2) (2)
3 3 3
0 0 0
0 1 1 ( )
0 1 1
x x x
x x x
x x x
d d f
k d d f k
d d f
⎧ ⎫ ⎧ ⎫
=
⎡ ⎤
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎢ ⎥
− = =
⎨ ⎬ ⎨ ⎬
⎢ ⎥
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎢ ⎥
− =
⎣ ⎦⎩ ⎭ ⎩ ⎭
0
0
37. จับสมการ (j) และ (k) บวกกัน และจากสมดุลแรงที่แตละโนด จากสมการ (d), (e)
และ (f) ในตัวอยางที่แลว เราจะได
(1)
1 1 1 1
(2)
1 2 2 2 2 2
(1) (2)
3 3 3 3 3
1 0 1 0 0 0 0
0 0 0 0 1 1 0 ( )
1 0 1 0 1 1
x x x x
x x x x
x x x x x
d d f F
k d k d f F l
d d f f F
⎧ ⎫ ⎧ ⎫
−
⎡ ⎤⎧ ⎫ ⎡ ⎤⎧ ⎫ ⎧ ⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
+ − = + =
⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
− −
⎣ ⎦⎩ ⎭ ⎣ ⎦⎩ ⎭ ⎩ ⎭
⎩ ⎭ ⎩ ⎭
หรือเขียนไดเหมือนสมการ (i)
1 1 1 1
2 2 2 2
3 1 2 1 2 3
0
0 ( )
x x
x x
x x
F k k d
F k k d i
F k k k k d
−
⎧ ⎫ ⎡ ⎤⎧ ⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎢ ⎥
= −
⎨ ⎬ ⎨ ⎬
⎢ ⎥
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎢ ⎥
− − +
⎩ ⎭ ⎣ ⎦⎩ ⎭
(13)
F K d
=
หรือ
41. จากนั้นจับ Element stiffness matrix บวกกัน
(1) (2) (3)
1000 0 1000 0
0 3000 0 3000
1000 0 1000 2000 2000
0 3000 2000 2000 3000
1000 0 1000 0
0 3000 0 3000
1000 0 3000 2000
0 3000 2000 5000
K k k k
= + +
−
⎡ ⎤
⎢ ⎥
−
⎢ ⎥
=
⎢ ⎥
− + −
⎢ ⎥
− − +
⎣ ⎦
−
⎡ ⎤
⎢ ⎥
−
⎢ ⎥
=
⎢ ⎥
− −
⎢ ⎥
− −
⎣ ⎦
Global stiffness matrix
1 1
2 2
3 3
4 4
1000 0 1000 0
0 3000 0 3000
1000 0 3000 2000
0 3000 2000 5000
x x
x x
x x
x x
F d
F d
F d
F d
−
⎧ ⎫ ⎧ ⎫
⎡ ⎤
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎢ ⎥
−
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎢ ⎥
=
⎨ ⎬ ⎨ ⎬
⎢ ⎥
− −
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎢ ⎥
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
− −
⎣ ⎦
⎩ ⎭ ⎩ ⎭
42. กําหนดสภาวะขอบและภาระที่กระทําที่โนด 3 และ 4 จะไดสมการ
1 1
2 2
3 3
4 4
0
1000 0 1000 0
0
0 3000 0 3000
0 1000 0 3000 2000
5000 0 3000 2000 5000
x x
x x
x x
x x
F d
F d
F d
F d
=
−
⎧ ⎫ ⎧ ⎫
⎡ ⎤
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎢ ⎥ =
−
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎢ ⎥
=
⎨ ⎬ ⎨ ⎬
⎢ ⎥
= − −
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎢ ⎥
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
= − −
⎣ ⎦
⎩ ⎭ ⎩ ⎭
หรือ
3
4
0 3000 2000
5000 2000 5000
x
x
d
d
− ⎧ ⎫
⎧ ⎫ ⎡ ⎤
=
⎨ ⎬ ⎨ ⎬
⎢ ⎥
−
⎩ ⎭ ⎣ ⎦⎩ ⎭
แกสมการได
3 4
10 15
11 11
x x
d in d in
= =
นําคาที่ไดไปแทนในสมการเมตริกขางบนได
1 2
10,000 45,000
11 11
x x
F lb F lb
= − = −
43. การสรางเอลิเมนตเมตริกสําหรับบาร(Bar or rod)
‰ เราสามารถลอกเลียนแบบการสรางเอลิเมนตเมตริกสําหรับบารที่อยูภายใตแรง
ตามแนวแกนไดเชนเดียวกับกรณีสปริง โดยคาคงที่สปริงของบารคือ
(14)
AE
k
L
=
โดย A = พื้นที่หนาตัดของบาร L = ความยาวเดิมของบาร
E = Young’s modulus ของบาร
44. ดังนั้นเราจะสามารถสรุปไดวาสําหรับบารเอลิเมนต เอลิเมนตเมตริกของบารคือ
1 1
ˆ (15)
1 1
AE
k
L
−
⎡ ⎤
= ⎢ ⎥
−
⎣ ⎦
ความเคนภายในเอลิเมนตหาไดจากสมการความสัมพันธ
[ ]
2 1
1
2
ˆ ˆ
( )
ˆ
1 1 (16)
ˆ
x x
x
x
E
E E d d
L L
d
E
L d
δ
σ = ε = = −
⎧ ⎫
⎪ ⎪
= − ⎨ ⎬
⎪ ⎪
⎩ ⎭
Note: ดังนั้นจะเห็นวาความเคนตามแนวแกนภายในเอลิเมนตนั้นๆหรือ
ภายในแทงบารจะมีคาคงที่ตลอดทั่วทั้งเอลิเมนต
45. ตัวอยางปญหาของบารเอลิเมนต
ระบบโครงสรางบารดังรูป
จงหา (1) Global stiffness matrix
(2) การกระจัดที่โนด 2 และ 3
(3) แรงปฎิกิริยาที่โนด 1 และ 4
(4) ความเคนภายในแตละเอลิเมนต
ถากําหนดใหแรงกระทําที่โนด 2 ในทิศทางแกน x เทากับ 3000 lb
ความยาวของแตละเอลิเมนตเทากับ 30 in
E = 30 x 106 psi และ A = 1 in2 สําหรับเอลิเมนต 1 และ 2
E = 15 x 106 psi และ A = 2 in2 สําหรับเอลิเมนต 3
53. Plane truss element (2 มิติ)
‰ เราสามารถพัฒนา Truss element แบบ 2 มิติไดโดยเอาผลจากการพัฒนา Bar
element เพียงแตแรงและการกระจัดของแตละโนดใน Truss element จะมีคาตาม
แนวแกน x และ y ดวยดังนั้น รูปขางลางคือตัวอยางของ Plane truss system
54. 2 Node truss element
เราสามารถแสดงความสัมพันธของ Nodal forces กับ Nodal displacements ที่
อางอิงกับ Global coordinate system ไดดังสมการ
x
y 2 2
,
x x
f d
θ
1 1
,
y y
f d
1 1
,
x x
f d
2 2
,
y y
f d
f k d
=
1
2
55. In global coordinate system, the vector of nodal displacements
and loads
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=
2y
2x
1y
1x
2y
2x
1y
1x
f
f
f
f
f
;
d
d
d
d
d
Our objective is to obtain a relation of the form
1
4
4
4
1
4
d
k
f
×
×
×
=
Where k is the 4x4 element stiffness matrix in global coordinate
system
56. The key is to look at the local coordinates
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
2x
1x
2x
1x
d̂
d̂
k
k
-
k
-
k
f̂
f̂
L
EA
k =
Rewrite as
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
2y
2x
1y
1x
2y
2x
1y
1x
d̂
d̂
d̂
d̂
0
0
0
0
0
k
0
k
-
0
0
0
0
0
k
-
0
k
f̂
f̂
f̂
f̂
x̂
ŷ
θ
1x
1x f̂
,
d̂
2x
2x f̂
,
d̂
x
y
1y 1y
ˆ ˆ
d ,f 0
=
2y 2y
ˆ ˆ
d ,f 0
=
d̂
k̂
f̂ =
57. NOTES
1. Assume that there is no stiffness in the local y direction.
2. If you consider the displacement at a point along the local x
direction as a vector, then the components of that vector along the
global x and y directions are the global x and y displacements.
3. The expanded stiffness matrix in the local coordinates is
symmetric and singular.
^
58. NOTES
5. In local coordinates we have
But or goal is to obtain the following relationship
Hence, need a relationship between and
and between and
1
4
4
4
1
4
d
k
f
×
×
×
=
1
4
4
4
1
4
d̂
k̂
f̂
×
×
×
=
d̂ d
f̂ f
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=
2y
2x
1y
1x
2y
2x
1y
1x
d̂
d̂
d̂
d̂
d̂
d
d
d
d
d
Need to understand
how the components
of a vector change
with coordinate
transformation
1x
d
1y
d
1x
d̂
θ
1y
d̂
2x
d
2y
d
2x
d̂
θ
2y
d̂
59. Transformation of a vector in two dimensions
θ
x̂
ŷ
y
v̂
x
v cos θ
x
y
v
x
v̂
x
v
y
v
y
v sin θ
θ
y
v cos θ
x
v sin θ
x x y
y x y
v̂ v cos θ v sin θ
v̂ v sin θ v cos θ
= +
= − +
The vector v has components (vx, vy) in the global coordinate system
and (vx, vy) in the local coordinate system. From geometry
^ ^
Angle θ is
measured positive
in the counter
clockwise direction
from the +x axis)
60. x x
y y
v̂ v
cos θ sin θ
v̂ v
sin θ cos θ
⎧ ⎫ ⎧ ⎫
⎡ ⎤
=
⎨ ⎬ ⎨ ⎬
⎢ ⎥
−
⎣ ⎦
⎩ ⎭ ⎩ ⎭
In matrix form
Or
x x
y y
v̂ v
v̂ v
C S
S C
⎧ ⎫ ⎧ ⎫
⎡ ⎤
=
⎨ ⎬ ⎨ ⎬
⎢ ⎥
−
⎣ ⎦
⎩ ⎭ ⎩ ⎭
where
cos
sin
C
S
θ
θ
=
=
Transformation matrix for a single vector in 2D
*
T
C S
S C
⎡ ⎤
= ⎢ ⎥
−
⎣ ⎦
*
v̂ T v
=
x x
y y
v̂ v
v̂ and v
v̂ v
⎧ ⎫ ⎧ ⎫
= =
⎨ ⎬ ⎨ ⎬
⎩ ⎭ ⎩ ⎭
relates
where are components of the same
vector in local and global
coordinates, respectively.
Direction cosines
61. Relationship between and for the truss element
d̂ d
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
=
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
1y
1x
*
1y
1x
d
d
T
d̂
d̂
At node 1
At node 2
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
=
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
2y
2x
*
2y
2x
d
d
T
d̂
d̂
Putting these together
{ {
1x 1x
1y 1y
2x
2x
2y
2y
T d
d̂
d̂ d
0 0
d̂ d
0 0
ˆ 0 0 d
d
0 0 d
d̂
C S
S C
C S
S C
⎧ ⎫ ⎧ ⎫
⎡ ⎤
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎢ ⎥
⎪ ⎪ −
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎢ ⎥
=
⎨ ⎬ ⎨ ⎬
⎢ ⎥
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎢ ⎥
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
−
⎣ ⎦⎩ ⎭
⎪ ⎪
⎩ ⎭ 144
4
2444
3
d
T
d̂ =
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
×
*
*
4
4 T
0
0
T
T
1x
d
1y
d
1x
d̂
θ
1y
d̂
2x
d
2y
d
2x
d̂
θ
2y
d̂
62. Relationship between and for the truss element
f̂ f
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
=
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
1y
1x
*
1y
1x
f
f
T
f̂
f̂
At node 1
At node 2
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
=
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
2y
2x
*
2y
2x
f
f
T
f̂
f̂
Putting these together
{ {
1x 1x
1y 1y
2x
2x
2y
2y
T f
f̂
f̂ f
0 0
f̂ f
0 0
ˆ 0 0 f
f
0 0 f
f̂
C S
S C
C S
S C
⎧ ⎫ ⎧ ⎫
⎡ ⎤
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎢ ⎥
⎪ ⎪ −
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎢ ⎥
=
⎨ ⎬ ⎨ ⎬
⎢ ⎥
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎢ ⎥
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
−
⎣ ⎦⎩ ⎭
⎪ ⎪
⎩ ⎭ 144
4
2444
3
f
T
f̂ =
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
×
*
*
4
4 T
0
0
T
T
1x
f
1y
f
1x
f̂
θ
1y
f̂
2x
f
2y
f
2x
f̂
θ
2y
f̂
63. Important property of the transformation matrix T
The transformation matrix is orthogonal, i.e. its inverse is its
transpose
T
T
T
1
=
−
Use the property that C2+S2=1
64. Putting all the pieces together
( )d
T
k̂
T
f
d
T
k̂
f
T
d̂
k̂
f̂
k
1
4
3
4
2
1
−
=
⇒
=
⇒
=
x̂
ŷ
θ
1x
1x f̂
,
d̂
2x
2x f̂
,
d̂
x
y
1y
1y f̂
,
d̂
2y
2y f̂
,
d̂
f
T
f̂ =
d
T
d̂ =
The desired relationship is
1
4
4
4
1
4
d
k
f
×
×
×
=
Where
4
4
4
4
4
4
4
4
T
k̂
T
k
×
×
×
×
=
T is the element stiffness matrix in the
global coordinate system
65. 0 0
0 0
T
0 0
0 0
C S
S C
C S
S C
⎡ ⎤
⎢ ⎥
−
⎢ ⎥
=
⎢ ⎥
⎢ ⎥
−
⎣ ⎦
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
0
0
0
0
0
k
0
k
-
0
0
0
0
0
k
-
0
k
k̂
2 2
2 2
2 2
2 2
EA
ˆ
k T kT
L
T
C CS C CS
CS S CS S
C CS C CS
CS S CS S
⎡ ⎤
− −
⎢ ⎥
− −
⎢ ⎥
= =
⎢ ⎥
− −
⎢ ⎥
− −
⎢ ⎥
⎣ ⎦
66. Computation of the direction cosines
L
1
2
θ
(x1,y1)
(x2,y2)
2 1
2 1
cos
sin
x x
C
L
y y
S
L
θ
θ
−
= =
−
= =
What happens if I reverse the node numbers?
L
2
1
θ
(x1,y1)
(x2,y2)
1 2
1 2
' cos
' sin
x x
C C
L
y y
S S
L
θ
θ
−
= = = −
−
= = = −
Question: Does the stiffness matrix change?
69. [ ]
[ ]
[ ]
1x
1y
2x
2y
0 0
0 0
1
ε 1 0 1 0 d
0 0
L
0 0
1
d
L
d
d
1
d
L
d
C S
S C
C S
S C
C S C S
C S C S
⎡ ⎤
⎢ ⎥
−
⎢ ⎥
= −
⎢ ⎥
⎢ ⎥
−
⎣ ⎦
= − −
⎧ ⎫
⎪ ⎪
⎪ ⎪
= − − ⎨ ⎬
⎪ ⎪
⎪ ⎪
⎩ ⎭
70. Computation of element stresses stress and tension
( ) [ ]
2x 1x
E E
ˆ ˆ
Eε d d d
L L
C S C S
σ = = − = − −
[ ]
EA
T EAε d
L
C S C S
= = − −
Recall that the element stress is
Recall that the element tension is
71. Steps in solving a problem
Step 1: Write down the node-element connectivity table
linking local and global nodes; also form the table of
direction cosines (C, S)
Step 2: Write down the stiffness matrix of each element in
global coordinate system with global numbering
Step 3: Assemble the element stiffness matrices to form the
global stiffness matrix for the entire structure using the
node element connectivity table
Step 4: Incorporate appropriate boundary conditions
Step 5: Solve resulting set of reduced equations for the unknown
displacements
Step 6: Compute the unknown nodal forces
72. การโกง(Buckling)ใน Bar หรือ Truss
‰ ถึงแมความเคนในบารหรือTruss มีคาต่ํากวาความเคนคราก ชิ้นสวนของ
โครงสรางแบบนี้สามารถเสียหายไดจากการโกงซึ่งเราสามารถหาคาความเคนที่ทํา
ใหเกิดการโกงได จากสูตร
2
2
AL
EI
A
Pcrb
crb
π
σ =
=
com
crb
P
where
A
σ σ σ
> =
การโกงเกิดขึ้นเมื่อ
ความเคนอัดในเอลิเมนต
73. Example 1
P1
P2
1
2
3
x
y
El#1
El#2
The length of bars 12 and 23 are equal (L)
E: Young’s modulus
A: Cross sectional area of each bar
Solve for
(1) d2x and d2y
(2) Stresses in each bar
Solution
Step 1: Node element connectivity table
3
2
2
2
Node 2
1
1
Node 1
ELEMENT
45o
74. Table of nodal coordinates
Lsin45
Lcos45
2
2Lsin45
0
y
0
3
0
1
x
Node
Table of direction cosines
-cos45
cos45
sin45
L
2
sin45
L
1
Length
ELEMENT 2 1
x x
C
length
−
= 2 1
y y
S
length
−
=
75. Step 2: Stiffness matrix of each element in global coordinates
with global numbering
2 2
2 2
(1)
2 2
2 2
EA
k
L
C CS C CS
CS S CS S
C CS C CS
CS S CS S
⎡ ⎤
− −
⎢ ⎥
− −
⎢ ⎥
=
⎢ ⎥
− −
⎢ ⎥
− −
⎢ ⎥
⎣ ⎦
Stiffness matrix of element 1
d1x
d2x
d2x
d1x d1y d2y
d1y
d2y
1 1 1 1
1 1 1 1
EA
1 1 1 1
2L
1 1 1 1
− −
⎡ ⎤
⎢ ⎥
− −
⎢ ⎥
=
⎢ ⎥
− −
⎢ ⎥
− −
⎣ ⎦
77. 1 1 1 1 0 0
1 1 1 1 0 0
1 1 2 0 1 1
EA
K
1 1 0 2 1 1
2L
0 0 1 1 1 1
0 0 1 1 1 1
− −
⎡ ⎤
⎢ ⎥
− −
⎢ ⎥
⎢ ⎥
− − −
= ⎢ ⎥
− − −
⎢ ⎥
⎢ ⎥
− −
⎢ ⎥
− −
⎣ ⎦
Step 3: Assemble the global stiffness matrix
The final set of equations is Kd F
=
78. Step 4: Incorporate boundary conditions
2
2
0
0
0
0
x
y
d
d
d
⎧ ⎫
⎪ ⎪
⎪ ⎪
⎪ ⎪
= ⎨ ⎬
⎪ ⎪
⎪ ⎪
⎪ ⎪
⎩ ⎭
Hence reduced set of equations to solve for unknown
displacements at node 2
2 1
2 2
2 0
0 2
2
x
y
d P
E A
d P
L
⎧ ⎫ ⎧ ⎫
⎡ ⎤
=
⎨ ⎬ ⎨ ⎬
⎢ ⎥
⎣ ⎦ ⎩ ⎭
⎩ ⎭
79. Step 5: Solve for unknown displacements
1
2
2 2
x
y
P L
d E A
d P L
E A
⎧ ⎫
⎪ ⎪
⎧ ⎫ ⎪ ⎪
=
⎨ ⎬ ⎨ ⎬
⎩ ⎭ ⎪ ⎪
⎪ ⎪
⎩ ⎭
Step 6: Obtain stresses in the elements
For element #1: 1
1
(1)
2
2
1 2
2 2
E 1 1 1 1
L 2 2 2 2
E
( )
2L 2
x
y
x
y
x y
d
d
d
d
P P
d d
A
σ
⎧ ⎫
⎪ ⎪
⎡ ⎤⎪ ⎪
= − − ⎨ ⎬
⎢ ⎥
⎣ ⎦ ⎪ ⎪
⎪ ⎪
⎩ ⎭
+
= + =
0
0
80. For element #2: 2
2
(2)
3
3
1 2
2 2
E 1 1 1 1
L 2 2 2 2
E
( )
2L 2
x
y
x
y
x y
d
d
d
d
P P
d d
A
σ
⎧ ⎫
⎪ ⎪
⎡ ⎤⎪ ⎪
= − − ⎨ ⎬
⎢ ⎥
⎣ ⎦ ⎪ ⎪
⎪ ⎪
⎩ ⎭
−
= − =
0
0
81. ตัวอยาง Plane truss
F = 1000 N F = 1000 N
1 2
3
4
1
2
3
4 5
1 2
3
4
1
2
3
4 5
(1) (1) (2) (2) (3) (3) (4) (4)
(5) (5)
(1) (2) (3) (4) (5)
200 2
10 2
10, 10 2
E A E A E A E A
E A
L L L L L
= = = =
=
= = = = =
กําหนด
83. Problem 3: For the plane truss
P
1
2
3
x
y
El#1
El#2
45o
El#3
P=1000 kN,
L=length of elements 1 and 2 = 1m
E=210 GPa
A = 6×10-4m2 for elements 1 and 2
= 6 ×10-4 m2 for element 3
2
Determine the unknown displacements
and reaction forces.
Solution
Step 1: Node element connectivity table
3
2
2
3
1
3
2
Node 2
1
1
Node 1
ELEMENT
84. Table of nodal coordinates
L
0
2
L
0
y
L
3
0
1
x
Node
Table of direction cosines
0
1
L
2
0
L
3
1
L
1
Length
ELEMENT 2 1
x x
C
length
−
= 2 1
y y
S
length
−
=
2 1/ 2 1/ 2
85. Step 2: Stiffness matrix of each element in global coordinates
with global numbering
2 2
2 2
(1)
2 2
2 2
EA
k
L
C CS C CS
CS S CS S
C CS C CS
CS S CS S
⎡ ⎤
− −
⎢ ⎥
− −
⎢ ⎥
=
⎢ ⎥
− −
⎢ ⎥
− −
⎢ ⎥
⎣ ⎦
Stiffness matrix of element 1
d1x
d2x
d2x
d1x d1y d2y
d1y
d2y
9 -4
0 0 0 0
0 1 0 1
(210 10 )(6 10 )
0 0 0 0
1
0 1 0 1
⎡ ⎤
⎢ ⎥
−
× × ⎢ ⎥
=
⎢ ⎥
⎢ ⎥
−
⎣ ⎦
88. Step 4: Incorporate boundary conditions
2
3
3
0
0
0
x
x
y
d
d
d
d
⎧ ⎫
⎪ ⎪
⎪ ⎪
⎪ ⎪
⎪ ⎪
= ⎨ ⎬
⎪ ⎪
⎪ ⎪
⎪ ⎪
⎪ ⎪
⎩ ⎭
P
1
2
3
x
y
El#1
El#2
45o
El#3
$
x
$
y
Also, $3 0
y
d =
How do I convert this to a boundary condition in the global (x,y)
coordinates?
in the local coordinate system of element 3
89. 1
1
2
3
3
x
y
y
x
y
F
F
P
F
F
F
F
⎧ ⎫
⎪ ⎪
⎪ ⎪
⎪ ⎪
⎪ ⎪
= ⎨ ⎬
⎪ ⎪
⎪ ⎪
⎪ ⎪
⎪ ⎪
⎩ ⎭
P
1
2
3
x
y
El#1
El#2
45o
El#3
$
x
$
y
Also, 3
ˆ 0
x
F =
How do I convert this to a boundary condition in the global (x,y)
coordinates?
in the local coordinate system of element 3
90. 3 3
3
3
ˆ 1
,
ˆ 2
x x
y
y
d d
C S
C S
d
S C
d
⎧ ⎫ ⎧ ⎫
⎡ ⎤
⎪ ⎪
= = =
⎨ ⎬ ⎨ ⎬
⎢ ⎥
−
⎣ ⎦ ⎩ ⎭
⎪ ⎪
⎩ ⎭
Using coordinate transformations
$
$
( )
( )
3 3
3 3
3
3
3 3
1 1 1
2 2 2
1 1 1
2 2 2
x y
x x
y
y
y x
d d
d
d
d
d d d
⎡ ⎤ ⎧ ⎫
+
⎢ ⎥ ⎪ ⎪
⎧ ⎫ ⎧ ⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎢ ⎥
⇒ = =
⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬
⎢ ⎥ ⎩ ⎭
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎩ ⎭ − −
⎢ ⎥ ⎪ ⎪
⎣ ⎦ ⎩ ⎭
$3 0
y
d =
$ ( )
3 3 3
3 3
1
0
2
0
y y x
y x
d d d
d d
⇒ = − =
⇒ − = Eq (2)
(Multi-point constraint)
91. 3 3
3
3
ˆ 1
,
ˆ 2
x x
y
y
F F
C S
C S
F
S C
F
⎧ ⎫ ⎧ ⎫
⎡ ⎤
⎪ ⎪
= = =
⎨ ⎬ ⎨ ⎬
⎢ ⎥
−
⎣ ⎦ ⎩ ⎭
⎪ ⎪
⎩ ⎭
Similarly for the forces at node 3
( )
( )
3 3
3 3
3
3
3 3
1 1 1
ˆ 2 2 2
ˆ 1 1 1
2 2 2
x y
x x
y
y
y x
F F
F F
F
F F F
⎡ ⎤ ⎧ ⎫
+
⎢ ⎥ ⎪ ⎪
⎧ ⎫ ⎧ ⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎢ ⎥
⇒ = =
⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬
⎢ ⎥ ⎩ ⎭
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎩ ⎭ − −
⎢ ⎥ ⎪ ⎪
⎣ ⎦ ⎩ ⎭
( )
3 3 3
3 3
1
ˆ 0
2
0
x y x
y x
F F F
F F
⇒ = + =
⇒ + = Eq (3)
3
ˆ 0
x
F =
92. Therefore we need to solve the following equations simultaneously
Kd F
= Eq(1)
3 3 0
y x
d d
− = Eq(2)
3 3 0
y x
F F
+ = Eq(3)
Incorporate boundary conditions and reduce Eq(1) to
2
5
3 3
3 3
1 1 0
1 2 6 0 1 0 1 1 .5 0 .5
0 0 .5 0 .5
x
x x
y y
d P
d F
d F
⎧ ⎫ ⎧ ⎫
−
⎡ ⎤
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎢ ⎥
× − =
⎨ ⎬ ⎨ ⎬
⎢ ⎥
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎢ ⎥
⎣ ⎦ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭
93. Write these equations out explicitly
5
2 3
5
2 3 3 3
5
3 3 3
1 2 6 0 1 0 ( )
1 2 6 0 1 0 ( 1 .5 0 .5 )
1 2 6 0 1 0 (0 .5 0 .5 )
x x
x x y x
x y y
d d P
d d d F
d d F
× − =
× − + + =
× + =
Eq(4)
Eq(5)
Eq(6)
Add Eq (5) and (6)
5
2 3 3 3 3
1 2 6 0 1 0 ( 2 ) 0
x x y x y
d d d F F
× − + + = + = using Eq(3)
5
2 3
1 2 6 0 1 0 ( 3 ) 0
x x
d d
⇒ × − + = using Eq(2)
2 3
3
x x
d d
⇒ = Eq(7)
Plug this into Eq(4)
5
3 3
5 6
3
1 2 6 0 1 0 (3 )
2 5 2 0 1 0 1 0
x x
x
d d P
d
⇒ × − =
⇒ × =
94. 3
2 3
0 .0 0 3 9 6 8
3 0 .0 1 1 9
x
x x
d m
d d m
⇒ =
= =
Compute the reaction forces
1
1 2
5
2 3
3 3
3
0 0 .5 0 .5
0 0 .5 0 .5
1 2 6 0 1 0 0 0 0
1 1 .5 0 .5
0 0 .5 0 .5
5 0 0
5 0 0
0
5 0 0
5 0 0
x
y x
y x
x y
y
F
F d
F d
F d
F
kN
− −
⎧ ⎫ ⎡ ⎤
⎪ ⎪ ⎢ ⎥ ⎧ ⎫
− −
⎪ ⎪ ⎢ ⎥ ⎪ ⎪
⎪ ⎪
⎢ ⎥
= ×
⎨ ⎬ ⎨ ⎬
⎢ ⎥
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
− ⎩ ⎭
⎢ ⎥
⎪ ⎪
⎢ ⎥
⎪ ⎪ ⎣ ⎦
⎩ ⎭
−
⎧ ⎫
⎪ ⎪
−
⎪ ⎪
⎪ ⎪
= ⎨ ⎬
⎪ ⎪
−
⎪ ⎪
⎪ ⎪
⎩ ⎭
101. Beam Theory (ตอ)
2
2
2 2
2 2
2 2
2 2
ˆ ˆ
1 ˆ
,
ˆ ˆ
Substitute into (2) then (1)
ˆ
ˆ
( ) (3)
ˆ ˆ
ˆ
Nodal force only 0 (4)
ˆ ˆ
M d v dv
EI dx dx
M
d d v
EI w x
dx dx
d d v
EI
dx dx
κ φ
ρ
= = = =
⎛ ⎞
= −
⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎛ ⎞
=
⎜ ⎟
⎝ ⎠
พิจารณาสมดุลโมเมนตรอบจุด 2
2
ˆ
ˆ ˆ ˆ
0; ( ) 0 or
2
(2)
ˆ
dx
M Vdx dM w x dx
dM
V
dx
⎛ ⎞
∑ = − + + =
⎜ ⎟
⎝ ⎠
=
Beam curvature
102. Simple beam element (ตอ)
{ } { }
ˆ ˆ ˆ
f k d
⎡ ⎤
=
⎣ ⎦
‰ หาความสัมพันธของ Local nodal matrix และ Local nodal displacement matrix
หรือ
1
1
2 2
1 1
3
2 2
2 2
2 2
ˆ
ˆ 12 6 12 6
ˆ
ˆ 6 4 6 2
ˆ ˆ
12 6 12 6
6 2 6 4 ˆ
ˆ
y
y
y y
d
f L L
m L L L L
EI
L L
L
f d
L L L L
m
φ
φ
⎧ ⎫
⎧ ⎫ −
⎡ ⎤
⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎢ ⎥
− ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎢ ⎥
=
⎨ ⎬ ⎨ ⎬
⎢ ⎥
− − −
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎢ ⎥
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
−
⎣ ⎦
⎩ ⎭ ⎩ ⎭
Local element stiffness matrix
Local element equation
104. ขั้นตอนที่ 2 การกําหนดฟงกชันของการกระจัด
เปนขั้นตอนการกําหนดเลือกฟงกชันทางคณิตศาสตรเพื่อจะนํามาอธิบายการเสียรูป
ของคาน ซึ่งฟงกชันนี้จะถือวาเปนคาประมาณ(Approximate solution) ฟงกชันที่
เลือกใชสวนใหญเปนฟงกชันโพลีโนเมียล
3 2
1 2 3 4
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
( ) (1)
v x a x a x a x a
= + + +
โดย a1 a2 a3 และ a4 คือคาคงที่และจะหาไดจากเงื่อนไขดังนี้
1 4
1 3
3 2
2 1 2 3 4
2
2 1 2 3
ˆ
ˆ ˆ
( 0) (2.1)
ˆ ˆ
( 0) ˆ (2.2)
ˆ
ˆ
ˆ ˆ
( ) (2.3)
ˆ ˆ
( ) ˆ 3 2 (2.4)
ˆ
y
y
v x d a
dv x
a
dx
v x L d a L a L a L a
dv x L
a L a L a
dx
= = =
=
= φ =
= = = + + +
=
= φ = + +
105. ขั้นตอนที่ 2 การกําหนดฟงกชันของการกระจัด(ตอ)
จากนั้นทําการแกสมการดังกลาว (2.1-2.4) จะได a1 a2 a3 และ a4
จากนั้นนําไปแทนในสมการที่ 1 ได
( ) ( )
( ) ( )
3
1 2 1 2
3 2
2
1 2 1 2 1 1
3 2
2 1
ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ
( )
3 1
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ
2 (3)
y y
y y y
v x d d x
L L
d d x x d
L L
⎡ ⎤
= − + φ + φ +
⎢ ⎥
⎣ ⎦
⎡ ⎤
− − − φ + φ + φ +
⎢ ⎥
⎣ ⎦
หรือเขียนเปนเมตริกได
{ }
1
1
1 2 3 4
2
2
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ ˆ
( ) [ ] [ ] (4)
ˆ
ˆ
y
y
d
v x N d N N N N
d
⎧ ⎫
⎪ ⎪
φ
⎪ ⎪
= = ⎨ ⎬
⎪ ⎪
⎪ ⎪
φ
⎩ ⎭
106. ขั้นตอนที่ 2 การกําหนดฟงกชันของการกระจัด(ตอ)
โดย N1 N2 N3 และ N4 คือ shape function และมีคาดังนี้
( ) ( )
( ) ( )
3 2 3 3 2 2 3
1 2
3 3
3 2 3 2 2
3 4
3 3
1 1
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
2 3 2
1 1
ˆ ˆ ˆ ˆ
2 3
N x x L L N x L x L xL
L L
N x x L N x L x L
L L
= − + = − +
= − + = −
108. ขั้นตอนที่ 4 การพิสูจนหา Element stiffness matrix
จากรูปที่โนด 1 และ 2 และจากสมการ
2 3
2 3
ˆ ˆ
ˆ
ˆ ˆ
( ) (8)
ˆ ˆ
d v d v
m x EI V EI
dx dx
= =
จะเขียนเปนสมการไดดังนี้
( )
( )
( )
3
1 1 1 2 2
3 3
2
2 2
1 1 1 2 2
2 3
3
2 1 1 2 2
3 3
2
2 1
2 3
ˆ(0)
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ
ˆ 12 6 12 6 ( )
ˆ
ˆ(0) ˆ ˆ
ˆ ˆ
ˆ ˆ 6 4 6 2 ( )
ˆ
ˆ( )
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ
ˆ 12 6 12 6 ( )
ˆ
ˆ( ) ˆ
ˆ ˆ 6 2
ˆ
y y y
y y
y y y
y
d v EI
f V EI d L d L a
dx L
d v EI
m m EI Ld L Ld L b
dx L
d v L EI
f V EI d L d L c
dx L
d v L EI
m m EI Ld
dx L
= = = + φ − + φ
= − = = + φ − + φ
= − = − = − − φ + − φ
= = = +
( )
2 2
1 2 2
ˆ
ˆ ˆ
6 4 ( )
y
L Ld L d
φ − + φ
109. ขั้นตอนที่ 4 การพิสูจนหา Element stiffness matrix (ตอ)
จัดรูปสมการ (a), (b), (c) และ (d) ใหมเขียนเปนสมการได
1
1
2 2
1 1
3
2 2
2 2
2 2
ˆ
ˆ 12 6 12 6
ˆ
ˆ 6 4 6 2
(9)
ˆ ˆ
12 6 12 6
6 2 6 4 ˆ
ˆ
y
y
y y
d
f L L
m L L L L
EI
L L
L
f d
L L L L
m
φ
φ
⎧ ⎫
⎧ ⎫ −
⎡ ⎤
⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎢ ⎥
− ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎢ ⎥
=
⎨ ⎬ ⎨ ⎬
⎢ ⎥
− − −
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎢ ⎥
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
−
⎣ ⎦
⎩ ⎭ ⎩ ⎭
123. งานที่ไดจากภาระทั้งสองเขียนเปนสมการได
0
1 1 2 2 1 1 2 2
ˆ ˆ ˆ ˆ
( ) ( ) ( )
ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ
ˆ ˆ ( )
L
distributed
discrete y y y y
W w x v x dx a
W m m f d f d b
φ φ
=
= + + +
∫
หรือสมการ (a) = (b)
1 1 2 2 1 1 2 2
0
ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
( ) ( ) ( )
L
y y y y
w x v x dx m m f d f d c
φ φ
= + + +
∫
124. แทนคา
( ) ( )
( ) ( )
3
1 2 1 2
3 2
2
1 2 1 2 1 1
3 2
ˆ
( )
2 1
ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ
( )
3 1
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ
2
y y
y y y
w x w
v x d d x
L L
d d x x d
L L
φ φ
φ φ φ
= −
⎡ ⎤
= − + + +
⎢ ⎥
⎣ ⎦
⎡ ⎤
− − − + + +
⎢ ⎥
⎣ ⎦
ลงไปในสมการ (c) และทําการอินทิเกรทได
( ) ( ) ( ) ( )
( )
2 2
1 2 1 2 2 1 1 2
2
1 1 1 1 2 2 1 1 2 2
ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ
2
2 4 3
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ( )
2
y y y y
y y y y y
Lw L w L w
d d Lw d d
L w
d wL m m f d f d d
φ φ φ φ
φ φ φ
− − − + − − + +
⎛ ⎞
− − = + + +
⎜ ⎟
⎝ ⎠
125. เมื่อตองหาคา
2 2 2
2
1
2
ˆ
4 3 2 12
L w L wL
m L w w
⎛ ⎞
= − − + = −
⎜ ⎟
⎝ ⎠
1
ˆ (1)
m
1 2
ˆ ˆ
ˆ ˆ
1, 0, 0, 0
1 2 y y
d d
= = = =
φ φ
แทนลงไปในสมการ (d)ได
กําหนดคา
เชนเดียวกันถาตองหาคา
กําหนดคา
แทนลงไปในสมการ (d)ได
2
ˆ (1)
m
2 2 2
2
ˆ
4 2 12
L w L w wL
m
⎛ ⎞
= − − =
⎜ ⎟
⎝ ⎠
1 2
ˆ ˆ
ˆ ˆ
0, 1, 0, 0
1 2 y y
d d
φ φ
= = = =
126. ดังนั้นถาใชวิธีการเดียวกัน จะสามารถหาไดวา
1 1 2 2 1
2 1 2 1 2
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ
( 0, 1)
2 2
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ
( 0, 1)
2 2
y y y
y y y
Lw Lw
f Lw Lw d d
Lw Lw
f Lw d d
φ φ
φ φ
= − + − = − = = = =
= − = = = = =
ดังนั้นสรุปไดวา
2
wL
−
2
wL
2
12
wL
−
2
12
wL
129. วิธีการแกปญหา ของปญหาที่มีแรงกระจาย ทําไดโดยเปลี่ยนแรงกระจายให
เปนแรงกระทําที่โนด ดังนั้นจะถือวาแรงที่เปลี่ยนรูปแลวก็คือภาระกระทําที่
โนดนั้นๆ นั่นเอง หรือเขียนเปนสมการได
0
F Kd F
= −
แรงกระจายที่เปลี่ยนรูปเปนแรงกระทําที่โนดแลวหรือ Equivalent nodal forces
Global equation
0
ˆ ˆ ˆ ˆ
f k d f
= − Element equation
แรงกระจายที่เปลี่ยนรูปเปนแรงกระทําที่โนดแลว บนเอลิเมนตใดๆ
131. วิธีทํา ทําการแบงเอลิเมนตออกเปนสองเอลิเมนต จากนั้นหาเอลิเมนตเมตริก
และประกอบเขาดวยกัน เพื่อใหไดสมการของโครงสรางรวมหรือ Global
equation โดยแรงกระทําที่โนดของประกอบไปดวยแรงและโมเมนตภายนอก
ที่ใหมารวมกับแรงและโมเมนตที่ไดจากการเปลี่ยนแรงกระจาย
หาเอลิเมนตเมตริกได
2 2
(1) (2)
3
2 2
12 6 12 6
6 4 6 2
12 6 12 6
6 2 6 4
L L
L L L L
EI
k k
L L
L
L L L L
−
⎡ ⎤
⎢ ⎥
−
⎢ ⎥
= =
⎢ ⎥
− − −
⎢ ⎥
−
⎣ ⎦
132. 2 2
(1) (2)
2 2 2 2
3
2 2
2 2
2 2 2
3
12 6 12 6 0 0
6 4 6 2 0 0
12 6 12 12 6 6 12 6
6 2 6 6 4 4 6 2
0 0 12 6 12 6
0 0 6 2 6 4
12 6 12 6 0 0
6 4 6 2 0 0
12 6 24 0 12 6
6 2 0 8 6 2
0 0 12 6 12 6
L L
L L L L
L L L L
EI
K k k
L L L L L L L L
L
L L
L L L L
L L
L L L L
L L
EI
L L L L L
L
L L
−
⎡ ⎤
⎢ ⎥
−
⎢ ⎥
⎢ ⎥
− − + − + −
= + = ⎢ ⎥
− + + −
⎢ ⎥
⎢ ⎥
− −
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎣ ⎦
−
−
− − −
=
−
− −
2 2
0 0 6 2 6 4
L L L L
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎣ ⎦
ประกอบเอลิเมนตเมตริกเขาดวยกันได
137. Exact solution จากสมการของ Beam Theory และภาระที่กําหนดให
สามารถแกหาคําตอบไดดังนี้ (ดูหนา 188-189)
( )
4 3 2 2
2 2
1
( )
24 6 4
( )
2 2
( )
wx wLx wL x
y x
EI
wL wx
M x wLx
V x w L x
⎛ ⎞
−
= + −
⎜ ⎟
⎝ ⎠
−
= − +
= −
โดยกําหนดให
5 4
210 , 4 10 , 2.5 , 4 /
E GPa I m L m w kN m
−
= = × = =
142. ถาพิจารณาพื้นที่เล็กๆ ΔA (Normal vector ชี้ไปตามแนวแกน z )บนหนาตัด
ซึ่งมีแรงกระทํา ΔF ดังรูปเราสามารถแตกแรงนี้ออกเปนตามแกน x, y และ z
ตามลําดับ และนิยามคาดังนี้
0
0
0
lim
lim
lim
z
z
A
x
zx
A
y
zy
A
F
A
F
A
F
A
Δ →
Δ →
Δ →
Δ
σ =
Δ
Δ
τ =
Δ
Δ
τ =
Δ
ความเคนตั้งฉาก ตามแนวแกน z
ความเคนเฉือน ตามแนวแกน x
ความเคนเฉือน ตามแนวแกน y
143. ในทํานองเดียวกัน ถาพิจารณาพื้นที่เล็กๆ ΔA (Normal vector ชี้ไปตามแนวแกน y
)บนหนาตัดซึ่งมีแรงกระทํา ΔF ดังรูปเราสามารถแตกแรงนี้ออกเปนตามแกน x, y
และ z ตามลําดับ และนิยามคาดังนี้
ความเคนตั้งฉาก ตามแนวแกน y
0
0
0
lim
lim
lim
y
y
A
x
yx
A
z
yz
A
F
A
F
A
F
A
Δ →
Δ →
Δ →
Δ
σ =
Δ
Δ
τ =
Δ
Δ
τ =
Δ
ความเคนเฉือน ตามแนวแกน x
ความเคนเฉือน ตามแนวแกน z
144. และในทํานองเดียวกัน ถาพิจารณาพื้นที่เล็กๆ ΔA (Normal vector ชี้ไปตาม
แนวแกน x )บนหนาตัดซึ่งมีแรงกระทํา ΔF ดังรูปเราสามารถแตกแรงนี้ออกเปน
ตามแกน x, y และ z ตามลําดับ และนิยามคาดังนี้
0
0
0
lim
lim
lim
x
x
A
y
xy
A
z
xz
A
F
A
F
A
F
A
Δ →
Δ →
Δ →
Δ
σ =
Δ
Δ
τ =
Δ
Δ
τ =
Δ
ความเคนตั้งฉาก ตามแนวแกน x
ความเคนเฉือน ตามแนวแกน y
ความเคนเฉือน ตามแนวแกน z
145. ดังนั้นเรานิยามเท็นเซอรความเคน ณ จุดใดๆ โดยคาดังกลาวหรือเขียนเปน
{ }
, ,
x
y
x xy xz
z
yx y yz
yz
zx zy z
zx
xy
xy yx xz zx yz zy
σ
⎧ ⎫
⎪ ⎪
σ
⎪ ⎪
⎡ ⎤
σ τ τ
⎪ ⎪
σ
⎪ ⎪
⎢ ⎥
σ = τ σ τ = ⎨ ⎬
⎢ ⎥ τ
⎪ ⎪
⎢ ⎥
τ τ σ
⎣ ⎦ ⎪ ⎪
τ
⎪ ⎪
τ
⎪ ⎪
⎩ ⎭
τ = τ τ = τ τ = τ
ดังนั้นเท็นเซอรความเคนคือสถานะของความเคน(State of stress) ณ จุดใดๆ
ในวัตถุ ซึ่งเปนคาที่ตองอางอิงกับพิกัด xyz
Stress tensor
เมื่อ
147. x
y
A B
C
A’
B’
C’
v
u
dy
dx
dx
x
v
∂
∂
x
d
x
u
u
∂
∂
+
dy
y
u
∂
∂
dy
y
v
v
∂
∂
+
1 2 1 2
u
d x u d x u d x
A 'B ' A B u
x
A B d x x
v
d y v d y v d y
y
A 'C ' A C v
A C d y y
π
a n g le (C 'A 'B ') β β ta n β ta n β
2
v u
x
x
y
x y
y
ε
ε
ε
∂
⎛ ⎞
⎛ ⎞
+ + − −
⎜ ⎟
⎜ ⎟
− ∂
∂
⎝ ⎠
⎝ ⎠
= = =
∂
⎛ ⎞
⎛ ⎞
∂
+ + − −
⎜ ⎟
⎜ ⎟
∂
− ∂
⎝ ⎠
⎝ ⎠
= = =
∂
= − = + ≈ +
∂ ∂
≈ +
∂ ∂
1
β
2
β
ตัวอยาง 2D
148. คาของเท็นเซอรความเคนและเท็นเซอรความเครียดมีความสัมพันธซึ่งอธิบาย
ไดดวย Constitutive matrix หรือ Stress/Strain matrix
{ } { }
[ ]
6 1 6 1
D
σ = ε
× ×
คาคงที่ที่จะนํามาใชในเมตริก [D] ขึ้นอยูวาวัตถุที่พิจารณามีคุณสมเปนแบบ
ไหนเชน Isotropic material หรือ orthotropic material หรือ Anisotropic
material
ขนาด 6 x 6 หรือ มีองคประกอบ 36 ตัว
ซึ่งไดจากคาคงที่ของวัสดุ
Generalized Hooke’s Law
150. ‰ orthotropic material ต.ย. เชน ไม ลามิเนตพลาสติก Rolled steel เปนตน มีคา
คุณสมบัติ 9 ตัวที่ตองหามา โดยสวนใหญจะเขียนดังนี้แทน
, ,
yz zy xy yx
zx xz
y z z x x y
E E E E E E
ν ν ν ν
ν ν
= = =
{ } { } { }
1
[ ] [ ]
1
0 0 0
1
0 0 0
1
0 0 0
[ ]
1
0 0 0 0 0
2
1
0 0 0 0 0
2
1
0 0 0 0 0
2
yx zx
x y z
xy zy
x y z
yz
xz
x y z
yz
zx
xy
D S
E E E
E E E
E E E
S
G
G
G
−
ε = σ = σ
ν
⎡ ⎤
ν
− −
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
ν ν
− −
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
ν
ν
⎢ ⎥
− −
⎢ ⎥
= ⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎣ ⎦
เมื่อ
Compliance matrix
152. เมื่อทําการ Transform คาเท็นเซอรความเคนแลวหรือเลือกพิกัดอางอิงที่เหมาะสม
ไดแลว ณ ที่นี้คือพิกัด
{ } { }
0 0
0 0
0 0
x xy xz x x y x z I
yx y yz y x y y z II
zx zy z z x z y z III
I II III
′ ′ ′ ′ ′
′ ′ ′ ′ ′
′ ′ ′ ′ ′
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
σ τ τ σ τ τ σ
⎡ ⎤
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
′
σ = τ σ τ → σ = τ σ τ = σ
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
τ τ σ τ τ σ σ
⎣ ⎦
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
σ > σ > σ
Principal stresses - ความเคนหลักสูงสุดหาไดจาก
x y z
′ ′ ′
3 2
1 2 3
1
2 2 2
2
2 2 2
3
( )( )( ) 0
where
2
I II III
x y z
x y y z x z xy xz yz
x y z xy xz yz x yz y xz z xy
− + − = − − − =
= + +
= + + − − −
= + − − −
σ σ σ σ σ σ σ σ σ
σ σ σ
σ σ σ σ σ σ τ τ τ
σ σ σ τ τ τ σ τ σ τ σ τ
I I I
I
I
I
153. ความเคนหลักสูงสุดในระบบ 2 มิติ
‰ สามารคํานวณความเคนหลักจากสมการ
2
,
2 2
x y x y
I II xy
σ σ σ σ
σ σ τ
+ −
⎛ ⎞
= ± +
⎜ ⎟
⎝ ⎠
‰ สถานะของความเคน
x xy
yx y
σ τ
τ σ
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎣ ⎦
สมการนี้คือสมการของวงกลม Mohr นั่นเอง
157. การลา(Fatigue)
This high tensile steel bolt failed under low stress high cycle conditions
with a fatigue crack running from 9 o'clock as shown by the beach
marks.
Crack origin
158. การกัดกรอน(Corrosion)
The deep drawn brass cup on the right shows stress corrosion
cracking under the influence of the residual manufacturing
stresses and a mildly corrosive environment. The cup on the
left has been annealed before putting it into service which
solves the problem
160. การสึกหรอ(Wear)
Wear may be defined as damage to a solid
surface caused by the removal or displacement of
material by the mechanical action of a contacting
solid, liquid, or gas.
Abrasion of gear
tooth surface
162. Maximum Principal Stress Theory
ทฤษฎีกลาวไววา “การครากของวัสดุจะเกิดขึ้นเมื่อคาสมบูรณความเคนหลักมีคา
เทากับหรือมากกวาคาความเคนแรงดึงสูงสุด(uni-axial tensile yield strength)”
ทฤษฎีมักจะนําไปใชทํานายการเสียหายของวัสดุเปราะ
( , , )
I II III y
MAX σ σ σ σ
≥
163. Maximum Shear Stress Theory
‰มีชื่ออีกอยางหนึ่งวา “Tresca criterion” ซึ่งมาจากชื่อของนักวิทยาศาสตรชาว
ฝรั่งเศสที่ชื่อวา Henri Tresca ทฤษฎีกลาวไววา “การครากของวัสดุจะเกิดขึ้นเมื่อคา
ความเคนเฉือนสูงสุดมีคาเทากับหรือมากกวาคาความเคนเฉือนคราก (τy =
σy/2) ของวัสดุที่อยูภายใตแรงกระทําตามแนวแกนอยางเดียวแบะคาความเคน
เทากับความเคนแรงดึงสูงสุด ทฤษฎีมักจะนําไปใชทํานายการเสียหายของวัสดุ
เหนียว
( , , )
2 2 2 2
y
II III III I I II
y
MAX
σ
σ σ σ σ σ σ
τ
− − −
= =
, ,
2 2 2
II III III I I II
I II III
σ σ σ σ σ σ
τ τ τ
− − −
= = =
คาความเคนเฉือนหลักหาไดโดย
164. Distortion Energy Theory
‰ทฤษฎีนี้สมมุติใหพลังงานความเครียดรวมสามารถแบงออกเปนสองสวนคือ
volumetric (hydrostatic) strain energy และ shape (distortion or shear) strain
energy ดังนั้นพลังงานที่ทําใหเกิดการครากจะมาจากสวนหลัง ทฤษฎีจึงกลาวไววา
“การครากจะเกิดขึ้นเมื่อ distortion energy มีคามากกวาความเคนแรงดึงสูงสุด”
ทฤษฎีนี้เปนที่รูจักกันดีในนาม Von Mises criterion และสามารถแสดงเปนสมการ
ไดดังนี้
2 2 2 2
1
( ) ( ) ( )
2
I II II III III I y
σ σ σ σ σ σ σ
⎡ ⎤
− + − + − =
⎣ ⎦
หรือ
2 2 2 2 2 2 2
1
( ) ( ) ( ) 6( )
2
x y y z z x xy yz zx y
σ σ σ σ σ σ τ τ τ σ
⎡ ⎤
− + − + − + + + =
⎣ ⎦
1/2
2 2 2 2 2 2
1
( ) ( ) ( ) 6( )
2
von x y y z z x xy yz zx
σ σ σ σ σ σ σ τ τ τ
⎡ ⎤
= − + − + − + + +
⎣ ⎦
Von Mises stress
165. Examples of Calculation
Example: A three dimensional state of stress is as follows:
100 80 0
80 60 0
0 0 40
ij MPa
σ
⎡ ⎤
⎢ ⎥
= −
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎣ ⎦
Solution: Substitute in the principal stress equation, we get
1
2
2
2
3
100 60 40 80
100 ( 60) ( 60) 40 100 40 80 10,800
100 ( 60) 40 40 80 496,000
I
I
I
= − + =
= × − + − × + × − = −
= × − × − × =
Find the principal stresses?
167. Examples of Failure Calculation
Question From previous example, if the material has tensile
yield strength equal to 100 MPa, determine that the plastic
deformation has already occurred or not. Use the
following criterions,
1. Maximum principal stress theory
2. Maximum shear stress theory
3. Distortion energy theory
Solution : 1) Maximum principal stress theory
1 2 3
( 133.1 , 93.1 , 40 ) 133.1 100
σ σ σ
= = − = = >
MAX
Therefore, yielding has occurred.
169. Examples of Failure Calculation (cont.)
Solution : 3) Distortion energy theory
Therefore, yielding has occurred.
2
2 2 2 2
1
(133.1 ( 93.1)) (( 93.1) 40) (40 133.1)
2
196.91 100
σ
σ
⎡ ⎤
− − + − − + − =
⎣ ⎦
= >
e
e
170. Tutorial
Problem The round bar is subjected to a force and torque, as
shown below. Determine
1) State of stress at any point within a body
2) Principal normal stresses
171. Tutorial (cont.)
σxx = F/A
τxy = Tr/J, J (Circular Shaft) = πr4/2, r = outside radius of a
solid shaft, shear is maximum at outside radius
• If solid shaft material is AISI 1030, determine that is it failed
by yielding or not?
![ระเบียบวิธีไฟไนตเอลิเมนต
( Finite Element Method, FEM ]
โดย
ผศ.ดร. มนตศักดิ์ พิมสาร](https://image.slidesharecdn.com/introductionfem-210824015122/85/introduction-fem-1-320.jpg)
