Презентация по теме "вычисление квадратных корней без калькулятора"

1. Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение
«Гимназия №9»
г. Усолье – Сибирское, Иркутская область
проект
«Извлечение квадратных
корней без калькулятора»
Выполнил: Перетолчин Никита Андреевич
ученик 8 «А» класса
2023 год

2. 1
ПЛАН
1. Введение
1.1 Определение темы работы с обоснованием её актуальности. Постановка
цели и задач проекта.
1.2 План работы.
1.3 Обзор источников информации.
2. Основная часть.
2.1 История квадратного корня
3. Приближенные методы извлечения квадратного корня
3.1 Способ использования таблицы квадратов двузначных чисел
3.2 Формула Древнего Вавилона
3.3 Метод деления пополам
3.4 Канадский метод
3.5 Метод подбора угадыванием
4. Подсказки
5. Заключение
6. Список литературы и использованных источников информации.

3. 2
1. ВВЕДЕНИЕ
1.1. Определение темы работы с обоснованием её актуальности.
Постановка цели и задач проекта.
Тема данной работы - "Вычисление квадратных корней без
калькулятора". Она актуальна в свете того, что знание этого навыка
может пригодиться в различных ситуациях, когда нет доступа к
калькулятору или необходимо быстро оценить приблизительное
значение квадратного корня. Кроме того, умение вычислять
квадратные корни вручную является важным элементом базовой
математической грамотности.
Цель проекта - изучить различные методы вычисления квадратных
корней и выбрать самые рациональные для практического
применения
Результатом (проектным продуктом) деятельности …
Для достижения цели были поставлены следующие задачи:
 Изучить основные методы вычисления квадратных корней.
 Оценить точность и скорость вычислений каждого метода на
конкретных примерах.
 Определить наиболее эффективные и точные методы для
практического применения.

4. 3
1.2. План работы.
№
п/п
Основные этапы работы Период
выполнения
1. Выбор темы, уточнение названия
2. Определение цели и задач проекта 1-3 марта 2023
года
3. Поиск материала в библиотеках, в сети Интернет 3-5 марта 2023
года
4. Подбор методов 7 марта 2023 года
5. Написание проектной работы 9-17
марта 2023 года
6. Оформление презентации проекта
7. Защита проекта на научно-исследовательских
конференциях
1.3. Обзор источников информации.
Для поиска материала по выбранной теме я использовали различные
источники.
Сведения о типах задач я встречали на разнообразных интернет-сайтах.
Проанализировал полученную информацию и выделил наиболее значимые
моменты.
Информации по моей исследуемой проблеме имеется в достаточном
количестве в различных источниках, поэтому все указанные в моей работе
факты достоверны.
2. ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ.
2.1 История квадратного корня
Квадратный корень из числа a, — это такое неотрицательное число, квадрат
которого равен а.

5. 4
Знак корня происходит из строчной латинской буквы r (начальной влат. radix
— корень), сросшейся с надстрочной чертой: ранее, надчёркивание
выражения использовалось вместо нынешнего заключения его в скобки. Так
что есть всего лишь видоизменённый способ записи выражения r .
Впервые такое обозначение использовал немецкий математик Кристоф
Рудольф в 1525 году.
Во время работы над данным проектом я обнаружил интересную
информацию. Оказывается, существует неофициальный праздник,
посвященный квадратному корню.
День квадратного корня - праздник, отмечаемый девять раз в столетие: в
день, когда и число, и порядковый номер месяца являются квадратными
корнями из двух последних цифр года (например, 5 мая 2025 года: 05-05-25).
Впервые этот праздник отмечался 9 сентября 1981 года (09-09-81).
Основателем праздника является школьный учитель Рон Гордон из города
Редвуд Сити, Калифорния, США.
Главным блюдом на этом «праздничном столе» обычно являются вареные
кубики из овощей и выпечка в форме математического знака квадратного
корня.
По объективным математическим причинам этот праздник может отмечаться
строго девять раз в столетие (семь раз в первой половине века и дважды — во
второй), всегда в одни и те же дни:
1 января хх01 года
2 февраля хх04 года
3 марта хх09 года
4 апреля хх16 года
5 мая хх25 года
6 июня хх36 года
7 июля хх49 года
8 августа хх64 года
9 сентября хх81 года
При этом интересно заметить, что промежуток (в годах) между праздниками
составляет непрерывную последовательность нечётных чисел: 3, 5, 7 и т. д.

6. 5
3. Приближенные методы извлечения квадратного корня
3.1 Способ использования таблицы квадратов двузначных чисел
Способ очень простой и позволяет мгновенно извлечь квадратный корень из
любого целого числа от 1 до 100 с точностью до десятых без калькулятора.
Одно условие для этого метода – наличие таблицы квадратов чисел до 99.
Итак, воспользуемся таблицей квадратов чисел до 99. Несколько
рекомендаций: цифра столбика десятков – это целая часть результата, а цифра
в сроке единиц – это десятые. А дальше всё просто: закроем две последние
цифры числа в таблице и найдем нужное вам, не превосходящее подкоренное
число, и далее действуйте по правилам этой таблицы.
Например. Найдём значение .
1. Закрываем две последние цифры у всех чисел в таблице и находим
близкие для 74 – таких только два 7396 и 7569. Но 75 – это уже много.
Значит, остаётся только одно –7396.
1. Столбик десятков даёт ответ - 8(это целых).
2. Верхняя строчка - 6 (это десятых).
Значит, ≈ 8,6.
Проверим на калькуляторе: ≈8,602325
Плюсы метода: быстро, просто, доступно на экзамене.
Минусы метода:
 корни из чисел больше 100 этим способом извлечь невозможно;
 обязательно наличие таблицы квадратов.

7. 6
3.2 Формула Древнего Вавилона
Еще 4000 лет назад вавилонские ученые составляли наряду с таблицами
умножения и таблицами обратных величин (при помощи которых деление
чисел 7 сводилось к умножению) таблицы квадратов чисел и квадратных
корней из чисел. При этом они умели находить приблизительное значение
квадратного корня из любого целого числа. Вавилонский способ
приближенного вычисления квадратных корней можно иллюстрировать на
следующем примере, изложенном в одной из найденных при раскопках
клинописных табличек.
Древние вавилоняне вычисляли квадратный корни по следующей формуле:
√𝑐 = √𝑎2 + 𝑏 = 𝑎 +
𝑏
2𝑎
, где а2
ближайший к числу х точный квадрат
натурального числа а
Например. Найдём значение
√74 = √82 + 10 = 8 +
10
2 ⋅ 8
= 8,625
Поверим на калькуляторе: ≈8,602325
Плюсы метода: способ дает хорошее приближение к точному значению
корня, несложные вычисления.

8. 7
3.3 Метод деления пополам
Этот метод состоит в последовательном делении отрезка, содержащего
искомый квадратный корень, пополам до тех пор, пока не будет достигнута
необходимая точность. Начнем с отрезка [0, a], где a - число, из которого мы
хотим извлечь корень. Затем найдем среднее арифметическое m = (a + 0) / 2
и проверим, является ли квадрат m ближе к a, чем к 0. Если это так, то
продолжаем деление отрезка [m, a], иначе - отрезка [0, m]. Продолжаем этот
процесс до тех пор, пока разница между a и м не станет достаточно малой.
Например: Найдем значение √2
Начинаем с отрезка [0, 2]. Среднее арифметическое m = (2 + 0) / 2 = 1.
Поскольку 12
= 1, а 2 - 1 = 1, то корень ближе к 1, чем к 0, и мы продолжаем
деление отрезка [1, 2]. Снова находим среднее арифметическое m = (2 + 1) / 2
= 1.5. Поскольку 1,52
= 2.25, а 2 - 2.25 = -0.25, то корень ближе к 1, чем к 1.5, и
мы продолжаем деление отрезка [1, 1.5]. После нескольких итераций мы
получим точное значение √2= 1,41421356
Проверим на калькуляторе: √2 = 1,41421356
Плюсы метода: Очень точный, простой.
Минусы метода: Требует многократных вычислений, затратно по времени.

9. 8
3.4 Канадский метод
Этот быстрый метод был открыт молодыми учёными одного из ведущих
университетов Канады в 20 веке, при этом этот способ похож на Вавилонский.
Вот их формула:
, где X - число, из которого необходимо извлечь квадратный
корень, а S - число ближайшего точного квадрата.
Например: Найдем значение √74
X=74, тогда S=81. Это означает, что = 9.
Просчитаем по этой формуле :
√74 = √81 +
74 − 81
2√84
= 9 −
7
18
≈ 8,612
Проверим на калькуляторе: ≈ 8,6023252.
Плюсы метода: метод не сложный и удобный.
Минусы метода: его точность не более двух, трёх знаков после запятой.

10. 9
3.5 Метод подбора угадыванием
Этот метод предлагают английские студенты математического колледжа
Лондона, но каждый в своей жизни хоть раз непроизвольно пользовался этим
методом. Он основан на подборе разных значений квадратов близких чисел
путём сужения области поиска.
Алгоритм:
Предположим, вы хотите извлечь квадратный корень из 74.
1. Замечаем, что 82
= 64 и 92
= 81, значит, 8 < √74 < 9
2. Попробуем возвести 8,52
и вы получите 72,25 < 74
3. Попробуйте 8,62
и вы получите 73,96 < 74
4. Попробуйте 8,72
и вы получите 75,69 > 74
Итак, 8,6 < √74 < 8,7
5. Попробуйте возвести 8,612
и вы получите 74,1321 > 74
6. Значит, 8,60 < √74 < 8,61
7. Продолжайте, пока не получите ответ достаточно точный для вас.
Овладеть этим способом может каждый, но вот пользоваться вряд ли.
Минусы метода:
- требует многократного вычисления произведения столбиком не всегда
правильно угаданных чисел;
- проигрывает в красоте решения и по времени.

11. 10
4. Подсказки
 Произведение чисел имеющих на конце 1 или 9 дают число с
1 в конце.
Например, 21 * 21 =441.
 Произведение чисел имеющих на конце 2 или 8 дают число с
4 в конце.
Например, 18 * 18 = 324.
 Произведение чисел имеющих на конце 5 дают число с 5 в
конце.
Например, 25 * 25 = 625.
 Произведение чисел имеющих на конце 4 или 6 дают число с
6 в конце.
Например, 26 * 26 = 676.
 Произведение чисел имеющих на конце 3 или 7 дают число с
9 в конце.
Например, 17 * 17 = 289.

12. 11
Заключение
Работа над данным проектом я показал, что изучение квадратных
корней – не прихоть математиков, а объективная необходимость: в
реальной жизни случаются ситуации, математические модели
которых содержат операцию извлечения квадратного корня. Но не
всегда под рукой мы имеем калькулятор.
Описанные в работе методы извлечения корней встречаются во
многих источниках. Но разобраться в них оказалось для меня
непростой задачей, что вызвало немалый интерес. Представленные
алгоритмы позволят всем, кто заинтересуется данной темой,
быстрее овладеть навыками вычисления квадратного корня без
калькулятора.
Рассматривая различные способы извлечения квадратного корня,
можно сделать выводы:
 в каждом конкретном случае нужно определиться с выбором
наиболее эффективного способа извлечения квадратного
корня из числа;
 различные способы извлечения квадратного корня без
калькулятора необходимы в школьном курсе математики,
чтобы развивать навыки вычислений.

13. 12
6. Список литературы и использованных источников
информации
1. Жохов В.И., Погодин В.Н. Справочные таблицы по математике.-
М.: ООО «Издательство «РОСМЭН-ПРЕСС», 2004.-120 с.
2. Мордкович А.Г. Алгебра, 8 класс, учебник - Москва,
Мнемозина, 2005г
3. Ткачева М.В. Домашняя математика. Книга для учащихся 8
класса учебных заведений. – Москва, Просвещение, 1994г.
4. https://ru.wikipedia.org/
5. https://ru.wikihow.com/
6. http://infed.ru/