Beginners Guide to TikTok for Search - Rachel Pearson - We are Tilt __ Bright...
Igiz yanova prez
1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ
УРАВНЕНИЯ
Игизьянова Надежда Александровна,
старший преподаватель
Челябинск, 2012
1
2. Оглавление
1.Общий вид дифференциальных уравнений2.
О
Т
Теорема о существовании и единственности решения диф
3.Система контроля знаний
4.Информационные ресурсы по теме
5.Справка по использованию управляющих элементов
2
3. ВИДЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ И ИХ РЕШЕНИЙ
Определение. Дифференциальным уравнением
называется уравнение, содержащее производные
одной или нескольких неизвестных функций. Вместо
производных в уравнение могут входить
дифференциалы.
Определение. Если неизвестная функция зависит от
одной переменной, то дифференциальное уравнение
называется обыкновенным. Если функция многих
переменных, то уравнение называется уравнением в
частных производных.
3
4. Общий вид дифференциальных
уравнений
• обыкновенное дифференциальное уравнение
• уравнение в частных производных.
4
5. Определение. Порядком дифференциального
уравнения называется порядок старшей
производной, входящей в это уравнение.
Определение. Решением дифференциального
уравнения является функция, при подстановке
которой в дифференциальное уравнение оно
обращается в тождество.
Процесс нахождения решения дифференциального
уравнения называется еще интегрированием
дифференциального уравнения, т. к. в простейших
случаях этот процесс сводится к вычислению
интеграла.
6. • Определение. Общим решением
дифференциального уравнения называется
функция, содержащая константы интегрирования.
Другими словами, это множество функций,
отличающихся константами интегрирования.
• Определение. Частное решение получается из
общего решения путем подстановки начальных
условий и определения значений констант.
• Определение. Задача о нахождении частного
решения дифференциального уравнения ,
удовлетворяющего начальному условию ,
называется задачей Коши.
7. Теорема о существовании и единственности
решения дифференциального уравнения 1-го
порядка (теорема Коши)
Если функция f(t, x) – непрерывна в
некоторой области около точки
, то есть при и , то существует,
по крайней мере, одно решение
уравнения , принимающее при
значение , определенное и непрерывное в некотором
интервале около .
Если, кроме того, в этой области выполнено условие Липшица,
то есть причем константа С не зависит от , то это решение
единственное и является непрерывной функцией.
7
8. Система контроля знаний
1. Теорема существования и единственности
решения задачи Коши.
2. Определение изоклин.
3. Уравнения с разделяющимися переменными и
уравнения, приводящие к ним.
4. Линейные уравнения 1-го порядка.
5. Метод подстановки и метод вариации
произвольной постоянной.
8
9. Информационные ресурсы по
теме
1. Берман, Г. Н. Сборник задач по курсу математического анализа:
учеб. пособие / Г. Н. Берман. – 22-е изд., перераб. – СПб:
Профессия, 2008. – 432 с.
2. Виноградов, Ю. Н. Типовые расчеты по математике: учебное
пособие / Ю. Н. Виноградов, О. Ю. Тарасова. – Челябинск: Изд-во
ЮУрГУ, 2005. – Часть 3. – 100 с.
3. Данко, П. Е. Высшая математика в упражнениях и задачах:
учебное пособие для вузов / П. Е. Данко. – 6-е изд. – М.:Оникс,
2006. – Часть 2. – 416 с.
4. Демидович, Б. П. Дифференциальные уравнения / Б. П.
Демидович, В. П. Моденов. – 2-е изд. – СПб.: Лань, 2006. – 276 с.
9
10. Справка по использованию
управляющих элементов
Эта кнопка позволяет перейти к
оглавлению
Эта кнопка позволяет закрыть текущую
страницу
10
Editor's Notes
Большое значение, которое имеют дифференциальные уравнения для математики и особенно для ее приложений, объясняется тем, что к решению таких уравнений сводится исследование многих физических и технических задач. Они играют существенную роль и в других науках, таких, как биология, экономика и электротехника. Принимая во внимание то, что окружающий мир изменяется во времени, а условия изменяются от одного места к другому, дифференциальные уравнения нужны везде, где есть необходимость количественного (числового) описания явлений.
Дифференциал функции вычисляется через производную, а производная – это скорость движения; отсюда вытекает использование дифференциальных уравнений в моделировании движущихся процессов. Учитывая, что в природе и технике большинство процессов и явлений – изменяющиеся, их можно описать только дифференциальными уравнениями.
Примеры: ‑ дифференциальное уравнение 1-го порядка, обыкновенное; ‑ дифференциальное уравнение 2-го порядка, обыкновенное; ‑ дифференциальное уравнение 2-го порядка в частных производных. Пример: функция является решением дифференциального уравнения . Чему равно k ? Решение: Найдем производную и подставим y ' и y в дифференциальное уравнение: . После упрощений найдем k : k = 2/3.
При интегрировании появляется константа интегрирования. Если интегрируем дважды, то появятся две константы и т.д. Число констант определяется порядком дифференциального уравнения. От него же зависит и количество интегрирований. О таких уравнениях, решение которых сводится к разысканию интегралов от известных функций, говорят, что они приводятся к квадратурам . Для решения уравнений, не приводящихся к квадратурам, используют приближенные методы.
Замечание. Условие Липшица заведомо выполняется, если f ( t , x ) имеет в рассматриваемой области ограниченную частную производную . Пример: Через точку х = 0, где нарушено условие теоремы Коши, проходит не одна кривая, являющаяся решением дифференциального уравнения, а множество кривых.
