translation(이동) scaling(크기) ratation(회전) Euler angle 임의의 축에 대한 회전 Quaternion

1. Transform
NHN NEXT 장문익

2. Geometric Transform(기하 변환)
 Scaling transform(크기 변환)
 Rotation transform(회전 변환)
 Translation Transform(이동 변환)

3. D3D와 왼손 좌표계
 D3D는 왼손 좌표계를 사용하기 때문에 (행 벡터) * (행렬)로 transfor을 수행한다.
 OpenGL은 오른손 좌표계를 사용하기 때문에 (행렬) * (열 벡터)로 transform을 수행한다.

4. Geometic Transfrom의 예

5. Geometric Transform을 한 번에
 Geometry Transform을 Scalling, Rotation, Translation 과정을 각각 거치지 않고 단 하나의 행렬
로 처리할 수 있다.
 하나의 행렬로 처리하기 위해서는 3차원 벡터를 4차원 동차 좌표(Homo generous Coordinate)로
바꾸어야 한다.
 4차원 동차 좌표의 예시: (1, 2, 3, 4), (2, 4, 6, 8), (0.5, 1, 1.5 ,2)

6. 4차원 동차 좌표
 4차원에서 두 개의 좌표가 동차 좌표가 되려면 ‘벡터 a = k * 벡터 b’ 관계가 성립되면 된다.
 이 관계를 이용해서 3차원 좌표 (x, y, z)는 4차원 동차 좌표에서 무수히 많은 좌표를 가질 수 있다.
 이들 중에서 특별히 마지막 w 값이 1인 동차 좌표를 사용한다.
 3차원 좌표 (x, y, z) -> 4차원 동차 좌표 (x, y, z, 1)
 4차원 좌표 변환에 행렬을 이용할 경우 4x4 행렬이 필요하고, 변환한 후에 w값으로 x, y, z, w를 나누
어서 항상 w = 1이 되도록 만든다.

7. 4차원 동차좌표 활용한 geometric transform

8. 4차원 동차좌표 활용한 geometric transform
 이것을 3차원 좌표 (x’, y’, z’)로 하면 scaling,
rotation, translation에 대해서 하나의 행렬로
대치가 가능하다.

9. Translation Transform
 translation transform은 vertex의 평행 이동
을 의미한다.
 vertex의 평행 이동은 vertex의 위치를 상대적
으로 이동하는 것이다.

10. Translation Transform 수식 표현

11. 벡터 T에 대한 Translation Transform matrix

12. Translation Transform matrix의 역행렬
 벡터 T의 반대 방향으로 변환하는 행렬

13. D3D Translation Transform 함수

14. Scaling Transform
 Scaling Transform은 vertex의 위치에 scalar
배를 적용한 것이다.
 Translation Transform과 마찬가지로 4x4 변
환 행렬로 구성할 수 있다.

15. Scaling Transform 수식 표현

16. 벡터 S에 대한 Scaling Translation matrix

17. Scaling Translation matrix의 역행렬

18. D3D Scaling Transform 함수

19. Rotation Transform
 Euler Angle을 이용한 방법
 임의의 축에 대한 회전(임의의 축에 대한 최전은 Quaternion(사원수)로 풀 수 있다.

20. 2차원에서 정점의 회전

21. 2차원에서의 정점 이동 수식 표현

22. 2차원에서 정점의 회전 이동 행렬

23. D3D에서 사용할 수 있는 회전 행렬로 바꾸기
 (벡터) * (행렬) 형태로 바꿔야 한다.
 바꾸는 방법은 전치 행렬

24. 3차원에서 Rotation Transform matrix(x축)

25. 3차원에서 Rotation Transform matrix(y축)

26. 3차원에서 Rotation Transform matrix(z축)

27. Rotation Transform matrix의 역행렬
 각도를 –각도로 적용해주면 된다.
 모든 회전 행렬은 직교 행렬이므로 역행렬과 전치행렬이 동일하다.
 연산 속도는 – 각도를 적용하는 것보다는 전치시키는 것이 더 빠르다.

28. D3D Rotation Transform 함수
 D3DXMatrixRotationX()
 D3DXMatrixRotationY()
 D3DXMatrixRotationZ()

29. Euler Angle
 각 축에 대한 행렬을 연속으로 곱해서 최종 회전 행렬을 만들 때 그 각도를 말한다.

30. D3D Rotation Transform
 D3D는 x, z축을 평면으로, y축을 하늘 방향으
로 지시하는 형태이다.
 D3D Rotation Transform은 y축, x축, z축 순
서로 회전한다.
 y축 회전은 Yaw
 x축 회전은 Pitch
 z축 회전은 Roll

31. Euler Angle로 구한 Rotation Transform matrix

32. D3D Euler Angle에 대한 Rotation Transform 함수

33. Gimbal Lock
 Euler Angle는 적용하기는 쉽지만 모든 오브젝트가 이 방법대로 움직이지 않는다는 문제가 발생한
다.
 Gimbal Lock은 회전에서 그 곱의 순서를 알고 있지 않다면 전혀 다른 행렬을 만들어 다른 위치로
이동할 수 있다는 것이다.
 Gimbal Lock을 해결하기 위해서는 회전 각도를 누적시키는 것이 아니라 임의의 축에 대해서 회전
행렬을 만들고 이 회전 행렬을 계속 곱해야만 해결이 된다.

34. 임의의 축에 대한 회전
 임의의 점 벡터 P가 단위 벡터 n에 대해서 회전한 점 벡터

35. 임의의 축에 대한 회전

36. DXD 임의의 축에 대한 회전 행렬 함수
 D3DXMATRIX* WINAPI D3DXMatrixRotationAxis
( D3DMATRIX * pOut, CONST D3DXVECTOR3 *pV, FLOAT Angle );

37. QUATERNION
 사원수
 복소수 표현을 확장하기 위해서 만들어졌다.
 벡터 해석보다 사용이 난해하여 잘 사용되지 않다가 3D 프로그램에서 회전에 자주 사용된다.
 벡터를 활용하여 임의의 축에 대한 회전을 구할 수가 있지만, QUATERNION을 사용하면 벡터로 구
한 결과보다 간결하고, C++의 Overloading을 적용하면 프로그램을 구현하기가 쉬워진다.

38. 복소수와 QUATERNION
 Real Number + Imaginary Number
 2 + 3i
 a + bi
 Real Number + 3개의 Imaginary Number
 단위벡터 v는 회전 축
 단위벡터 I, j, k는 좌표 축의 단위 벡터

39. Quarternian의 좌표 축 단위벡터 성질 정의

40. QUATERNION Conjuagate
 복소수처럼 켤레복소수가 있다.

41. QUATERNION의 크기

42. Quaternion 곱셈

43. Quaternion 연산 법칙

44. QUATERNION과 Translation


45. 임의의 축에 대한 회전과 QUATERNION의 곱
셈

46. QUATERNION을 이용한 회전1
 임의의 축(Axis)과 각도를 QUATERNION으로 바꾼다. 이 때 각도는 ‘1/2’로 한다.

47. QUATERNION을 이용한 회전2
 회전을 적용할 정점을 QUATERNION으로 바꾼다.

48. QUATERNION을 이용한 회전3
 QUATERNION 곱 q*P*q-1 연산을 수행한다.(D3D는 왼손 좌표계이기 때문에 q-1*P*q 순으로 곱한
다.)

49. QUATERNION을 이용한 회전4
 최종 연산의 결과도 QUATERNION이므로 이중에서 허수 부를 선택한다.

50. 참고자료
 http://3dapi.com/