第39回 CV勉強会@関東 コンピュータビジョン最先端ガイド6 第2章 幾何学的推定のための最適化手法：最小化を超えて 冒頭～2.2

1. 第39回 CV勉強会@関東
CV最先端ガイド6
第2章 幾何学推定のための最適化手法：最小化を越えて
冒頭～2.2 幾何学的推定
2017年4月8日 @OZ_Z_C
2017/4/8 CV勉強会@関東 CV最先端ガイド6 幾何学的推定のための最適化手法 1

2. 自己紹介
@OZ_Z_C (twitter)
 某企業研究所所属
経歴
学生時代～2014/3
画像符号化方式の研究、H.264 encoderの開発、など
2014/4～2016/3
Ethernet switchの開発
2016/4～
CV的な研究テーマ（広く浅く・・・）に従事
よろしくお願いします！
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3. 2章の概要
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2．背景
◆”最適”な推定 = 評価関数の最大・最小問題・・・ではない！
◆仮定したノイズの統計的性質に依存
3．最小化に基づく手法
◆最小二乗法
◆ Taubin法
◆超精度最小二乗法
◆最尤推定
◆ etc.
◆超精度補正
4．最小化に基づかない手法
◆重み反復法
◆くりこみ法
◆超精度くりこみ法
5．手法間の精度比較実験例
◆最尤推定より超精度くりこみ法のほうが高精度！更にノイズにもロバスト！
◆超精度くりこみ法は世界一ィィィ！
主題：ノイズのあるデータからの幾何学的推定を最適に行う手法のまとめ

4. 幾何学的問題の最適化
一般的な最適化
評価関数の最大/最小化
最大化：利益・利得・効率、etc.
最小化：損失・誤差・遅延、etc.
幾何学的問題の最適化
与えられた方程式の解を求めること
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𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0
A, B, C ?
・・・しかし、実際はノイズがあって
解けない！
データ
𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 ≠ 0
A, B, C ???

5. 幾何学的推定
ノイズがある場合どうやって解く？
ノイズの統計的性質を適切に仮定
観測データの真値が得られた際に持つであろう解を推定
つまり・・・
幾何学的推定は仮定するノイズの統計的性質に依存
評価関数を最小化問題（通常の最適化）に帰着させても解ける
しかし、必ずしもその必要はないことを強調したい！
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真値
観測データ = 真値 + ノイズ
𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0
A, B, C ?

6. 幾何学的推定の定式化
幾何学的拘束 (geometric constraint)
幾何学的推定：ノイズのあるデータからθ を推定
θ について線形に書き換えると？
x に対しては非線形
θ には定数倍の不定性あり → 𝜽 =1と正規化する
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𝝃 𝒙 , 𝜽 = 0 ⋯ (3)
𝐹 𝒙; 𝜽 = 0 ⋯ 1
𝐹 𝒙 𝜶; 𝜽 ≈ 0 ⋯ (2)
パラメータ （ベクトル）
理想的に観測されるデータ（ベクトル）
ノイズを含むデータ（ベクトル） α=1,…,N

7. 幾何学的推定の定式化：具体例1&2
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𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0
𝝃 𝑥, 𝑦 , 𝜽 = 0
𝝃 𝑥, 𝑦 ≡ 𝑥, 𝑦, 1 ⊤
𝜽 ≡ 𝐴, 𝐵, 𝐶 ⊤
例1：直線 例2：楕円
直線の式
変形すると・・・
𝝃 𝑥, 𝑦 , 𝜽 = 0
𝝃 𝑥, 𝑦 ≡ 𝑥2
, 2𝑥𝑦, 𝑦2
, 2𝑥, 2𝑦, 1 ⊤
𝜽 ≡ 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷, 𝐸, 𝐹 ⊤
楕円（というか2次曲線）の式
変形すると・・・
𝐴𝑥2 + 2𝐵𝑥𝑦 + 𝐶𝑦2 + 2 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0
⋯ (7)
⋯ (9)
⋯ (8)
⋯ (6)
⋯ (5)
⋯ (4)

8. 幾何学的推定の定式化：具体例3
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𝑥
𝑦
1
, 𝑭
𝑥′
𝑦′
1
= 0 𝑭 =
𝐹11 𝐹12 𝐹13
𝐹21 𝐹22 𝐹23
𝐹31 𝐹32 𝐹33
𝝃 𝑥, 𝑦, 𝑥′
, 𝑦′ , 𝜽 = 0 𝝃 𝑥, 𝑦 ≡ 𝑥𝑥′
, 𝑥𝑦′
, 𝑥, 𝑦𝑥′
, 𝑦𝑦′
, 𝑦, 𝑥′
, 𝑦′
, 1 ⊤
𝜽 ≡ 𝐹11, 𝐹12, 𝐹13, 𝐹21, 𝐹22, 𝐹23, 𝐹31, 𝐹32, 𝐹33
⊤
例3：カメラの基礎行列
エピ極線方程式 (エピ極線拘束条件)
𝑥 𝛼, 𝑦 𝛼 の対応点 𝑥′
𝛼, 𝑦′
𝛼
はこの直線(エピ極線)上に存在
変形すると・・・
⋯ (10)
⋯ (13) ⋯ (11)
⋯ (12)

9. 今回は触れないけど考慮すべきこと
演算精度
丸め誤差の影響が出るので、式(11)のx, y’などをO(1)に正規化すべき
アウトライア
インライア：真値が得られたときに幾何学的拘束を満たすデータ
アウトライア：何らかの原因で拘束を満たさないデータ
例：基礎行列推定の場合 → 対応点の誤マッチングなど
対処法
RANSAC
最小メジアン法(LMedS)
ロバスト推定(M推定子)
2017/4/8 CV勉強会@関東 CV最先端ガイド6 幾何学的推定のための最適化手法 9
𝝃 𝑥, 𝑦 ≡ 𝑥𝑥′
, 𝑥𝑦′
, 𝑥, 𝑦𝑥′
, 𝑦𝑦′
, 𝑦, 𝑥′
, 𝑦′
, 1 ⊤
⋯ (11)
金澤, 金谷, “2画像間の特徴点対応の自動探索” より抜粋

10. 参考文献
1. 3次元コンピュータビジョン計算ハンドブック
https://www.morikita.co.jp/books/book/3016
2. 【コンピュータビジョン】ネコと学ぶエピポーラ幾何
http://qiita.com/ykoga/items/14300e8cdf5aa7bd8d31
3. 2画像間の特徴点対応の自動探索
 http://www.iim.cs.tut.ac.jp/~kanatani/papers/imlab-matching-pub.pdf
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11. fin.
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