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【やってみた】
リーマン多様体上への
グラフ描画アルゴリズムの実装
【実装してみた】
情報通信研究機構
高野 祐輝
1
バネモデルレイアウト
2
グラフ描画アルゴリズム
エッジでつながっているノード同士
はバネで引き寄せられている
ノード同士は反発力が働いている
引き合う力
反発しあう力
リーマン多様体上における
バネモデルレイアウト
3
ユークリッド空間ではなく
曲がった空間上における
バネモデルレイアウト
元論文
Kobourov, S. G., and Wampler, K.
Non-Euclidean Spring Embedders.
IEEE Trans. Vis. Comput. Graph. 11, 6 (2005), 757‒767...
本発表の目的
5
実装デモが主目的
6
数学的な厳密性や細かな解釈は
とりあえず横においておき
実装可能な段階までブレークダウンしてみる
7
なぜなら可視化の目的は
数学でも科学でもなく
8
芸術なので
美しければよかろうなのだ!
9
元論文の説明(1)
リーマン多様体 M は,すべての点 x M で
接ベクトル空間を持つ
リーマン多様体上の a と b を結ぶ
連続曲線 γ: [a, b] → M の長さは
length(γ) =
b
a
¦¦γ(t)¦¦dt
となり,任意...
元論文の説明(2)
1. 全ての y ∈M に対して τ−1
x (τx(y)) = y
2. ¦¦τx(y)¦¦ = d(x, y )
3. τx は原点に対する角度を維持する
4. Range(τx) = M
5. Range(τ−1
x ...
元論文の説明(3)
generateinitial layout(G)
while not donedo
for n ∈G do
x := position[n]
G := τx(G)
x := force directedplacement(...
なるほど
よくわからん!
13
数式と実装までに
乖離がありすぎ
14
数式ではなく
「距離」と「力の向き」の
2つに注目して考える
15
考え方の基礎(1)
リーマン多様体上における2点間の距離
曲面上の2点間を最短で結べる曲線の長さ
最短曲線
A
B
16
考え方の基礎(2)
リーマン多様体上における2点間に働く力の向き
最短曲線
A
B
接平面における最短曲線の方向が
局所空間における力の向きとなる
接平面
17
力の向き
考え方がわかったところで
具体的に球面幾何上での
レイアウトを考えてみる
18
球面幾何上へのグラフレイアウト(1)
極座標表記
x
y
z
φ
θ
a
半径1の単位球面を考えると
球面上にある任意の点 a (x, y, z)は
θ [0, 2π) とφ [0, π)
で表せる
19
球面幾何上へのグラフレイアウト(2)
極座標・直交座標変換
x
y
z
φ
θ
a
極座標から直交座標への変換は
(cosθcosφ, sinθsinφ, cosθ)
で行える
20
球面幾何上へのグラフレイアウト(3)
接ベクトル空間
x
y
z
a
ua
va
任意の点 a の接ベクトル ua, va は
ua = (­cosθcosφ, sinθsinφ, sinθ)
va = (sinφ, cosφ, 0)
と表わせ...
球面幾何上へのグラフレイアウト(4)
2点間に及ぼす力
x
y
z
a
b
いま点 a, b があり
点 a が b へ,ある力 F(a, b)で
引き寄せられているとする
このときの
F(a, b)について考える
引き合う力
22
球面幾何上へのグラフレイアウト(5)
接ベクトル空間への写像と力の向き
まず,点 b から 点 a の
接ベクトル空間への写像 b
について考える
ベクトル a b が
局所空間で
点 b が 点 a に 及ぼす力の向きとなる
x
y
z
a
...
球面幾何上へのグラフレイアウト(6)
直線 b b
点 b を通りベクトル a と
平行な直線 b b を考えると
この直線 b b は
x
y
z
a
b
b
x −bx
ax
=
y −by
ay
=
z −bz
az
と表せ,媒介変数 t...
球面幾何上へのグラフレイアウト(7)
点 a の接平面
点 a の接平面は
x
y
z
a
b
b
ax (x - ax) + ay (y - ay) + az (z - az)
となる
25
球面幾何上へのグラフレイアウト(8)
b の導出(A)
x
y
z
a
b
b
ax (x - ax) + ay (y - ay) + az (z - az)
x = bx + ax t
y = by + ay t
z = bz + az t
...
球面幾何上へのグラフレイアウト(9)
b の導出(B)
x
y
z
a
b
b
ax (bx + ax t −ax ) + ay (by + ay t −ay ) + az (bz + az t −az ) = 0
(a2
x + a2
y +...
球面幾何上へのグラフレイアウト(10)
力の大きさ
点 a, b 間の力の大きさは
点 a, b の球面上の距離 d(a, b)
で表される
x
y
z a
bψ
ただし,球面幾何なので d(a, b)は
点 a, b のなす角ψで表される
28
球面幾何上へのグラフレイアウト(11)
点 a, b のなす角ψ
点 a, b のなす角ψは
球面三角法の余弦定理より
となる
x
y
z a
b
N
ψ
cosψ= cosθa cosθb+ sin θa sinθbcos(φa −φb)
ψ...
球面幾何上へのグラフレイアウト(12)
力の向きと大きさ
力の向き b - a と
力の大きさψ
が得られた
x
y
z
a
b
b
ψ
力の向き
力の大きさ
あとは点 a を実際に動かすのみ
30
球面幾何上へのグラフレイアウト(12)
点 a の動き
x
y
z
a
b
b
ψ
力の向き
力の大きさ
点 a の球面幾何上の動きは,
ベクトル (b - a) と a の外積
(b - a)☓a
を軸として
角度cψだけ回転させれば良い
(...
球面幾何上へのグラフレイアウト(13)
力の合成
力の合成は,接ベクトル空間で
ユークリッド空間と同じように考えれば良い
a
F1
F2
F1+F2
32
球面幾何上へのグラフレイアウト(14)
バネモデルレイアウト
力の計算方法がわかったので
あとはバネモデルレイアウトの手順を
そのまま適用すれば終了
33
ね?簡単でしょう?
34
ソースコード
35
https://github.com/ytakano/rinne
デモ
36
まとめ
• 数式ではなく考え方を理解する
• 一見難しそうな数式でも,背景にある考え方を理解すれば実装できる
• 考え方がわかれば,数式も理解できる
• とにかく実装してみる
• 数学的な厳密性はあとでじっくり考える
• Try and Err...
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【やってみた】リーマン多様体へのグラフ描画アルゴリズムの実装【実装してみた】

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リーマン多様体へのグラフ描画アルゴリズムの実装

http://ytakano.github.io/

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【やってみた】リーマン多様体へのグラフ描画アルゴリズムの実装【実装してみた】

  1. 1. 【やってみた】 リーマン多様体上への グラフ描画アルゴリズムの実装 【実装してみた】 情報通信研究機構 高野 祐輝 1
  2. 2. バネモデルレイアウト 2 グラフ描画アルゴリズム エッジでつながっているノード同士 はバネで引き寄せられている ノード同士は反発力が働いている 引き合う力 反発しあう力
  3. 3. リーマン多様体上における バネモデルレイアウト 3 ユークリッド空間ではなく 曲がった空間上における バネモデルレイアウト
  4. 4. 元論文 Kobourov, S. G., and Wampler, K. Non-Euclidean Spring Embedders. IEEE Trans. Vis. Comput. Graph. 11, 6 (2005), 757‒767. 4
  5. 5. 本発表の目的 5
  6. 6. 実装デモが主目的 6
  7. 7. 数学的な厳密性や細かな解釈は とりあえず横においておき 実装可能な段階までブレークダウンしてみる 7
  8. 8. なぜなら可視化の目的は 数学でも科学でもなく 8
  9. 9. 芸術なので 美しければよかろうなのだ! 9
  10. 10. 元論文の説明(1) リーマン多様体 M は,すべての点 x M で 接ベクトル空間を持つ リーマン多様体上の a と b を結ぶ 連続曲線 γ: [a, b] → M の長さは length(γ) = b a ¦¦γ(t)¦¦dt となり,任意の点 a, b 間を最小とする曲線の長さが 点 a, b 間の距離と定義され d(a, b) と表す 10
  11. 11. 元論文の説明(2) 1. 全ての y ∈M に対して τ−1 x (τx(y)) = y 2. ¦¦τx(y)¦¦ = d(x, y ) 3. τx は原点に対する角度を維持する 4. Range(τx) = M 5. Range(τ−1 x ) = Tx M ここで,すべての点 x M でリーマン多様体と 接ベクトル空間への写像を τx: M → Tx M,τx -1: Tx M → Mと定義する. ただし,τx とτx -1 は以下の条件を満たすとする. 11
  12. 12. 元論文の説明(3) generateinitial layout(G) while not donedo for n ∈G do x := position[n] G := τx(G) x := force directedplacement(n, G ) position[n] := τ−1 x (x ) end end すると,リーマン多様体上における バネモデルレイアウトのアルゴリズムは以下のようになる 12
  13. 13. なるほど よくわからん! 13
  14. 14. 数式と実装までに 乖離がありすぎ 14
  15. 15. 数式ではなく 「距離」と「力の向き」の 2つに注目して考える 15
  16. 16. 考え方の基礎(1) リーマン多様体上における2点間の距離 曲面上の2点間を最短で結べる曲線の長さ 最短曲線 A B 16
  17. 17. 考え方の基礎(2) リーマン多様体上における2点間に働く力の向き 最短曲線 A B 接平面における最短曲線の方向が 局所空間における力の向きとなる 接平面 17 力の向き
  18. 18. 考え方がわかったところで 具体的に球面幾何上での レイアウトを考えてみる 18
  19. 19. 球面幾何上へのグラフレイアウト(1) 極座標表記 x y z φ θ a 半径1の単位球面を考えると 球面上にある任意の点 a (x, y, z)は θ [0, 2π) とφ [0, π) で表せる 19
  20. 20. 球面幾何上へのグラフレイアウト(2) 極座標・直交座標変換 x y z φ θ a 極座標から直交座標への変換は (cosθcosφ, sinθsinφ, cosθ) で行える 20
  21. 21. 球面幾何上へのグラフレイアウト(3) 接ベクトル空間 x y z a ua va 任意の点 a の接ベクトル ua, va は ua = (­cosθcosφ, sinθsinφ, sinθ) va = (sinφ, cosφ, 0) と表わせ,点 a に及ぼす力は この接ベクトル空間で考えることができる 21
  22. 22. 球面幾何上へのグラフレイアウト(4) 2点間に及ぼす力 x y z a b いま点 a, b があり 点 a が b へ,ある力 F(a, b)で 引き寄せられているとする このときの F(a, b)について考える 引き合う力 22
  23. 23. 球面幾何上へのグラフレイアウト(5) 接ベクトル空間への写像と力の向き まず,点 b から 点 a の 接ベクトル空間への写像 b について考える ベクトル a b が 局所空間で 点 b が 点 a に 及ぼす力の向きとなる x y z a b b 力の向き 23
  24. 24. 球面幾何上へのグラフレイアウト(6) 直線 b b 点 b を通りベクトル a と 平行な直線 b b を考えると この直線 b b は x y z a b b x −bx ax = y −by ay = z −bz az と表せ,媒介変数 t を使うと x = bx + ax t y = by + ay t z = bz + az t となる aと平行な直線 24
  25. 25. 球面幾何上へのグラフレイアウト(7) 点 a の接平面 点 a の接平面は x y z a b b ax (x - ax) + ay (y - ay) + az (z - az) となる 25
  26. 26. 球面幾何上へのグラフレイアウト(8) b の導出(A) x y z a b b ax (x - ax) + ay (y - ay) + az (z - az) x = bx + ax t y = by + ay t z = bz + az t を へ代入すると t が求まる t を x = bx + ax t y = by + ay t z = bz + az t へ代入すると b が求まる 26
  27. 27. 球面幾何上へのグラフレイアウト(9) b の導出(B) x y z a b b ax (bx + ax t −ax ) + ay (by + ay t −ay ) + az (bz + az t −az ) = 0 (a2 x + a2 y + a2 z )t = a2 x + a2 y + a2 z −ax bx −ay by −az bz t = a2 x + a2 y + a2 z −ax bx −ay by −az bz a2 x + a2 y + a2 z すなわち t は となる.ただし単位球面なので t = 1 −ax bx −ay by −az bz となり,b つまり力の向きが求まる 27
  28. 28. 球面幾何上へのグラフレイアウト(10) 力の大きさ 点 a, b 間の力の大きさは 点 a, b の球面上の距離 d(a, b) で表される x y z a bψ ただし,球面幾何なので d(a, b)は 点 a, b のなす角ψで表される 28
  29. 29. 球面幾何上へのグラフレイアウト(11) 点 a, b のなす角ψ 点 a, b のなす角ψは 球面三角法の余弦定理より となる x y z a b N ψ cosψ= cosθa cosθb+ sin θa sinθbcos(φa −φb) ψ= cos−1 (cosθacosθb+ sinθa sinθb cos(φa −φb)) 29
  30. 30. 球面幾何上へのグラフレイアウト(12) 力の向きと大きさ 力の向き b - a と 力の大きさψ が得られた x y z a b b ψ 力の向き 力の大きさ あとは点 a を実際に動かすのみ 30
  31. 31. 球面幾何上へのグラフレイアウト(12) 点 a の動き x y z a b b ψ 力の向き 力の大きさ 点 a の球面幾何上の動きは, ベクトル (b - a) と a の外積 (b - a)☓a を軸として 角度cψだけ回転させれば良い (cは定数) b - a 外積(回転軸) (b - a)☓a 任意軸の回転はクォータニオンで 実現可能 31
  32. 32. 球面幾何上へのグラフレイアウト(13) 力の合成 力の合成は,接ベクトル空間で ユークリッド空間と同じように考えれば良い a F1 F2 F1+F2 32
  33. 33. 球面幾何上へのグラフレイアウト(14) バネモデルレイアウト 力の計算方法がわかったので あとはバネモデルレイアウトの手順を そのまま適用すれば終了 33
  34. 34. ね?簡単でしょう? 34
  35. 35. ソースコード 35 https://github.com/ytakano/rinne
  36. 36. デモ 36
  37. 37. まとめ • 数式ではなく考え方を理解する • 一見難しそうな数式でも,背景にある考え方を理解すれば実装できる • 考え方がわかれば,数式も理解できる • とにかく実装してみる • 数学的な厳密性はあとでじっくり考える • Try and Errorを繰り返す.たくさん失敗してみる.何度も何度も. • 美しいは大正義 37

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