3. Mechanical
Engineering
1. Sarrera
Industri-eraikuntza eta egituren teoria 3
Aurrediseinua
INGENIARITZA SAILA
Sistema mekanikoen eta fabrikazio prozesuen garapena
Osagaien kalkulua:
- Dimentsionamendua
- Diseinua balioztatzea
- Material aukeraketa
Prozesuaren kalkulua:
- Prozesuaren parametroen aukeraketa
- Erreminten diseinua
Industrializazioa
4. Mechanical
Engineering
1. Sarrera
Kalkulu metodoak
1) Metodo analitikoak:
• Ekuazio analitikoen erabilera
• Abantailak: ebazpen azkarra
• Desabantailak: pieza, produktu edo fenomeno
konplexuak zehaztasunez kalkulatzeko
zailtasunak
Industri-eraikuntza eta egituren teoria 4
5. Mechanical
Engineering
1. Sarrera
Kalkulu metodoak
2) Metodo numerikoak (Elementu Finitoen
Metodoa, EFM)
• Arazo konplexu bat arazo sinple askotan banatzea
(elementuak)
• Metodo numerikoen bitartez lortzen dira emaitzak
• Abantailak: konplexuak diren arazoak aztertzeko
gaitasuna
• Desabantailak:
− Ezagutza aurreratuak eduki behar dira
− Aplikazio informatikoak eta ordenagailuak
beharrezkoak dira
Industri-eraikuntza eta egituren teoria 5
10. Mechanical
Engineering
2. Metodoaren oinarriak
Definizioak
• Elementu finitoa (EF): aztertu behar den bolumenaren zati bat da, geometria sinplea
duena. Bere portaera-ekuazioak ebaztea erreza da.
• Nodoak: erreferentzia puntuak non desplazamenduak kalkulatzen ditugun (askatasun
graduak). Orokorrean, elementuaren limiteetan aurkitzen dira (erpinak, ertzak,
zentroideak…)
• Interpolazio funtzioak: edozein puntutako desplazamenduen kalkulua ahalbidetzen dute
nodoetako desplazamenduen interpolazioaren bidez.
Industri-eraikuntza eta egituren teoria 10
Elementu finitoa
Nodoak
11. Mechanical
Engineering
2. Metodoaren oinarriak
Askatasun graduak
Benetako arazoa Soluzio ezaguna duten azpi-arazoetan banatu
DISKRETIZAZIOA
6 Askatasun Gradu (GDL) nodo bakoitzean (3D)
Industri-eraikuntza eta egituren teoria 11
{ }
x
y
z
u
v
w
δ
θ
θ
θ
=
X Y
Z
u
v
w
θx
θy
θz
u: Desplazamendua X-n
v: Desplazamendua Y-n
w: Desplazamendua Z-n
θx: Biraketa X-n
θy: Biraketa Y-n
θz: Biraketa Z-n
12. Mechanical
Engineering
2. Metodoaren oinarriak
Elementu finitoen sailkapena
• Geometriaren arabera:
− Dimentsio bakarrekoak
− Bi dimentsiokoak
− Hiru dimentsiokoak
• Interpolazio ordenaren arabera:
− Linealak
− Parabolikoak
− …
Industri-eraikuntza eta egituren teoria 12
13. Mechanical
Engineering
2. Metodoaren oinarriak
Elementu finitoen sailkapena
Industri-eraikuntza eta egituren teoria 13
Linealak Parabolikoak
Dimentsio bakarrekoak:
Gorputz linealetan
erabiltzen da (barrak eta
habeak)
Bi dimentsiokoak:
Azalera motako
gorputzetan (xaflak)
Hiru dimentsiokoak:
Geometria konplexuak
14. Mechanical
Engineering
2. Metodoaren oinarriak
Elementu finitoen sailkapena
• Geometriaren arabera:
Industri-eraikuntza eta egituren teoria 14
• Nodo gutxiago, zehaztasun gutxiago.
• Geometria konplexuetara hobeto
egokitzen da.
• Nodo gehiago, zehaztasun handiago.
• Kalkulu denbora altuagoa.
• Geometria konplexuetara egokitzeko
zailtasunak.
15. Mechanical
Engineering
2. Metodoaren oinarriak
Elementu finitoen sailkapena
• Interpolazio mailaren arabera:
Industri-eraikuntza eta egituren teoria 15
v1
v2
v1 v3
v2
Interpolazio lineala Interpolazio parabolikoa
v(x) = m x + b v(x) = a x2 + b x + c
x x
Elementu linealak vs. parabolikoak:
• Abantaila: elementu parabolikoek emaitza zehatzagoa ematen dute.
• Desabantaila: nodo kopurua handiagoa da, kalkulua luzatzen da.
Elementu linealak erabiltzen badira, tentsio-aldaketak dauden guneak elementu askotan banatu
behar dira.
16. Mechanical
Engineering
2. Metodoaren oinarriak
Mugimenduaren ekuazio diferentziala
Mugimenduaren ekuazio orokorra:
Estatikan: azelerazioa = 0
abiadura = 0
Industri-eraikuntza eta egituren teoria 16
[ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } { }
ext
M C K F
δ δ δ
+ + =
ɺɺ ɺ
[M]: Masa matrizea
[C]: Moteltze matrizea
[K]: Zurruntasun matrizea
{δ}: Desplazamendu bektorea
{δ}: Abiadura bektorea
.
{δ}: Azelerazio bektorea
..
{Fext}: Kanpo indarren bektorea
[ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } { }
ext
M C K F
δ δ δ
+ + =
ɺɺ ɺ [ ]{ } { }
ext
K F
δ =
17. Mechanical
Engineering
2. Metodoaren oinarriak
Interpolazio funtzioak [N]
Edozein puntutako desplazamendua kalkulatzeko erabiltzen dira, nodoetako
desplazamenduen interpolazioaren bidez.
Ni–k i askatasun graduaren desplazamenduak elementuaren edozein punturen
desplazamenduan duen eragina adierazten du.
Industri-eraikuntza eta egituren teoria 17
{ } [ ]{ } [ ]
1
2
*
1 2
e e
...
δ
δ
δ δ
δ
= =
⋮
n
n
N N N N
= e elementuaren edozein puntuko
desplazamendu bektorea
∗
= e elementuaren nodoetako
desplazamendu bektorea
[N] = interpolazio funtzioen matrizea
Ni = i askatasun graduaren interpolazio
funtzioak
= i askatasun graduaren desplazamendua
n = askatasun gradu kopurua
18. Mechanical
Engineering
2. Metodoaren oinarriak
Zurruntasun matrizea [K]
Industri-eraikuntza eta egituren teoria 18
Kij : i askatasun graduan aplikatu beharreko indarra, j askatasun graduan desplazamendu
unitarioa lortzeko beste askatasun graduetan desplazamendua nulua mantenduz.
[K]e = e elementuaren zurruntasun matrizea
19. Mechanical
Engineering
2. Metodoaren oinarriak
Industri-eraikuntza eta egituren teoria 19
• Deformazioen kalkulua
Nodoetako desplazamendu bektorea ezaguna denean, elementuaren deformazio eta tentsio
egoera kalkulatu
.
.
]
N
,....,
N
,
N
[
=
}
{
n
1
n
2
1
e
δ
δ
δ
Deformazio bektorearen
kalkulua
Desplazamenduaren
kalkulua aukeratutako
puntuan
22. Mechanical
Engineering
• Zurruntasun matrizearen kalkulua
Nodoetako indarren eta desplazamenduen arteko erlazioa:
CLAPEYRON-en teorian oinarrituta, nodoetako indarren kanpoko lana da:
Nodoetako desplazamenduek sortutako barne deformazio energia:
2. Metodoaren oinarriak
Industri-eraikuntza eta egituren teoria 22
Jakinda:
{ } [ ]{ }
*
*
δ
K
f =
23. Mechanical
Engineering
2. Metodoaren oinarriak
Industri-eraikuntza eta egituren teoria 23
• Zurruntasun matrizearen kalkulua koordenatu globaletan
Transformazio matrizea
[ ]
=
z
y
x
z
y
x
z
y
x
c
c
c
b
b
b
a
a
a
T
Elementuaren koordenatu
sistema lokaletik
Koordenatu sistema globalera
24. Mechanical
Engineering
2. Metodoaren oinarriak
Industri-eraikuntza eta egituren teoria 24
• Nodoetako indar baliokideen kalkulua
Arazo erreal batean kanpoko indar mota ezberdinak aurkitzen dira:
- Indar puntualak
- Momentuak
- Indar banatuak
f*
=
EFM kalkuluetan kanpoko
indar guztiak elementuen
nodoetan aplikatu behar dira.
- Indar puntualak
- Momentuak
- Indar banatuak
KARGA NODALETAN OINARRITUTAKO SISTEMA
BALIOKIDEA BEHAR DA
25. Mechanical
Engineering
Interpolazio funtzioak erabiliz:
Sistema baliokideak egindako lana idazten da:
2. Metodoaren oinarriak
Industri-eraikuntza eta egituren teoria 25
• Nodoetako indar baliokideen kalkulua
Sisteman aplikatutako kanpoko indarrek eragindako lana ondorengoa da:
26. Mechanical
Engineering
2. Metodoaren oinarriak
Industri-eraikuntza eta egituren teoria 26
• Kalkulu estatiko lineala. Kalkulu prozesua
Ekuazio analitikoen erabilera
Desplazamenduen kalkulua
Deformazioen kalkulua
Tentsioen kalkulua
Zurruntasun irizpidea
Erresistentzia irizpidea
Hooke-en lege orokortua
adm
δ
δ ≤
Desplazamendu nodalen eta
erreakzioen kalkulua
27. Mechanical
Engineering
2. Metodoaren oinarriak
Industri-eraikuntza eta egituren teoria 27
• Laburpena:
(δ*) : Desplazamendu nodalen bektorea. Sistemaren askatasun gradu kopuruaren tamainakoa.
(F*) : Indar nodalen bektorea. Sistemaren askatasun gradu kopuruaren tamainakoa.
Indar banaturen bat badago, nodoetara pasatu behar da interpolazio funtzioak erabiliz:
{ } { }
* [ ] d
T
s
f N f s
=
[K]: Zurruntasun matrizea. Elementu mota bakoitzak berea dauka, koordenatu lokaletan
definituta.
Sistemaren zurruntasun matrizea koordenatu globaletan egon behar da.
Koordenatu sistema globala. Sistemarentzat da.
Koordenatu sistema lokala. Elementu bakoitzarentzat da, eta elementuaren
orientazioaren arabera kokatuta dago.
XYZ
x y z
28. Mechanical
Engineering
2. Metodoaren oinarriak
Industri-eraikuntza eta egituren teoria 28
• Laburpena:
[B] matrizearekin desplazamendu nodaletatik (δ*) deformazio unitariora (ε) pasatzen gara. Hau
da, [B] matrizean konbinatzen dira deribatua, eta [N] interpolazio funtzioak.
Egoera tentsional uniaxiala daukagunean, deplazamendua elementuan kalkulatuko dugu (δ(x))
eta hori deribatuko dugu x-ekiko.
[D]: materialaren propietateen matrizea. Kasu uniaxialean, bertan egongo den propietate
bakarra Young-en modulua (E) da
[N]: Interpolazio funtzioak. Desplazamendu nodaletatik (δ*), elementuan zehar daukagun
desplazamenduak (δ(x)) kalkulatzeko erabiltzen dira. Elementu mota bakoitzak bere interpolazio
funtzioak dauzka.
{ } [ ]{ } [ ]
1
2
*
1 2
e e
...
δ
δ
δ δ
δ
= =
⋮
n
n
N N N N
30. Mechanical
Engineering
3. Barra elementua
Industri-eraikuntza eta egituren teoria 30
• Barra elementua
- 2 nodoetako elementu unidimentsionala (2 GdL)
- Trakzioa/konpresioa jasaten du soilik.
Interpolazio funtzioaren zehaztapena
Desplazamendu nodalen bektorea
2 G.D.L 1. mailako ekuazioa x
a
a
x
u .
)
( 1
0 +
= 2
1 ,
,
,
,
u
u
j
i
z
y
x
x
y
1 2
2
u
1
u
L
i j
)
(x
u
Ardatz lokalak
Elementuaren nodoak
Desplazamendu nodalak
33. Mechanical
Engineering
3. Barra elementua. Adibidea.
Industri-eraikuntza eta egituren teoria 33
Adibidea 1: Trakzioan dagoen barra bat.
1. Diskretizazioa: elementu kopurua, nodoak eta askatasun graduak identifikatu.
2. Sistemaren desplazamendu eta indar nodalen bektoreak idatzi (ezagun/ezezagunen balantzea
egin).
Datuak:
L luzera
A zeharkako sekzioaren
azalera
E elastikotasun modulua
F aplikatutako indarra
1 x Barra elementua (β = 0º)
2 x Nodo
2 x Askatasun gradu (u1 eta u2)
{ } 1
2
u
R
f
F u
−
=
{ }
2
1
2
0
x
u
u
δ
δ
=
Desplazamendu nodalen bektorean u2 ezezaguna
Indar nodalen bektorean u1 ezezaguna
34. Mechanical
Engineering
3. Barra elementua. Adibidea.
Industri-eraikuntza eta egituren teoria 34
3. Sistemaren zurruntasun matrizea idatzi.
4. Ekuaziotik lehenengo desplazamenduak eta gero indarrak (eskatzen badizkigute) kalkulatu.
5. Desplazamendua elementuaren edozein puntutan: desplazamendu nodalen bektorea koordenatu
lokaletan.
6. Deformazio unitarioa elementuan:
7. Tentsioa elementuan:
1
2
1 2
1 1
[ ]
1 1
E
u
L
u
A
u
K
u
−
=
−
Sistemaren matrizearen tamaina, sistemaren GdL
kopuruarena izango da.
2
2
1 1 0
1 1
x
x
FL
R EA
EA
F L R F
δ
δ
− − =
= →
−
=
2. puntuaren desplazamendua da
barraren luzapenaren berdina
(espresioa ezaguna da)
0
( ) 1 ,
x x Fx
x FL
L L EA
EA
δ
= − =
d ( )
d
x
x F
x EA
δ
ε = =
Kasu honetan base lokala eta globala berdinak
direnez ez dugu transformaziorik egin behar
Deformazio unitarioa konstantea da
x x
F
E
A
σ ε
= = Tentsioa konstantea da eta espresioa ezaguna da.
35. Mechanical
Engineering
3. Barra elementua. Adibidea.
Industri-eraikuntza eta egituren teoria 35
Adibidea 2: Bi elementuetan banatzen badugu zelan geratzen dira
desplazamendu eta indar nodalen bektoreak eta zurruntasun matrizea?
1. Diskretizazioa: elementu kopurua, nodoak eta askatasun graduak identifikatu.
2. Sistemaren desplazamendu eta indar nodalen bektoreak idatzi (ezagun/ezezagunen balantzea
egin).
2 x Barra elementua (β = 0º)
3 x Nodo
3 x Askatasun gradu (u1 u2 eta u3)
{ }
1
2
3
0
R
f
F
u
u
u
−
=
{ }
3
1
2
3
2
0
x
x
u
u
u
δ δ
δ
=
Desplazamendu nodalen bektorean u2 eta u3 ezezagunak
Indar nodalen bektorean u1 ezezaguna
36. Mechanical
Engineering
3. Barra elementua. Adibidea.
Industri-eraikuntza eta egituren teoria 36
3. Sistemaren zurruntasun matrizea idatzi: bi elementuen matrizeak idazten ditugu eta gero
sistemaren matrizea montatzen dugu.
Elementuen luzera L/2 da
Sistemaren zurruntasun matrizea montatzeko askatasun graduen ordena garrantzitsua da. Bi elementuetan
agertzen diren zeldak, batzen dira sistemaren matrizean.
1
2
1 2
el1
1 1
2
[ ]
1 1
u
u
u u
EA
K
L
−
=
−
2
3
2 3
el2
1 1
2
[ ]
1 1
u
u
u u
EA
K
L
−
=
−
1
2
3
1 2 3
1 1 0
2
[ ] 1 2 1
0 1 1
EA
K
L
u
u
u
u u u
−
= − −
−
Gainontzeko pausuak berdin jarraitzen dira,
eta emaitza berdina izango da.
37. Mechanical
Engineering
4. Habe elementua
Industri-eraikuntza eta egituren teoria 37
• Habe elementua
- 2 nodoetako elementu unidimentsionala (4GdL)
- Ebakidura eta makurdura jasaten duten habeak aztertzeko
2
v
1
v
z
x
y
1
θ 2
θ
Habe elementuaren interpolazio funtzioa:
39. Mechanical
Engineering
4. Habe elementua
Industri-eraikuntza eta egituren teoria 39
• Zurruntasun matrizea koordenatu globaletan
[ ]
−
−
−
−
−
−
−
−
=
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
EI
K z
e
4
λ
6
μ
6
2
λ
6
μ
6
λ
12
μλ
12
λ
6
λ
12
μλ
12
μ
12
μ
6
μλ
12
μ
12
4
λ
6
μ
6
λ
12
μλ
12
μ
12
2
2
2
2
2
3
3
2
2
3
3
2
3
2
3
2
3
2
2
2
3
3
2
3
40. Mechanical
Engineering
4. Habe elementua. Adibidea.
Industri-eraikuntza eta egituren teoria 40
Adibidea 1: Cantilever beam
1. Diskretizazioa: elementu kopurua, nodoak eta askatasun graduak identifikatu.
2. Sistemaren desplazamendu eta indar nodalen bektoreak idatzi (ezagun/ezezagunen balantzea
egin).
Datuak:
L luzera
I zeharkako sekzioaren
inertzia
E elastikotasun modulua
P aplikatutako indarra
1 x Habe elementua (β = 0º)
2 x Nodo
4 x Askatasun gradu (v1 θ1 v2 eta θ2)
{ }
1
1
2
2
0
y v
v
A
M
f
P
θ
θ
=
−
{ }
1
1
2
2
2
2
0
0
y
v
v
δ
θ
θ
θ
δ
=
Desplazamendu nodalen bektorean v2 eta θ2 ezezagunak
Indar nodalen bektorean v1 eta θ1 ezezagunak
41. Mechanical
Engineering
4. Habe elementua. Adibidea.
Industri-eraikuntza eta egituren teoria 41
3. Sistemaren zurruntasun matrizea idatzi.
4. Ekuaziotik lehenengo desplazamenduak kalkulatu.
Sistemaren matrizearen tamaina,
sistemaren GdL kopuruarena
izango da.
3
2
3 2 3
2 2
12
6 4
[ ]
12 6 12
6 2 6 4
z
L
L
L
K EI
L L L
L L
L L
=
− −
−
3
3
2 2
2
2
3 2 3 2
2
2 2
12
0
6 4
0
3
12 6 12
0 2
6 2 6 4
y
y
y
L
A
PL
M L
L EI
EI
P PL
L L L EI
L L
L L
δ
δ
θ
θ
= −
= →
−
− − = −
−
Negatiboa ateratzeak esan nahi
du guk ezarritako noranzkoaren
contra direla.
42. Mechanical
Engineering
4. Habe elementua. Adibidea.
Industri-eraikuntza eta egituren teoria 42
5. Desplazamendua elementuaren edozein puntutan: desplazamendu nodalen bektorea koordenatu
lokaletan.
6. Deformazio unitarioa:
7. Tentsio maximoa:
2
2
d ( )
( )
d
x
v x P
y y x L
EI
x
ε = − = − −
Kasu honetan base lokala eta globala berdinak direnez ez dugu transformaziorik egin behar.
Kontutan izan malda beti izango dela deflexioaren deribatua; biderketak egin beharrean zuzenean deflexioaren
espresioa deribatu dezakegu.
Deformazio unitarioa elastikaren kurbatik (deflexioaren ekuazioa)
ateratzen da.
Maximoa egongo da A puntutan, x = 0 denean.
x x
PLy
E
I
σ ε
= = Lortu dugun emaitza, Navierren legearen berdina da.
( )
( )
3 2
1 2 3 4 3 2 4 2
1 2 3 4
2
3 4
2
2 2
2
0
( ) 3
0 6
d d d d d d d ( )
( ) 3 6
d d d d d d d 6
y
y
y
P
N N N N v x N N x Lx
v EI
N N N N N N v x P
x x Lx
x x x x x x x EI
δ θ
θ δ
θ δ θ
θ
= + = −
= →
= + = = −
43. Mechanical
Engineering
5. Habe osoa elementua
Industri-eraikuntza eta egituren teoria 43
• Habe osoa elementua
- 2 nodoetako elementu unidimentsionala (6 GdL)
- Ebakidura eta makurduraz gain, trakzioa/konpresioa
ere jasaten du.
2
v
1
v
z
x
y
1
θ 2
θ
2
u
1
u
Habe osoa elementuaren interpolazio funtzioa:
44. Mechanical
Engineering
5. Habe osoa elementua
Industri-eraikuntza eta egituren teoria 44
• Habe osoa
[ ]
2 2
3
2 2
3 3
2 2
2 2 2 2
3 3 2 3
2 2 2 2
3 3 2 3 3
2 2
12
12 12
simetrikoa
6 6 4
12 12 6 12
12 12 6 12 12
6 6
e
EI EA
L L
EI EA EI EA
L L L L
EI EI EI
L L L
K
EI EA EI EA EI EI EA
L L L L L L L
EI EA EI EA EI EI EA EI EA
L L L L L L L L L
EI EI
L L
µ λ
µλ µλ λ µ
µ λ
µ λ µλ µλ µ µ λ
µλ µλ λ µ λ µλ µλ λ µ
µ λ
+
− + +
−
=
− − − +
− − − − − + +
− 2 2
2 6 6 4
EI EI EI EI
L L L L
µ λ
−
45. Mechanical
Engineering
6. Ariketak
Industri-eraikuntza eta egituren teoria 45
• Ariketak
Erreakzioak eta desplazamendu nodalak kalkulatu.
C puntuko desplazamendua eta tentsioa kalkulatu.
F
L1
L2
30º
Point C
L1
L2
L3
M
30º
Point C
Point C
46. Mechanical
Engineering
β
3. Barra elementua
Industri-eraikuntza eta egituren teoria 46
• 2 nodoetako elementu unidimentsionala (2 GdL)
• Trakzioa/konpresioa jasaten du soilik.
Zurruntasun matrizea
Desplazamendu nodalen bektorea:
1 2
, ,
1,2
,
x y z
u u
x
y
1 2
2
u
1
u
L
)
(x
u
Ardatz lokalak
Elementuaren nodoak
Desplazamendu nodalak
e
1 1
[ ]
1 1
EA
K
l
−
=
−
Koord. Sist. lokalean
Koord. Sist. globalean
{ } { }
T
1 2
x y
u u
δ =
sin
cos
µ = β
λ = β
48. Mechanical
Engineering
4. Habe elementua
Industri-eraikuntza eta egituren teoria 48
• 2 nodoetako elementu unidimentsionala (4GdL)
• Ebakidura eta makurdura jasaten duten habeak aztertzeko
Zurruntasun matrizea
Desplazamendu nodalen bektorea:
3
2
e
3 2 3
2 2
12
6 4
[ ]
12 6 12
6 2 6 4
z
l
l
l
K EI
l l l
l l
l l
=
− −
−
Koord. Sist. lokalean Koord. Sist. globalean
2
v
1
v
z
x
y
1
θ 2
θ
{ } { }
T
1 1 2 2
x y
v v
δ θ θ
=
[ ]
−
−
−
−
−
−
−
−
=
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
EI
K z
e
4
λ
6
μ
6
2
λ
6
μ
6
λ
12
μλ
12
λ
6
λ
12
μλ
12
μ
12
μ
6
μλ
12
μ
12
4
λ
6
μ
6
λ
12
μλ
12
μ
12
2
2
2
2
2
3
3
2
2
3
3
2
3
2
3
2
3
2
2
2
3
3
2
3
β
sin
cos
µ = β
λ = β
50. Mechanical
Engineering
5. Habe osoa elementua
Industri-eraikuntza eta egituren teoria 50
• 2 nodoetako elementu unidimentsionala (6GdL)
• Ebakidura eta makurduraz gain trakzioa/konpresioa
ere jasaten du.
Interpolazio funtzioak
Desplazamendu nodalen bektorea: { } { }
T
1 1 1 2 2 2
x y
u v u v
δ θ θ
=
2
v
1
v
z
x
y
1
θ 2
θ
2
u
1
u
1
1
2 3 2 3
2 3 2 3
1
2 2
2
2 2 2 2
2
2 3 2 2 3 2
2
1 0 0 0 0
0 1 3 2 2 0 3 2
0 6 6 1 4 3 0 6 6 2 3
u
x x
v
l l
u
x x x x x x x x
v x u
l l l l l l l l
v
x x x x x x x x
l l l l l l l l
θ
θ
θ
−
= − + − + − − +
− + − + − − +
1
1
1 2
1
3 4 5 6
2
3 4 5 6
2
2
0 0 0 0
0 0
d d d d
0 0
d d d d
u
v
u N N
v N N N N
u
N N N N
v
x x x x
θ
θ
θ
=
51. Mechanical
Engineering
5. Habe osoa elementua
Industri-eraikuntza eta egituren teoria 51
Zurruntasun matrizea: Koord. Sist. globalean β
sin
cos
µ = β
λ = β
[ ]
2 2
3
2 2
3 3
2 2
2 2 2 2
3 3 2 3
2 2 2 2
3 3 2 3 3
2 2
12
12 12
simetrikoa
6 6 4
12 12 6 12
12 12 6 12 12
6 6
e
EI EA
L L
EI EA EI EA
L L L L
EI EI EI
L L L
K
EI EA EI EA EI EI EA
L L L L L L L
EI EA EI EA EI EI EA EI EA
L L L L L L L L L
EI EI
L L
µ λ
µλ µλ λ µ
µ λ
µ λ µλ µλ µ µ λ
µλ µλ λ µ λ µλ µλ λ µ
µ λ
+
− + +
−
=
− − − +
− − − − − + +
− 2 2
2 6 6 4
EI EI EI EI
L L L L
µ λ
−
