1. 4.3. Türev ile İlgili Teoremler
Bu kesimde ortalama değer teoremini vereceğiz. Ortalama değer teoremini
ispatlarken kullanılacak olan Fermat teoremini ve diğer bazı teoremleri ispat
edeceğiz.
4.3.1.Teorem ],[ ba kapalı aralığından IR içine bir f fonksiyonu [,] ba açık
aralığındaki bir c noktasında sıfırdan farklı bir türeve sahipse her [,]  ccx
için
cx
cfxf

 )()(
ile f’(c) aynı işarette olacak biçimde ],[ ba aralığının
kapsadığı bir [,]  cc aralığı vardır.
İspat. Önce f’(c) >0 kabul edelim. f fonksiyonu c noktasında türevlenebilir
olduğundan her  pozitif sayısı için  cx olduğunda 


)('
)()(
cf
cx
cfxf
olacak şekilde  sayısına bağlı bir  pozitif sayısı vardır. Özel olarak,
)('
2
1
cf pozitif sayısı için de  cx olduğunda 


)('
)()(
cf
cx
cfxf
olacak şekilde )('
2
1
cf sayısına bağlı bir  pozitif sayısı vardır. Buna göre
 cx olduğunda )('
2
1
)('
)()(
)('
2
1
)(' cfcf
cx
cfxf
cfcf 


 olur. Buradan
 cx olduğunda )('
2
3)()(
)('
2
1
cf
cx
cfxf
cf 


 olur. O halde
[,]   ccx ve [,] bax  olduğunda 0
)()(



cx
cfxf
elde edilir.. Burada
[,]   cc aralığı ],[ ba aralığının alt kümesi olacak şekilde bir  nın
seçilebileceği de görülmektedir. Böylece ispat tamamlanmış olur. (Burada
},,min{1 cbac   olarak alınabilir.)
4.3.2.Teorem ],[ ba den reel sayılar kümesi içine bir f fonksiyonu [,] ba
nin bir c noktasında türevlenebir olsun. Bu takdirde eğer 0)(' cf ise c nin
öyle bir [,]   cc komşuluğu vardır ki bu komşulukta f fonsiyonu artandır.
İspat. 0)(' cf olduğunu kabul edelim. Teorem 4.3.1 den dolayı c
noktasının bir  komşuluğundaki bütün x ler için
0
)()(



cx
cfxf

2. olur. Buna göre cx  olduğunda )()( cfxf  olur ve cx  olduğunda
)()( cfxf  olur. Bu da f fonksiyonunun bu [,]   cc komşuluğunda artan
olduğunu verir. Böylece teoremin ispatı tamamlanmış olur.
4.3.3.Teorem ],[ ba den reel sayılar kümesi içine bir f fonksiyonu [,] ba
nin bir c noktasında türevlenebir olsun. Bu takdirde eğer 0)(' cf ise c nin
öyle bir [,]   cc komşuluğu vardır ki bu komşulukta f fonsiyonu azalandır.
İspat.
0)(' cf olduğunu kabul edelim. Teorem 4.3.1 den dolayı c noktasının bir 
komşuluğundaki bütün x ler için
0
)()(



cx
cfxf
olur. Buna göre cx  olduğunda )()( cfxf  olur ve cx  olduğunda
)()( cfxf  olur. Bu da f fonksiyonunun bu [,]   cc komşuluğunda azalan
olduğunu verir. Böylece teoremin ispatı tamamlanmış olur.
4.3.4.Teorem (Fermat Teoremi). Kapalı bir [a,b] aralığından IR ye bir
f fonksiyonunun ]a,b[ açık aralığının bir c noktasında bir yerel
maksimumu ya da yerel minimumu varsa ve f fonksiyonu c noktasında
türevlenebiliyorsa 0)(' cf dır.
İspat. f fonksiyonunun c noktasında bir yerel maksimumunun olduğunu
kabul edelim. Bu takdirde her [,]   ccx için )()( cfxf  olacak
şekilde bir  pozitif sayısı vardır. h özelliğini sağlayan her h sayısı
için )()( cfhcf  ve dolayısıyla 0)()(  cfhcf dır. Pozitif h lar
için
0
)()(


h
cfhcf
dır ve negatif h lar için
0
)()(


h
cfhcf
dir. Buradan
0
)()(
lim)( 0
'


 

h
cfhcf
cf h
ve

3. 0
)()(
lim)( 0
'


 

h
cfhcf
cf h
bulunur. f fonksiyonunun c noktasında türevi var olduğundan dolayı
soldan türevi ve sağdan türevi vardır ve biribirine eşittir. Dolayısıyla
0)()(' '
  cfcf ve 0)()(' '
  cfcf dır. Buradan 0)(' cf elde edilir.
Şimdi de f fonksiyonunun c noktasında bir yerel minimumunun
olduğunu kabul edelim. Bu takdirde her [,]   ccx için )()( cfxf 
olacak şekilde bir  pozitif sayısı vardır. h özelliğini sağlayan her h
sayısı için )()( cfhcf  ve dolayısıyla 0)()(  cfhcf dır. Pozitif h
lar için
0
)()(


h
cfhcf
dır ve negatif h lar için
0
)()(


h
cfhcf
dir. Buradan
0
)()(
lim)( 0
'


 

h
cfhcf
cf h
ve
0
)()(
lim)( 0
'


 

h
cfhcf
cf h
bulunur. f fonksiyonunun c noktasında türevi var olduğundan dolayı
soldan türevi ve sağdan türevi vardır ve biribirine eşittir. Dolayısıyla
0)()(' '
  cfcf ve 0)()(' '
  cfcf dır. Buradan 0)(' cf elde edilir.
Böylece teoremin ispatı tamamlanmış olur.
Bu teoremin karşıtı her zaman doğru olmak zorunda değildir. Diğer bir
deyişle, bir f fonksiyonunun bir c noktasında türevinin sıfır olması o c
noktasında bir yerel maksimum ya da bir yerel minimumunun olmasını
gerektirmez. Bunu aşağıdaki örnekte görüyoruz.
Örnek. 3
)( xxf  şeklinde verilen fonksiyonun 0 noktasında türevi 0 dır
ancak 0 noktasında bu fonksiyonun ne yerel maksimumu ne de yerel
minimumu vardır.

4. 4.3.5.Tanım. Reel sayılar kümesinin bir alt kümesinden reel sayılar
kümesi içine bir f fonksiyonu verilsin. Eğer 0)(' cf oluyorsa c ye f
fonksiyonunun bir kritik noktası denir. Buna göre 0)(' xf eşitliğini
sağlayan x ler f fonksiyonunun kritik noktaları olacaktır.
Örnek. IRf [5,0:] , xxxf  2
2
1
)( fonksiyonunun kritik noktalarını
bulalım. 1)('  xxf olduğundan dolayı 0)(' xf ise 1x dir. .1x
noktası bir kritik noktadır.
4.3.6. Teorem (İkinci türev testi). f fonksiyonu ],[ ba kapalı
aralığında sürekli ve [,] ba açık aralığında türevlenebilir olsun ve c noktası
f fonksiyonunun bir kritik noktası olsun ve )('' cf türevi var olsun ve
sıfırdan farklı olsun. Bu takdirde eğer 0)('' cf ise c de bir yerel
minimum vardır ve eğer 0)('' cf ise c de bir yerel maksimum vardır.
İspat. f fonksiyonu ],[ ba kapalı aralığında sürekli ve [,] ba açık
aralığında türevlenebilir olsun ve c noktası f fonksiyonunun bir kritik
noktası olsun ve )('' cf türevi var olsun ve 0)('' cf bulunsun.
)()(' xgxf  yazalım. Kabulümüzden 0)(' cg dır. Teorem 4.3.2 den
dolayı [,]   cc komşuluğunda g fonksiyonu artan olacak şekilde
pozitif bir  sayısı vardır. Buna göre her [,] ccx  için )()( cgxg 
ve her [,]  ccx için )()( xgcg  dir. 0)(')(  cfcg olduğundan
dolayı her [,] ccx  için 0)( xg ve her [,]  ccx için
)(0 xg dir. )(')( xfxg  olduğundan dolayı [,] ccx  için 0)(' xf
ve her [,]  ccx için )('0 xf dir. Dolayısıyla f fonksiyonu
[,] cc  aralığında azalan ve [,] cc aralığında artandır. O halde f
fonksiyonunun c noktasında bir yerel minimumu vardır.
Şimdi de ],[ ba kapalı aralığında sürekli ve [,] ba açık aralığında
türevlenebilir olan ve c noktası da kritik noktası olan ve )('' cf türevi var
olan f fonksiyonunun c de ikinci türevi negatif bulunsun yani 0)('' cf
bulunsun. )()(' xgxf  yazalım. Kabulümüzden dolayı 0)(' cg dır.
Teorem 4.3.3 den dolayı [,]   cc komşuluğunda g fonksiyonu azalan
olacak şekilde pozitif bir  sayısı vardır. Buna göre her [,] ccx  için

5. )()( xgcg  ve her [,]  ccx için )()( cgxg  dir. Kabulümüzden
0)(')(  cfcg olduğundan dolayı her [,] ccx  için 0)( xg ve
her [,]  ccx için 0)( xg dir. )(')( xfxg  olduğundan dolayı
[,] ccx  için 0)(' xf ve her [,]  ccx için 0)(' xf dir.
Dolayısıyla f fonksiyonu [,] cc  aralığında artan ve [,] cc
aralığında azalandır. O halde f fonksiyonunun c noktasında bir yerel
maksimumu vardır.Bu da teoremin ispatını tamamlar.
Örnek 1 xxxf  2
)( fonksiyonunun kritik noktalarını bulunuz varsa
yerel maksimum ve yerel minimum değerlerini bulunuz.
Örnek 2. x
x
xf 
3
)(
3
fonksiyonunun kritik noktalarını bulunuz varsa
yerel maksimum ve yerel minimum değerlerini bulunuz.
Aşağıda ikinci türev testinin genelleştirmesini ispatsız olarak veriyoruz.
4.3.7. Teorem (n inci türev testi). f fonksiyonunun [,] ba açık aralı-
ğında n inci türevi var ve bu ninci türev ],[ ba kapalı aralığında sürekli ve
0)(...)('')(' )1(
 
cfcfcf n
ve 0)()(
cf n
olsun. Bu takdirde
(i) Eğer n çift ve 0)()(
cf n
oluyorsa c de bir yerel minimum vardır.
(ii) Eğer n çift ve 0)()(
cf n
oluyorsa c de bir yerel maksimum
vardır.
(iii) Eğer n tek ise c de ne yerel maksimum ne de yerel minimum vardır.
4.3.8.Teorem (Rolle Teoremi). Eğer bir f fonksiyonu ],[ ba kapalı
aralığında sürekli, [,] ba açık aralığında türevlenebilirse ve )()( bfaf 
oluyorsa bu takdirde 0)(' cf olacak şekilde bir [,] bac  vardır.
İspat. f fonksiyonu ],[ ba kapalı aralığında sürekli olduğundan en
büyük değerini ve en küçük değerini alır. )()(min 1],[ xfmxfbax  ve
)()(max 2],[ xfMxfbax  olacak şekilde b][a,x, 21 x elemanları
vardır. Eğer mM  ise her ],[ bax  için Mxfm  )( eşitsizliğinden
f fonksiyonunun sabit bir fonksiyon olduğu elde edilir ki bu durumda sabit
fonksiyonun türevi 0 olduğundan dolayı 0)(' xf olur ki c olarak

6. aralıkda hangi noktayı alırsak alalım 0)(' cf olur. Mm  durumunu
inceleyelim. Bu durumda Mm  olacaktır. )()( bfaf  olduğundan
fonksiyon m ile M den en az birini aralığın uç noktalarında almaz, yani,
aralığın içinde alır. Kabul edelim ki m değerini aralığın içinde alsın. Ara
değer teoremini kullanırsak, 0)(' 1 xf olur. Eğer M değerini aralığın
içinde alırsa yine ara değer teoremini kullanırsak, 0)(' 2 xf olacakdır. Bu
da teoremin ispatını tamamlar.
4.3.9.Sonuç. Eğer bir f fonksiyonu ],[ ba kapalı aralığında sürekli,
[,] ba açık aralığında türevlenebilirse bu takdirde 0)( xf eşitliğini
sağlayan iki farklı 1x ve 2x değerleri arasında f in türevini sıfır yapan
bir değer vardır, yani 0)(' cf olacak şekilde 21 xcx  özelliğini
sağlayan bir c sayısı vardır.
İspat. Rolle teoreminde 1xa  , 2xb  ve 0)()(  bfaf alınırsa
ispat hemen görülür.
Örnek
4.3.10.Teorem (Diferensiyel Hesabın Ortalama Değer Teoremi). Eğer
bir f fonksiyonu ],[ ba kapalı aralığında sürekli, [,] ba açık aralığında
türevlenebilirse bu takdirde )('
)()(
cf
ab
afbf



olacak şekilde en az bir
[,] bac  vardır.
İspat. Her ],[ bax  için
)]()([)()()( afbf
ab
xb
xfbfxG 



fonksiyonunu tanımlayalım. 0)()(  aGbG dır ve G fonksiyonu ],[ ba
kapalı aralığında sürekli ve [,] ba açık aralığında türevlenebilirdir. Rolle
teoreminden dolayı 0)(' cG olacak şekilde bir [,] bac  vardır.
)]()([
1
)(')(' afbf
ab
xfxG 


olduğundan dolayı
0)]()([
1
)(' 

 afbf
ab
cf
ve dolayısıyla

7. )]()([
1
)(' afbf
ab
cf 


olacak şekilde bir [,] bac  bulunmuş olur. Bu da teoremin ispatını tamamlar.
a ile b arasındaki her bir c sayısı 10   eşitsizliğini
sağlayan bir sayı  olmak üzere )( abac   şeklinde
yazılabileceğinden dolayı ortalama değer teoremini aşağıdaki şekilde ifade
edebiliriz:
f fonksiyonu ],[ ba kapalı aralığında sürekli, [,] ba açık
aralığında türevlenebilirse bu takdirde ))(('
)()(
abaf
ab
afbf



 olacak
şekilde en az bir [1,0] sayısı vardır.
Örnek. IRf ]5,2[: fonksiyonu 3
)( xxf  olarak verildiğine göre bu
fonksiyonun ortalama değerini bulunuz.
Çözüm. 39
3
117
3
8125
3
25
25
)2()5()()(
)('
33











ff
ab
afbf
cf olur.
O halde f fonksiyonunun ortalama değeri 39 dır. 2
3)(' xxf 
olduğundan dolayı
3
117
3 2
c den 1179 2
c ve buradan da 132
c ve
bundan da ortalama değer teoremindeki c sayısı olarak 13c bulunur
4.3.11.Sonuç Eğer her ],[ bax  için 0)(' xf ise f fonksiyonu sabit
fonksiyondur.
İspat. bxxa  21 özelliğini sağlayan herhangi iki 1x ve 2x sayılarını
alalım. Diferensiyel hesabın ortalama değer teoreminden,
)('
)()(
12
12
cf
xx
xfxf



olacak şekilde bir [,] 21 xxc  vardır. 0)(' cf
olduğundan dolayı 0
)()(
12
12



xx
xfxf
bulunur. Buradan 0)()( 21  xfxf ve
dolayısıyla )()( 21 xfxf  bulunur. bxxa  21 özelliğini sağlayan her 1x
ve 2x sayıları için )()( 21 xfxf  bulunduğundan f fonksiyonunun sabit
fonksiyon olduğu elde edilir. Bu da sonucun ispatını tamamlar.
4.3.12.Sonuç. Eğer bir f fonksiyonu ],[ ba kapalı aralığında sürekli,
[,] ba açık aralığında türevlenebilirse ve her [,] bax  için 0)(' xf

8. oluyorsa bu takdirde f fonksiyonu ],[ ba aralığında kesin olarak monoton
artandır.
İspat. bxxa  21 özelliğini sağlayan herhangi iki 1x ve 2x sayılarını
alalım. Diferensiyel hesabın ortalama değer teoreminden,
)('
)()(
12
12
cf
xx
xfxf



olacak şekilde bir [,] 21 xxc  vardır. 0)(' cf
olduğundan dolayı 0
)()(
12
12



xx
xfxf
bulunur. Buradan 0)()( 12  xfxf ve
dolayısıyla )()( 21 xfxf  bulunur. bxxa  21 özelliğini sağlayan her 1x
ve 2x sayıları için )()( 21 xfxf  bulunduğundan f fonksiyonunun kesin
olarak monoton artan fonksiyon olduğu elde edilir. Bu da sonucun ispatını
tamamlar.
4.3.13.Sonuç. Eğer bir f fonksiyonu ],[ ba kapalı aralığında sürekli,
[,] ba açık aralığında türevlenebilirse ve her [,] bax  için 0)(' xf
oluyorsa bu takdirde f fonksiyonu ],[ ba aralığında kesin olarak monoton
azalandır.
İspat. bxxa  21 özelliğini sağlayan herhangi iki 1x ve 2x sayılarını
alalım. Diferensiyel hesabın ortalama değer teoreminden,
)('
)()(
12
12
cf
xx
xfxf



olacak şekilde bir [,] 21 xxc  vardır. 0)(' cf
olduğundan dolayı 0
)()(
12
12



xx
xfxf
bulunur. Buradan 0)()( 12  xfxf ve
dolayısıyla )()( 12 xfxf  bulunur. bxxa  21 özelliğini sağlayan her 1x
ve 2x sayıları için )()( 21 xfxf  bulunduğundan f fonksiyonunun kesin
olarak monoton azalan fonksiyon olduğu elde edilir. Bu da sonucun ispatını
tamamlar.
4.3.14.Teorem (Genelleştirilmiş Ortalama Değer Teoremi). Eğer f
ve g fonksiyonları ],[ ba kapalı aralığında sürekli, [,] ba açık aralığında
türevlenebilirse bu takdirde
)('
)('
)()(
)()(
cg
cf
agbg
afbf



olacak şekilde en az bir [,] bac  vardır.
İspat. Her ],[ bax  için

9. )]()([
)()(
)()(
)()()( xgbg
agbg
afbf
xfbfxG 



fonksiyonunu tanımlayalım. 0)()(  aGbG dır ve G fonksiyonu ],[ ba
kapalı aralığında sürekli ve [,] ba açık aralığında türevlenebilirdir. Rolle
teoreminden dolayı 0)(' cG olacak şekilde bir [,] bac  vardır.
)('
)()(
)()(
)(')(' xg
agbg
afbf
xfxG



olduğundan dolayı
)('
)()(
)()(
)(')(' cg
agbg
afbf
cfcG



ve dolayısıyla
)()(
)()(
)('
)('
agbg
afbf
cg
cf



olacak şekilde bir [,] bac  bulunmuş olur. Bu da teoremin ispatını tamamlar.
a ile b arasındaki her bir c sayısı 10   eşitsizliğini
sağlayan bir sayı  olmak üzere )( abac   şeklinde
yazılabileceğinden dolayı genelleştirilmiş ortalama değer teoremini aşağıdaki
şekilde ifade edebiliriz:
f fonksiyonu ],[ ba kapalı aralığında sürekli, [,] ba açık
aralığında türevlenebilirse bu takdirde
))(('
))(('
)()(
)()(
abag
abaf
agbg
afbf







olacak
şekilde en az bir [1,0] sayısı vardır.