1. Desigualdades
Helmuth villavicencio fern´ndez
a
+
1. Sean a, b, c ∈ tales que abc = 1
Probar
1 + ab2 1 + bc2 1 + ca2 18
+ +
c3 a3 b3 a3 + b3 + c3
Soluci´n
o
1. sabemos que M edia Aritm´tica ≥ M edia Geom´trica es decir
e e
1+ab2 1+bc2 1+ca2
c3 + a3 + b3 3 1 + ab2 1 + bc2 1 + ca2
3 c3 a3 b3
1 + ab2 1 + bc2 1 + ca2 2 2 2
3 (1 + ab )(1 + bc )(1 + ca )
3
+ 3
+ 3
3 3 b3 c3
c a b a
√
2 2
Como abc = 1 y 1 + nm 2 1.nm2 luego
1 + ab2 1 + bc2 1 + ca2 3
√ √
3
+ 3
+ 3 1.ab2 1.bc2 1 + ca2
c a b3
1 + ab2 1 + bc2 1 + ca2 √
6
3
+ 3
+ 6 a3 b3 c3
c a b3
1 + ab2 1 + bc2 1 + ca2
+ + 6
c3 a3 b3
1 + ab2 1 + bc2 1 + ca2
(a3 + b3 + c3 )( + + ) 6(a3 + b3 + c3 )
c3 a3 b3
Pero
a3 + b3 + c3 √
3
a3 b3 c3
3
a3 + b3 + c3 3
1 + ab2 1 + bc2 1 + ca2
(a3 + b3 + c3 )( 3
+ 3
+ ) 6(a3 + b3 + c3 ) 6.3
c a b3
1 + ab2 1 + bc2 1 + ca2
(a3 + b3 + c3 )( 3
+ 3
+ ) 18
c a b3
1 + ab2 1 + bc2 1 + ca2 18
∴ + + .
c3 a3 b3 a3 + b3 + c3
1