1. 1 格子定数の公式
外積の定義は
⃗ × ⃗ = [u2 v3 − u3 v2 , u3 v1 − u1 v3 , u1 v2 − u2 v1 ]
u v
さて、
⃗ = a [1, 0, 0]
a
⃗ = b[cos(γ), sin(γ), 0]
b
[ √ ]
2
cos(α) − cos(β) cos(γ) (cos(α) − cos(β) cos(γ)) 2
⃗ = c cos(β),
c , − 2 − cos(α) + 1
sin(γ) sin(γ)
のように取ると
⃗ ·⃗ = a
a a
⃗ · ⃗ = ab cos γ
a b
⃗ · ⃗ = ca cos β
c a
.
.
.

2. このとき
 
1 cos(γ) (cos(α) cos(γ) − cos(β)) |sin(γ)|
a∗ =  , −
⃗ , √ 
a a sin(γ) 2 2 2 2
asin(γ) sin(γ) + 2 cos(α) cos(β) cos(γ) + sin(β) + sin(α) − 2
 
1 (cos(β) cos(γ) − cos(α)) |sin(γ)|
b∗ = 0,
⃗ , √ 
b sin(γ) 2 2 2 2
bsin(γ) sin(γ) + 2 cos(α) cos(β) cos(γ) + sin(β) + sin(α) − 2
 
|sin(γ)|
c∗ = 0, 0, √
⃗ 
2 2 2
c sin(γ) + 2 cos(α) cos(β) cos(γ) + sin(β) + sin(α) − 2
したがって
|sin(α)|
a∗ = √
2 2 2
a sin(γ) + 2 cos(α) cos(β) cos(γ) − cos(β) + sin(α) − 1
|sin(β)|
b∗ = √
2 2 2
b sin(γ) + 2 cos(α) cos(β) cos(γ) + sin(β) + sin(α) − 2
|sin(γ)|
c∗ = √
2 2 2
c sin(γ) + 2 cos(α) cos(β) cos(γ) + sin(β) + sin(α) − 2

3. 2 2 2
cos(β) cos(γ) − 2 cos(α) cos(β) cos(γ) + cos(α)
cos2 (α∗ ) = 2 2
sin(β) sin(γ)
2 2 2
2 ∗ cos(α) cos(γ) − 2 cos(α) cos(β) cos(γ) + cos(β)
cos (β ) = 2 2
sin(α) sin(γ)
2 2 2
sin(γ) + 2 cos(α) cos(β) cos(γ) − cos(α) cos(β) − 1
cos2 (γ ∗ ) = − 2 2
sin(α) sin(β)