2. Bovenstaande definities zijn vastgelegd in de wet. In Boek 7 van het Burgerlijk
Wetboek in artikel 795 en 796 worden respectievelijk de levensverzekering en de
sommenverzekering gedefinieerd.
Er zijn drie verzekeringsvormen die als sommenverzekering worden beschouwd. (1)
levensverzekering, (2) Ongevallenverzekering, (3) Arbeidsongeschiktheidsverzekering.
Binnen Levensverzekeringswiskunde (de naam zegt het eigenlijk al) wordt alleen
gefocusd op de eerste soort sommenverzekering.
Deze verzekering bestaat al erg lang en heeft zijn naam te danken aan het feit dat de
verzekering wordt afgesloten op iemands leven of overlijden. De laatste variant wordt
doorgaans overlijdensrisico verzekering genoemd en wordt vaak afgesloten in
combinatie met de aankoop van een huis.
De persoon die verantwoordelijk wordt voor de hypotheek van het huis wil vaak
enige financiële zekerheid dat als hij/zij komt te overlijden, de overblijvende partner
in het huis kan blijven wonen tegen een redelijk betaalbare hypotheek. Vaak wordt
dan ook op het overlijden van iedere partner een uit te keren bedrag verzekerd.
2
3. Bijvoorbeeld als de koopsom van een huis €500.000 EUR is, dat er dan €250.000 EUR
verzekerd wordt op elke partner. Een andere verdeling kan natuurlijk ook.
2
4. Ad a. dit zijn vaak bedrijven die zeer grote aantallen verzekerden hebben.
Ad b. dit is de persoon die voor de verzekering betaald.
Ad c. op het leven/overlijden van deze persoon wordt de verzekering afgesloten.
Ad d. ten gunste van deze persoon wordt het bedrag uitbetaald als de situatie onder
b. zich voordoet.
Waarom wordt de verzekerde van de verzekeringnemer gesplitst? Vaak is het zo dat
het namelijk gunstig is, belasting technisch, om kruislings te verzekeren. Daarbij
betaalt en sluit partner 1 een verzekering af op het leven van partner 2 en vice versa.
In dit geval is er namelijk geen erfbelasting verschuldig over het uitbetaalde bedrag.
3
5. - Verzekeringen met uitkering bij leven (hoofdstuk 2 uit het boek)
- Lijfrente: reeks bedragen die alleen worden uitgekeerd bij het in leven zijn
bij een of meerdere personen.
- Overlijdensrisicoverzekeringen (hoofdstuk 3 uit het boek)
- De tijdelijkheid van de OVZ wordt vaak bepaald voor de looptijd van de
hypotheek. Elke nieuwe hypotheek die wordt afgesloten heeft
tegenwoordig de wettelijke looptijd van 30 jaar.
- Verzekering op twee levens (hoofdstuk 4 uit het boek)
- Hieronder valt het eerder genoemde voorbeeld, de kruislingse verzekering.
Dit wordt door twee personen afgesloten elk op het leven of overlijden van
de andere persoon. Deze soort levensverzekering wordt in module 3
(hoofdstuk 4) behandeld.
4
6. Naast de technieken die zijn aangeleerd bij financiële rekenkunde in module 1
(hoofdstuk 1) zijn er nog meer gegevens nodig om een levensverzekering te kunnen
berekenen.
De belangrijkste gegevens zijn de sterftetabellen van het Centraal Bureau voor de
Statistiek (CBS). Hierin worden op nationaal niveau de overlevings en stertekansen
berekend voor de Nederlandse bevolking. Vaak worden deze stertetabellen
weergegeven voor vrouwen en mannen apart en is er een tabel voor de gehele
bevolking.
De gegevens vanuit het CBS worden door het Actuarieel Genootschap (AG) gebruikt
om deze tabellen op te stellen en vroeger warden deze een keer in de vijf jaar
gepubliceerd. Tegenwoordig gebeurt dit jaarlijks. De actuele tabellen worden
gepubliceerd op: www.cbs.nl
lx = aantal levenden van x jaar oud dit wordt ook wel de radix van de sterftetafel
genoemd.
Als x =0 dan is l1 = l0 * p0. Namelijk, er is geen l voor het jaar 0 te berekenen. Er is
namelijk geen kans dat een pasgeborene na x = 0 nog leeft. Wel is de kans te
5
7. berekenen dat een pasgeborene na een jaar nog leeft, dit is l1
Er bestaat dus een verband tussen moment x en x+1. Namelijk de overlevingskans op
tijdstip x+1 is de kans dat een persoon met leeftijd x nog een jaar zal overleven. Dus
lx x px
Dit verband wordt ook wel een recursief verband genoemd.
5
8. De tabellen die in het boek zijn opgenomen op bovenstaande paginanummers zijn
ook de tafels die via de e-learningmodule beschikbaar zijn gesteld. Ook al bestaan er
dus meer recentere tabellen via de CBS website, voor de oefeningen in deze e-
learning module wordt aangeraden om de AG tabellen uit het boek te gebruiken. In
een eerder stadium van de e-learning heb je deze kunnen downloaden. In het boek
vindt je ze op de bovengenoemde pagina’s.
6
9. In principe wordt in de opgaven van deze module niet van een leeftijdsterugtelling uit
gegaan.
7
10. Hiermee wordt dan niet bedoeld dat het uitgekeerde bedrag per begunstigde hoger
of lager uit valt, dit is immers een vastgesteld bedrag. De winst of verlies zit hem in
het feit dat de verzekeringsmaatschappij vaker of minder vaak moet uitkeren. Dus de
kans dat zich de verzekerde situatie (leven of overlijden) komt dan niet overeen met
de werkelijkheid en voor de verzekeringsmaatschapij, dit kan gunstig of ongunstig
uitpakken.
Hoe groter de groep verzekerden die een verzekeringsmaatschappij heeft, des te
kleiner wordt het risico van sterteverlies aangezien de kans dan ook groter is dat de
verzekeringsmaatschappij sterftewinst heeft. Nadelige effecten van uitschieters in
negatieve zin worden dan opgevangen door een grotere groep.
8
12. Bovenstaande voorbeeld heeft als doel om te berekenen hoeveel geld de man nu
moet inleggen om op zijn 70e jaar 50.000 EUR te ontvangen. Het voorbeeld gaat
ervan uit dat het geld groeit met een rente van 3%. Dit is de rente die gedurende het
gehele boek in de voorbeelden wordt gebruikt, in de praktijk kan deze rente hoger of
lager zijn, dat ligt aan de afspraken die de verzekeringsnemer maakt met de
verzekeraar en wat normaal is in het algemeen verkeer.
De kans dat iemand van 40 ook 70 gaat worden wordt berekend door het aantal
levenden van 70 te delen door het aantal levenden van 40 jaar.
Wat de man nu moet inleggen wordt ook wel de contante waarde genoemd, in het
boek wordt dit aangetoond met de hoofdletter A, zie hiervoor ook hoofdstuk 1
behandeld in module 1 van de e-learning.
Dus de kans dat een man van 40 ook 70 wordt moet worden vermenigvuldigd met
het bedrag van de contante waarde van de uitkering. Dus welk bedrag kan in een
periode van 30 jaar uitgroeien tot een bedrag van 50.000 EUR als de rente op 3%
wordt verondersteld.
10
13. Als de rekenrente iets wijzigt, 1% meer dus niet 3% maar 4%, komt de koopsom uit
op 12.368 EUR. Bedenk voor jezelf waarom het logisch is dat dit bedrag lager is dan
het bedrag bij 3%. Kom je er niet uit? Kijk dan nog even naar module 1, financiële
rekenkunde.
In het boek staan op pagina 28 nog meer voorbeelden van berekeningen van
koopsommen.
10
15. Omdat bij het maken van berekeningen bij levensverzekeringswiskunde vaak
complexe formules worden gebruikt voor het berekenen van koopsommen of
lijfrentes is er behoefte aan vereenvoudiging van de berekening. Daarom zijn er een
tweetal communicatietekens in het leven geroepen.
Communicatietekens D en N.
D staat voor het aantal levenden verdisconteerd naar het geboortejaar. Vaak wordt
Dx geschreven met als geboortejaar X. Dus als een vrouw van 30 een
levensverzekering afsluit op haar eigen leven met uitbetaling op haar 60e dan is D30
* het verzekerde bedrag de contante waarde van het verzekerde bedrag op haar 30e
en D60 * het verzekerde bedrag de contante waarde van het verzekerde als ze 60
wordt. De D van de hoogste leeftijd levert altijd een lagere contante waarde op,
bedenk voor jezelf waarom dit logisch is.
Om te weten wat de koopsom voor de vrouw van 30 is moet je dus de contante
waarde van het verzekerde bedrag op haar huidige leeftijd delen door de contante
waarde van het verzekerde bedrag als ze 60 wordt. Dit heeft namelijk ook alles te
maken met de kans dat de vrouw van 30 ook echt 60 gaat worden.
12
16. N wordt gebruikt als er meerdere bedragen, een reeks van bedragen, oftwel een
rente, moet worden uitgekeerd. Nx is dan een optelling van alle voorliggende jaren en
de kansen dat een persoon die leeftijden bereikt. Nx is dan gelinkt aan de leeftijd van
de persoon waarop hij/zij voor het eerst de rente ontvangt. Natuurlijk moet hierbij
rekening gehouden worden met post en prenummerando.
Stel iemand krijgt een jaarlijkse uitkering die 10 jaar doorloopt nadat de persoon 60 is
geworden, de verzekering wordt afgesloten op het 50e levensjaar.
Voor pre-numerando neem je mee in de berekening:
N60 – N70/D50
Voor post-numerando:
N61-N71/D50
Op de volgende slide volgt hiervan een voorbeeld. In het boek op pagina 32 tot 34
volgen een zestal voorbeelden.
Namelijk iemand ontvangt de rente aan het begin van zijn levensjaar of aan het
einde. Voor de postnumerando moet de persoon dan de laatste termijn ontvangen
aan het eind van zijn 70e levensjaar, oftewel wordt de kans genomen van het 71ste
levensjaar. Bij levensverzekeringswiskunde wordt er namelijk alleen onderscheid
gemaakt in de jaren van overleving, niet de maandelijkse overleving van een persoon.
12
18. Er bestaan 2 soorten overlijdensrisico verzekeringen, ORV afgekort.
- Een overlijdensrisico verzekering in koppeling met vaak de hypotheek.
- Een levenslange verzekering ter dekking van de begrafeniskosten, de zogenoemde
uitvaartverzekering.
Bij deze soort verzekering wordt er ook met kansen gerekend, alleen dan met de
stertekans i.p.v. de overlevingskans.
Deze sterftekans wordt aangetoond met dx, niet te verwarren met Dx!
De stertekans van een persoon van 30 is de overlevingskans van iemand van 31 – de
overlevingskans van iemand van 30. Oftewel d30 = l30-l31. In het boek op pagina 39
is te zien hoe de stertekansen zich ontwikkelen.
De sterftekans van personen wordt logischerwijs alleen maar groter, er bestaat dus
een opwaartselijn. Dit is natuurlijk een tegengestelde grafiek als je deze vergelijkt met
de overlevingskansen, weergegeven op pagina 25, deze kans wordt namelijk
gedurende iemands leven alsmaar kleiner.
14
19. Ook bij de overlijdensrisicoverzekeringen wordt er gebruikt gemaakt door
communicatietekens om de berekeningen eenvoudiger op te schrijven. Zo wordt de
contante waarde van een bedrag wat uitgekeerd moet worden aangeduid met Cx.
Hierbij zie je een verschil met de levensverzekeringen op leven.
De contante waarde factor Ax wordt vergroot met ½. Dit heeft te maken met het feit
dat bij verzekeringen op overlijden vaak direct wordt uitgekeerd en niet aan het einde
van een verzekeringsjaar. Daardoor vindt de betaling gemiddeld een half jaar eerder
plaats. Hiertoe moet de koopsom dus hoger zijn, aangezien hiermee het halve jaar
kan worden ‘gespaard’ om hiermee het halve jaar af te dekken wat eerder moet
worden uitgekeerd. Wordt de koopsom niet hoger, dan zal het uit te keren bedrag op
het moment van overlijden te laag zijn. Pas een half jaar na overlijden bereikt de
koopsom door aangroei het afgesproken bedrag.
De Mx staat voor de sommatie van alle Cx’en die nodig zijn indien niet 1 bedrag maar
een reeks van bedragen moet worden uitgekeerd. Dit vermenigvuldigd met het uit te
keren bedrag is de koopsom voor een reeks van bedragen die direct na overlijden aan
de begunstigden worden uitgekeerd.
14
22. In de praktijk wordt de looptijd van een tijdelijke verzekering die ertoe dient een
hypotheek af te lossen in geval van overlijden gekoppeld aan de looptijd van de
hypotheek. Mocht er niemand zijn overladen in bovenstaand geval dan wordt er ook
uitgekeerd. Is zo’n koopsom nu hoger of lager dan een koopsom alleen op leven of
sterven? Ga na waarom dit zo is.
17
